現(xiàn)代控制理論總復(fù)習(xí)

PAGEPAGE19第2章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述一、狀態(tài)空間描述的建立1．(由系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間描述)如圖電路，寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。選擇狀態(tài)變量x=uc，輸入變量u=e(t)，輸出變量y=uc。解：如圖電路，寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。選擇狀態(tài)變量x=uc，輸入變量u=e(t)，輸出變量y=uc。解：2．(由輸入輸出描述建立狀態(tài)空間描述)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下，求系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述解：可控標(biāo)準(zhǔn)形， ；或可觀標(biāo)準(zhǔn)形， 3．例2.3給定單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的輸入輸出描述為試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。解：此例中。由長除法得則系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為4．例2.2：已知二階系統(tǒng)的微分方程試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。解：可控規(guī)范形實現(xiàn)為：則可觀測規(guī)范形實現(xiàn)為：二、傳遞函數(shù)矩陣的計算1．系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣G(s)，；解：。系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下，求系統(tǒng)的輸出變量和輸入變量之間的微分方程。解：三、化對角線規(guī)范形1．例2.9已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：求系統(tǒng)的對角線規(guī)范形。解:①求系統(tǒng)特征值：系統(tǒng)的特征方程，即所以系統(tǒng)的3個特征值為：，特征值兩兩相異，可以化為對角線規(guī)范形。②求系統(tǒng)特征向量：由確定特征向量，與特征值相對應(yīng)的特征向量由下式確定上式有無窮多解，設(shè)，從中可得。令，得，同理可算出與特征根、相對應(yīng)的特征向量、為：。③構(gòu)造變換矩陣P并求逆：④計算變換后系數(shù)矩陣⑤定出對角線規(guī)范形狀態(tài)方程2．例2.10將下列系統(tǒng)狀態(tài)方程化為對角線規(guī)范形解：（1）計算系統(tǒng)特征值則系統(tǒng)特征值為（的代數(shù)重數(shù)），（的代數(shù)重數(shù)）。（2）有重特征值，判斷是否可以化為對角規(guī)范形對于2重特征值，它所對應(yīng)的特征矩陣所以其幾何重數(shù)。顯然，雖然該題中系統(tǒng)矩陣A有重特征值，但重特征值的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)相等，仍可以化為對角規(guī)范形。（3）確定特征向量由確定特征向量，特征值的幾何重數(shù)，故存在兩個屬于該特征值的線性無關(guān)特征向量，相對應(yīng)的特征向量由下式確定解得：，而和可以任取。為保證特征向量非零，可分別取，得到2個屬于二重特征值的特征向量。對于單特征值，由有特征向量。（4）構(gòu)造變換矩陣、求逆并計算系數(shù)矩陣，（5）對角線規(guī)范形狀態(tài)方程為四、組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述例2.14：兩個子系統(tǒng)分別為求其并聯(lián)組合系統(tǒng)、串聯(lián)組合系統(tǒng)和反饋連接組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。解：1）串聯(lián)：2）并聯(lián)：3）反饋連接：；第3章線性系統(tǒng)的運動分析一、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)的應(yīng)用1．例3.6：已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為試求：解：1）根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運算性質(zhì)有：2）根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運算性質(zhì)有：所以：2．已知線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A如下，求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，解：；。二、狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和初始條件如下：求系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)。解：1）積分法：由于：，所以2）拉氏變換法：(5分)已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述及初始條件如下，；；；求系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的系統(tǒng)輸出y(t)。五、(20分)系統(tǒng)的可控性、可觀性與結(jié)構(gòu)分解(5分)已知系統(tǒng)為；；判斷該系統(tǒng)狀態(tài)的可控性和可觀測性。(5分)已知系統(tǒng)為；；第4章線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性一、可控性和可觀測性1．例4.6(基本題型)：已知判斷其能控性。解：首先確定出能控判別陣Qc，所以系統(tǒng)為完全能控。 或應(yīng)用對角規(guī)范形判據(jù).(5分)已知系統(tǒng)為；；2．例4.13（對角線規(guī)范形判據(jù)的應(yīng)用）：判斷下列系統(tǒng)能控性解：由于對角規(guī)范型中包含元素全為零的行，故系統(tǒng)不完全能控。3．（約當(dāng)規(guī)范形判據(jù)的應(yīng)用）判斷下面系統(tǒng)的能控性和能觀性解：能控。不能觀。4．例4.15（約當(dāng)規(guī)范形判據(jù)的應(yīng)用）：判斷下述系統(tǒng)的能控性解：不是全為零的行，，行線性相關(guān)。所以，系統(tǒng)不完全能控。5．例4.12：確定使下列系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的待定參數(shù)的a，b，c取值范圍（1）（2）解：（1）n=3，能控性判別陣為系統(tǒng)完全能控必有成立（此時），即系統(tǒng)完全可控時參數(shù)取值范圍：，b任意。（2）若應(yīng)用秩判據(jù)，通過計算來求，理論上可行，但此題很難從中解出a,b,c的取值范圍，計算很困難，故考慮使用PBH秩判據(jù)。根據(jù)狀態(tài)方程可寫出：令求特征值得故特征值為：。當(dāng)時，有因為第1列與第2列線性相關(guān)，第3列為0，故不管a,b,c取何值，最大為2，所以：a,b,c為任何值都不能控。6．已知系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為且狀態(tài)完全能觀，求。解：，9．例4.25：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控且完全可觀,試求a的范圍。解：這種題型的解題思路：可先寫出系統(tǒng)的能控（或能觀測）規(guī)范形實現(xiàn)，再通過判據(jù)確定使系統(tǒng)完全能觀測（或能控）的參數(shù)范圍即可。寫出可控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)，然后檢查可觀性：能控規(guī)范形系統(tǒng)完全可控，故只檢查能觀測性即可。能觀測性判別陣：系統(tǒng)完全可觀，必有，即必有，即所以a1≠1、a2≠2和a3≠4時系統(tǒng)完全能控且完全能觀測。二、能控性指數(shù)和能觀測性指數(shù)1.例4.17給定一個連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)為通過計算得到這表明，系統(tǒng)完全能控，且能控性指數(shù)集和能控性指數(shù)為和三、化能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形1．求下面系統(tǒng)的能觀測規(guī)范形(要求寫出變換矩陣)解：，系統(tǒng)能觀測，能化成能觀規(guī)范形。引入變換矩陣：則能觀測規(guī)范形為：四、結(jié)構(gòu)分解：例4.31（胡壽松P497例9-21）：已知系統(tǒng)，其中試將系統(tǒng)作能控性規(guī)范分解。解：1）能控性判別矩陣，故系統(tǒng)不完全能控。2）從能控性矩陣中選出兩個線性無關(guān)的列向量和，附加任意列向量，構(gòu)成非奇異變換矩陣：則：，即可得到系統(tǒng)按能控性分解的規(guī)范表達式為：故能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：五、最小實現(xiàn)1．例4.35（補充）已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試求出系統(tǒng)的一個最小實現(xiàn)。解:則最小實現(xiàn)為：第5章系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷：1．例1（補充，結(jié)論5.3，5.6的應(yīng)用）已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為判斷系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性。解：（1）傳遞函數(shù)矩陣極點具有負實部，所以系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。（2）由系統(tǒng)特征方程求得系統(tǒng)矩陣A的特征值為，因其具有一個正的實特征值，不滿足系統(tǒng)矩陣A的特征值均具有負實部的條件，所以不是漸近穩(wěn)定的。2．例5.5（補充，結(jié)論5.22的應(yīng)用）：判斷下述線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：系統(tǒng)矩陣A為奇異矩陣，系統(tǒng)存在無窮多個平衡狀態(tài)。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為，其中和為任意實數(shù)，即狀態(tài)空間中平面上的每一個點均為平衡狀態(tài)，解系統(tǒng)的特征方程得特征值分別為：。又：顯然，最小多項式為。系統(tǒng)所有特征值均具有非正實部，且具有零實部的特征值是最小多項式的單根，因此系統(tǒng)的每一個平衡狀態(tài)都是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的。3．例5.6（補充，結(jié)論5.23的應(yīng)用）：判斷下述線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：系統(tǒng)矩陣A為非奇異，顯然原點是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)，解系統(tǒng)的特征方程得特征值分別為：。顯然，系統(tǒng)的所有特征值都具有負實部，所以系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。4．例5.7（結(jié)論5.24）設(shè)系統(tǒng)為試用李亞普諾夫方程判斷系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)狀態(tài)方程為，則，，即A為非奇異矩陣，原點x=0是唯一平衡狀態(tài)。令李亞普諾夫方程為則有得到：得到3個線性方程由于，，故P負定，則系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。5．求系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定時參數(shù)a的取值范圍。解：,勞斯表計算第6章線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合一、狀態(tài)反饋對系統(tǒng)能控性、能觀測性的影響：1．例6.1(補充題)：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（1）求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；（2）引入狀態(tài)變量的線性反饋，反饋增益矩陣為，反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀性是否改變，請說明理由。解:(1)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為能控規(guī)范型實現(xiàn)，根據(jù)傳遞函數(shù)分子、分母多項式的系數(shù)與能控規(guī)范型系數(shù)矩陣之間的對應(yīng)關(guān)系，可直接寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為注：也可由公式計算(2)定理：系統(tǒng)實現(xiàn)為最小實現(xiàn)，即為能控且能觀測的充要條件是，傳遞函數(shù)G(s)的分子分母間沒有零極點的對消，即與互質(zhì)。本題求出的G(s)的分子分母間沒有零極點的對消，是互質(zhì)的，所以原系統(tǒng)是完全能控且完全能觀測的。引入上述狀態(tài)反饋后的閉環(huán)反饋系統(tǒng)是能控不能觀測的，即能控性不變，能觀性發(fā)生了改變。狀態(tài)反饋的引入不改變系統(tǒng)的能控性，而能觀測性是否發(fā)生改變，要視具體情況而定，討論如下：引入狀態(tài)反饋后，閉環(huán)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為其傳遞函數(shù)矩陣為：閉環(huán)反饋系統(tǒng)出現(xiàn)零極點對消，被對消掉的極點就不能觀測了，所以引入狀態(tài)反饋后的閉環(huán)反饋系統(tǒng)是能控不能觀測的。二、狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題：1．例6.2(補充題)：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述能否通過狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定？請說明理由。解：由于此對角規(guī)范型中c包含元素全為零的行，故系統(tǒng)不完全能控。不能控的特征值為-1，滿足結(jié)論6.16:當(dāng)且僅當(dāng)線性定常系統(tǒng)的不能控部分漸近穩(wěn)定時，系統(tǒng)是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的。故該系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定。2．例6.3(補充題)：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述判斷系統(tǒng)能控性，若不完全能控，請進行結(jié)構(gòu)分解，并討論能否用狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。解：1.因為，故系統(tǒng)不完全能控。2.結(jié)構(gòu)分解：構(gòu)造變換矩陣，計算得計算：所以系統(tǒng)按能控性結(jié)構(gòu)分解后的狀態(tài)方程為可見，不能控子系統(tǒng)對應(yīng)的特征值為，即不能控子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，而能控子系統(tǒng)可通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)閉環(huán)極點的任意配置，故用狀態(tài)反饋可以使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。三、極點配置與狀態(tài)觀測器設(shè)計1．（極點配置問題）：已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，；求狀態(tài)反饋矩陣K=[k1k2k3]，使閉環(huán)系統(tǒng)的特征值為-2，-4，-5。求狀態(tài)反饋矩陣K=[k1k2k3]，使閉環(huán)系統(tǒng)的特征值為-2，-4，-5。解：期望特征多項式為；閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為：；比較特征多項式系數(shù)得到。2．（極點配置問題）:例6.8已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試問：是否存在狀態(tài)反饋矩陣k，使閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為如果存在，求出此狀態(tài)反饋矩陣k。解：1.系統(tǒng)的傳遞函數(shù)化簡為：由上式得到系統(tǒng)的能控規(guī)范形實現(xiàn)為：系統(tǒng)完全能控，可以通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)極點的任意配置。根據(jù)結(jié)論6.11狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點，所以期望的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：因此，閉環(huán)系統(tǒng)期望的特征多項式為：(1)引入狀態(tài)反饋后，得到的閉環(huán)系統(tǒng)實際的特征多項式為：(2)比較(1)和(2)，可得所以，所求的狀態(tài)反饋增益矩陣