專題3.1 變量之間的關系【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

第=1+1頁共sectionpages31頁專題3.1變量之間的關系【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷常量與變量】 3【題型2根據表格確定自變量、因變量及變化規(guī)律】 5【題型3用關系式表示兩個變量之間的關系】 8【題型4根據關系式求值】 10【題型5用圖象法表示變量之間的關系】 11【題型6從圖象中獲取信息】 13【題型7利用圖象解決幾何圖形問題】 17【題型8利用圖象解決分段計費問題】 19【題型9利用圖象解決行程問題】 22【題型10動點與圖象】 26【知識點變量之間的關系】一、變量、自變量、因變量1、在某一變化過程中，不斷變化的量叫做變量。2、如果一個變量y隨另一個變量x的變化而變化，則把x叫做自變量，y叫做因變量。3、自變量與因變量的確定：（1）自變量是先發(fā)生變化的量；因變量是后發(fā)生變化的量。（2）自變量是主動發(fā)生變化的量，因變量是隨著自變量的變化而發(fā)生變化的量。（3）利用具體情境來體會兩者的依存關系。二、表格1、表格是表達、反映數據的一種重要形式，從中獲取信息、研究不同量之間的關系。（1）首先要明確表格中所列的是哪兩個量；（2）分清哪一個量為自變量，哪一個量為因變量；（3）結合實際情境理解它們之間的關系。2、繪制表格表示兩個變量之間關系（1）列表時首先要確定各行、各列的欄目；（2）一般有兩行，第一行表示自變量，第二行表示因變量；（3）寫出欄目名稱，有時還根據問題內容寫上單位；（4）在第一行列出自變量的各個變化取值；第二行對應列出因變量的各個變化取值。（5）一般情況下，自變量的取值從左到右應按由小到大的順序排列，這樣便于反映因變量與自變量之間的關系。三、關系式1、用關系式表示因變量與自變量之間的關系時，通常是用含有自變量（用字母表示）的代數式表示因變量（也用字母表示），這樣的數學式子（等式）叫做關系式。2、關系式的寫法不同于方程，必須將因變量單獨寫在等號的左邊。3、求兩個變量之間關系式的途徑：（1）將自變量和因變量看作兩個未知數，根據題意列出關于未知數的方程，并最終寫成關系式的形式。（2）根據表格中所列的數據寫出變量之間的關系式；（3）根據實際問題中的基本數量關系寫出變量之間的關系式；（4）根據圖象寫出與之對應的變量之間的關系式。4、關系式的應用：（1）利用關系式能根據任何一個自變量的值求出相應的因變量的值；（2）同樣也可以根據任何一個因變量的值求出相應的自變量的值；（3）根據關系式求值的實質就是解一元一次方程（求自變量的值）或求代數式的值（求因變量的值）。四、圖象1、圖象是刻畫變量之間關系的又一重要方法，其特點是非常直觀、形象。2、圖象能清楚地反映出因變量隨自變量變化而變化的情況。3、用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數軸（又稱橫軸）上的點表示自變量，用豎直方向的數軸（又稱縱軸）上的點表示因變量。4、圖象上的點：（1）對于某個具體圖象上的點，過該點作橫軸的垂線，垂足的數據即為該點自變量的取值；（2）過該點作縱軸的垂線，垂足的數據即為該點相應因變量的值。（3）由自變量的值求對應的因變量的值時，可在橫軸上找到表示自變量的值的點，過這個點作橫軸的垂線與圖象交于某點，再過交點作縱軸的垂線，縱軸上垂足所表示的數據即為因變量的相應值。（4）把以上作垂線的過程過來可由因變量的值求得相應的自變量的值。5、圖象理解（1）理解圖象上某一個點的意義，一要看橫軸、縱軸分別表示哪個變量；（2）看該點所對應的橫軸、縱軸的位置（數據）；（3）從圖象上還可以得到隨著自變量的變化，因變量的變化趨勢。五、速度圖象1、弄清哪一條軸（通常是縱軸）表示速度，哪一條軸（通常是橫軸）表示時間；2、準確讀懂不同走向的線所表示的意義：（1）上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表速度增加；（2）水平的線：與水平軸（橫軸）平行的線，其代表勻速行駛或靜止；（3）下降的線：從左向右呈下降狀的線，其代表速度減小。六、路程圖象1、弄清哪一條軸（通常是縱軸）表示路程，哪一條軸（通常是橫軸）表示時間；2、準確讀懂不同走向的線所表示的意義：（1）上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表勻速遠離起點（或已知定點）；（2）水平的線：與水平軸（橫軸）平行的線，其代表靜止；（3）下降的線：從左向右呈下降狀的線，其代表反向運動返回起點（或已知定點）。七、三種變量之間關系的表達方法與特點：表格法：多個變量可以同時出現在同一張表格中關系式法：準確地反映了因變量與自變量的數值關系圖象法 直觀、形象地給出了因變量隨自變量的變化趨勢【題型1判斷常量與變量】【例1】（2023上·安徽六安·七年級校考階段練習）已知一個長方形的面積為15cm2，它的長為acm，寬為bcm，下列說法正確的是（

）A．常量為15，變量為a，b B．常量為15，a，變量為bC．常量為15，b，變量為a D．常量為a，b，變量為15【答案】A【分析】本題考查了常量與變量，解題的關鍵是根據變量和常量的定義來解答．根據變量和常量的定義來選擇．【詳解】解：由題意得：ab=15，長方形的面積為15，始終不變?yōu)槌Ａ?，長a和寬b的數值發(fā)生變化為變量，故選：A【變式1-1】（2023上·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）球的體積是M，球的半徑為R，則M=43πA．變量是M，R；常量是43π B．變量是R，πC．變量是M，π：常量是3，4 D．變量是R，常量是M【答案】A【分析】根據變量和常量的定義：在一個變化的過程中，數值發(fā)生變化的量稱為變量；數值始終不變的量稱為常量，根據常量和變量的概念解答即可．【詳解】解：M=43πR3中變量是M故選A．【變式1-2】（2023下·安徽蚌埠·七年級統(tǒng)考期末）小邢到單位附近的加油站加油，下圖所示是他所用的加油機上的數據顯示牌，則數據中的變量是．

【答案】金額與數量【分析】根據常量與變量的定義即可判斷．【詳解】解：常量是固定不變的量，變量是變化的量，單價6.48是不變的量，而金額是隨著數量的變化而變化，∴變量是：金額與數量．故答案為：金額與數量．【點睛】本題考查常量與變量，解題的關鍵是正確理解常量與變量，本題屬于基礎題型．【變式1-3】（2023下·山東青島·六年級統(tǒng)考期末）用黑、白兩種顏色的正六邊形地板磚鑲嵌成若干圖案（如圖），則第n個圖案中白色地板磚的總塊數N（塊）與n之間的關系式是，其中常量是，變量是．【答案】N=4n+22，4N，n【分析】根據圖形所呈現的規(guī)律得出白色地板磚的總塊數N（塊）與n之間的關系式，再確定自變量、因變量．【詳解】由圖①可得：N=1×6－（1－1）×2＝6；由圖②可得：N=2╳6-（2-1）╳2=10；由圖③可得：N=3╳6-（3-1）╳2=14；由上可得圖形規(guī)律為：N=6n-2（n-1）=4n+2，常量為4，2；變量為白色地板磚的總塊數N與n，故答案為：N=4n+2；4，2；白色地板磚的總塊數N與n．【點睛】考查常量與變量以及圖形的變化類，解題關鍵是發(fā)現圖形所呈現的規(guī)律．【題型2根據表格確定自變量、因變量及變化規(guī)律】【例2】（2023上·廣東茂名·七年級校考期中）填寫下表，并觀察表中兩個代數式的值的變化情況．a12345678…5a+6…a…(1)隨著a的值逐漸增大，兩個代數式的值有什么變化？(2)估計哪個代數式的值先達到100；(3)在表左端的代數式中，哪些量是變量？哪些量是常量？【答案】(1)隨著a的值逐漸增大，兩個代數式的值也隨著增大(2)a(3)在5a+6中，自變量為a，常量為5和6；在a2中，自變量為a【分析】本題考查了變量和常量．熟練掌握在一個變化的過程中，數值發(fā)生變化的量稱為變量；數值始終不變的量稱為常量是解題的關鍵．（1）通過計算填表格，然后依據表格中的數值變化進行作答即可；（2）依據表格中的數值變化進行作答即可；（3）根據變量、常量的定義進行作答即可．【詳解】（1）解：由題意，填表格如下：a12345678…5a+61116212631364146…a1491625364964…由表格可知，隨著a的值逐漸增大，兩個代數式的值也隨著增大；（2）解：由表格可知，a2∴估計a2先達到100（3）解：由題意知，在5a+6中，自變量為a，常量為5和6；在a2中，自變量為a【變式2-1】（2023下·七年級單元測試）某科研小組在網上獲取了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度之間的關系的一些數據（如下表）：溫度（℃）?20?100102030聲速（m/s）318324330336342348下列說法中錯誤的是（

）A．在這個變化過程中，自變量是溫度，因變量是聲速B．溫度越高，聲速越快C．當空氣溫度為20℃時，5s內聲音可以傳播1740mD．溫度每升高10°C【答案】C【分析】根據自變量、因變量的定義，以及聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關系逐項判定即可．【詳解】解：∵在這個變化中，自變量是溫度，因變量是聲速，∴選項A說法正確，不符合題意；∵根據數據表，可得溫度越低，聲速越慢，溫度越高，聲速越快，∴選項B說法正確，不符合題意；由列表可知，當空氣溫度為20℃時，聲速為342m/s，聲音5s可以傳播1710∴選項C說法不正確，符合題意；∵324?318=6m/s，330?324=6m/s，336?330=6m/s，342?336=6m/s，348?342=6m/s，∴當溫度每升高10℃，聲速增加6m/s∴選項D說法正確，不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了自變量、因變量等知識點．熟練掌握自變量、因變量的定義是解題的關鍵．在一個變化過程種，如果有兩個變量x和y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么x是自變量，y是因變量．【變式2-2】（2023下·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期中）某校一課外小組準備進行“綠色環(huán)?！钡男麄骰顒?，需要制作宣傳單，校園附近有一家印刷社，收費y（元）與印刷數量x（張）之間關系如表：印刷數量x（張）…100200300400…收費y（元）…15304560…（1）表格體現了哪兩個變量之間的關系?（2）直接寫出收費y（元）與印刷數量x（張）之間關系式；（3）若收費為300元，求印刷宣傳單的數量．【答案】（1）上表反映了印刷數量和收費兩個變量之間的關系；（2）y=0.15x；（3）花費300元時，印了2000張宣傳單．【分析】（1）根據表格數據即可得到反映了印刷數量和收費兩個變量之間的關系；（2）由表可知印刷數量每增加100張，收費增加15元，由此求解即可；（3）根據（2）可以知道y=0.15x，由此求解即可.【詳解】解：（1）上表反映了印刷數量和收費兩個變量之間的關系；（2）由上表可知：印刷數量每增加100張，收費增加15元，所以每張的價格是0.15元．所以收費y（元）與印刷數量x（張）之間的關系式為y=0.15x（3）由（2）知y=0.15x，所以0.15x=300，解得x=2000所以花費300元時，印了2000張宣傳單．【點睛】本題主要考查了用表格表示兩個變量的關系，解題的關鍵在于能夠準確根據表格找到對應的關系.【變式2-3】（2023下·河北滄州·七年級校考期中）聲音在空氣中傳播的速度（聲速）y（m/s）與溫度x(溫度/°05101520聲速/（m/s）331334337340343從表中可知聲速y隨溫度x的增大而．在溫度為20℃的一天召開運動會，某人看到發(fā)令槍的煙0.2s后，聽到了槍聲，則由此可知，這個人距離發(fā)令槍m．【答案】增大34.3【分析】從表格可以看到y(tǒng)隨x的增大而增大；20°C時，音速為343米/秒，距離為【詳解】解：從表格可以看到y(tǒng)隨x的增大而增大，20°C時，音速為343米∴343×0.1=34.3米，∴這個人距離發(fā)令點34.3米．故答案為：增大，34.3．【點睛】本題考查變量之間的關系，能夠通過表格觀察出變量的變化關系，利用表格的數據計算距離是解題的關鍵．【題型3用關系式表示兩個變量之間的關系】【例3】（2023下·貴州畢節(jié)·七年級校聯考期中）將一根長為10cm的鐵絲制作成一個長方形，則這個長方形的長y（cm）與寬x（cm）之間的關系式為．（不用寫出自變量x【答案】y=?x+5/y=5?x【分析】根據長方形的周長得出關系式即可．【詳解】解：由題意得：這個長方形的長y(cm)與寬x(cm即y=?x+5，故答案為：y=?x+5．【點睛】此題考查關系式，根據題意，找到所求量的等量關系是解決問題的關鍵．【變式3-1】（2023下·河南焦作·七年級統(tǒng)考期中）已知長方形的周長為20，設長與寬分別為x，y，則y與x的關系式為.【答案】y=10?x【分析】由題意知，2x+y【詳解】解：由題意知，2x+y=20，整理得∴y與x的關系式為y=10?x，故答案為：y=10?x．【點睛】本題考查了用關系式表示變量間的關系．解題的關鍵在于理解題意．【變式3-2】（2023下·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期末）某超市“6.18”期間做促銷優(yōu)惠活動，凡一次性購物超過100元以上者，超過100元的部分按8.5折優(yōu)惠．小字在此期間到該超市為單位購買單價為60元的辦公用品x件x>2，則應付款y元（元）與商品件數x的關系式是．【答案】y=51x+15/y=15+51x【分析】根據題意可得y>100，所以應付貨款超過100的部分按8.5折優(yōu)惠，進行計算即可得到答案．【詳解】解：∵x>2，∴y>100，∴y=100+0.8560x?100∴應付款y元（元）與商品件數x的關系式是：y=51x+15，故答案為：y=51x+15．【點睛】本題主要考查了用關系式表示變量之間的關系，解題的關鍵是找出題目的等量關系．【變式3-3】（2023下·陜西寶雞·七年級統(tǒng)考期中）如圖，程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”．根據圖中的程序算法過程，可得y與x之間的關系式是．

【答案】y=?3x+2【分析】根據流程圖的順序列出式子，再化簡即可．【詳解】解：由題意可得：y=?x故答案為：y=?3x+2．【點睛】本題考查了程序框圖和算法，解題的關鍵是根據所給順序正確列式．【題型4根據關系式求值】【例4】（2023上·浙江·七年級專題練習）洲際彈道導彈的速度會隨著時間的變化而變化，某種型號的洲際彈道導彈的速度v(km/h)與時間t(h)的關系是v=1000+50t【答案】1010【分析】直接將t=0.2代入v=1000+50t，計算即可求得該導彈的速度．【詳解】解：∵導彈的速度v(km/h)與時間t(?)的關系是∴當t=0.2時，v=1000+50×0.2=1010(故答案為：1010．【點睛】本題考查了根據關系式求值，把自變量的值代入關系式進行計算即可，比較簡單．【變式4-1】（2023下·重慶沙坪壩·七年級重慶南開中學?？计谀┠称放菩履茉雌囯姵厝萘縰（千瓦時）與使用時長t(小時)的關系可近似地用關系式u=100-8t2來表示，則當t=2時，汽車電池容量為千瓦時．【答案】68【分析】將t=2，代入關系式u=100-8t2，求值即可．【詳解】解：當t=2時，u=100?8t故答案為：68．【點睛】本題考查根據關系式求值，把自變量取值代入關系式即可．【變式4-2】（2023下·七年級單元測試）農村“雨污分流”工程是“美麗鄉(xiāng)村”戰(zhàn)略的重要組成部分，農村要鋪設一條全長為1000米的“雨污分流”管道，現在工程隊鋪設管道施工時間x（天）與鋪設管道長度y（米）之間的關系用表格表示：時間（x/天）12345…管道長度（y/米）20406080100…則施工8天后，未鋪設的管道長度為米．【答案】840【分析】先根據題意求出y=20x，進而求出x=8時，y=160，由此即可得到答案．【詳解】解：觀察表格數據可知：每增加1天，多鋪設的管道20米，∴y=20x，當x=8時，y=160，∴未鋪設的管道長度為：1000?160=840（米）．故答案為：840．【點睛】本題主要考查了根據關系式求值，正確理解題意列出y與x的關系式是解題的關鍵．【變式4-3】（2023下·七年級統(tǒng)考課時練習）剎車距離s(m)與剎車時的速度v(m/s)有如下關系：s=v210，小李以36km/?的速度行駛在路上．突然發(fā)現前方8m【答案】否【分析】把v=36km/?先換算單位為10m/s，再代入關系式即可求出s的值，然后與8米作比較即得答案．【詳解】解：當v=36km/?=10m/s時，s=10故答案為：否．【點睛】本題考查了已知自變量求因變量的值，屬于基本計算題，先換算單位、再準確計算是解題關鍵．【題型5用圖象法表示變量之間的關系】【例5】（2023下·山東青島·七年級統(tǒng)考期中）在2022年的卡塔爾世界杯中，阿根廷守門員馬丁內斯表現突出，他大腳開出去的球的高度與球在空中運行時間的關系，用圖象描述大致是如圖中的（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由題意可知，踢出去的足球先上向上運動，到達最高點后向下運動，據此即可判斷出答案【詳解】解：足球守門員馬丁內斯大腳開出去的球，踢出去的足球先上向上運動，到達最高點后向下運動，即高度h先越來越大，再越來越小，故選：A．【點睛】本題考查了用圖象表示變量之間的關系，解題關鍵是了解兩個變量之間的關系，解決此類題目還應有一定的生活經驗．【變式5-1】（2023下·重慶·七年級重慶一中?？茧A段練習）一水池放水，先用一臺抽水機工作一段時間后停止，然后再調來一臺同型號抽水機，兩臺抽水機同時工作直到抽干．設開始工作的時間為t，剩下的水量為s，下面能反映s與t之間的關系的大致圖像是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據題目中抽水機的工作情況，判斷隨著開始工作的時間t的增加，剩下的水量s的變化情況即可．【詳解】解：根據題意可知隨著抽水機工作，剩下的水量越來越少．而且一臺抽水機工作的效率比兩臺抽水機工作效率慢，所以兩臺抽水機工作時，剩下的水量減少的速度更快．故選：D．【點睛】本題考查用圖像表示變量間的關系，正確理解題意是解題關鍵．【變式5-2】（2023下·重慶南岸·七年級校聯考期中）上周上完體育課，小強從超市買來一瓶結了冰的礦泉水，還未來得及喝，就上課了，于是小強把礦泉水放在了書桌上，其水溫與放置時間的關系大致圖象為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據水溫隨時間變化的關系為逐漸升高，且升高的越來越慢，最后和室溫相同，不再上升，即可進行解答．【詳解】解：根據題意：水溫隨時間變化的關系為逐漸升高，且升高的越來越慢，最后和室溫相同，故選：B．【點睛】本題主要考查了用圖象表示變量之間的關系，解題的關鍵是掌握水溫隨時間變化的關系為逐漸升高，且升高的越來越慢，最后和室溫相同．【變式5-3】（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）南湖隧道是南寧市建成的首條水底隧道．一輛小汽車勻速通過南湖隧道，小汽車車身在隧道內的長度記為y米，小汽車進入隧道的時間記為t秒，則y與t之間的關系用圖象描述大致是（

）

B．

C．

D．

【答案】D【分析】火車通過隧道分為3個過程：逐漸進入隧道，完全進入隧道并在其中行駛，逐漸出隧道，進而求解即可．【詳解】火車在逐漸進入隧道的過程中，火車在隧道內的長度逐漸增加；火車完全進入隧道后，還在隧道內行駛一段時間，因此在隧道內的長度是火車長，且保持一段時間不變；火車在逐漸出隧道的過程中，火車在隧道內的長度逐漸減少；符合上述分析過程的為：D．故選：D．【點睛】本題考查用圖象表示變量之間的關系，解題關鍵是分析事件變化的過程，并能夠匹配對應圖像變化.【題型6從圖象中獲取信息】【例6】（2023上·陜西榆林·七年級校考開學考試）騎自行車是一種健康自然的運動旅游方式，長期堅持騎自行車可增強心血管功能，提高人體新陳代謝和免疫力.如圖是騎行愛好者老劉某天騎自行車行駛路程（km）與時間（h）的關系圖象，觀察圖象得到下列信息，其中錯誤的是（）

A．點P表示老劉出發(fā)5h，他一共騎行80km C．0~2h老劉的騎行速度為15km/h D．老劉的騎行在【答案】B【分析】仔細觀察圖象，結合路程、速度、時間的關系逐項判斷即可．【詳解】解：由圖可知，點P所對應的路程為80km，時間為5h，即表示出發(fā)5h，老劉共騎行80km，故A正確，不符合題意；∵2~3h∴老劉實際騎行時間為5?1=4h∵0~2h∴0~2h的速度為30∵3~5h騎行的路程為80?30=50∴3~5h的速度為50∵15<25，∴老劉的騎行在0~2h的速度比3~5故選：B．【點睛】本題考查了用圖象表示變量之間的關系，讀懂題意，從所給的圖象中獲取解題所需要的信息是解題的關鍵．【變式6-1】（2023上·山東菏澤·六年級菏澤市牡丹區(qū)第二十一初級中學?？计谀┤鐖D，一只兔子和一只小狗從同一地點出發(fā)．下面說法正確的是（）A．小狗的速度始終比兔子快B．整個過程中，小狗和兔子的平均速度相同C．在前3秒內，小狗比兔子跑得快【答案】B【分析】由圖可知：在前3秒內，小狗比兔子跑得慢，即可判定A、C，根據小狗與兔子同時出發(fā)，同時到達，即可判定B．【詳解】解：由圖可知：在前3秒內，小狗比兔子跑得慢，故A、C錯誤；由圖可知：小狗與兔子同時出發(fā)，8分鐘時都跑了8米，故整個過程中，小狗和兔子的平均速度相同，故B正確，故選：B．【點睛】本題考查了利用圖象解決問題，從圖象中獲取相關信息是解決本題的關鍵．【變式6-2】（2023下·七年級課時練習）如圖，圖象記錄了某地一月份某天的溫度隨時間變化的情況，請你仔細觀察圖象，根據圖中提供的信息，判斷不符合圖象描述的說法是(

)A．20時的溫度約為-1℃B．溫度是2℃的時刻是12時C．最暖和的時刻是14時D．在-3℃以下的時間約為8小時【答案】B【詳解】A選項，由圖可知，20時的溫度接近-1℃，所以A中說法正確；B選項，由圖可知，溫度為2℃的時刻是14時，所以B中說法錯誤；C選項，由圖可知，溫度最高的時刻是14時，所以C中說法正確；D選項，由圖可知，溫度在-3℃以下的時間從0時到8時，共計約8小時，所以D中說法正確；故選B.【變式6-3】（2023下·廣東佛山·七年級統(tǒng)考期末）甲、乙兩車沿同一條路從A地出發(fā)勻速行駛至相距300km的B地，甲出發(fā)1小時后乙再出發(fā)，如圖表示甲、乙兩車離開A地的距離skm與乙出發(fā)的時間thA．甲車的速度是60km/h B．乙車的速度是C．a的值為60，b的值為4 D．甲車出發(fā)2.3h【答案】D【分析】根據圖象，列出關于a，b的方程，求出a，b的值，從而即可逐一判斷各個選項．【詳解】解：根據圖象可知，（300-a）÷b=（240-a）÷3=a÷1，解得：a=60，b=4，甲車的速度=60÷1=60km/h，乙車的速度=300÷3=100km/h，故A，B，C正確，不符合題意；∵60÷（100-60）=1.5，1.5+1=2.5h，∴甲車出發(fā)2.5h故D錯誤，符合題意，故選D．【點睛】本題考查了用圖像表示的變量間關系，理解圖象以及分別求出甲、乙兩人的速度是解題的關鍵．【題型7利用圖象解決幾何圖形問題】【例7】（2023下·河南周口·七年級校考階段練習）如圖，一個動點P從點A出發(fā)，沿著弧線AB，線段BO，OA勻速運動到A，當點P運動的時間為t時，OP的長為s，則s與t的關系可以用圖象大致表示為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分別判斷出點P在弧線AB上時，點P在線段BO上時，點P在線段OA上時，OP的變化情況，然后可得答案．【詳解】解：點P在弧線AB上時，OP的長不變；當點P在線段BO上運動時，OP的長逐漸變??；當點P在線段OA上運動時，OP的長逐漸變大；所以D選項的圖象符合．故選：D．【點睛】本題考查了用圖象表示變量間的關系，理清點P在各邊時OP長度的變化情況是解題的關鍵．【變式7-1】（2023上·浙江寧波·七年級統(tǒng)考開學考試）水滴進玻璃容器（滴水速度相同）實驗中，水的高度隨滴水時間變化的情況（下左圖），下面符合條件的示意圖是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】判斷各容器的水的高度隨時間上升的快慢進行判斷即可．【詳解】解：根據圖象，水的高度隨滴水時間變化，先上升的快，后上升的慢，選項A、B、C中容器上下粗細均勻，水的高度隨滴水時間變化，上升速度一致，不符合題意；選項D中容器下細上粗，水的高度隨滴水時間變化，先上升的快，后上升的慢，符合題意，故選：D．【點睛】本題考查用圖象表示變量間的關系，從圖象中得到水的高度隨時間上升的快慢以及各容器的結構是解答的關鍵．【變式7-2】（2023下·四川成都·七年級?？计谥校┤鐖D1，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，沿B→C→A勻速運動到點A，圖2是點P運動時，線段BP的長度y隨時間x變化的關系圖象，其中M為曲線部分的最低點，則AC邊上的高長為．【答案】4【分析】根據題意，當點P從B運動到A的過程中，BP由0開始增大，到C時最大為5；當點P從C運動到A的過程中，BP的長度先減小，當BP⊥AC時達到最小，最小值為4，然后又增大，進而可求解．【詳解】解：根據題意，結合圖1和圖2，當點P從B運動到A的過程中，BP由0開始增大，到C時，BP最大為5；當點P從C運動到A的過程中，BP的長度先減小，當BP⊥AC時達到最小，最小值為4，然后又開始增大，則AC邊上的高長為4，故答案為：4．【點睛】本題考查圖象的理解和應用，把圖形和圖象結合理解得到線段長度的變化是解答的關鍵．【變式7-3】（2023下·山東青島·七年級?？计谥校┤鐖D1，在某個底面積為20cm2盛水容器內，有一個實心圓柱體鐵塊，現在勻速持續(xù)地向容器內注水，容器內水的的高度y（cm）和注水時間x（s）之間的關系滿足如圖中的圖象，則水流速度是cm3/s．【答案】40【分析】由圖可知：5s時，水面剛好到達實心圓柱體鐵塊頂端，5s后水面高度不受實心圓柱體鐵塊影響，用接下來6s鐘內注入水的體積除以時間即可求解．【詳解】解：由圖可知：5s時，水面剛好到達實心圓柱體鐵塊頂端，5s后水面高度不受實心圓柱體鐵塊影響，則水流速度為(15?11)×2011?5=80故答案為：403【點睛】本題考查了圖象的理解和應用，從圖像上正確獲取信息是解題關鍵．【題型8利用圖象解決分段計費問題】【例8】（2023下·四川雅安·七年級?？计谥校┠吵鞘袨榱思訌姽竦墓?jié)氣和用氣意識，按以下規(guī)定收取每月煤氣費：所用煤氣如果不超過50立方米，按每立方米0.8元收費；如果超過50立方米，超過部分按每立方米1.2元收費．設小麗家每月用氣量為x立方米，應交煤氣費為y元．(1)若小麗家某月用煤氣量為80立方米，則小麗家該月應交煤氣費多少元？(2)試寫出y與x之間的表達式；(3)若小麗家4月份的煤氣費為88元，那么她家4月份所用煤氣為多少立方米？【答案】(1)小麗家該月應交煤氣費76元(2)y=(3)小麗家4月份所用煤氣量為90立方米【分析】（1）根據超過50立方米，超過部分按每立方米1.2元收費，列式計算即可；（2）根據收費標準，分x≤50和x>50兩種情況，分別列出代數式即可；（3）設小麗家4月份所用煤氣量為a立方米，先判斷a是否大于50，然后代入對應的表達式中求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：0.8×50+1.2×80?50答：小麗家該月應交煤氣費76元；（2）當x≤50時，由題意得：y=0.8x；當x>50時，由題意得：y=0.8×50+1.2x?50所以y與x之間的表達式為y=0.8x（3）設小麗家4月份所用煤氣量為a立方米，因為0.8×50=40（元），而88元>40元，所以小麗家4月份所用煤氣量超過50立方米，由（2）得1.2a?20=88，解得a=90，答：小麗家4月份所用煤氣量為90立方米．【點睛】此題考查的是有理數混合運算的實際應用，列代數式，一元一次方程的應用，正確理解收費標準是解決此題的關鍵．【變式8-1】（2023下·陜西西安·七年級?？计谀榱嗽鰪姽竦墓?jié)水意識，某市制定了如下用水收費標準：月用水量水費不超過5t每噸2.4元超過5t超過的部分按每噸4元收費(1)該市某戶居民5月份用水xt（x＞5），應交水費y元，寫出y與x之間的關系式．(2)如果某戶居民某月交了24元水費，你能算出這個月這戶居民用了多少噸水嗎？【答案】(1)y=4x?8(2)用了8噸水【分析】（1）根據5t按每噸2.4元收費，x?5（2）先判斷出該戶居民這個月用水量超過了5噸，再求出（1）關系式中，當y=24時，x的值即可得．【詳解】（1）解：由題意得：y=5×2.4+4x?5即y=4x?8x>5（2）解：因為5×2.4=12<24，所以該戶居民這個月用水量超過了5噸，由（1）已得：y=4x?8x>5當y=24時，4x?8=24，解得x=8，答：這個月這戶居民用了8噸水．【點睛】本題考查了利用關系式表示變量間的關系、求自變量的值，理解用水收費標準，正確求出關系式是解題關鍵．【變式8-2】（2023下·七年級課時練習）“十一”黃金周期間，歡歡一家隨旅游團到某風景區(qū)旅游，集體門票的收費標準是：20人以內（含20人），每人25元；超過20人的，超過的部分每人10元．（1）寫出應收門票費y（元）與游覽人數x（人）（其中x≥20）之間的關系式．（2）利用（1）中的關系式計算：若歡歡一家所在的旅游團共54人，那么該旅游團購門票共花了多少錢？【答案】（1）y=10x+300（x為整數，且x≥20）；（2）購門票共花了840元．【詳解】(1)當x≥20時，y=10(x?20)+20×25=10x+300(其中x是整數)；(2)當x=54時，y=10x+300=840(元)，答：購門票共花了840元．【變式8-3】（2023·云南昭通·統(tǒng)考一模）我市通過“互聯網+”“大數據”等新科技，打造“智慧停車平臺”，著力化解城市“停車難”問題．市內某智慧公共停車場的收費標準是停車不超過30分鐘，不收費；超過30分鐘，不超過60分鐘，計1小時，收費3元；超過1小時后，超過1小時的部分按每小時2元收費（不足1小時，按1小時計）．(1)若張先生某次在該停車場停車2小時10分鐘，應交停車費元；若李先生也在該停車場停車，并支付了11元停車費，則該停車場是按小時（填整數）計時收費．(2)當x取整數且x≥1時，求該停車場停車費y（元）關于停車計時x（小時）的關系式．【答案】(1)7；5(2)y＝2x+1【分析】（1）根據題意可知，停車2小時10分鐘，則超出1小時的部分以2小時計算；支付停車費11元，則超出時間為（11﹣3）÷2＝4（小時），故停車場按5小時計時收費；（2）根據題意即可得出停車場停車費關于停車計時x（單位：小時）的關系式．【詳解】（1）解：若張先生某次在該停車場停車2小時10分鐘，應交停車費為：3+2×2＝7（元）；若李先生也在該停車場停車，支付停車費11元，則超出時間為（11﹣3）÷2＝4（小時），∴停車場按5小時計時收費的．故答案為：7；5；（2）當停車計時x（單位：小時）取整數且x≥1時，此時需繳停車費為y＝3+2（x﹣1）＝2x+1．答：停車場停車費y（元）關于停車計時x（小時）的關系式為y＝2x+1．【點睛】本題考查的是分段收費的理解，有理數的混合運算的實際應用，列利用關系式表示變量間的關系.【題型9利用圖象解決行程問題】【例9】（2023下·廣東深圳·七年級校考期中）甲、乙兩人騎車從學校出發(fā)，先上坡到距學校6千米的A地，再下坡到距學校16千米的B地，甲、乙兩人行駛的路程y(千米)與時間x(小時)之間的關系圖象如圖所示，若甲、乙兩人同時從B地按原路返回到學校，返回時，甲和乙上、下坡的速度仍保持不變，則在返回途中二人相遇時，他們倆從B地出發(fā)過去了小時．

【答案】5【分析】首先求出甲、乙兩人的上下坡的速度，上坡時，甲與乙之間的距離是越來越大的，甲在乙前面，到了下坡乙追上甲，設x小時乙追上甲．列出方程即可解決問題．【詳解】解：乙上坡的速度是：6÷35=10下坡的速度是：10÷(1110?甲的速度是：16÷43=12上坡時，甲與乙之間的距離是越來越大的，甲在乙前面，到了下坡乙追上甲，設x小時乙追上甲．則有：12x=10+20(x?1)，解得：x=5故答案為：54【點睛】本題考查速度、時間、路程之間的關系等知識，解題的關鍵是理解題意，學會構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式9-1】（2023上·浙江寧波·七年級統(tǒng)考開學考試）一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)，設慢車行駛的時間為x(h)，兩車之間的距離為y(km)，圖中的折線表示y

(1)甲、乙兩地之間的距離是___________千米．(2)求慢車和快車的速度．【答案】(1)900(2)慢車速度是75km/h，快車速度是150【分析】（1）根據快慢車0h相距900（2）根據慢車12h內行駛900【詳解】（1）解：由圖像可得，快慢車0h相距900故答案為：900km（2）解：由圖像可得，慢車總的走了12h∴慢車的速度為：90012快車速度是：(900?4×75)÷4=150km/h答：慢車速度是75km/h，快車速度是150【點睛】本題考查行程問題中的相遇問題，解題的關鍵是看懂圖像．【變式9-2】（2023下·江西吉安·七年級統(tǒng)考期中）某校為了選拔百米運動員，讓學生進行百米比賽，小明和小亮同時起跑，比賽情況如圖所示，其中橫軸表示時間ts，縱軸表示距起跑點的距離s

(1)小明和小亮的百米成績各是多少？(2)兩人的速度各是多少？(3)當小明到達終點時，小亮所跑的路程是多少？(4)小明和小亮到達終點后如果各自繼續(xù)以原速度往前跑，他們能否相遇？【答案】(1)小明的百米成績是12s，小亮的百米成績是(2)小明的速度253m(3)小亮所跑的路程為96(4)不能相遇，理由見解析【分析】（1）根據兩人到達終點時橫軸對應的時間可得答案；（2）根據速度=百米距離÷時間可求解；（3）用小明到達終點的時間乘以小亮的速度求解即可；（4）根據圖象向右上方延伸沒有交點可得結論．【詳解】（1）解：根據圖象，小明百米成績是12s，小亮百米成績12.5（2）解：小明的速度為100÷12=253m（3）解：當小明到達終點時，用時12s，此時小亮所跑路程為8×12=96（4）解：不能相遇，因為兩人原速度往前跑，且小亮比小明速度慢，兩圖象向右上方延伸沒有交點，故不會有相同時間和相同路程，所以兩人不會相遇．【點睛】本題考查圖象的讀圖能力，理解題意，從圖象上獲取所需信息是解答的關鍵．【變式9-3】（2023下·遼寧丹東·七年級統(tǒng)考期末）小明和媽媽一起在一條筆直的跑道上鍛煉身體，到達起點后小明做了一會準備活動，媽媽先跑．當小明出發(fā)時，媽媽已經距離起點200米．他們距起點的距離s（米）與小明出發(fā)的時間t（秒）之間的關系如圖所示，根據圖中給出的信息解答下列問題：

(1)小明出發(fā)之后，前70秒的速度是__________米/秒；媽媽的速度是__________米/秒；(2)a表示的數字是____________；(3)直接寫出小明出發(fā)后的110秒內，兩人何時相距60米．【答案】(1)6，2(2)小明和媽媽相遇時距起點的距離(3)小明出發(fā)后的110秒內，兩人分別于35秒、65秒和80秒時相距60米【分析】（1）小明在前70秒內跑過的距離除以所用時間即可；而媽媽的速度始終不變，在110秒內跑過的距離除以所用時間即可；（2）兩圖象的交點處表示兩人相遇．因此，a表示的數字是小明和媽媽相遇時距離起點的距離；（3）兩人有可能三次相距60米，分別在第一次相遇前、第一次相遇后且t≤70、70≤t≤110時，分別討論計算即可．【詳解】（1）解：由圖象可知，小明在前70秒內跑過的距離是420米，∴小明前70秒的速度是420÷70=6（米/秒）．媽媽的速度始終不變，在110秒內跑過的距離是420?200=220（米)，∴媽媽的速度是220÷110=2（米/秒）．故答案為：6，2．（2）解：兩圖象的交點處表示兩人相遇，∴a表示的數字是小明和媽媽相遇時距起點的距離．故答案為：小明和媽媽相遇時距起點的距離．（3）解：由題意可知，媽媽距起點的距離s1與小明出發(fā)的時間t之間的關系式為s當0≤t≤70時，設小明距起點的距離s2與小明出發(fā)的時間t之間的關系式為s①在第一次相遇前，當兩人第一次相距60米時，得2t+200?6t=60，解得t=35；②在第一次相遇后且t≤70，當兩人第二次相距60米時，得6t?(2t+200)=60，解得t=65．③當70≤t≤110時，兩人第三次相距60米時，得420?(2t+200)=60，解得t=80．綜上，小明出發(fā)后的110秒內，兩人分別于35秒、65秒和80秒時相距60米．【點睛】本題考查用關系式表示變量間的關系、用圖象表示變量間的關系、一元一次方程的應用，從圖象上獲取有用的信息是解答本題的關鍵．【題型10動點與圖象】【例10】（2023下·山東青島·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=AD=15cm，BC=20cm．動點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時動點Q從點C出發(fā)，以相同的速度沿CB方向勻速運動，當點P運動到點A時，P，Q兩點同時停止運動，連接AC

(1)當t為何值時，BP=BQ？(2)設三角形APC的面積為Scm2，求S與(3)在運動過程中，是否存在某一時刻t，使S三角形APC:【答案】(1)10(2)S=?10t+150(3)存在，t=【分析】（1）由題意可得BP=tcm，BQ=20?tcm，由BP=BQ（2）由BP=tcm，AB=15cm得到AP=AB?BP=15?tcm，又由（3）假設存在2S三角形APC=S【詳解】（1）解：由題意可得BP=tcm，BQ=由BP=BQ得到t=20?t．解得t=10．∴當t=10時，BP=BQ；（2）∵BP=tcm，AB=15∴AP=AB?BP=15?t∵BC=20cm，∠B=90°∴S=1∴S與t之間的關系式為S=?10t+150；（3）假設存在2S則2?10t+150解得t=15∴存在，當t=154時，使【變式10-1】（2023下·河北滄州·