第04講 圓周角和圓內(nèi)接四邊形（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊（蘇科版）

第第頁第04講圓周角和圓內(nèi)接四邊形1.掌握弧、弦、圓心角的定義，并會根據(jù)其性質(zhì)進(jìn)行簡單的計算2.理解圓周角、圓心角的定義，并掌握它們之間的關(guān)系.3.掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)。知識點(diǎn)1圓心角的概念圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角?；　⑾?、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等。知識點(diǎn)2圓角角的概念圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。（即：圓周角=12推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。知識點(diǎn)3圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙中，∵四邊是內(nèi)接四邊形∴【題型1直徑所對圓周角為90°的運(yùn)用】【典例1】（2023?無為市四模）如圖，CD是⊙O的直徑，BE是弦，延長BE交CD的延長線于點(diǎn)A，連接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，則∠BCE的度數(shù)是（）A．34° B．36° C．38° D．42°【答案】B【解答】解：如題，連接BD，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CBD＝90°，∠BDC＝∠BEC，∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝22°+16°＝38°，∴∠BDC＝38°，∴∠BCD＝90°﹣∠BDC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BCE＝∠BCD﹣∠ACE＝52°﹣16°＝36°，故選：B．【變式1-1】（2023?開福區(qū)模擬）如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點(diǎn)，若∠ACB＝32°，則∠B的度數(shù)是（）A．58° B．60° C．64° D．68°【答案】A【解答】解：∵BC是⊙O的直徑，∴∠A＝90°，∵∠ACB＝32°，∴∠B＝90°﹣32°＝58°．故選：A．【變式1-2】（2023?鄞州區(qū)校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，若∠ACD＝28°，則∠BAD的度數(shù)是（）A．48° B．56° C．62° D．68°【答案】C【解答】解：連接BD，∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝28°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝62°．故選：C．【變式1-3】（2023?昆明模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點(diǎn)，若∠ACD＝46°24′，則∠DAB的度數(shù)為（）A．43°36′ B．46°24′ C．43°46′ D．44°36′【答案】A【解答】解：連接BD，∵∠ACD＝46°24'，∴∠ABD＝46°24'，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝43°36'，故選：A．【題型2同弧或等弧所對的圓周角相等的運(yùn)用】【典例2】（2023?棗莊）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的度數(shù)為（）A．32° B．42° C．48° D．52°【答案】A【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝80°﹣48°＝32°，∵，∴∠B＝∠C＝32°．故選：A．【變式2-1】（2023?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，D是弧AC的中點(diǎn)，DC、AB的延長線相交于點(diǎn)P．若∠CAB＝16°，則∠BPC的度數(shù)為（）A．37° B．32° C．21° D．16°【答案】C【解答】解：連接OC，OD，∵∠CAB＝16°，∴∠COB＝2∠CAB＝32°，∴∠AOC＝180°﹣32°＝148°，∵D是的中點(diǎn)，∴＝，∴∠DOC＝∠AOD＝∠AOC＝×148°＝74°，∵OD＝OC，∴∠DCO＝∠CDO＝（180°﹣∠DOC）＝53°，∴∠BPC＝∠AOD﹣∠CDO＝74°﹣53°＝21°．故選：C．【變式2-2】（2023?南海區(qū)校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，若∠ABD＝55°，則∠BCD等于（）?A．55° B．45° C．35° D．25°【答案】C【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝55°，∴∠A＝35°，∵，∴∠C＝∠A＝35°．故選：C．【變式2-3】（2023?舒城縣模擬）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，＝2，若∠A＝70°，則∠B的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．110°【答案】A【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)D，連接OD，∴＝2＝2，∵＝2，∴∠AOC＝∠BOD＝∠COD，∵∠A＝70°，OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝70°，∴∠AOC＝180°﹣2×70°＝40°，∴∠BOC＝40°+40°＝80°，∵OB＝OC，∴∠B＝＝50°，故選：A．【變式2-4】（2023?新城區(qū)校級二模）如圖，AB、CD是⊙O的兩條直徑，點(diǎn)E是弧BD的中點(diǎn)，連接AC、BE，若∠ACD＝20°，則∠ABE的度數(shù)（）A．40° B．44° C．50° D．55°【答案】D【解答】解：連接OE，如圖所示：∵∠ACD＝20°，∴∠AOD＝2∠ACD＝40°，∵點(diǎn)E是弧BD的中點(diǎn)，∴，∵OE＝OB，∴，故選：D．【題型3圓周角的度數(shù)等于它所對的弧上的圓心角的一半的運(yùn)用】【典例3】（2023?廣元）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，連接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，則∠ACD的度數(shù)是（）A．56° B．33° C．28° D．23°【答案】C【解答】解：∵∠BOD＝124°，∴∠AOD＝180°﹣124°＝56°，∴∠ACD＝∠AOD＝28°，故選：C．【變式3-1】（2023?南關(guān)區(qū)校級三模）如圖，點(diǎn)A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，∠OCB的度數(shù)是（）A．16° B．24° C．32° D．48°【答案】B【解答】解：∵∠A與∠BOC都對，∴∠BOC＝2∠A＝2×66°＝132°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝（180°﹣132°）＝24°．故選：B．【變式3-2】（2023?綏江縣二模）如圖，在⊙O中，∠AOC＝100°，BD平分∠ABC，則∠CBD的度數(shù)為（）A．100° B．50° C．30° D．25°【答案】D【解答】解：∵∠AOC＝100°，∴．∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝25°，故選：D．【變式3-3】（2023?濱城區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，則∠BOC的大小為（）A．150° B．130° C．120° D．60°【答案】C【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°．故選：C．【變式3-4】（2023?鳳凰縣三模）如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，點(diǎn)C在⊙O上，若∠C＝38°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．38° B．60° C．76° D．80°【答案】C【解答】解：∵∠C＝38°，∴∠AOB＝2∠C＝76°，故選：C．【題型4利用半徑相等構(gòu)成的等腰三角形有關(guān)運(yùn)用】【典例4】（2023?淮安區(qū)校級二模）如圖，ABC是⊙O上三點(diǎn)，若OA＝AB＝BC，則∠ACB的度數(shù)為?（）A．30° B．40° C．45° D．60°【答案】A【解答】解：如圖，連接OB，∵OA＝AB＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°，故選：A．【變式4-1】（2023?淮陰區(qū)模擬）如圖，A、D是⊙O上的兩點(diǎn)，BC是直徑，若∠D＝32°，則∠OAC度數(shù)為（）A．58° B．32° C．60° D．68°【答案】A【解答】解：∵∠D＝32°，∴∠AOC＝2∠D＝64°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＝（180°﹣∠AOC）÷2＝116°÷2＝58°．故選：A．【變式4-2】（2023?永壽縣二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接OA，OC，AC，已知∠ACO＝40°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】D【解答】解：∵OA＝OC，∠ACO＝40°，∴∠ACO＝∠OAC＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠ACO﹣∠OAC＝100°，∴鈍角∠AOC＝360°﹣100°＝260°，∴∠ABC＝260°＝130°，故選：D．【變式4-3】（2023?姑蘇區(qū)校級一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且OC⊥AB，過點(diǎn)C的弦CD與線段OB相交于點(diǎn)E，滿足∠OCD＝25°，連接AD，則∠BAD＝20°．【答案】20．【解答】解：連接OD，如圖：∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝∠AOC＝45°，∵∠OCD＝25°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD＝25°，∵∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝45°﹣25°＝20°，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO＝20°，故答案為：20．【題型5圓內(nèi)接四邊形的綜合運(yùn)用】【典例5】（2023?鹿城區(qū)校級二模）如圖，AB，BC為⊙O的兩條弦，連結(jié)OA，OC，點(diǎn)D為AB的延長線上一點(diǎn)．若∠CBD＝65°，則∠AOC為（）?A．110° B．115° C．125° D．130°【答案】D【解答】解：如圖，在優(yōu)弧AC上取點(diǎn)P，連接PA，PC，由圓周角定理得，∠P＝∠AOC，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，∠ABC+∠P＝180°，∵∠ABC+∠CBD＝180°，∴∠CBD＝∠P，∵∠CBD＝65°，∴∠P＝65°，∴∠AOC＝2∠P＝130°，故選：D．【變式5-1】（2023?昌江縣校級模擬）如圖，CD是⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，若∠ACD＝40°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．50° B．40° C．20° D．140°【答案】A【解答】解：∵CD是⊙O的直徑，∴∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠D＝90°﹣∠ACD＝90°﹣40°＝50°．故選：A【變式5-2】（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，CD是⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，且AD∥OB．若∠BAD＝110°，則∠D的度數(shù)為（）A．45° B．40° C．35° D．30°【答案】B【解答】解：如圖，連接BC，∵四邊形ABCD是⊙O內(nèi)接四邊形，且∠BAD＝110°，∴∠C＝70°，∵OB＝OC，∴∠BOC＝180°﹣2×70°＝40°，∵AD∥OB，∴∠D＝∠BOC＝40°．故選：B．【變式5-3】（2023?碑林區(qū)校級一模）如圖，點(diǎn)A是⊙O中優(yōu)弧BAD的中點(diǎn)，∠ABD＝70°，C為劣弧上一點(diǎn)，則∠BCD的度數(shù)是（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】C【解答】解：∵點(diǎn)A是⊙O中優(yōu)弧BAD的中點(diǎn)，∴＝，∴∠ADB＝∠ABD＝70°，∴∠A＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝40°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BCD+∠A＝180°，∴∠BCD＝140°，故選：C．【變式5-4】（2023?道外區(qū)三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果它的一個外角∠DCE＝60°，那么∠BOD的度數(shù)為（）A．128° B．64° C．32° D．120°【答案】D【解答】解：∵∠BCD+∠DCE＝180°，∠A+∠BCD＝180°，∠DCE＝60°，∴∠A＝∠DCE＝60°，∴∠BOD＝2∠A＝120°．故選：D．【變式5-5】（2023?市南區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OB，OD，BD，若∠C＝105°，則∠OBD的度數(shù)為?（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠C＝105°，∴∠A＝75°，∴∠BOD＝2∠A＝150°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD）＝15°，故選：A．【題型6運(yùn)用圓周角、圓心角和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求邊長】【典例6】（2023?袁州區(qū)校級二模）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，，則⊙O的半徑為（）A． B． C．6 D．9【答案】C【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，則，∵，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，則∠OAB＝30°，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴AD＝DB，在Rt△AOD中，∴∴，故選：C．【變式6-1】（2023春?定海區(qū)校級月考）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且CE＝2，DE＝8，則AB的長為（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【解答】解：∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝CE+DE＝10，∴，∴OC＝OB＝5，∴OE＝OC﹣CE＝5﹣2＝3，∵AB⊥CD，∴△OBE為直角三角形，∴BE2＝OB2﹣OE2＝52﹣32＝16，∴BE＝4，∵CD為直徑，AB⊥CD，∴AB＝2BE＝8．故選：D【變式6-2】（2023?蒙城縣模擬）如圖，在△ABC中，已知∠ACB＝135°，∠BAC＝15°，以點(diǎn)C為圓心、CB長為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，AD＝2，則BD的長為（）A． B． C． D．4【答案】A【解答】解：如圖，作CE⊥AB于E．連接CD，則CD＝CB，∴，∠B＝∠CDB，∵∠ACB＝135°，∠BAC＝15°，∴∠B＝180°﹣135°﹣15°＝30°，在Rt△BCE中，設(shè)CE＝x，∴BC＝2x＝CD，，∠CDE＝∠B＝30°，∴∠ACD＝30°﹣15°＝15°＝∠A，∴CD＝AD＝2＝2x，∴x＝1，∴．故選：A．【變式6-3】（2023?禮泉縣二模）如圖，點(diǎn)A，B，C均在⊙O上，連接AB、BC、AC，過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為4，∠A＝60°，則弦BC的長是（）A．2 B．2 C．4 D．4【答案】C【解答】解：連接OB，OC，∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠BOD＝∠BOC，BC＝2BD，∵∠A＝∠BOC，∴∠BOD＝∠A＝60°，∴OD＝OB＝×4＝2，∴BD＝＝＝2，∴BC＝2×2＝4．故選：C．1．（2023?杭州）如圖，在⊙O中，半徑OA，OB互相垂直，點(diǎn)C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，則∠BAC＝（）A．23° B．24° C．25° D．26°【答案】D【解答】解：連接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，∵半徑OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BAC＝∠BOC＝26°，故選：D．2．（2023?黔東南州二模）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，則∠AOB等于（）A．100° B．110° C．120° D．140°【答案】D【解答】解：∵∠C＝110°，∴優(yōu)弧所對的圓心角為2∠C＝220°，∴∠AOB＝360°﹣220°＝140°，故選：D．3．（2023?南充）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D，M分別是弦AC，弧AC的中點(diǎn)，AC＝12，BC＝5，則MD的長是．【答案】4．【解答】解：∵點(diǎn)M是弧AC的中點(diǎn)，∴OM⊥AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，∵AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，∴OM＝6.5，∵點(diǎn)D是弦AC的中點(diǎn)，∴OD＝BC＝2.5，OD∥BC，∴OD⊥AC，∴O、D、M三點(diǎn)共線，∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．故答案為：4．4．（2023?九龍坡區(qū)自主招生）如圖，AB是半徑為8的⊙O的弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，∠ACB＝60°，則弦AB的長度是（）A．8 B．4 C．4 D．8【答案】D【解答】解：如圖所示，連接CO，AO，并延長CO，交AB于點(diǎn)D，∵點(diǎn)C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，AD＝BD，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠AOB＝60°，∴AD＝OA?coa∠AOB＝8×coa60°＝＝4，∴AB＝2AD＝8．故選：D．5．（2023?大安市校級二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且CO⊥AB于點(diǎn)O，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，連接AD，若∠A＝19°，則∠AEC的度數(shù)為（）A．19° B．21° C．26° D．64°【答案】D【解答】解：∵，∴，∵CO⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴，∴∠AEC＝∠A+∠ADC＝19°+45°＝64°．故選：D．6．（2023?禮泉縣一模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足為M，連接AD．若AB＝8，CD＝4，則AD的長為（）A．10 B．5 C． D．【答案】C【解答】解：連接OD，∵AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，AB＝8，CD＝4，∴OA＝OD＝AB＝×8＝4，MD＝CD＝×4＝2，在Rt△ODM中，OM＝＝＝2，∴AM＝OA+OM＝4+2＝6，在Rt△AMD中，AD＝＝＝4．故選：C．7．（2023?梁溪區(qū)模擬）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，AD、BC的延長線相交于點(diǎn)E，AF為直徑，連接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，則∠CBF的度數(shù)為（）A．16° B．24° C．12° D．14°【答案】D【解答】解：∵AF為圓的直徑，∴∠ABF＝90°，＝，∵＝，∴＝，∴∠DAF＝∠BAF＝32°，∴∠BAD＝64°，∵∠E＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．故選：D．8．（2023?膠州市模擬）如圖，∠DCE是⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角，若∠DCE＝80°，那么∠BOD的度數(shù)為（）A．160° B．135° C．80° D．40°【答案】A【解答】解：∵∠DCE+∠BCD＝180°，∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠BCD，∵∠BCD＝80°，∴∠A＝80°，∴∠BOD＝160°．故選：A．9．（2023?武漢）?如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠ACB＝2∠BAC．（1）求證：∠AOB＝2∠BOC；（2）若AB＝4，，求⊙O的半徑．【答案】（1）證明過程見答案；（2）．【解答】（1）證明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，∴∠AOB＝2∠BOC；（2）解：過點(diǎn)O作半徑OD⊥AB于點(diǎn)E，∴AE＝BE，∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝∠AOB，∴∠DOB＝∠BOC．∴BD＝BC．∵AB＝4，，∴BE＝2，，在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∴，在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB2＝（OB﹣1）2+22，解得，即⊙O的半徑是．1．（2023?順城區(qū)三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠ABD＝20°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】C【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝90°﹣20°＝70°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣70°＝110°，故選：C．2．（2023?乾縣一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，且∠ACD＝22.5°，CD＝4，則⊙O的半徑長為（）A．2 B．2 C．4 D．10【答案】B【解答】解：連接OD，如圖所示：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD＝4，∴CE＝DE＝CD＝2，∵∠ACD＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，∴△DOE為等腰直角三角形，∴OD＝DE＝2，即⊙O的半徑為2，故選：B．3．（2022秋?增城區(qū)校級期末）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E．如果∠B＝60°，AB＝4，那么CD的長為（）A．8 B．6 C．6 D．6【答案】D【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝60°，AB＝4，∴BC＝ABcos60°＝2，∵AB⊥CD，∴CE＝BC?sin60°＝2×＝3，∴CD＝2CE＝6．故選：D．4．（2023?山西模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，則∠AOC的度數(shù)為（）?A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】D【解答】解：∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠BAD＝110°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣110°＝70°，由圓周角定理得∠AOC＝2∠D＝140°，故選：D．5．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上兩點(diǎn)，∠A＝∠BOD＝34°，則∠CBD＝（）A．129° B．128° C．109° D．99°【答案】A【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝34°，∴∠ABC＝90°﹣34°＝56°．∵∠BOD＝34°，∴∠OBD＝＝73°，∴∠CBD＝∠ABC+∠OBD＝56°+73°＝129°．故選：A．6．（2023春?江津區(qū)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，CD⊥AB，連接OD，若∠CAB＝25°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．40° D．50°【答案】D【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∵∠CAB＝25°，∴∠B＝65°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∵∠B＝65°，∴∠BCD＝25°，∴∠BOD＝2∠BCD＝50°，故選：D．7．（2023?萊蕪區(qū)模擬）如圖，A，B，C是⊙O上的三個點(diǎn)，若，∠ACB＝45°，則⊙O的半徑為（）A．1 B．2 C．21 D．3【答案】A【解答】解：延長AO，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，則：∠ABD＝90°，∠ADB＝∠ACB＝45°，∴∠DAB＝90°﹣∠ADB＝45°，∴，∴，∴⊙O的半徑為．故選：A．8．（2022秋?南山區(qū)校級期末）如圖，半圓O的直徑AB＝10，弦AC＝6，AD平分∠BAC，則AD的長為（）A．3 B． C． D．12【答案】C【解答】解：連接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠AFO＝∠OED＝90°，，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠COD＝∠BOD，∴，∴∠DOB＝∠BAC＝2∠BAD，在△AOF和△OED中，，∴△AOF≌△ODE（AAS），∴OE＝AF，∵AC＝6，∴，∵AB＝10，∴OD＝AO＝5，∴AE＝8，在Rt△DOE中，，在Rt△ADE中，．故選：C．9．（2022秋?黃埔區(qū)期末）如圖，在半徑為3的⊙O中，點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧BC上一點(diǎn)，且∠D＝30°，則BC的長度是（）A．3 B． C． D．【答案】C【解答】解：如圖：∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，∴OA⊥BC，∵∠D＝30°，∴∠AOC＝2∠D＝60°，而OA＝OC，∴AC為等邊三角形，∵△O點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，∴∠COD＝60°，∴BC＝2CD＝2OC?sin∠COD，∴BC＝2×3×＝3，故選：C．10．（2023?樂東縣二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O，AB為半圓O的直徑，連接OC，若點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∠BCD＝140°，則∠ABC的度數(shù)為70°．【答案】70．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD