第04講 相似三角形（學(xué)生版）

第二十七章相似27.2相似三角形目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.掌握基本事實(shí)∶兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。2.了解相似三角形的判定定理∶兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。3.了解相似三角形的性質(zhì)定理∶相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方。4.會(huì)利用圖形的相似解決一些簡單的實(shí)際問題。1.理解和掌握平行線分線段成比例定理及其推論；。2.掌握三角形相似的證明方法，能夠證明三角形相似。3.掌握相似三角形的性質(zhì)，能夠利用相似三角形的性質(zhì)證明角相等，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系等。4.能夠運(yùn)用三角形相似解決一些簡單的實(shí)際問題。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01相似三角形的概念1.相似三角形的定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫作相似三角形?！疚Ⅻc(diǎn)撥】相似用符號(hào)“∽”表示，寫兩三角形相似與寫兩三角形全等一樣，通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)位置上，以便于找出相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊。2.平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理：3條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。如圖，如果////，那么a：b=c：d.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例?！炯磳W(xué)即練1】如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)02三角形相似的判定定理1.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。2.如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.可簡單說成：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。3.如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似?？珊唵握f成：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。4.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似?？珊唵握f成：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。點(diǎn)撥①由三角形相似的條件可知，若兩個(gè)直角三角形滿足一個(gè)銳角對應(yīng)相等，或兩組角直角邊的比相等，或斜邊的比與一組直角邊的比相等，則這兩個(gè)直角三角形相似。②直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形彼此相似。如圖，△ADC∽△ACB，△BDC∽△BCA，△ADC∽△CDB。5.判定三角形相似的思路（1）判有平行截線，用判定定理；（2）有一對等角，找另一對等角或找夾邊成比例；（3）有兩邊對應(yīng)成比例，找夾角相等或找第三邊也成比例或者有一對直角；（4）直角三角形，找一對銳角相等或斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；（5）等腰三角形，找頂角相等或一對底角相等或者底和腰成比例；【即學(xué)即練2】如圖，是的邊上一點(diǎn)，那么下面四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么知識(shí)點(diǎn)03相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比等于相似比。(2)相似三角形周長的比等于相似比。(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方。(4)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。【即學(xué)即練3】如圖，已知菱形的邊長為4，E是的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，若，則的長是（）A．3 B． C． D．知識(shí)點(diǎn)04相似三角形的應(yīng)用舉例運(yùn)用相似三角形可以測量物體的高度或?qū)挾?，一般步驟如下：①畫：根據(jù)實(shí)際問題畫出幾何圖形；②判：判定圖中有關(guān)三角形相似；③解：利用相似三角形的性質(zhì)得到比例式，解方程得到數(shù)學(xué)問題的解；④答：寫出實(shí)際問題的答案。【即學(xué)即練4】如圖，小明在A時(shí)測得某樹的影長為，B時(shí)又測得該樹的影長為，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為（）．A． B． C．6 D．能力拓展能力拓展考法01證明兩三角形相似【典例1】已知：如圖，在中，D是AB上一點(diǎn)，且，求證：．考法02利用相似三角形的性質(zhì)求解【典例2】如圖．已知是的角平分線，E是延長線上的一點(diǎn)且．(1)求證：；(2)若，求的長．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，，若，，則DE等于（）A．5 B．6 C．7 D．92．如圖，，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，則下列各式錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．3．已知，如果，，那么與的周長比為（）A．3：2 B．3：4 C．2：5 D．5：24．一個(gè)鋼筋三腳架三邊長分別為，現(xiàn)在要做一個(gè)和它相似的鋼筋三腳架，而只有長為和的兩根鋼筋，要求以其中的一根為一邊，從另一根上截兩段（允許有余料）作為另兩邊，則不同的截法有（）A．一種 B．兩種C．三種 D．四種或四種以上5．如圖，已知等邊，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，，則圖中相似的三角形的對數(shù)是()A．3對 B．4對 C．5對 D．6對6．如圖，在三角形ABC中，，，則的長為______．7．如圖，在離某建筑物4米處有一棵樹，在某時(shí)刻，將1.2m長的竹竿豎直立在地面上，影長為2m，此時(shí)，樹的影子照射到地面，還有一部分影子投影在建筑物的墻上，墻上的影子長為2m，那么這棵樹高約為_____米．8．如圖，是斜邊上的高，其中，，則__．9．如圖，已知正方形，點(diǎn)E在邊上，連接．(1)利用尺規(guī)在上求作一點(diǎn)F，使得．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若，求的長．10．如圖，在正中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．(1)求證：；(2)連結(jié)，交于點(diǎn)，求．題組B能力提升練1．如圖，已知直線，，，則的值為（）A． B． C． D．12．如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，連接、交于點(diǎn)，且，，，，則的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．93．如圖，矩形中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)P，連接，當(dāng)時(shí)，線段的長度為（

）A． B． C． D．4．如圖，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)B作分別交于點(diǎn)E、F．與過點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)G，連接，現(xiàn)給出以下幾個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)F是的中點(diǎn)；④；⑤．其中所有正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①④⑤5．如圖，矩形的對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，且．若，，那么___________．6．在中，矩形的一邊在邊上，頂點(diǎn)G、F分別在上，是邊上的高，與交與點(diǎn)K，若，矩形周長為76，則_________．7．如圖，點(diǎn)為半圓的中點(diǎn)，是直徑，點(diǎn)D是半圓上一點(diǎn)，、交于點(diǎn)E，若，，則______，_______．8．如圖，在中，，點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，且y軸平分，則_______．9．如圖，矩形的邊在的邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上，，垂足為．已知，．(1)當(dāng)矩形為正方形時(shí)，求該正方形的邊長；(2)當(dāng)矩形面積為18時(shí)，求矩形的長和寬．10．如圖，點(diǎn)在同一條直線上，且，，與交于點(diǎn)G．(1)求證：．(2)連接，若，求的長．題組C培優(yōu)拔尖練1．已知菱形，邊長為，，、是菱形邊和上的動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論①；②為等邊三角形；③；④若，則正確的有個(gè)．（

）A． B． C． D．2．如圖，中，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接，當(dāng)面積最大時(shí)，的長為（

）A．2 B． C． D．3．如圖，在邊長為1的正方形中，E、F是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，連接與交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)H，連接，下列結(jié)論：①；②平分；③；④；⑤線段的最小值是．正確的個(gè)數(shù)是（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)4．如圖，在矩形中，相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)N．交于點(diǎn)E，連接．有下列結(jié)論：①四邊形為平行四邊形；②；③為等邊三角形；④當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②④ B．①②③ C．①③ D．②③④5．如圖，已知菱形的邊長為2，對角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，，分別與交于點(diǎn)，，連接、．以下結(jié)論正確的是______．①的最大值是2②當(dāng)最小時(shí)，③當(dāng)時(shí)，則④當(dāng)時(shí)，．6．如圖，已知在中，，．點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為上的點(diǎn)，且，連接．若，則_______．7．如圖，在中，，以，為邊分別向外作正方形和正方形，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)若，則的值為______．8．如圖，等腰中，，，D是三角形外一點(diǎn)，，連接AD，點(diǎn)E在AD上，連接CE，，若，，則線段AC的長度等于______．9．已知：如圖（1），邊長為的菱形的對角線與相交于點(diǎn)O，若．(1)求證：四邊形是正方形．(2)如圖（2），E是上一點(diǎn)，，且，垂足為H，與相交于點(diǎn)F，求線段的長．(3)在（2）的條件下，連接，求的長．10．如圖，是的直徑，點(diǎn)C在上，的平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作的垂線交的延長線于點(diǎn)E．

(1)證明：是的切線；(2)已知，求的長．11．(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，和都是等邊三角形，連接．求證：．(2)【類比探究】如圖2，和都是等腰直角三角形，．連接．則=_______．(3)【拓展提升】如圖3，和都是直角三角形，，且．連接．①求的值；②延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，求的長．12．如圖，在矩形中，，．如果點(diǎn)E由點(diǎn)B出發(fā)沿方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F由點(diǎn)D出發(fā)沿方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別為和．已知，分別交，于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）．(1)連接，，當(dāng)_____s時(shí)，四邊形為平行四邊形；(2)連接，若的面積為，求t的值；(3)若與相似，求t的值．13．如圖，在中，是的平分線，是上一點(diǎn)，以為半徑的經(jīng)過點(diǎn)．(1)求證：是切線；(2)若求的長．14．我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．凸四邊形就是沒有角度大