高考數(shù)學二輪復習 規(guī)范解答集訓（三） 概率與統(tǒng)計 文-人教版高三數(shù)學試題

規(guī)范解答集訓(三)概率與統(tǒng)計(建議用時：40分鐘)1．某機構組織語文、數(shù)學學科能力競賽，按照一定比例淘汰后，頒發(fā)一、二、三等獎(分別對應成績等級的一、二、三等)．現(xiàn)有某考場所有考生的兩科成績等級統(tǒng)計如圖1所示，其中獲數(shù)學二等獎的考生有12人．圖1(1)求該考場考生中獲語文一等獎的人數(shù)；(2)用隨機抽樣的方法從獲得數(shù)學和語文二等獎的考生中各抽取5人，進行綜合素質測試，將他們的綜合得分繪成莖葉圖(如圖2所示)，求樣本的平均數(shù)及方差并進行比較分析；圖2(3)已知本考場的所有考生中，恰有3人兩科均獲一等獎，在至少一科獲一等獎的考生中，隨機抽取2人進行訪談，求這2人兩科均獲一等獎的概率．[解](1)∵獲數(shù)學二等獎的考生有12人，∴該考場考生的總人數(shù)為eq\f(12,1－0.40－0.26－0.10)＝50，故該考場獲語文一等獎的考生人數(shù)為50×(1－0.38×2－0.16)＝4.(2)設獲數(shù)學二等獎考生綜合得分的平均數(shù)和方差分別為eq\x\to(x)1，seq\o\al(2,1)，獲語文二等獎考生綜合得分的平均數(shù)和方差分別為eq\x\to(x)2，seq\o\al(2,2).eq\x\to(x)1＝eq\f(81＋84＋92＋90＋93,5)＝88，eq\x\to(x)2＝eq\f(79＋89＋84＋86＋87,5)＝85，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,5)×[(－7)2＋(－4)2＋42＋22＋52]＝22，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,5)×[(－6)2＋42＋(－1)2＋12＋22]＝11.6，∵88＞85,11.6＜22，∴獲數(shù)學二等獎考生較獲語文二等獎考生綜合素質測試的平均分高，但是成績差距較大，穩(wěn)定性較差．(3)兩科均獲一等獎的考生共有3人，則僅數(shù)學獲一等獎的考生有2人，僅語文獲一等獎的考生有1人．把兩科均獲一等獎的3人分別記為A1，A2，A3，僅數(shù)學獲一等獎的2人分別記為B1，B2，僅語文獲一等獎的1人記為C，則在至少一科獲一等獎的考生中，隨機抽取2人的基本事件有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，記“這2人兩科均獲一等獎”為事件M，則事件M包含的基本事件有A1A2，A1A3，A2∴P(M)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)，故這2人兩科均獲一等獎的概率為eq\f(1,5).2．(2019·唐山模擬)最近青少年的視力健康問題引起人們的高度重視，某地區(qū)為了解當?shù)?4所小學，24所初中和12所高中的學生的視力狀況，準備采用分層抽樣的方法從這些學校中隨機抽取5所學校對學生進行視力調查．(1)若從所抽取的5所學校中再隨機抽取3所學校進行問卷調查，求抽到的這3所學校中，小學、初中、高中分別有一所的概率；(2)若某小學被抽中，調查得到了該小學前五個年級近視率y的數(shù)據(jù)如下表：年級號x12345近視率y0.050.090.160.200.25根據(jù)前五個年級的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程，并根據(jù)方程預測六年級學生的近視率．附：回歸直線eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(\x\to(x))\o(\x\to(y)),\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(\x\to(x)).參考數(shù)據(jù)：eq\o(eq\o(∑,\s\up9(5)),\s\do6(i＝1))xiyi＝2.76，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(5)),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝55.[解](1)由24∶24∶12＝2∶2∶1，得抽取的5所學校中有2所小學、2所初中、1所高中，分別設為a1，a2，b1，b2，c，從這5所學校中隨機抽取3所學校的所有基本事件為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，c)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，c)，(a1，b2，c)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，c)，(a2，b2，c)，(b1，b2，c)，共10種，設事件A表示“抽到的這3所學校中，小學、初中、高中分別有一所”，則事件A包含的基本事件為(a1，b1，c)，(a1，b2，c)，(a2，b1，c)，(a2，b2，c)，共4種，故P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(2)由題中表格數(shù)據(jù)得eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝0.15,5eq\o(\x\to(x))eq\o(\x\to(y))＝2.25,5eq\x\to(x)2＝45，且由參考數(shù)據(jù)：eq\o(eq\o(∑,\s\up9(5)),\s\do6(i＝1))xiyi＝2.76，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(5)),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝55，得eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(2.76－2.25,55－45)＝0.051，eq\o(a,\s\up9(^))＝0.15－0.051×3＝－0.003，得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝0.051x－0.003.當x＝6時，代入得eq\o(y,\s\up9(^))＝0.051×6－0.003＝0.303，所以六年級學生的近視率在0.303左右．3．(2019·昆明模擬)《中國大能手》是央視推出的一檔大型職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽類的節(jié)目，旨在通過該節(jié)目，在全社會傳播和弘揚“勞動光榮、技能寶貴、創(chuàng)造偉大”的時代風尚．某公司準備派出選手代表公司參加《中國大能手》職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽．經(jīng)過層層選拔，最后集中在甲、乙兩位選手在一項關鍵技能的區(qū)分上，選手完成該項挑戰(zhàn)的時間越少越好．已知這兩位選手在15次挑戰(zhàn)訓練中，完成該項關鍵技能挑戰(zhàn)所用的時間(單位：秒)及挑戰(zhàn)失敗(用“×”表示)的情況如表1：序號123456789101112131415甲×9693×92×9086××8380787775乙×95×93×92×8883×8280807473表1據(jù)表1中甲、乙兩位選手完成該項關鍵技能挑戰(zhàn)所用時間的數(shù)據(jù)，應用統(tǒng)計軟件得表2：均值/秒方差甲8550.2乙8454表2(1)在表1中，從選手甲完成挑戰(zhàn)用時低于90秒的成績中，任取2個，求這2個成績都低于80秒的概率；(2)若該公司只有一個參賽名額，以完成該項關鍵技能挑戰(zhàn)所用時間為標準，根據(jù)以上信息，判斷哪位選手代表公司參加職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽更合適？請說明你的理由．[解](1)選手甲完成挑戰(zhàn)用時低于90秒的成績共有6個，其中低于80秒的成績有3個，分別記為A1，A2，A3，其余的3個分別記為B1，B2，B3，從6個成績中任取2個的所有取法有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共15種，其中2個成績都低于80秒的有A1A2，A1A3所以所取的2個成績都低于80秒的概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)甲、乙兩位選手完成關鍵技能挑戰(zhàn)的次數(shù)都為10，挑戰(zhàn)失敗的次數(shù)都為5，所以只需要比較他們完成關鍵技能挑戰(zhàn)的情況即可，其中eq\x\to(x)甲＝85(秒)，eq\x\to(x)乙＝84(秒)，seq\o\al(2,甲)＝50.2，seq\o\al(2,乙)＝54.答案①：選手乙代表公司參加職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽比較合適，因為在相同次數(shù)的挑戰(zhàn)中，兩位選手在關鍵技能挑戰(zhàn)的完成次數(shù)和失敗次數(shù)都分別相同，但eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，乙選手平均用時更短．答案②：選手甲代表公司參加職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽比較合適，因為在相同次數(shù)的挑戰(zhàn)中，兩位選手在關鍵技能挑戰(zhàn)的完成次數(shù)和失敗次數(shù)都分別相同，雖然eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，但兩者相差不大，水平相當，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，表明甲選手的發(fā)揮更穩(wěn)定．答案③：選手乙代表公司參加職業(yè)技能挑戰(zhàn)賽比較合適，因為在相同次數(shù)的挑戰(zhàn)中，兩位選手在關鍵技能挑戰(zhàn)的完成次數(shù)和失敗次數(shù)都分別相同，但eq\x\to(x)乙＜eq\x\to(x)甲，乙選手平均用時更短，從表1中的數(shù)據(jù)整體看，甲、乙的用時都逐步減少，seq\o\al(2,乙)＞seq\o\al(2,甲)，說明乙選手進步幅度更大，成績提升趨勢更好．(答案不唯一)4．(2019·昆明模擬)互聯(lián)網(wǎng)使我們的生活日益便捷，網(wǎng)絡外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分．某市一調查機構針對該市市場占有率較高的甲、乙兩家網(wǎng)絡外賣企業(yè)(以下簡稱外賣甲、外賣乙)的經(jīng)營情況進行了調查，調查結果如下表：1日2日3日4日5日外賣甲日接單x/百單529811外賣乙日接單y/百單2310515(1)試根據(jù)表格中這五天的日接單量情況，從統(tǒng)計的角度說明這兩家外賣企業(yè)的經(jīng)營狀況；(2)據(jù)統(tǒng)計表明，y與x之間具有線性關系．①請用相關系數(shù)r對y與x之間的相關性強弱進行判斷(若|r|>0.75，則可認為y與x有較強的線性相關關系(r值精確到0.001))；②經(jīng)計算求得y與x之間的回歸方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝1.382x－2.674，假定每單外賣業(yè)務，企業(yè)平均能獲取純利潤3元，試預測當外賣乙日接單量不低于25百單時，外賣甲所獲取的日純利潤的大致范圍(x值精確到0.01)．相關公式：r＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))xi－\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))yi－\x\to(y)2)).參考數(shù)據(jù)：eq\o(eq\o(∑,\s\up9(5)),\s\do6(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝66，eq\r(\o(∑,\s\up9(5),\s\do6(i＝1))xi－\x\to(x)2)eq\r(\o(∑,\s\up9(5),\s\do6(i＝1))yi－\x\to(y)2)≈77.[解](1)由題可知eq\x\to(x)＝eq\f(5＋2＋9＋8＋11,5)＝7(百單)，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋10＋5＋15,5)＝7(百單)．外賣甲的日接單量的方差seq\o\al(2,甲)＝10，外賣乙的日接單量的方差seq\o\al(2,乙)＝23.6，因為eq\x\to(x)＝eq\x\to(y)，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，即外賣甲平均日接單量與外賣乙相同，且外賣甲日接單量更集中一些，所以外賣甲比外賣乙經(jīng)營狀況更好．(2)①計算可得，相關系數(shù)r＝eq\f(66,77)≈0.857＞0.75，所以可認為y與x之間有較強的線性相關關系．②令y≥25，得1.382x－2.674≥25，解得x≥20.02，又20.02×100×3＝6006，所以當外賣乙日接單量不低于25百單時，外賣甲所獲取的日純利潤大約不低于6006元.5．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\o(eq\o(∑,\s\up9(8)),\s\do6(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2eq\o(eq\o(∑,\s\up9(8)),\s\do6(i＝1))(wi－eq\x\to(w))2eq\o(eq\o(∑,\s\up9(8)),\s\do6(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\o(eq\o(∑,\s\up9(8)),\s\do6(i＝1))(wi－eq\x\to(w))(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\o(eq\o(∑,\s\up9(8)),\s\do6(i＝1))wi.(1)根據(jù)散點圖判斷，eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(a,\s\up9(^))＋eq\o(\o(b,\s\up9(^)))eq\o(\x\to(x))與eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(c,\s\up9(^))＋eq\o(d,\s\up9(^))eq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結果回答下列問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線eq\o(v,\s\up9(^))＝eq\o(α,\s\up9(^))＋eq\o(β,\s\up9(^))eq\x\to(u)的斜率和截距的最小二乘法估計分別為eq\o(β,\s\up9(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\o(∑,\s\up9(n),\s\do6(i＝1))ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up9(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up9(^))eq\o(\x\to(u)).[解](1)由散點圖可以判斷，eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(c,\s\up9(^))＋eq\o(d,\s\u