第03講 勾股定理應(yīng)用（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（蘇科版）

第第頁(yè)第03講勾股定理應(yīng)用1.利用勾股定理及逆定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。2.通過(guò)觀察圖形，探索圖形間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念．知識(shí)點(diǎn)1：勾股定理應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．本專題分類進(jìn)行鞏固解決以下生活實(shí)際問(wèn)題類型一、應(yīng)用勾股定理解決梯子滑落高度問(wèn)題類型二、應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度類型三、應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行的距離類型四、應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前的高度類型五、應(yīng)用勾股定理解決水杯中的筷子問(wèn)題類型六、應(yīng)用勾股定理解決航海問(wèn)題類型七、應(yīng)用勾股定理解決河的寬度類型八、應(yīng)用勾股定理解決汽車是否超速問(wèn)題類型九、應(yīng)用勾股定理解決是否受臺(tái)風(fēng)影響問(wèn)題類型十、應(yīng)用勾股定理解決選扯距離相離問(wèn)題類型十一、應(yīng)用勾股定理解決幾何圖形中折疊問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)2：平面展開圖-最短路徑問(wèn)題幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解【題型1應(yīng)用勾股定理解決梯子滑落高度問(wèn)題】【典例1】（2022秋?萊西市期末）在某風(fēng)景游船處，如圖，在離水面高度為5m的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為13m，此人以0.5m/s的速度收繩．10s后船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，此時(shí)船距離岸邊多少m？（結(jié)果保留根號(hào)）【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴（m），∵此人以0.5m/s的速度收繩，10s后船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，∴CD＝13﹣0.5×10＝8（m），∴（m），∴）（m）．答：船向岸邊移動(dòng)了）m．【變式1-1】（2022秋?中寧縣期末）一根電線桿在一次臺(tái)風(fēng)中從離地面3米處折斷倒下，桿頂端落在離該電線桿底端4米處，請(qǐng)問(wèn)電線桿在折斷之前有多高？【解答】解：由勾股定理得斜邊為＝5（米），則原來(lái)的高度為3+5＝8（米）．答：電線桿在折斷之前高8米．【變式1-2】（2021秋?農(nóng)安縣期末）如圖，一架長(zhǎng)為5米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻ON上，梯子底端距離墻ON有3米．（1）求梯子頂端與地面的距離OA的長(zhǎng)．（2）若梯子頂點(diǎn)A下滑1米到C點(diǎn)，求梯子的底端向右滑到D的距離．【答案】（1）4米（2）1米【解答】解：（1）AO＝＝4米；OD＝＝4米，BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1米．【題型2應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度】【典例2】八（2）班數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)升旗的繩子垂到地面要多1米，當(dāng)他們把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面．你能將旗桿的高度求出來(lái)嗎？【解答】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，由題可以知道,旗桿,繩子與地面構(gòu)成直角三角形,根據(jù)題中數(shù)據(jù),用勾股定理即可解答.設(shè)旗桿高xm，則繩子長(zhǎng)為（x+1）m，∵旗桿垂直于地面，∴旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，由題意列式為x2+52=（x+1）2，解得x=12m，所以旗桿的高度為12米．【變式2-1】如圖，學(xué)校要測(cè)量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1），同學(xué)們首先測(cè)量了多出的這段繩子長(zhǎng)度為1米，再將繩子拉直（如圖2），測(cè)出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米，求旗桿的高度．【解答】解：設(shè)旗桿的高度AB為x米，則繩子AC的長(zhǎng)度為（x+1）米，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗桿的高度為12米．【變式2-2】數(shù)學(xué)綜合實(shí)驗(yàn)課上，同學(xué)們?cè)跍y(cè)量學(xué)校旗桿的高度時(shí)發(fā)現(xiàn)：將旗桿頂端升旗用的繩子垂到地面還多2米；當(dāng)把繩子的下端拉開8米后，下端剛好接觸地面，如圖，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，同學(xué)們準(zhǔn)確求出了旗桿的高度，你知道他們是如何計(jì)算出來(lái)的嗎？【解答】解：設(shè)旗桿高AB=xm，則繩子長(zhǎng)為AC=(x+2)m.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，所以x2+82=(x+2)2.解得x=15m.所以旗桿的高度為15米．【題型3應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行的距離】【典例3】（2020秋?亭湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問(wèn)小鳥至少飛行多少米．【解答】解：如圖，設(shè)大樹高為AB＝12m，小樹高為CD＝6m，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥AB于E，則EBDC是矩形，連接AC，∴EB＝CD＝6m，EC＝BD＝8m，AE＝AB﹣EB＝12﹣6＝6m，在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m，故小鳥至少飛行10m．【變式3-2】如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請(qǐng)問(wèn)它飛行的最短路程是多少米？（先畫出示意圖，然后再求解）．【解答】解：如圖所示，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB，垂足為E∵AB=13，CD=8又∵BE=CD，DE=BC∴AE=AB-BE=AB-CD=13-8=5∴在Rt△ADE中，DE=BC=12∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169∴AD=13（負(fù)值舍去）答：小鳥飛行的最短路程為13m．【題型4應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前的高度】【典例4】“風(fēng)吹樹折”問(wèn)題又稱為“折竹抵地”，源自《九章算術(shù)》，原文為∶“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.問(wèn)折者高幾何?”意思是∶一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，則折斷后的竹子高度為多少尺?（1丈=10尺）【解答】設(shè)折斷后的竹子高度為x尺，則被折斷的竹子長(zhǎng)度為（10—x）尺.由勾股定理得x2＋32=（10—x）2，解得x=4.55.答∶折斷后竹子的高度是4.55尺【變式4-1】如圖，一棵大樹在離地面9米高的B處斷裂，樹頂A落在離樹底BC的12米處，則大樹斷裂之前的高度為（）A．9米 B．15米 C．21米 D．24米【答案】D【解答】解：由題意得BC＝9，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB＝＝15米．所以大樹的高度是15+9＝24米．故選：D．【變式4-2】（2021秋?廣南縣期末）如圖，一棵豎直生長(zhǎng)的竹子高為8米，一陣強(qiáng)風(fēng)將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．【答案】3米【解答】解：由題意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，∴設(shè)BC長(zhǎng)為x米，則AC長(zhǎng)為（8﹣x）米，∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，即：x2+16＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴竹子折斷處C與根部的距離CB為3米．【題型5應(yīng)用勾股定理解決水杯中的筷子問(wèn)題】【典例5】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，水池中離岸邊D點(diǎn)4米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是2米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，則水池的深度AC為多少米．【解答】解：設(shè)水池的深度為x米，由題意得：x2+42＝（x+2）2，解得：x＝3．答：水池的深度為3米．【變式5-1】（2022秋?任城區(qū)期中）如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅蓮，它高出水面30cm．突然一陣大風(fēng)吹過(guò)，紅蓮被吹至一邊，花朵下部剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動(dòng)的水平距離為60cm，求水深是多少cm？【解答】解：設(shè)水深為hcm，由題意得：在Rt△ABC中，AB＝hcm，AC＝（h+30）cm，BC＝60cm，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，即（h+30）2＝h2+602，解得：h＝45．答：水深是45cm．【變式5-2】小芳在喝易拉罐飲料的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)如果沿著罐內(nèi)壁豎直放置吸管，露在外面部分厘米；如果盡最大長(zhǎng)度往里放置，吸管正好和罐頂持平，已知易拉罐的底部是直徑為8厘米的圓，請(qǐng)你求出吸管的長(zhǎng)度.【解答】解：設(shè)吸管長(zhǎng)度為x,則易拉罐高BC為x-2,在中，由勾股定理可得：即：解得：即吸管的長(zhǎng)度為17厘米.【題型6應(yīng)用勾股定理解決航海問(wèn)題】【典例6】（2021八上·綠園期末）如圖，甲乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以16海里/時(shí)速度向北偏東40°航行，乙船向南偏東50°航行，3小時(shí)后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島．若C、B兩島相距60海里，問(wèn)乙船的航速是多少．【答案】解：根據(jù)題意，得∠CAB=180°-40°-50°=90°，∵AC=16×3=48（海里），BC=60海里，∴在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB=60則乙船的速度是36÷3=12海里/時(shí)．【變式6-1】（2021秋?臥龍區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，甲漁船以8海里/時(shí)的速度離開港口O向東北方向航行，乙漁船以6海里/時(shí)的速度離開港口O向西北方向航行，他們同時(shí)出發(fā)，一個(gè)半小時(shí)后，甲、乙兩漁船相距（）A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里【答案】D【解答】解：由題意可得：BO＝1.5×6＝9（海里），AO＝1.5×8＝12（海里），∠1＝∠2＝45°，故∠AOB＝90°，∴AB＝＝15（海里），答：甲、乙兩漁船相距15海里，故選：D．【變式6-2】（2021秋?綠園區(qū)期末）如圖，甲乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以16海里/時(shí)速度沿北偏東40°方向航行，乙船沿南偏東50°方向航行，3小時(shí)后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島．若C、B兩島相距60海里，問(wèn)：乙船的航速是多少？【答案】12海里/時(shí)【解答】解：∵甲船沿北偏東40°方向航行，乙船沿南偏東50°方向航行，∴∠CAB＝90°，∵AB＝16×3＝48，BC＝60，∴AC＝＝36，∴乙船的航速是36÷3＝12海里/時(shí)，答：乙船的航速是36÷3＝12海里/時(shí)．【題型7應(yīng)用勾股定理解決河的寬度】【典例7】（2022春?蘭山區(qū)期末）在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于某種原由，C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A，H，B在一條直線上），并新修一條路CH，測(cè)得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km．求原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)．【解答】解：∵CH2+BH2＝2.42+1.82＝9，BC2＝32＝9，∴CH2+BH2＝BC2，∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，∴∠CHA＝90°，∴AC2＝AH2+CH2，∵AB＝AC，∴AH＝AB﹣HB＝AC﹣1.8，∴AC2＝（AC﹣1.8）2+2.42，解得：AC＝2.5，答：原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)為2.5km．【變式7】如圖，點(diǎn)A是華清池景點(diǎn)所在位置，游客可以在游客觀光車站B或C處乘車前往，且AB＝BC，因道路施工，點(diǎn)C到點(diǎn)A段現(xiàn)暫時(shí)封閉，為方便出行，在BC這條路上的D處修建了一個(gè)臨時(shí)車站，由D處亦可直達(dá)A處，若AC＝1km，AD＝0.8km，CD＝0.6km．（1）判斷△ACD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求路線AB的長(zhǎng)．【解答】解：（1）△ACD是直角三角形．理由如下：∵AC＝1km，AD＝0.8km，CD＝0.6km，∴AC2＝1，AD2＝0.82＝0.64，CD2＝0.62＝0.36，∴AC2＝AD2+CD2，∴△ACD是直角三角形；（2）∵△ACD是直角三角形，∴AD⊥BC．設(shè)AB＝BC＝xkm，則BD＝BC﹣DC＝（x﹣0.6）km，由勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，即x2＝0.82+（x﹣0.6）2，解得x＝，∴AB＝km．【題型8應(yīng)用勾股定理解決汽車是否超速問(wèn)題】【典例8】（2021八上·葉縣期末）某條道路限速70km/?,如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀A處的正前方30m的C處，過(guò)了2s后，小汽車到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小汽車與車速測(cè)檢測(cè)儀間的距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？【解答】解：在RtΔABC中，BC===40米v=s÷t=40÷2=20m/s，20m/s=72km/?，所以小汽車超速了.【變式8】“某市道路交通管理?xiàng)l例“規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過(guò)60千米/時(shí)，如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面對(duì)車速檢測(cè)儀A正前方24米的C處，過(guò)了1.5秒后到達(dá)B處（BC⊥AC），測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離AB為40米，請(qǐng)問(wèn)這輛小汽車是否超速？若超速，則超速了多少？【解答】解：根據(jù)題意，得AC＝24m，AB＝40m，∠C＝90°，在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理，BC2＝AB2﹣AC2＝402﹣242＝322，所以BC＝32m，小汽車1.5秒行駛32米，則1小時(shí)行駛76800（米），即小汽車行駛速度為76.8千米/時(shí)，因?yàn)?6.8＞60，所以小汽車已超速行駛【題型9應(yīng)用勾股定理解決是否受臺(tái)風(fēng)影響問(wèn)題】【典例9】（2022秋?慶云縣期中）如圖，MN是一條鐵路，點(diǎn)A是居民區(qū)，火車位于P處時(shí)，測(cè)得居民區(qū)A位于P的北偏西30°方向上，火車行駛200米到達(dá)點(diǎn)Q，此時(shí)測(cè)得居民區(qū)A位于Q的北偏西60°方向上．（1）求火車在Q處時(shí)距離居民區(qū)A的距離？（2）若200米范圍內(nèi)，會(huì)對(duì)居民區(qū)有噪音影響，求如果火車的行駛速度是72km/h，求居民區(qū)受影響的時(shí)間是多少秒？【解答】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作AB垂直MN于點(diǎn)B，∵∠APQ＝30°，∠AQB＝60°，∴∠BAQ＝90°﹣∠AQB＝30°，∠PAB＝90°﹣∠APQ＝60°，∴∠AQP＝∠PAB﹣∠QAB＝30°，∴∠QAP＝∠QPA，∴AQ＝PQ＝200米，答：火車在Q處時(shí)距離居民區(qū)A的距離是200米．（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AB垂直MN于點(diǎn)B，延長(zhǎng)QB至點(diǎn)C使BC＝QB，∴AB是CQ的垂直平分線，∴AC＝AQ＝200米，∴受影響路段為CQ，∵AQ＝AC，∠AQC＝60°，∴△AQC為等邊三角形，∴QC＝AQ＝200米，速度：72km/h＝20m/s，∴時(shí)間：200÷20＝10s，答：居民區(qū)受影響的時(shí)間是10s．【變式9】（2020秋?成都期中）臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿AB由點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？（2）若臺(tái)風(fēng)的速度為25km/h，臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？【答案】（1）海港C受到臺(tái)風(fēng)影響（2）5.6小時(shí)【解答】解：（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB∴300×400＝500×CD∴CD＝＝240（km）∵以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C受到臺(tái)風(fēng)影響．（2）當(dāng)EC＝250km，F(xiàn)C＝250km時(shí)，正好影響C港口，∵ED＝＝70（km），∴EF＝140km∵臺(tái)風(fēng)的速度為25km/h，∴140÷25＝5.6（小時(shí)）即臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為5.6小時(shí)．【題型10應(yīng)用勾股定理解決選扯距離相離問(wèn)題】【典例10】（武漢）如圖，在筆直的鐵路上A，B兩點(diǎn)相距20km，C，D為兩村莊，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求AE的長(zhǎng)．【答案】E應(yīng)建在距A點(diǎn)13.3km【解答】解：設(shè)AE＝x，則BE＝20﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，由題意可知：DE＝CE，所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3所以，E應(yīng)建在距A點(diǎn)13.3km．【變式10】（2021秋?吉安期中）鐵路上A，B兩站（視為直線上的兩點(diǎn)）相距25km，C，D為兩村莊（視為兩個(gè)點(diǎn)），DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B（如圖），已知DA＝10km，CB＝15km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站E，使得C，D兩村莊到收購(gòu)站E的直線距離相等，請(qǐng)求出收購(gòu)站E到A站的距離．【答案】10米【解答】解：∵C、D兩村到E站距離相等，∴CE＝DE，在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，∴AD2+AE2＝BE2+BC2．設(shè)AE為xkm，則BE＝（25﹣x）km，將BC＝10，DA＝15代入關(guān)系式為x2+152＝（25﹣x）2+102，整理得，50x＝500，解得x＝10，∴E站應(yīng)建在距A站10km處．【題型11應(yīng)用勾股定理解決幾何圖形中折疊問(wèn)題】【典例11】（2020春?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在邊CD上取一點(diǎn)E，將△ADE折疊后點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處（1）求CE的長(zhǎng)；（2）在（1）的條件下，BC邊上是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PE值最小？若存在，請(qǐng)求出最小值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（1）長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，BC＝10∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10由折疊知，EF＝DE，AF＝AD＝8在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得，BF=AF∴CF＝BC﹣BF＝4設(shè)CE＝x，則EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理得，CF2+CE2＝EF2∴16+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CE＝3（2）如圖，延長(zhǎng)EC至E'使CE'＝CE＝3，連接AE'交BC于P此時(shí)，PA+PE最小，最小值為AE'∵CD＝8，∴DE'＝CD+CE'＝8+3＝11在Rt△ADE'中，根據(jù)勾股定理得，AE'=【變式11】如圖所示，折疊長(zhǎng)方形一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF與FC的長(zhǎng)．（2）求EC的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵△ADE折疊后的圖形是△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF．∵AD＝BC＝10cm，∴AF＝AD＝10cm．又∵AB＝8cm，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理，得AB2+BF2＝AF2∴82+BF2＝102，∴BF＝6cm，∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．（2）設(shè)EC的長(zhǎng)為xcm，則DE＝（8﹣x）cm．在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2，∴42+x2＝（8﹣x）2，即16+x2＝64﹣16x+x2，化簡(jiǎn)，得16x＝48，∴x＝3，故EC的長(zhǎng)為3cm【題型12平面展開圖-最短路徑問(wèn)題】【典例12】（2022秋?汝州市期末）葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽(yáng)光，其常繞著附近的樹干沿最短路線盤旋而上．現(xiàn)有一段葛藤繞樹干盤旋2圈升高為2.4m，如果把樹干看成圓柱體，其底面周長(zhǎng)是0.5m，如圖是葛藤盤旋1圈的示意圖，則這段葛藤的長(zhǎng)是（）m．A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8【答案】C【解答】解：∵葛藤繞樹干盤旋2圈升高為2.4m，∴葛藤繞樹干盤旋1圈升高為1.2m，如圖所示：AC＝＝＝1.3（m）．∴這段葛藤的長(zhǎng)＝2×1.3＝2.6（m）．故選：C．【變式12】（2022秋?普寧市期末）如圖，圓柱的底面半徑為cm，AC是底面圓的直徑，點(diǎn)P是BC上一點(diǎn)，且PC＝4cm，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是（）A．4cm B．2cm C．5cm D．10cm【答案】B【解答】解：側(cè)面展開圖如圖所示：∵圓柱的底面半徑為cm，∴圓柱的底面周長(zhǎng)為12cm，∴AC′＝6cm．在Rt△ACP中，AP＝＝2（cm）．故選：B．【題型13幾何展開】【典例13】（2021秋?泗縣期末）如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為4cm，側(cè)棱長(zhǎng)為6cm，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿棱柱外表面到點(diǎn)C'處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是（）A．2cm B．14cm C．（2+4）cm D．10cm【答案】D【解答】解：當(dāng)沿著平面ABB'A'、平面A'B'C'D'爬行時(shí)，如圖所示，AC'＝＝2（cm），當(dāng)沿著平面ABB'A'、平面BB'C'C爬行時(shí)，AC'＝＝10（cm），因?yàn)?0＜2，所以螞蟻需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是10cm，故選：D．【變式13】正方體盒子的棱長(zhǎng)為2，BC的中點(diǎn)為M，一只螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的最短距離為（）A． B． C．5 D．2+【答案】A【解答】解：展開正方體的點(diǎn)M所在的面，∵BC的中點(diǎn)為M，所以MC＝BC＝1，在直角三角形中AM＝＝．故選：A．【題型14樓梯展開】【典例14】（2022春?連江縣期中）如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為8dm、3dm、2dm．A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（）A．15dm B．17dm C．20dm D．25dm【答案】B【解答】解：三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為8dm，寬為（2+3）×3dm，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xdm，由勾股定理得：x2＝82+[（2+3）×3]2＝172，解得x＝17．故選：B．【變式14】如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)長(zhǎng)、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是米．【答案】2.5【解答】解：三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為2，寬為（0.2+0.3）×3，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為x，由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，解得x＝2.5．1．（2023?株洲）《周禮?考工記》中記載有：“…半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）．問(wèn)題：圖（1）為中國(guó)古代一種強(qiáng)弩圖，圖（2）為這種強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，則∠C＝22.5度．?【答案】22.5．【解答】解：∵1宣＝矩，1欘＝1宣，1矩＝90°，∠A＝1矩，∠B＝1欘，∴∠A＝90°，∠B＝1××90°＝67.5°，∴∠C＝180°﹣90°﹣∠B＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°，故答案為：22.5．2．（2021?襄陽(yáng)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲?，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深幾何．”（丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈＝10尺）其大意為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度是多少？則水深為（）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【答案】C【解答】解：設(shè)水深為h尺，則蘆葦長(zhǎng)為（h+1）尺，根據(jù)勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，解得h＝12，∴水深為12尺，故選：C．3．（2022?泰州）如圖所示的象棋盤中，各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復(fù)路線，按照“馬走日”的規(guī)則，走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最短距離為．【答案】．【解答】解：如圖，第一步到①，第二步到②，故走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最短距離為＝，故答案為：．4．（2021?玉林）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時(shí)分別航行12海里和16海里，1小時(shí)后兩船分別位于點(diǎn)A，B處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，則乙船沿北偏東50°方向航行．【答案】北偏東50°．【解答】解：由題意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，∵122+162＝202，∴△APB是直角三角形，∴∠APB＝90°，由題意知∠APN＝40°，∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，即乙船沿北偏東50°方向航行，故答案為：北偏東50°．1．（2022春?雨花區(qū)期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米【答案】C【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．故選：C．2．（2022?松北區(qū)三模）如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔P的距離為30海里的A處，輪船沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則此時(shí)輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為（）A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里【答案】D【解答】解：由題意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，故AB＝2AP＝60（海里），則此時(shí)輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為：BP＝＝30（海里）故選：D．3．（2022春?什邡市校級(jí)期中）如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長(zhǎng)度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）范圍是（）A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13【答案】A【解答】解：a的最小長(zhǎng)度顯然是圓柱的高12，最大長(zhǎng)度根據(jù)勾股定理，得：＝13．即a的取值范圍是12≤a≤13．故選：A．4．（2022春?天橋區(qū)期末）如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面5m處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，旗桿折斷之前的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m【答案】D【解答】解：旗桿折斷后，落地點(diǎn)與旗桿底部的距離為12m，旗桿離地面5m折斷，且旗桿與地面是垂直的，所以折斷的旗桿與地面形成了一個(gè)直角三角形．根據(jù)勾股定理，折斷的旗桿為＝13m，所以旗桿折斷之前高度為13m+5m＝18m．故選：D．5．（2022春?潮安區(qū)校級(jí)月考）如圖，在高3米，坡面線段距離AB為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯長(zhǎng)度至少需7米．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：將樓梯表面向下和右平移，則地毯的總長(zhǎng)＝兩直角邊的和，已知AB＝5米，AC＝3米，且在直角△ABC中，AB為斜邊，則BC＝＝4米，則AC+BC＝3+4＝7米．故答案為：7．6．（2022春?連平縣校級(jí)期末）如圖，長(zhǎng)為8cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，然后把中點(diǎn)C向上拉升3cm到D，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了2cm．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；根據(jù)勾股定理，得：AD＝＝5cm；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；故橡皮筋被拉長(zhǎng)了2cm．7．（2022?拱墅區(qū)模擬）無(wú)蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長(zhǎng)為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有5cm．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意可得：杯子內(nèi)的筷子長(zhǎng)度為：＝15（cm），則筷子露在杯子外面的筷子長(zhǎng)度為：20﹣15＝5（cm）．故答案為：5．8．（2022春?玉林期末）一架梯子長(zhǎng)25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意得：AC＝25米，BC＝7米，AB＝＝24（米），答：這個(gè)梯子的頂端距地面有24米；（2）由題意得：BA′＝20米，BC′＝＝15（米），則：CC′＝15﹣7＝8（米），答：梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米．9．（2022春?榮縣校級(jí)月考）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車速，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到公路l的距離為100米的P處．這時(shí)，一輛富康轎車由西向東勻速駛來(lái)，測(cè)得此車從A處行駛到B處所用的時(shí)間為3秒，并測(cè)得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，試判斷此車是否超過(guò)了每小時(shí)80千米的限制速度？（參考數(shù)據(jù)：＝1.41，＝1.73）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意知：PO＝100米，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，在直角三角形BPO中，∵∠BPO＝45°，∴BO＝PO＝100m在直角三角形APO中，∵∠APO＝60°，∴AO＝PO?tan60°＝100∴AB＝AO﹣BO＝（100﹣100）≈73米，∵從A處行駛到B處所用的時(shí)間為3秒，∴速度為73÷3≈24.3米/秒＝87.6千米/時(shí)＞80千米/時(shí)，∴此車超過(guò)每小時(shí)80千米的限制速度．10．（2022春?綏棱縣校級(jí)月考）已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，問(wèn)要多少投入？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：連接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°，S四邊形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝，＝＝36．所以需費(fèi)用36×200＝7200（元）．11．（2022春?五峰縣期末）如圖，小穎和她的同學(xué)蕩秋千，秋千AB在靜止位置時(shí)，下端B′離地面0.6m，蕩秋千到AB的位置時(shí)，下端B距靜止位置的水平距離EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的長(zhǎng)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)AB＝AB′＝xm，由題意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），則AE＝AB﹣0.8，在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2解得：x＝4，答：秋千AB的長(zhǎng)為4m．12．（2022春?蓬江區(qū)校級(jí)月考）如圖，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域．（1）A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由A點(diǎn)向BF作垂線，垂足為C，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，則AC＝160km，因?yàn)?60＜200，所以A城要受臺(tái)風(fēng)影響；（2）設(shè)BF上點(diǎn)D，G，使AD＝AG＝200千米，∴△ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分線，∴CD＝GC，在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，由勾股定理得，CD＝＝＝120千米，則DG＝2DC＝240千米，遭受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是：t＝240÷40＝6（小時(shí)）．13．（2022秋?詔安縣期中）如圖，筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C、D兩村到收購(gòu)站E的距離相等，則收購(gòu)站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵使得C，D兩村到E站的距離相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，設(shè)AE＝xkm，則BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）km．∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km，∴收購(gòu)站E應(yīng)建在離A點(diǎn)10km處．14．（2022秋?建鄴區(qū)校級(jí)期中）如圖，在一棵樹CD的10m高處的B點(diǎn)有兩只猴子，它們都要到A處池塘邊喝水，其中一只猴子沿樹爬下走到離樹20m處的池塘A處，另一只猴子爬到樹頂D后直線躍入池塘的A處．如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的路程相等，試問(wèn)這棵樹多高？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)BD高為x，則從B點(diǎn)爬到D點(diǎn)再直線沿DA到A點(diǎn)，走的總路程為x+AD，其中AD＝而從B點(diǎn)