2020-2021學(xué)年重慶市某中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年重慶市巴蜀中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.復(fù)數(shù)z滿足（2+z）*z=i-1,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)集合A={x||2x+l|V3},B={x|(x-2)(x+1)>0},則AC(CRB)=()

A.[-1,1)B.(-2,2]C.(-2,-1)D.(-1,1)

3.變量x,y之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):

X44.55.56

y1211109

已知變量y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為1/上，則的值是（）

y=-l.4x+aa

A.3B.3.5C.17D.17.5

4.二項(xiàng)式（對(duì)+乂）I2的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.5C.4D.3

5.為做好社區(qū)新冠疫情防控工作，需將五名志愿者分配到三個(gè)社區(qū)去開展工作，每名志愿

者只分配到一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少分配一名志愿者，志愿者甲和乙必須去同一個(gè)社區(qū)，

則不同的分配方法共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

6.已知a,6為非零實(shí)數(shù)，則"a<b”是的（）

lbIlai

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.有5把外形一樣的鑰匙，其中3把能開鎖，2把不能開鎖.現(xiàn)準(zhǔn)備通過一一試開將其區(qū)

分出來，每次隨機(jī)抽出一把進(jìn)行試開，試開后不放回，則恰好試開3次就將能開鎖的和

不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

10101515

22

8.已知Fi,B為雙曲線C：b〉0）的左、右焦點(diǎn)，斜率為苫?的直線/

//4

過Fi分別交雙曲線左、右支于A、B點(diǎn)，|BA|=|BB|,則雙曲線C的漸近線方程為（

A

-y=±V?xB.y=±-^y^-xc.y=±-^y^-xD.y=+^￡n.x

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.下列有關(guān)命題的說法正確的是（）

A.命題“若x=l,則f=l”的逆否命題是真命題

B.命題“若x=l,則/=1”的否命題是“若x=l,則

C.命題“Vx>0,都有f>0”的否定是“外>0,使得/W0”

D.若p/\q為假命題，則p、q都為假命題

10.為了解全市居民月用水量，隨機(jī)抽取了1000戶居民進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月用水量都

在0?24r之間，進(jìn)行等距離分組后，圖1是分成6組，圖2是分成12組，分別畫出頻

率分布直方圖如圖所示:

（華立）

圖1圖2

則下列說法正確的是（）

A.從圖1中知：抽取的月用水量在［4,8）f之間的居民有50戶

B.從圖1中知：月用水量的90。分位數(shù)為

C.由圖1估計(jì)全市居民月用水量的平均值為7.78（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)

值表示）

D.圖1中：組數(shù)少，組距大，容易看出數(shù)據(jù)整體的分布特點(diǎn)；圖2中：組數(shù)多，組距小，

不容易看出總體數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)

11.如圖，在正方體ABCD-A/iG。中，E為A山的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不包

括端點(diǎn)），則（）

5

A.對(duì)任意的F點(diǎn)，三棱錐F-AQE與三棱錐Ai-AOE的體積相等

B.對(duì)任意的F點(diǎn)過。，E,F三點(diǎn)的截面始終是梯形

C.存在點(diǎn)凡使得斯〃平面4G。

D.存在點(diǎn)F,使得E/，平面BDG

12.已知正數(shù)“，〃滿足"2方=1,則()

19

A."有最大值!B.二」有最小值8

Oab

C.工+^?有最小值4D.層+加有最小值!

ba5

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知集合4={3,同},B={a,1},AUB={1,2,3,-2],則a的值為.

14.甲、乙兩人獨(dú)立正確解答一道數(shù)學(xué)題的概率分別是?1，假定兩人是否正確解答互不

35

影響，則甲、乙兩人至少有一人正確解答這道題的概率為.

15.從星期一到星期五安排甲，乙，丙三人值班，其中1人值1天班，另2人各值2天班,

則不同的安排方法共有種.

16.函數(shù)f(數(shù)=>°色音I的最小值為.

8

四、解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分。解答題應(yīng)

寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17.己知拋物線C：x1=2py(p>0)的焦點(diǎn)/與雙曲線E：1_乂2=1的一個(gè)焦點(diǎn)重合.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過拋物線C的焦點(diǎn)的直線/交拋物線于A,B兩點(diǎn)，且|AB|=10,求直線/的方程.

18.2021年6月2日巴蜀中學(xué)成功地舉辦了一年一度的大型學(xué)生社團(tuán)文化節(jié)，吸引了眾多

學(xué)生.巴蜀中學(xué)目前共有社團(tuán)近40個(gè)，由高一和高二學(xué)生組成，參加社團(tuán)的學(xué)生共有四

百人左右.已知巴蜀中學(xué)高一和高二的所有學(xué)生中男生與女生人數(shù)比為6：4,為了解學(xué)

生參加社團(tuán)活動(dòng)的情況，按性別采用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生，統(tǒng)計(jì)得到如圖等高

累積型條形圖：

■參加社團(tuán)

未參加社團(tuán)

男生女生

(1)求巴蜀中學(xué)參加社團(tuán)的學(xué)生中，任選1人是男生的概率；

(2)若抽取了100名學(xué)生，完成下列2X2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性

檢驗(yàn)，能否認(rèn)為巴蜀中學(xué)高一和高二學(xué)生的性別與參加學(xué)生社團(tuán)有關(guān)聯(lián)？請(qǐng)說明理由.

參加社團(tuán)未參加社團(tuán)合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

附：y2=----、嗎,----n=a+b+c+d.

7(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

19.如圖幾何體中，BB[,CCi都垂直于底面ABCi,已知如Bi=5iG=l,NA向G

=90°,A4i=l,8Bi=2,CCi=3.

(1)求該幾何體的體積；

(2)求平面ABC與平面4&G所成銳二面角的余弦值.

r

20.風(fēng)雨蒼黃百年路，高歌奮進(jìn)新征程，今年是中國共產(chǎn)黨成立100周年.為傳承紅色基因，

某市開展了“學(xué)黨史，擔(dān)使命”的中學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽，共一萬名學(xué)生參賽，其成績服

從正態(tài)分布N（72,81）.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的成績，得到如圖所示的莖葉圖.

（1）求這40名學(xué)生成績的中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）主辦單位計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)成績排在前228名的學(xué)生，則獲獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃為多少分？

（3）現(xiàn)從這40名成績?cè)冢?0,100］分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，依據(jù)（2）劃定的獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)

線，記這2人中獲獎(jiǎng)人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：尸（U-。）%0.6826,P（U-2。＜?Wu+2。）比0.9544,P（“-3

o＜gWu+3。）七0.9974.

519

6222345669

711112233455566889

812344569

91269

40名學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽成線

莖葉圖

21.已知函數(shù)/(x)—xlnx+ax1-2x+b在x—\處的切線方程為y=3x—^.

（1）求實(shí)數(shù)”，人的值;

（2）已知關(guān)于X的不等式r（x）|vr在（0,1）上恒成立，求實(shí)數(shù)r的取值范圍.

22.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一

書中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)例與兩定點(diǎn)。，P的距離之

比曾〉=入（入＞0,入戶1）,人是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，

IMPI

圓心在直線P。上.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為/+)2=4,定點(diǎn)分別

22r

為橢圓c9+^^l(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與右頂點(diǎn)4,且橢圓C的離心率為e=\.

a"2

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，過右焦點(diǎn)尸斜率為k(&>0)的直線/與橢圓C相交于8,。(點(diǎn)B在x軸

上方)，點(diǎn)S,7是橢圓C上異于B,。的兩點(diǎn)，S尸平分/BSD,TF平分NBTD.

(i)求的取值范圍；

(ii)將點(diǎn)S、F、T看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若△SFT外接圓的面積為8尹,

O

求直線/的方程.

參考答案

一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.復(fù)數(shù)z滿足（2+/）?z=/-1,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法法則和復(fù)數(shù)的幾何含義，即可求解.

i-l(i-l)(2-i)~l+3i

解:z=2+i=(2+i)(2-i)=5

則Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為z（4,?!）在第二象限.

55

故選：B.

2.設(shè)集合A={x||2x+l|V3},B={x\(%-2)(x+l)>0},貝ijAA(CRB)=()

A.[-1,1)B.(-2,2]C.(-2,-1)D.(-1,1)

【分析】可求出集合A,B,然后進(jìn)行補(bǔ)集和交集的運(yùn)算即可.

解：\*A={x\-3<2x+l<3}={x|-2<x<l},B={x|x<-1或x>2},

???CR8={X|-AA(CRB)=(X\-1^X<1}=[-1,1).

故選：A.

3.變量x,y之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):

X44.55.56

y1211109

已知變量y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為_144，則的值是（）

y-1.4x+aa

A.3B.3.5C.17D.17.5

【分析】求出樣本中心，將點(diǎn)代入回歸方程求解即可.

解：因?yàn)閤=5，y=10.5,

則把樣本中心點(diǎn)（5,10.5）代入回歸方程_144：

y-1.4x+a

所以a=?+L47=10.5+1.4X5=17.F

故選：D.

4.二項(xiàng)式（對(duì)+乂）I2的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為（)

A.6B.5C.4D.3

【分析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求出系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù).

解：；場(chǎng)歷展開式的通項(xiàng)為丁rrr,要使系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng),

'VS'JTr+i=C123X

r

需1■為有理數(shù)，所以，r=0,3,6,9,12,共5項(xiàng)，

3J

故選：B.

5.為做好社區(qū)新冠疫情防控工作，需將五名志愿者分配到三個(gè)社區(qū)去開展工作，每名志愿

者只分配到一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少分配一名志愿者，志愿者甲和乙必須去同一個(gè)社區(qū)，

則不同的分配方法共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

【分析】利用相鄰問題捆綁法，然后先分組后排的方法進(jìn)行計(jì)算即可.

解：?.?志愿者甲和乙必須去同一個(gè)社區(qū)，

...把甲乙兩人看作一個(gè)元素，則問題變成4個(gè)元素分成3組進(jìn)行排列，

貝怏有C/A$6X6=36種方法，

故選：D.

6.已知a,〃為非零實(shí)數(shù)，WiJua<bn是“不旦〒的（）

lbIlai

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】構(gòu)造函數(shù)/（X）=x|x|,利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性判斷即可.

解：設(shè)/（x）=x\x\f則/（x）為偶函數(shù)且在（0,+8）上為增函數(shù)，

lbIlai

：.a<b是/丁<1耳的充要條件，

lbIlai

故選：C.

7.有5把外形一樣的鑰匙，其中3把能開鎖，2把不能開鎖.現(xiàn)準(zhǔn)備通過一一試開將其區(qū)

分出來，每次隨機(jī)抽出一把進(jìn)行試開，試開后不放回，則恰好試開3次就將能開鎖的和

不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

10101515

【分析】恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的情況為3種：①前三

把都能開鎖，②第一把不能開鎖，第二把能開鎖，第三把不能開鎖，③第一把能開鎖，

第二把不能開鎖，第三把不能開鎖，由此能求出恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖

的鑰匙區(qū)分出來的概率.

解：有5把外形一樣的鑰匙，其中3把能開鎖，2把不能開鎖.現(xiàn)準(zhǔn)備通過一一試開將其

區(qū)分出來，

每次隨機(jī)抽出一把進(jìn)行試開，試開后不放回，

恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的情況為3種：

①前三把都能開鎖，②第一把不能開鎖，第二把能開鎖，第三把不能開鎖，

③第一把能開鎖，第二把不能開鎖，第三把不能開鎖，

...恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的概率為：

故選：A.

8.已知品，尸2為雙曲線C：三-二廣l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，斜率為苫?的直線/

a2b24

過為分別交雙曲線左、右支于A、8點(diǎn)，尸則雙曲線C的漸近線方程為()

A.y=±77xB.y=+-^￡xC.y=+-^S.D.y=+-^S

3vIAj-YAy-yAy-yA

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及可得AB=4a,根據(jù)勾股定理建立方程關(guān)系即

可得到結(jié)論.

解：設(shè)|FM|=|尸2劇=加，由雙曲線定義得:\F\A\=m-2a,\F\B\=m+2a,

所以|A8|=|Fi用-|FiA|=(m+2a)-(m-2a)=4。，

F?H?9

作尸2”_LQ8,中，lana=二鼻==，可得F2H=="i,,

F[H44

Rt△F2HA中,勾股定理得

2222八，/

|F2H|+|AH|=|AF2|=>(-1n0+(2a)=m=]6=7*……①，

□△6/2中，勾股定理得：IF2Hl2+|F1H|2=|FJ212nm2+(142=(2c)2,

2

可得至S_=4c2.......②，

16

由①②可得25X量=4C2,整理可得￡■=孕，即可得彳=孕_1^.

22

7a7a77

所以漸近線的斜率為+組運(yùn)，故漸近線方程為y=±m(xù)叵*

77

八,°

故選：D.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.下列有關(guān)命題的說法正確的是（）

A.命題“若x=l,則好=1”的逆否命題是真命題

B.命題“若x=l,則好=1”的否命題是“若x=l,則好#1”

C.命題“Vx>0,都有r>0”的否定是使得TWO”

D.若p/\q為假命題，貝IJp、4都為假命題

【分析】由原命題和其逆否命題的等價(jià)性可判斷4由命題的否命題的形式可判斷B；由

命題的否定的形式可判斷C；由復(fù)合命題的真假可判斷D

解：命題“若x=l,則/=1”正確，由原命題與其逆否命題同真同假，所以其逆否命題

是真命題，故A正確；

命題“若x=l,則f=l”的否命題是“若xWl,則3W1”，故8錯(cuò)誤：

命題“Vx>0,都有r>0”的否定是使得好W0”，故C正確；

若p/\q為假命題，則P、4中至少有一個(gè)為假命題，故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.為了解全市居民月用水量，隨機(jī)抽取了1000戶居民進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月用水量都

在。?24,之間，進(jìn)行等距離分組后，圖1是分成6組，圖2是分成12組，分別畫出頻

率分布直方圖如圖所示：

（生代t）逸0t)

圖1圖2

則下列說法正確的是（）

A.從圖1中知：抽取的月用水量在［4,8）f之間的居民有50戶

B.從圖1中知：月用水量的90°分位數(shù)為18/

C.由圖1估計(jì)全市居民月用水量的平均值為7.76/（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)

值表示）

D.圖1中：組數(shù)少，組距大，容易看出數(shù)據(jù)整體的分布特點(diǎn)：圖2中：組數(shù)多，組距小，

不容易看出總體數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及分位數(shù)和平均值的公式，即

可求解.

解：從左圖可知，抽取的月用水量在［4,8）t之間的頻率為1-4X

（0.1+0.04+0.02+0.03+0.01）=0.2,故居民有1000X0.2=200戶，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，

從左圖可知，從最后一組往前看［20,24）的頻率為4%,故［16,20）取6%即可，而［16,

20）的頻率為12%,所以90%分位數(shù)為116,20）的中點(diǎn)18f,故B選項(xiàng)正確，

月用水量的平均值為4X（0.1X2+0.05X6+0.04X10+0.02X14+0.03X18+0.01X22）=

7.766故C選項(xiàng)正確，

兩圖相比較，左圖數(shù)據(jù)整體分別更明顯.故。選項(xiàng)正確.

故選：BCD.

11.如圖，在正方體中，E為4B的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不包

括端點(diǎn)），則（)

5

A.對(duì)任意的F點(diǎn)，三棱錐F-AQE與三棱錐Ai-AOE的體積相等

B.對(duì)任意的F點(diǎn)過。，E,F三點(diǎn)的截面始終是梯形

C.存在點(diǎn)凡使得所〃平面4G。

D.存在點(diǎn)F,使得平面8OG

【分析】證明/和4到面ADE的距離相等判斷A；證明PF//QD且。尸與PQ不平行判

斷8；證明EF總與面ACQ相交于點(diǎn)E判斷C；取F為8c中點(diǎn)時(shí)，可得EFL面8DG

判斷D.

解：如圖所示，

???小。1〃面ADE,BC〃面ADE,且A山J_面ADE,

.?.尸和4到面AOE的距離相等，故三棱錐尸-49E與三棱錐Ai-AOE的體積相等，A

正確；

過D,E,F三點(diǎn)的截面為四邊形PFDQ,且PF//QD,。尸與PQ不平行，故四邊形PFDQ

始終是梯形，B正確；

B

?；面EMCN〃面4G，而EF總與面4CQ相交于點(diǎn)E,故不存在這樣的點(diǎn)凡使得

EF〃平面4G。，C錯(cuò)誤；

；AiCJ_面BOG,.?.當(dāng)EF〃AC,即F為BC中點(diǎn)時(shí)，EF_L面BDG,故存在這樣的點(diǎn)F,

使得平面BOG,。正確.

故選：ABD.

12.已知正數(shù)”，〃滿足a+2b=1,則（）

119

A.仍有最大值士B.二/有最小值8

8ab

C.工+?有最小值4D./+按有最小值!■

ba5

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案.

解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

2

對(duì)于A，a-2b4（￡@0=L=ab<L，當(dāng)且僅當(dāng)aJ，bJ時(shí)取等號(hào)，則A正確；

24824

對(duì)于B,工W=（a+2b）（工《）=^_"^2+5>4+5=:9，當(dāng)且僅當(dāng)a=時(shí)取等號(hào)，B

abababo

錯(cuò)誤；

對(duì)于C,咨B>2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)，則C正確；

baba3

對(duì)于C,a2+b2=（l-2b）2+b2=5b2-4b+l=5（b-|-）W（°<b<J），故最小值為

0DN

三則D正確;

5

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知集合4={3,同},B={a,1},AUB={1,2,3,-2},則a的值為-2.

【分析】根據(jù)條件可得出{1,3,同，"}={1,2,3,-2},然后求出〃的值即可.

解:；A={3,⑷},B={a,1},AUB={1,2,3,-2）,

.?.4UB={1,3,\a\,?!={1,2,3,-2],

\a\=2且a=-2,:.a=-1.

故答案為：-2.

14.甲、乙兩人獨(dú)立正確解答一道數(shù)學(xué)題的概率分別是與，提，假定兩人是否正確解答互不

影響，則甲、乙兩人至少有一人正確解答這道題的概率為_圣_.

【分析】兩人至少有一人正確解答這道題的對(duì)立事件為兩人都沒有正確解答這道題，由

此能求出甲、乙兩人至少有一人正確解答這道題的概率.

解：兩人至少有一人正確解答這道題的對(duì)立事件為兩人都沒有正確解答這道題，

...甲、乙兩人至少有一人正確解答這道題的概率為：

15.從星期一到星期五安排甲，乙，丙三人值班，其中1人值1天班，另2人各值2天班,

則不同的安排方法共有90種.

【分析】將5天組合為2天、2天、1天，再分配給3個(gè)進(jìn)行全排列即可.

解：將5天組合為2天、2天、1天，再分配給3個(gè)人:

故答案為：90.

16.函數(shù)f（x）=----------------的最小值為--.

ex-e—

【分析】方法（1）：f(x)=~(10-^-1）,設(shè)t=,先求出t（x）的值域，再求出

ee

g（t）=tUnt-1）的值域，即可得出答案.

方法（2）：求導(dǎo)分析/（%）的正負(fù)，進(jìn)而可得f（x）單調(diào)性,

e

最值，即可得出答案.

解：方法(1)：f(x)=《(ln^-1),

、rX

設(shè)

e

L=

則t'(x)=-^O=>x=l,t(x)在(0,1)單增，(1,+8)單減，

e

???t(x)max=t(l)=p

又x>0,即

e

則有g(shù)(t)=t(lnt-l)(0<t<-),

e

g'(r)=lnt,

0<t4工=■=-1，

ee

：.g'(r)<0,

?,.g(r)在(0,工］單減，

e

g(t)^=g(-(lrr^-l)=-—?

eeee

方法(2)：f(x)二」］口乂：,其中(xbvc-x2-x)'=lnx-2x,

e

々/(x-1)(x-lnx)

f(x)=---------------------，

e

Vx-仇x>0恒成立，

AXG(0,1)時(shí)，/(x)VO；怔(1,+8),/(x)>0,

：.f(x)在(0,1)單減，(1,+8)單增，

,2

:.f(x)-二f(1)二——.

八'J，e

故答案為：

四、解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分。解答題應(yīng)

寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知拋物線C：/=2外(p>0)的焦點(diǎn)F與雙曲線E：_x2=1的一個(gè)焦點(diǎn)重合.

3

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過拋物線C的焦點(diǎn)的直線/交拋物線于A,B兩點(diǎn)，且以8|=10,求直線/的方程.

【分析】(1)由雙曲線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合題意可得p,則拋物線方程可求；

(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理、焦半徑公式求解.

2

解：(1)：￡1_*2=1的焦點(diǎn)為(0，±2)，

3

Ac：x1=2py(p>0)的焦點(diǎn)為(0,2)=勺2np=4,

???拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為必=8)，.

(2)設(shè)過焦點(diǎn)為(0,2)的直線方程為>=日+2,代入/=8)，得：x2--16=0,

設(shè)4(汨，yi),8(X2,”)，

則|A3|=yi+y2+4=10=yi+y2=Z(笛+及)+4=6,

即8k2=2交2=，1<=±5，

42

二直線/為:y=±yX+2.

18.2021年6月2日巴蜀中學(xué)成功地舉辦了一年一度的大型學(xué)生社團(tuán)文化節(jié)，吸引了眾多

學(xué)生.巴蜀中學(xué)目前共有社團(tuán)近40個(gè)，由高一和高二學(xué)生組成，參加社團(tuán)的學(xué)生共有四

百人左右.已知巴蜀中學(xué)高一和高二的所有學(xué)生中男生與女生人數(shù)比為6：4,為了解學(xué)

生參加社團(tuán)活動(dòng)的情況，按性別采用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生，統(tǒng)計(jì)得到如圖等高

累積型條形圖：

■參加社團(tuán)

||未參加社團(tuán)

男生女生

(1)求巴蜀中學(xué)參加社團(tuán)的學(xué)生中，任選1人是男生的概率；

(2)若抽取了100名學(xué)生，完成下列2X2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性

檢驗(yàn)，能否認(rèn)為巴蜀中學(xué)高一和高二學(xué)生的性別與參加學(xué)生社團(tuán)有關(guān)聯(lián)？請(qǐng)說明理由.

參加社團(tuán)未參加社團(tuán)合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

n(ad-bc)2

附：x2_.,,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

【分析】（1）由題中的數(shù)據(jù)，利用貝葉斯公式求解即可;

（2）先完成2X2列聯(lián)表，然后由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算群的值，對(duì)照臨界表中的數(shù)據(jù),

比較即可得到答案.

解：（1）設(shè)高一和高二的所有學(xué)生中任選一人是男生、是女生分別為事件A、A，

設(shè)高一和高二的所有學(xué)生中任選一人參加社團(tuán)為事件B,

則P(A)=60%,P(A)=40%>

則

P（A|B）至喘產(chǎn)P(A)P(B|A)60%-10%63

P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)+40%-20%飛+8-7'

（2）2X2列聯(lián)表如下:

參加社團(tuán)未參加社團(tuán)合計(jì)

男生65460

女生83240

合計(jì)1486100

假設(shè)為為：性別與參加社團(tuán)獨(dú)立，即性別與參加社團(tuán)無關(guān),

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到

X,嘿箴^工郎＜工刈”。.。5,

依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分的證據(jù)推斷Ho不成立,

因此可以認(rèn)為Ho成立，即性別與參加社團(tuán)無關(guān).

19.如圖幾何體中,A4,,BB\,CG都垂直于底面ABiG,已知如8i=8iG=l,ZAiBiCi

=90°,AAi=\,BBi=2,CG=3.

(1)求該幾何體的體積；

(2)求平面A8C與平面A\B\C\所成銳二面角的余弦值.

【分析】(1)原幾何體補(bǔ)形得一個(gè)底面為等腰直角三角形的直三棱柱，利用體積轉(zhuǎn)化求

解即可.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC的法向量，平面A81cl的一^法向量利用空

間向量的數(shù)量積求解二面角的平面角的余弦函數(shù)值即可.

解：(1)如圖所示，原幾何體補(bǔ)形得一個(gè)底面為等腰直角三角形的直三棱柱，

則

???11(1+2)x1311

V幾何體ABC-A：B：C「V三棱柱EFC-A：B：C「V四棱錐C-AEFBavXoSEi~7=1

①

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)平面ABC的法向量為W=(x,y,z)，AB=(-1,0,1).BC=(O,1,1)，

[-x+z-0＞取[(],1),平面AiBG的一個(gè)法向量為\=(O,0,1)

ly+z=0

—?—?

AIcosG.人〉?=1平面ABC與平面48Q所成銳二面角的余弦值

InMmlV3

V

20.風(fēng)雨蒼黃百年路，高歌奮進(jìn)新征程，今年是中國共產(chǎn)黨成立100周年.為傳承紅色基因，

某市開展了“學(xué)黨史，擔(dān)使命”的中學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽，共一萬名學(xué)生參賽，其成績服

從正態(tài)分布N（72,81）.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的成績，得到如圖所示的莖葉圖.

（1）求這40名學(xué)生成績的中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）主辦單位計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)成績排在前228名的學(xué)生，則獲獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃為多少分？

（3）現(xiàn)從這40名成績?cè)冢?0,100］分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，依據(jù)（2）劃定的獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)

線，記這2人中獲獎(jiǎng)人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：尸（R-。＜WWp+。）々0.6826,P（口-2。＜《Wu+2。）、0.9544,尸⑺-3

o＜寧口+3。）%0.9974.

519

6222345669

711112233455566889

812344569

91269

40名學(xué)生知識(shí)克賽成績

莖葉圖

【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合眾數(shù)和中位數(shù)的定義，即可求解.

（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解.

（3）這40名學(xué)生中成績?cè)冢?0,100］分的共有12人，其中［90,100］分（獲獎(jiǎng)）的學(xué)生

有4人，則X?”（2,4,12）,分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得X的分布列，并結(jié)合期望

公式，即可求解.

解：(1)將40名學(xué)生的成績從小到大排序，可得中位數(shù)為歿殳=74.5,眾數(shù)為71.

(2)該市一萬名學(xué)生成績U?N(72,92),

則由正態(tài)曲線的對(duì)稱性得>90)=1~'1,^544=0,0228,

,.-0.0228X10000=228(人)，

獲獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃為90(分).

(3)這40名學(xué)生中成績?cè)冢?0,100］分的共有12人，其中［90,100］分(獲獎(jiǎng))的學(xué)生

4R/、Q14-

有4人，則X?H（2,4,12）,P（X=k）="2~~（k=0,1,2）,P（X=0）=-^-=^!

C12C12

plplr2

P（X=1）=藝嚙P（x=2）=/卡

b12L12

故X的分布列為:

X012

p14161

333311

21.已知函數(shù)/(x)f/ax+ox2-2x+￡>在x=l處的切線方程為y=3x—1.

(1)求實(shí)數(shù)m匕的值；

(2)已知關(guān)于x的不等式「(X)|<f在(0,1)上恒成立，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

【分析】(1)求導(dǎo)的/(x)—lnx+2ax-1,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得％以=/(1)—2a-1

=3,解得“，根據(jù)題意可得切點(diǎn)(1,卷)代入/(X)解得江

(2)由(1)得f(x)=xlnx+2x2-2x+/(0〈x〈：L),求導(dǎo)，分析單調(diào)性，可得了(x)

min,分析，(X)\maxt只需/>|/(X)|.，即可得出答案.

解：(1)因?yàn)?(x)=lnx^2ax-1,

所以/(1)=2。-1=3=。=2,

所以切點(diǎn)(1,代入得：f(1)=a-2+b=

所以。=2,b="

2

⑵由(1)得：f(x)=xlnx+2x2-2x+^(0<x<1)，

f(x)=(l+/m?)+4x-2=4x+樞-1,

f"(x)=44>0，

X

則/(X)在(0,+8)上是增函數(shù)，

又f，(?)*2<0,針(y)=l-ln2>0,

所以，存在仕，!)，使得/(助)=°，即阮vo=l-4xo①

ue2

所以在(0,xo)時(shí)，f(x)<0,

xe(xo,+8)時(shí)，f(x)>0,

所以/(%)在(0,Xo)單減，在(xo,+8)單增，

所以fix'1n=f(Xo)=XolnxQ+2xQ2-2x0+^

22

將①代入得：f(x0)=x0(l-4x0)+2x0-2x0-^=-2x0-x0+y-

因?yàn)?(沏)在,《)單減,

62

2

所以f(x0)>f(■1")=-2X(y)~'2+^=~^2,

22

所以xe(0,1)時(shí)，蔣<f(x0)<f(x)=xlnx+2(x-/)〈2缶卷)

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等，所以等號(hào)不成立，則|f(x)|<y,

所以f>/(x)|在(0,1)上恒成立時(shí)，t>|,

所以f的取值范圍為+8).

22.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一

書中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q,P的距離之

比丘3〉。,

人戶1),人是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓,

圓心在直線P。上.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為r+^=4,定點(diǎn)分別

乙41

為橢圓C：三■^片l(a〉b〉O)的右焦點(diǎn)尸與右頂點(diǎn)4且橢圓C的離心率為e=(.

a"b"2

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，過右焦點(diǎn)F斜率為k(A>0)的直線/與橢圓C相交于B,。(點(diǎn)B在x軸

上方)，點(diǎn)S,T是橢圓C上異于B,。的兩點(diǎn)，SF平分/BSD,TF平分NBTD.

（i）求的的取值范圍;

81K

（ii）將點(diǎn)5、F、7看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若尸T外接圓的面積為

8

求直線/的方程.

J（X-C）2+y2

MFVUC，7

【分析】（1）結(jié)合題意可得