第03講 勾股定理應(yīng)用（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊（蘇科版）

第第頁第03講勾股定理應(yīng)用1.利用勾股定理及逆定理解決生活中的實際問題。2.通過觀察圖形，探索圖形間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念．知識點1：勾股定理應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論．本專題分類進行鞏固解決以下生活實際問題類型一、應(yīng)用勾股定理解決梯子滑落高度問題類型二、應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度類型三、應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行的距離類型四、應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前的高度類型五、應(yīng)用勾股定理解決水杯中的筷子問題類型六、應(yīng)用勾股定理解決航海問題類型七、應(yīng)用勾股定理解決河的寬度類型八、應(yīng)用勾股定理解決汽車是否超速問題類型九、應(yīng)用勾股定理解決是否受臺風(fēng)影響問題類型十、應(yīng)用勾股定理解決選扯距離相離問題類型十一、應(yīng)用勾股定理解決幾何圖形中折疊問題知識點2：平面展開圖-最短路徑問題幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點之間線段最短確定最短路線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解【題型1應(yīng)用勾股定理解決梯子滑落高度問題】【典例1】（2022秋?萊西市期末）在某風(fēng)景游船處，如圖，在離水面高度為5m的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13m，此人以0.5m/s的速度收繩．10s后船移動到點D的位置，此時船距離岸邊多少m？（結(jié)果保留根號）【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴（m），∵此人以0.5m/s的速度收繩，10s后船移動到點D的位置，∴CD＝13﹣0.5×10＝8（m），∴（m），∴）（m）．答：船向岸邊移動了）m．【變式1-1】（2022秋?中寧縣期末）一根電線桿在一次臺風(fēng)中從離地面3米處折斷倒下，桿頂端落在離該電線桿底端4米處，請問電線桿在折斷之前有多高？【解答】解：由勾股定理得斜邊為＝5（米），則原來的高度為3+5＝8（米）．答：電線桿在折斷之前高8米．【變式1-2】（2021秋?農(nóng)安縣期末）如圖，一架長為5米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻ON上，梯子底端距離墻ON有3米．（1）求梯子頂端與地面的距離OA的長．（2）若梯子頂點A下滑1米到C點，求梯子的底端向右滑到D的距離．【答案】（1）4米（2）1米【解答】解：（1）AO＝＝4米；OD＝＝4米，BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1米．【題型2應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度】【典例2】八（2）班數(shù)學(xué)課外活動小組的同學(xué)測量學(xué)校旗桿的高度時，發(fā)現(xiàn)升旗的繩子垂到地面要多1米，當(dāng)他們把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面．你能將旗桿的高度求出來嗎？【解答】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，由題可以知道,旗桿,繩子與地面構(gòu)成直角三角形,根據(jù)題中數(shù)據(jù),用勾股定理即可解答.設(shè)旗桿高xm，則繩子長為（x+1）m，∵旗桿垂直于地面，∴旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，由題意列式為x2+52=（x+1）2，解得x=12m，所以旗桿的高度為12米．【變式2-1】如圖，學(xué)校要測量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1），同學(xué)們首先測量了多出的這段繩子長度為1米，再將繩子拉直（如圖2），測出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米，求旗桿的高度．【解答】解：設(shè)旗桿的高度AB為x米，則繩子AC的長度為（x+1）米，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗桿的高度為12米．【變式2-2】數(shù)學(xué)綜合實驗課上，同學(xué)們在測量學(xué)校旗桿的高度時發(fā)現(xiàn)：將旗桿頂端升旗用的繩子垂到地面還多2米；當(dāng)把繩子的下端拉開8米后，下端剛好接觸地面，如圖，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，同學(xué)們準確求出了旗桿的高度，你知道他們是如何計算出來的嗎？【解答】解：設(shè)旗桿高AB=xm，則繩子長為AC=(x+2)m.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，所以x2+82=(x+2)2.解得x=15m.所以旗桿的高度為15米．【題型3應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行的距離】【典例3】（2020秋?亭湖區(qū)校級期中）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行多少米．【解答】解：如圖，設(shè)大樹高為AB＝12m，小樹高為CD＝6m，過C點作CE⊥AB于E，則EBDC是矩形，連接AC，∴EB＝CD＝6m，EC＝BD＝8m，AE＝AB﹣EB＝12﹣6＝6m，在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m，故小鳥至少飛行10m．【變式3-2】如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請問它飛行的最短路程是多少米？（先畫出示意圖，然后再求解）．【解答】解：如圖所示，過D點作DE⊥AB，垂足為E∵AB=13，CD=8又∵BE=CD，DE=BC∴AE=AB-BE=AB-CD=13-8=5∴在Rt△ADE中，DE=BC=12∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169∴AD=13（負值舍去）答：小鳥飛行的最短路程為13m．【題型4應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前的高度】【典例4】“風(fēng)吹樹折”問題又稱為“折竹抵地”，源自《九章算術(shù)》，原文為∶“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.問折者高幾何?”意思是∶一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠，則折斷后的竹子高度為多少尺?（1丈=10尺）【解答】設(shè)折斷后的竹子高度為x尺，則被折斷的竹子長度為（10—x）尺.由勾股定理得x2＋32=（10—x）2，解得x=4.55.答∶折斷后竹子的高度是4.55尺【變式4-1】如圖，一棵大樹在離地面9米高的B處斷裂，樹頂A落在離樹底BC的12米處，則大樹斷裂之前的高度為（）A．9米 B．15米 C．21米 D．24米【答案】D【解答】解：由題意得BC＝9，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB＝＝15米．所以大樹的高度是15+9＝24米．故選：D．【變式4-2】（2021秋?廣南縣期末）如圖，一棵豎直生長的竹子高為8米，一陣強風(fēng)將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．【答案】3米【解答】解：由題意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，∴設(shè)BC長為x米，則AC長為（8﹣x）米，∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，即：x2+16＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴竹子折斷處C與根部的距離CB為3米．【題型5應(yīng)用勾股定理解決水杯中的筷子問題】【典例5】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，水池中離岸邊D點4米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是2米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，則水池的深度AC為多少米．【解答】解：設(shè)水池的深度為x米，由題意得：x2+42＝（x+2）2，解得：x＝3．答：水池的深度為3米．【變式5-1】（2022秋?任城區(qū)期中）如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅蓮，它高出水面30cm．突然一陣大風(fēng)吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵下部剛好齊及水面，如果知道紅蓮移動的水平距離為60cm，求水深是多少cm？【解答】解：設(shè)水深為hcm，由題意得：在Rt△ABC中，AB＝hcm，AC＝（h+30）cm，BC＝60cm，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，即（h+30）2＝h2+602，解得：h＝45．答：水深是45cm．【變式5-2】小芳在喝易拉罐飲料的時候，發(fā)現(xiàn)如果沿著罐內(nèi)壁豎直放置吸管，露在外面部分厘米；如果盡最大長度往里放置，吸管正好和罐頂持平，已知易拉罐的底部是直徑為8厘米的圓，請你求出吸管的長度.【解答】解：設(shè)吸管長度為x,則易拉罐高BC為x-2,在中，由勾股定理可得：即：解得：即吸管的長度為17厘米.【題型6應(yīng)用勾股定理解決航海問題】【典例6】（2021八上·綠園期末）如圖，甲乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以16海里/時速度向北偏東40°航行，乙船向南偏東50°航行，3小時后，甲船到達C島，乙船到達B島．若C、B兩島相距60海里，問乙船的航速是多少．【答案】解：根據(jù)題意，得∠CAB=180°-40°-50°=90°，∵AC=16×3=48（海里），BC=60海里，∴在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB=60則乙船的速度是36÷3=12海里/時．【變式6-1】（2021秋?臥龍區(qū)校級月考）如圖所示，甲漁船以8海里/時的速度離開港口O向東北方向航行，乙漁船以6海里/時的速度離開港口O向西北方向航行，他們同時出發(fā)，一個半小時后，甲、乙兩漁船相距（）A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里【答案】D【解答】解：由題意可得：BO＝1.5×6＝9（海里），AO＝1.5×8＝12（海里），∠1＝∠2＝45°，故∠AOB＝90°，∴AB＝＝15（海里），答：甲、乙兩漁船相距15海里，故選：D．【變式6-2】（2021秋?綠園區(qū)期末）如圖，甲乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以16海里/時速度沿北偏東40°方向航行，乙船沿南偏東50°方向航行，3小時后，甲船到達C島，乙船到達B島．若C、B兩島相距60海里，問：乙船的航速是多少？【答案】12海里/時【解答】解：∵甲船沿北偏東40°方向航行，乙船沿南偏東50°方向航行，∴∠CAB＝90°，∵AB＝16×3＝48，BC＝60，∴AC＝＝36，∴乙船的航速是36÷3＝12海里/時，答：乙船的航速是36÷3＝12海里/時．【題型7應(yīng)用勾股定理解決河的寬度】【典例7】（2022春?蘭山區(qū)期末）在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原由，C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A，H，B在一條直線上），并新修一條路CH，測得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km．求原來的路線AC的長．【解答】解：∵CH2+BH2＝2.42+1.82＝9，BC2＝32＝9，∴CH2+BH2＝BC2，∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，∴∠CHA＝90°，∴AC2＝AH2+CH2，∵AB＝AC，∴AH＝AB﹣HB＝AC﹣1.8，∴AC2＝（AC﹣1.8）2+2.42，解得：AC＝2.5，答：原來的路線AC的長為2.5km．【變式7】如圖，點A是華清池景點所在位置，游客可以在游客觀光車站B或C處乘車前往，且AB＝BC，因道路施工，點C到點A段現(xiàn)暫時封閉，為方便出行，在BC這條路上的D處修建了一個臨時車站，由D處亦可直達A處，若AC＝1km，AD＝0.8km，CD＝0.6km．（1）判斷△ACD的形狀，并說明理由；（2）求路線AB的長．【解答】解：（1）△ACD是直角三角形．理由如下：∵AC＝1km，AD＝0.8km，CD＝0.6km，∴AC2＝1，AD2＝0.82＝0.64，CD2＝0.62＝0.36，∴AC2＝AD2+CD2，∴△ACD是直角三角形；（2）∵△ACD是直角三角形，∴AD⊥BC．設(shè)AB＝BC＝xkm，則BD＝BC﹣DC＝（x﹣0.6）km，由勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，即x2＝0.82+（x﹣0.6）2，解得x＝，∴AB＝km．【題型8應(yīng)用勾股定理解決汽車是否超速問題】【典例8】（2021八上·葉縣期末）某條道路限速70km/?,如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方30m的C處，過了2s后，小汽車到達B處，此時測得小汽車與車速測檢測儀間的距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？【解答】解：在RtΔABC中，BC===40米v=s÷t=40÷2=20m/s，20m/s=72km/?，所以小汽車超速了.【變式8】“某市道路交通管理條例“規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過60千米/時，如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀A正前方24米的C處，過了1.5秒后到達B處（BC⊥AC），測得小汽車與車速檢測儀間的距離AB為40米，請問這輛小汽車是否超速？若超速，則超速了多少？【解答】解：根據(jù)題意，得AC＝24m，AB＝40m，∠C＝90°，在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理，BC2＝AB2﹣AC2＝402﹣242＝322，所以BC＝32m，小汽車1.5秒行駛32米，則1小時行駛76800（米），即小汽車行駛速度為76.8千米/時，因為76.8＞60，所以小汽車已超速行駛【題型9應(yīng)用勾股定理解決是否受臺風(fēng)影響問題】【典例9】（2022秋?慶云縣期中）如圖，MN是一條鐵路，點A是居民區(qū)，火車位于P處時，測得居民區(qū)A位于P的北偏西30°方向上，火車行駛200米到達點Q，此時測得居民區(qū)A位于Q的北偏西60°方向上．（1）求火車在Q處時距離居民區(qū)A的距離？（2）若200米范圍內(nèi)，會對居民區(qū)有噪音影響，求如果火車的行駛速度是72km/h，求居民區(qū)受影響的時間是多少秒？【解答】（1）解：過點A作AB垂直MN于點B，∵∠APQ＝30°，∠AQB＝60°，∴∠BAQ＝90°﹣∠AQB＝30°，∠PAB＝90°﹣∠APQ＝60°，∴∠AQP＝∠PAB﹣∠QAB＝30°，∴∠QAP＝∠QPA，∴AQ＝PQ＝200米，答：火車在Q處時距離居民區(qū)A的距離是200米．（2）解：過點A作AB垂直MN于點B，延長QB至點C使BC＝QB，∴AB是CQ的垂直平分線，∴AC＝AQ＝200米，∴受影響路段為CQ，∵AQ＝AC，∠AQC＝60°，∴△AQC為等邊三角形，∴QC＝AQ＝200米，速度：72km/h＝20m/s，∴時間：200÷20＝10s，答：居民區(qū)受影響的時間是10s．【變式9】（2020秋?成都期中）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風(fēng)中心沿AB由點A向點B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）海港C受臺風(fēng)影響嗎？為什么？（2）若臺風(fēng)的速度為25km/h，臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？【答案】（1）海港C受到臺風(fēng)影響（2）5.6小時【解答】解：（1）海港C受臺風(fēng)影響．理由：如圖，過點C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB∴300×400＝500×CD∴CD＝＝240（km）∵以臺風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C受到臺風(fēng)影響．（2）當(dāng)EC＝250km，F(xiàn)C＝250km時，正好影響C港口，∵ED＝＝70（km），∴EF＝140km∵臺風(fēng)的速度為25km/h，∴140÷25＝5.6（小時）即臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為5.6小時．【題型10應(yīng)用勾股定理解決選扯距離相離問題】【典例10】（武漢）如圖，在筆直的鐵路上A，B兩點相距20km，C，D為兩村莊，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．現(xiàn)要在AB上建一個中轉(zhuǎn)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求AE的長．【答案】E應(yīng)建在距A點13.3km【解答】解：設(shè)AE＝x，則BE＝20﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，由題意可知：DE＝CE，所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3所以，E應(yīng)建在距A點13.3km．【變式10】（2021秋?吉安期中）鐵路上A，B兩站（視為直線上的兩點）相距25km，C，D為兩村莊（視為兩個點），DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B（如圖），已知DA＝10km，CB＝15km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)收購站E，使得C，D兩村莊到收購站E的直線距離相等，請求出收購站E到A站的距離．【答案】10米【解答】解：∵C、D兩村到E站距離相等，∴CE＝DE，在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，∴AD2+AE2＝BE2+BC2．設(shè)AE為xkm，則BE＝（25﹣x）km，將BC＝10，DA＝15代入關(guān)系式為x2+152＝（25﹣x）2+102，整理得，50x＝500，解得x＝10，∴E站應(yīng)建在距A站10km處．【題型11應(yīng)用勾股定理解決幾何圖形中折疊問題】【典例11】（2020春?西城區(qū)校級期中）如圖，長方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在邊CD上取一點E，將△ADE折疊后點D恰好落在BC邊上的點F處（1）求CE的長；（2）在（1）的條件下，BC邊上是否存在一點P，使得PA+PE值最??？若存在，請求出最小值：若不存在，請說明理由．【解答】（1）長方形ABCD中，AB＝8，BC＝10∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10由折疊知，EF＝DE，AF＝AD＝8在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得，BF=AF∴CF＝BC﹣BF＝4設(shè)CE＝x，則EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理得，CF2+CE2＝EF2∴16+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CE＝3（2）如圖，延長EC至E'使CE'＝CE＝3，連接AE'交BC于P此時，PA+PE最小，最小值為AE'∵CD＝8，∴DE'＝CD+CE'＝8+3＝11在Rt△ADE'中，根據(jù)勾股定理得，AE'=【變式11】如圖所示，折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊的點F處，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF與FC的長．（2）求EC的長．【解答】解：（1）∵△ADE折疊后的圖形是△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF．∵AD＝BC＝10cm，∴AF＝AD＝10cm．又∵AB＝8cm，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理，得AB2+BF2＝AF2∴82+BF2＝102，∴BF＝6cm，∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．（2）設(shè)EC的長為xcm，則DE＝（8﹣x）cm．在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2，∴42+x2＝（8﹣x）2，即16+x2＝64﹣16x+x2，化簡，得16x＝48，∴x＝3，故EC的長為3cm【題型12平面展開圖-最短路徑問題】【典例12】（2022秋?汝州市期末）葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽光，其常繞著附近的樹干沿最短路線盤旋而上．現(xiàn)有一段葛藤繞樹干盤旋2圈升高為2.4m，如果把樹干看成圓柱體，其底面周長是0.5m，如圖是葛藤盤旋1圈的示意圖，則這段葛藤的長是（）m．A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8【答案】C【解答】解：∵葛藤繞樹干盤旋2圈升高為2.4m，∴葛藤繞樹干盤旋1圈升高為1.2m，如圖所示：AC＝＝＝1.3（m）．∴這段葛藤的長＝2×1.3＝2.6（m）．故選：C．【變式12】（2022秋?普寧市期末）如圖，圓柱的底面半徑為cm，AC是底面圓的直徑，點P是BC上一點，且PC＝4cm，一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是（）A．4cm B．2cm C．5cm D．10cm【答案】B【解答】解：側(cè)面展開圖如圖所示：∵圓柱的底面半徑為cm，∴圓柱的底面周長為12cm，∴AC′＝6cm．在Rt△ACP中，AP＝＝2（cm）．故選：B．【題型13幾何展開】【典例13】（2021秋?泗縣期末）如圖，正四棱柱的底面邊長為4cm，側(cè)棱長為6cm，一只螞蟻從點A出發(fā)，沿棱柱外表面到點C'處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（）A．2cm B．14cm C．（2+4）cm D．10cm【答案】D【解答】解：當(dāng)沿著平面ABB'A'、平面A'B'C'D'爬行時，如圖所示，AC'＝＝2（cm），當(dāng)沿著平面ABB'A'、平面BB'C'C爬行時，AC'＝＝10（cm），因為10＜2，所以螞蟻需要爬行的最短路徑的長是10cm，故選：D．【變式13】正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，一只螞蟻從A點爬行到M點的最短距離為（）A． B． C．5 D．2+【答案】A【解答】解：展開正方體的點M所在的面，∵BC的中點為M，所以MC＝BC＝1，在直角三角形中AM＝＝．故選：A．【題型14樓梯展開】【典例14】（2022春?連江縣期中）如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、2dm．A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為（）A．15dm B．17dm C．20dm D．25dm【答案】B【解答】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為8dm，寬為（2+3）×3dm，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xdm，由勾股定理得：x2＝82+[（2+3）×3]2＝172，解得x＝17．故選：B．【變式14】如圖是一個三級臺階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A，B是這個臺階上兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是米．【答案】2.5【解答】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為2，寬為（0.2+0.3）×3，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為x，由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，解得x＝2.5．1．（2023?株洲）《周禮?考工記》中記載有：“…半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）．問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，則∠C＝22.5度．?【答案】22.5．【解答】解：∵1宣＝矩，1欘＝1宣，1矩＝90°，∠A＝1矩，∠B＝1欘，∴∠A＝90°，∠B＝1××90°＝67.5°，∴∠C＝180°﹣90°﹣∠B＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°，故答案為：22.5．2．（2021?襄陽）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲?，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深幾何．”（丈、尺是長度單位，1丈＝10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度是多少？則水深為（）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【答案】C【解答】解：設(shè)水深為h尺，則蘆葦長為（h+1）尺，根據(jù)勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，解得h＝12，∴水深為12尺，故選：C．3．（2022?泰州）如圖所示的象棋盤中，各個小正方形的邊長均為1．“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復(fù)路線，按照“馬走日”的規(guī)則，走兩步后的落點與出發(fā)點間的最短距離為．【答案】．【解答】解：如圖，第一步到①，第二步到②，故走兩步后的落點與出發(fā)點間的最短距離為＝，故答案為：．4．（2021?玉林）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時分別航行12海里和16海里，1小時后兩船分別位于點A，B處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，則乙船沿北偏東50°方向航行．【答案】北偏東50°．【解答】解：由題意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，∵122+162＝202，∴△APB是直角三角形，∴∠APB＝90°，由題意知∠APN＝40°，∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，即乙船沿北偏東50°方向航行，故答案為：北偏東50°．1．（2022春?雨花區(qū)期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米【答案】C【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．故選：C．2．（2022?松北區(qū)三模）如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔P的距離為30海里的A處，輪船沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則此時輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為（）A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里【答案】D【解答】解：由題意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，故AB＝2AP＝60（海里），則此時輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為：BP＝＝30（海里）故選：D．3．（2022春?什邡市校級期中）如圖是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條到達底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計）范圍是（）A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13【答案】A【解答】解：a的最小長度顯然是圓柱的高12，最大長度根據(jù)勾股定理，得：＝13．即a的取值范圍是12≤a≤13．故選：A．4．（2022春?天橋區(qū)期末）如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面5m處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，旗桿折斷之前的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m【答案】D【解答】解：旗桿折斷后，落地點與旗桿底部的距離為12m，旗桿離地面5m折斷，且旗桿與地面是垂直的，所以折斷的旗桿與地面形成了一個直角三角形．根據(jù)勾股定理，折斷的旗桿為＝13m，所以旗桿折斷之前高度為13m+5m＝18m．故選：D．5．（2022春?潮安區(qū)校級月考）如圖，在高3米，坡面線段距離AB為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯長度至少需7米．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：將樓梯表面向下和右平移，則地毯的總長＝兩直角邊的和，已知AB＝5米，AC＝3米，且在直角△ABC中，AB為斜邊，則BC＝＝4米，則AC+BC＝3+4＝7米．故答案為：7．6．（2022春?連平縣校級期末）如圖，長為8cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升3cm到D，則橡皮筋被拉長了2cm．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；根據(jù)勾股定理，得：AD＝＝5cm；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；故橡皮筋被拉長了2cm．7．（2022?拱墅區(qū)模擬）無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長為20cm的細木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有5cm．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意可得：杯子內(nèi)的筷子長度為：＝15（cm），則筷子露在杯子外面的筷子長度為：20﹣15＝5（cm）．故答案為：5．8．（2022春?玉林期末）一架梯子長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意得：AC＝25米，BC＝7米，AB＝＝24（米），答：這個梯子的頂端距地面有24米；（2）由題意得：BA′＝20米，BC′＝＝15（米），則：CC′＝15﹣7＝8（米），答：梯子的底端在水平方向滑動了8米．9．（2022春?榮縣校級月考）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，觀測點設(shè)在到公路l的距離為100米的P處．這時，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度？（參考數(shù)據(jù)：＝1.41，＝1.73）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意知：PO＝100米，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，在直角三角形BPO中，∵∠BPO＝45°，∴BO＝PO＝100m在直角三角形APO中，∵∠APO＝60°，∴AO＝PO?tan60°＝100∴AB＝AO﹣BO＝（100﹣100）≈73米，∵從A處行駛到B處所用的時間為3秒，∴速度為73÷3≈24.3米/秒＝87.6千米/時＞80千米/時，∴此車超過每小時80千米的限制速度．10．（2022春?綏棱縣校級月考）已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，問要多少投入？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：連接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°，S四邊形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝，＝＝36．所以需費用36×200＝7200（元）．11．（2022春?五峰縣期末）如圖，小穎和她的同學(xué)蕩秋千，秋千AB在靜止位置時，下端B′離地面0.6m，蕩秋千到AB的位置時，下端B距靜止位置的水平距離EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)AB＝AB′＝xm，由題意可得出：B′E＝1.4﹣0.6＝0.8（m），則AE＝AB﹣0.8，在Rt△AEB中，∵AE2+BE2＝AB2，∴（x﹣0.8）2+2.42＝x2解得：x＝4，答：秋千AB的長為4m．12．（2022春?蓬江區(qū)校級月考）如圖，A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域．（1）A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺風(fēng)影響，那么A城遭受這次臺風(fēng)影響有多長時間？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由A點向BF作垂線，垂足為C，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，則AC＝160km，因為160＜200，所以A城要受臺風(fēng)影響；（2）設(shè)BF上點D，G，使AD＝AG＝200千米，∴△ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分線，∴CD＝GC，在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，由勾股定理得，CD＝＝＝120千米，則DG＝2DC＝240千米，遭受臺風(fēng)影響的時間是：t＝240÷40＝6（小時）．13．（2022秋?詔安縣期中）如圖，筆直的公路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應(yīng)建在離A點多遠處？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵使得C，D兩村到E站的距離相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，設(shè)AE＝xkm，則BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）km．∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km，∴收購站E應(yīng)建在離A點10km處．14．（2022秋?建鄴區(qū)校級期中）如圖，在一棵樹CD的10m高處的B點有兩只猴子，它們都要到A處池塘邊喝水，其中一只猴子沿樹爬下走到離樹20m處的池塘A處，另一只猴子爬到樹頂D后直線躍入池塘的A處．如果兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，試問這棵樹多高？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)BD高為x，則從B點爬到D點再直線沿DA到A點，走的總路程為x+AD，其中AD＝而從B點