湖北省第九屆2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期4月四調(diào)（三模）數(shù)學(xué)試題2

2024屆高中畢業(yè)生四月模擬考試數(shù)學(xué)試卷本試題卷共4頁，19小題，全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．?？荚図樌⒁馐马?xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)，，，則等于（）A. B.0 C. D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.下面四個(gè)數(shù)中，最大的是（）A B. C. D.4.數(shù)列的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為，若，（）則，（）A.9 B.1 C.8 D.455.復(fù)數(shù)（）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.7.能被3整除，且各位數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.228 B.210 C.240 D.2388.拋物線上有四點(diǎn)，，，，直線，交于點(diǎn)，且，．過分別作的切線交于點(diǎn)Q，若，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.平行六面體中，各個(gè)表面的直角個(gè)數(shù)之和可能為（）A0 B.4 C.8 D.1610.已知函數(shù)有最小正零點(diǎn)，，若在上單調(diào)，則（）A. B. C. D.11.如圖，三棱臺(tái)底面為銳角三角形，點(diǎn)D，H，E分別為棱，，的中點(diǎn)，且，；側(cè)面為垂直于底面的等腰梯形，若該三棱臺(tái)的體積最大值為，則下列說法可能但不一定正確的是（）A.該三棱臺(tái)的體積最小值為 B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.寫出函數(shù)的一條斜率為正的切線方程：______．13.兩個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量X，Y滿足，且，若，則______．14.雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，以實(shí)軸為直徑作圓O，過圓O上一點(diǎn)E作圓O的切線交雙曲線的漸近線于A，B兩點(diǎn)（B在第一象限），若，與一條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟．15.數(shù)列中，，，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，，求．16.已知橢圓和的離心率相同，設(shè)的右頂點(diǎn)為，的左頂點(diǎn)為，，（1）證明：；（2）設(shè)直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為P，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，連，求的最大值．參考公式：17.空間中有一個(gè)平面和兩條直線m，n，其中m，n與的交點(diǎn)分別為A，B，，設(shè)直線m與n之間的夾角為，（1）如圖1，若直線m，n交于點(diǎn)C，求點(diǎn)C到平面距離的最大值；（2）如圖2，若直線m，n互為異面直線，直線m上一點(diǎn)P和直線n上一點(diǎn)Q滿足，且，（i）證明：直線m，n與平面的夾角之和為定值；（ii）設(shè)，求點(diǎn)P到平面距離的最大值關(guān)于d的函數(shù)．18.已知函數(shù)，，（1）若對(duì)定義域內(nèi)任意非零實(shí)數(shù)，，均有，求a；（2）記，證明：．19.歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)n為正整數(shù)，集合，歐拉函數(shù)的值等于集合中與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)；記表示x除以y的余數(shù)（x和y均為正整數(shù)），（1）求和；（2）現(xiàn)有三個(gè)