蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊3.3勾股定理的簡單應(yīng)用

3.3勾股定理的簡單應(yīng)用

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題所給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.如圖，在一個高為3m，長為的樓梯表面鋪地毯，則地毯長度為（）

2.一艘輪船以16海里/小時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，同時另一輪船以12海

里/小時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口3小時后，則兩船相距（）

A.36海里B.48海里C.60海里D.84海里

3.一個長為10米的梯子AB斜靠在墻上，AC±BC,AC=BC,當梯子的頂端A沿AC方向

下滑x米時，梯子足B沿CB方向水平滑動y米，則x與y的大小關(guān)系是（）

B

A.x=yB.x>yC.x<yD.不確定

4.一海輪以24海里/時的速度從港口A出發(fā)向東南方向航行，另一海輪以18海里/時的速

度同時從港口A出發(fā)向西南方向航行，離開港口2小時后，兩海輪之間的距離為（）

A.36海里B.48海里C.60海里D.84海里

5.2019年10月1日，中華人民共和國70年華誕之際，王梓涵和學(xué)校國旗護衛(wèi)隊的其他同

學(xué)們趕到學(xué)校舉行了簡樸而降重的升旗儀式.傾聽著雄壯的國歌聲，目送著五星紅旗級

緩升起，不禁心潮澎湃，愛國之情油然而生.愛動腦筋的王梓涵設(shè)計了一個方案來測量

學(xué)校旗桿的高度.將升旗的繩子拉直到末端剛好接觸地面，測得此時繩子末端距旗桿底

端2米，然后將繩子末端拉直到距離旗桿5〃?處，測得此時繩子末端距離地面高度為\m,

最后根據(jù)剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理就能算出旗桿的高度為（）

A.10/HB.1C.12mD.13加

6.如圖，將一根長13厘米的筷子置于底面直徑為6厘米，高為8厘米的圓柱形杯子中，則

1

筷子露在杯子外面的長度至少為（）厘米.

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.請把答案直接填寫在橫線上）

7.如圖，在一次暴風(fēng)災(zāi)害中，一棵大樹在離地面2米處折斷，樹的另一部分倒地后與地面

成30°角，那么這棵樹折斷之前的高度是一米.

8.如圖，小華將升旗的繩子拉到豎直旗桿的底端，繩子末端剛好接觸地面，然后將繩子末

端拉到距離旗桿6m處，此時繩子末端距離地面2m,則繩子的總長度為—m.

9.如圖，臺風(fēng)過后某中學(xué)的旗桿在8處斷裂，旗桿頂部A落在離旗桿底部C點6米處，已

10.己知小明和小王從同一地點出發(fā)，小明向正東方向走了2的?，小王向正南方向走了3km,

此時兩人之間相距km.

11.如圖，將一根長12厘米的筷子置于底面半徑為3厘米，高為8厘米的圓柱形杯子中，

則筷子露在杯子外面的長度至少為一厘米.

2

12.如圖，某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地ABC￡>,現(xiàn)計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量NA=

90°,AB=3m,BC=\2m,CD=\3m,DA=4m,若每平方米草皮需要200元，則要投

13.在一次玩耍中，小麗問小穎：“如果我現(xiàn)在從你所站的位置向東走3米，再向南走12

米，再向東走2米，那么我與你相距米

14.如圖，將一根長為20a”的吸管，置于底面直徑為50〃，高為12c〃?的圓柱形水杯中，

設(shè)吸管露在杯子外面的長度是為hem,則h的取值范圍是.

三、解答題（本大題共6小題，共58分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.如圖，小明爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算這塊土地

的面積，以便估算產(chǎn)量.小明測得48=8m，AD=6m,CD=24m,BC=26m,又已知/

A=90°.求這塊土地的面積.

16.如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地（圖中的四邊形A8C。），經(jīng)測量，在

3

四邊形ABCC中，AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA=l3m,ZB=90°.

（1）△ACO是直角三角形嗎？為什么？

（2）小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試間鋪滿這塊空

地共需花費多少元?

17.有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為5m,12m.現(xiàn)在要將綠地擴充成等

腰三角形綠地，且擴允部分是以12巾為直角邊的直角三角形，求擴充部分三角形綠地的

面積.（如圖備用）

18.學(xué)完勾股定理之后,同學(xué)們想利用升旗的繩子、卷尺測算出學(xué)校旗桿的高度.小明發(fā)現(xiàn)

旗桿上的繩子垂到地面還多了1根，當他把繩子的下端拉開5〃?后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地

面，請你幫小明求出旗桿的高度.

19.如圖所示，木工師傅做一個三角形屋梁架ABC.已知AB=AC=4m,為牢固起見，還

需做一根中柱A。（A。是△ABC的中線）加以連接，中柱A￡>=3〃?，求屋梁跨度的

長.

BDC

4

20.蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級上冊第35頁第2題，介紹了應(yīng)用構(gòu)造全等三角形的方法測量了

池塘兩端A、B兩點的距離.星期天，愛動腦筋的小剛同學(xué)用下面的方法也能夠測量出家

門前池塘兩端A、B兩點的距離.他是這樣做的：

選定一個點P,連接以、PB,在上取一點C,恰好有限=14如PB=l3ni,PC=5m,

BC=\2m,他立即確定池塘兩端A、B兩點的距離為15〃?.

小剛同學(xué)測量的結(jié)果正確嗎？為什么？

答案與解析

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題所給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（2019春?泉山區(qū)期中）如圖，在一個高為3〃?，長為5〃?的樓梯表面鋪地毯，則地毯長度

為（）

A.ImB.C.9mD.\Qm

【分析】當?shù)靥轰仢M樓梯時其長度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾

股定理求得水平寬度，然后求得地毯的長度即可.

【解析】由勾股定理得：

樓梯的水平寬度=丫字=不=4,

???地毯鋪滿樓梯是其長度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，

地毯的長度至少是3+4=7（m）.

故選：A.

2.（2019秋?江蘇省連云港期中）一艘輪船以16海里/小時的速度從港口A出發(fā)向東北方

5

向航行，同時另一輪船以12海里/小時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口3小時

后，則兩船相距()

A.36海里B.48海里C.60海里D.84海里

【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成/直角.然后根據(jù)路程=速度義時間,

得兩條船分別走了48,36海里.再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離.

【解析】?.?兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，

：.ZBAC=90°,

3小時后,兩艘船分別行駛了16X3=48,12X3=36海里，

根據(jù)勾股定理得；、/48：+36：=6()(海里).

3.(2019秋?江蘇省靖江市校級期中)一個長為10米的梯子AB斜靠在墻上，AC1BC,AC

=BC,當梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時，梯子足B沿CB方向水平滑動y米，則x

A.x=yB.x>yC.x<yD.不確定

【分析】根據(jù)題意由勾股定理得出關(guān)于AC,BC,x,y的等式，再利用2AC-x<28C+y,

得出x>y.

【解析】'：AC=BC,當梯子的頂端A下滑x米時，梯足8沿C8方向滑動ry米，

：.CD=AC-x,EC=BC+y=AC+y,

.?.AC2+BC2=(AC-X)2+(AC+y)2,

997z

..2AC*x-x^=2BCy+yf

：.x(2AC-x)=y(23C+y),

6

VAC=BC,

：.2AC-x<2BC+y,

4.（2019秋?江蘇省睢寧縣期中）一海輪以24海里/時的速度從港口A出發(fā)向東南方向航行,

另一海輪以18海里/時的速度同時從港口4出發(fā)向西南方向航行，離開港口2小時后，

兩海輪之間的距離為（）

A.36海里B.48海里C.60海里D.84海里

【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角.然后根據(jù)路程=速度X時間,

得兩條船分別走了48,36.再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離.

【解析】如圖，連接8c.

:兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，

...NBAC=90°,

兩小時后，兩艘船分別行駛了24X2=48（海里），18X2=36（海里），

根據(jù)勾股定理得：BC=\!AB2+ACZ=V48:+36-=60（海里）.

故選：C.

北

5.（2019秋?江蘇省新北區(qū)期中）2019年10月1日，中華人民共和國70年華誕之際，王梓

涵和學(xué)校國旗護衛(wèi)隊的其他同學(xué)們趕到學(xué)校舉行了簡樸而降重的升旗儀式.傾聽著雄壯

的國歌聲，目送著五星紅旗級緩升起，不禁心潮澎湃，愛國之情油然而生.愛動腦筋的

王梓涵設(shè)計了一個方案來測量學(xué)校旗桿的高度.將升旗的繩子拉直到末端剛好接觸地面,

7

測得此時繩子末端距旗桿底端2米，然后將繩子末端拉直到距離旗桿5相處，測得此時繩

子末端距離地面高度為1處最后根據(jù)剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理就能算出旗桿的高度為()

A.10???B.WinC.\2mD.13m

【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)旗桿高度為X,可得AC=AD=x,AB=Q-I)m,

BC=5m,在RtaABC中利用勾股定理可求出x.

【解析】設(shè)旗桿高度為x,可得AC=AQ=x,AB=(.r-1)m,BC=5m

根據(jù)勾股定理得，繩長的平方=/+/,

A

右圖，根據(jù)勾股定理得，繩長的平方=(x-I)2+52,2mD

：.x+^^(x-1)2+52,解得x=ll.

故選：B.

6.(2019秋?江蘇省鎮(zhèn)江期中)如圖，將一根長13厘米的筷子置于底面直徑為6厘米，高

為8厘米的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長度至少為()厘米.

A.1B.2C.3D.4

【分析】首先應(yīng)根據(jù)勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長度，EPv,6=+8==10,故

筷子露在杯子外面的長度至少為多少可求出.

【解析】如圖所示，筷子，圓柱的高，圓柱的直徑正好構(gòu)成直角三角形，

二勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長度，即，6二+8==10(an),

二筷子露在杯子外面的長度至少為13-10=3cm,

故選：C.

二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分.請把答案直接填寫在橫線上)

8

7.（2019秋?江蘇省惠山區(qū)校級期中）如圖，在一次暴風(fēng)災(zāi)害中，一棵大樹在離地面2米處

折斷，樹的另一部分倒地后與地面成30°角，那么這棵樹折斷之前的高度是）米.

【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了短直角邊和一銳角為30度，運用直角三角

形30度角的性質(zhì)，從而得出這棵樹折斷之前的高度.

【解析】；一棵大樹在離地面2米處折斷，樹的另一部分倒地后與地面成30°角，

如圖，可知：/ACB=90°,AC=2米，NA8C=30°,

：.AB=2AC=4米，

二折斷前高度為2+4=6（米）.

故答案為6.

8.（2019秋?江蘇省鼓樓區(qū)校級期中）如圖，小華將升旗的繩子拉到豎直旗桿的底端，繩子

末端剛好接觸地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿6m處，此時繩子末端距離地面2"，

【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)繩子的長度為xni,可得AC=AD=x,〃，AB=（x-2）

m,BC=6m,在RtZ\48C中利用勾股定理可求出x.

【解析】過C作C8LAO于8

設(shè)繩子的長度為xm,則AC=AO=x，"，AB=（x-2）m,BC=6m,

在RtaABC中，AB2+BC2=AC2,即（x-2）2+62=x2,

解得：x=10,

即繩子的長度為10，”.

9

故答案為：10.

9.（2019秋?江蘇省大豐區(qū)期中）如圖，臺風(fēng)過后某中學(xué)的旗桿在8處斷裂，旗桿頂部A落

在離旗桿底部C點6米處，已知旗桿總長15米，則旗桿是在距底部米處斷裂.

【分析】旗桿折斷的部分，未折斷的部分和旗桿頂部離旗桿底的部分構(gòu)成了直角三角形,

運用勾股定理可將折斷的未知求出.

【解析】設(shè)旗桿是在距底部x米處斷裂，則折斷部分的長為（15-x）m,

由勾股定理得：X2+62=（15-x）2,

解得：x=6.3,

即旗桿是在距底部6.3米處斷裂，

故答案為：6.3.

10.（2019秋?江蘇省深水區(qū)期中）已知小明和小王從同一地點出發(fā)，小明向正東方向走了

2km,小王向正南方向走了3km,此時兩人之間相距_\Ti_km.

【分析】根據(jù)小明和小正兩人所走的方向，可知小明和小王兩人的路線可構(gòu)成直角三角

形，兩人的距離為直角三角形的斜邊，根據(jù)勾股定理可求解出.

【解析】如圖所示，NACB=90°,

：.AB=y!ACz+BC-=、/2=+3二=E（km）.

故答案為：\T3.

10

11.（2019秋?江蘇省海州區(qū)期中）如圖，將一根長12厘米的筷子置于底面半徑為3厘米,

高為8厘米的圓柱形杯子中，則筷子露在杯子外面的長度至少為厘米.

【分析】首先應(yīng)根據(jù)勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長度，即于=10,故

筷子露在杯子外面的長度至少為多少可求出.

【解析】如圖所示，筷子，圓柱的高，圓柱的直徑正好構(gòu)成直角三角形，

勾股定理求得圓柱形水杯的最大線段的長度，即V@Tg=10c/n,

筷子露在杯子外面的長度至少為12-10=2cm

故答案為2.

12.（2019秋?江蘇省連云港期中）如圖，某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地ABCD,現(xiàn)計劃在

空地上種植草皮，經(jīng)測量乙4=90°,A8=3w,BC=12m,8=13〃?，DA=4m,若每平

方米草皮需要200元，則要投入7200元.

【分析】仔細分析題目，需要求得四邊形的面積才能求得結(jié)果.連接8Q,在直角三角形

中可求得8力的長，由8C、CD.BC的長度關(guān)系可得三角形。BC為一直角三角形,

0c為斜邊；由此看，四邊形48c力由RlZXABD和RtZxOBC構(gòu)成，則容易求解.

【解析】連接8。，

在RtZ\A8O中，BCr=AB2+ADr=32+42=52,

11

在△C8O中，CD2=}32BC2^\?2,

而122+52=132,

即BC^+Bir=CD2,

:.N/)BC=90°,

11

Spgii?ABCD-5AB,4D+SADBC=3,AD-AB+QDB,BC,

1i

=.x4x3+.xl2x5=36.

所以需費用36X200=7200（元）.

故答案為:7200

13.（2019秋?江蘇省祁江區(qū)校級期中）在一次玩耍中，小麗問小穎：“如果我現(xiàn)在從你所站

的位置向東走3米，再向南走12米，再向東走2米，那么我與你相距13米

【分析】根據(jù)題意作出直角三角形，再利用勾股定理進而得出答案.

【解析】由題意可得:

AC=5m,8c=12m,

則AB=嶼+122=13(w).

故答案為：13.

14.（2019秋?江蘇省永嘉縣期中）如圖，將一根長為20c機的吸管，置于底面直徑為5cm

高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)吸管露在杯子外面的長度是為hem,則h的取值范圍是,

12

【分析】根據(jù)勾股定理求出/7的最短距離，進而可得出結(jié)論.

【解析】如圖，當筷子、底面直徑、杯子的高恰好構(gòu)成直角三角形時，/?最短,

此時AB=V5:+12:=13,故hjw=20-13=7(cm)；

當筷子豎直插入水杯時，/?最大，此時/?及大=20-12=8(cm).

三、解答題(本大題共6小題，共58分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(2019秋?江蘇省宿豫區(qū)期中)如圖，小明爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些

蔬菜，爸爸讓小明計算這塊土地的面積，以便估算產(chǎn)量.小明測得AB=8m,AD=6m,

CD=24m,BC=26m,又已知NA=90°.求這塊土地的面積.

【分析】本題要先把解四邊形的問題轉(zhuǎn)化成解三角形的問題，再用勾股定理解答.

【解析】連接BD,

；/4=90°,

.".SD2=AD2+AB2=IO()

則8￡)2+CQ2=IOO+576=676=26?=BC2,因止匕NCBD=90°,

5四邊形^AD'AB+^BD-CD=1x6X8+1x24X10=144(平方米).

13

16.（2019秋?江蘇省睢寧縣期中）如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地（圖中

的四邊形ABC。），經(jīng)測量，在四邊形ABCD中，AB=3優(yōu)，BC=4zn,CD=\2m,DA=

13m,Zfi=90°.

（1）△AC。是直角三角形嗎？為什么？

（2）小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試問鋪滿這塊空

【分析】（1）先在RtZVlBC中，利用勾股定理可求AC,在△AC。中，易求

AD1,再利用勾股定理的逆定理可知△AC。是直角三角形，且NACO=90°；

（2）分別利用三角形的面積公式求出△ABC、△AC。的面積，兩者相加即是四邊形A8C。

的面積，再乘以80,即可求總花費.

【解析】（1）如圖，連接AC,

在RtZXABC中，'：A/i=3m,BC=4m,ZB=90°,AB2+CB1=AC1

??AC==5c/w,

在△AC￡>中，AC=5c〃?C￡>=12，〃，DA=13m,

：.AC1+CD2^AD2,

.,.△AC。是直角三角形，/4C￡）=90°：

11

(2)V5AABC=5X3X4=6,5Aj4CD=5X5X12=30,

1?S四邊形ABCO=6+3。=36，

費用=36X80=2880(元),

14

答：鋪滿這塊空地共需花費2880元.

17.（2019秋?江蘇省連云港期中）有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為5,”,

12九現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三角形綠地，且擴允部分是以12w為直角邊的直角三角

形，求擴充部分三角形綠地的面積.（如圖備用）

【分析1根據(jù)勾股定理求出斜邊A8,（1）當A8=AO時或求出CQ即可；（2）

當A5=8O時，求出CD、AO即可；（3）當D4=O8時，設(shè)4D=x,貝UC￡)=x-5,求

出即可.

【解析】在RtZXABC中，NAC8=90°,AC—5m,BC—\2m,

??AB—13/w,

A

c

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當AB=AQ時，CD=5m,

1?,

則△A8D的面積為:-BD-AC=4x(5+5)X12=60(m)；

22

若延長8C到/),使C￡>=AC=12m,則4AB0的面積為=y〃XBC=60(渥),

60-30=30(小)；

15

(2)圖2,當時，C￡)=8，“，則的面積為：-BD-AC=1X(5+8)X12

22

=78(w2)；

78-30=48(/n2)；

(3)如圖3,當QA=OB時，設(shè)AZ)=x,則CC=x-5,

則/=(%-5)2+122,

，x=16.9,

11,

則△430的面積為：~BD*AC=4X16.9X12=101.4(/n)；

22

101.4-30=71.4(m2).

答：擴充后等腰三角形綠地的面積是30,”2或48層或71.4謂.

18.(2019秋?江蘇省灤水區(qū)期中)學(xué)完勾股定理之后，同學(xué)們想利用升旗的繩子、卷尺測

算出學(xué)校旗桿的高度.小明發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了1如當他把繩子的下端拉

開5〃?后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，請你幫小明求出旗桿的高度.

【分析】根