2020-2021學年重慶市某中學高二（下）期末數(shù)學試卷（解析版）

2020-2021學年重慶市巴蜀中學高二（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.復數(shù)z滿足（2+z）*z=i-1,則z在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.設集合A={x||2x+l|V3},B={x|(x-2)(x+1)>0},則AC(CRB)=()

A.[-1,1)B.(-2,2]C.(-2,-1)D.(-1,1)

3.變量x,y之間有如下對應數(shù)據(jù):

X44.55.56

y1211109

已知變量y對x呈線性相關關系，且回歸方程為1/上，則的值是（）

y=-l.4x+aa

A.3B.3.5C.17D.17.5

4.二項式（對+乂）I2的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)為（）

A.6B.5C.4D.3

5.為做好社區(qū)新冠疫情防控工作，需將五名志愿者分配到三個社區(qū)去開展工作，每名志愿

者只分配到一個社區(qū)，每個社區(qū)至少分配一名志愿者，志愿者甲和乙必須去同一個社區(qū)，

則不同的分配方法共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

6.已知a,6為非零實數(shù)，則"a<b”是的（）

lbIlai

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.有5把外形一樣的鑰匙，其中3把能開鎖，2把不能開鎖.現(xiàn)準備通過一一試開將其區(qū)

分出來，每次隨機抽出一把進行試開，試開后不放回，則恰好試開3次就將能開鎖的和

不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

10101515

22

8.已知Fi,B為雙曲線C：b〉0）的左、右焦點，斜率為苫?的直線/

//4

過Fi分別交雙曲線左、右支于A、B點，|BA|=|BB|,則雙曲線C的漸近線方程為（

A

-y=±V?xB.y=±-^y^-xc.y=±-^y^-xD.y=+^￡n.x

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.下列有關命題的說法正確的是（）

A.命題“若x=l,則f=l”的逆否命題是真命題

B.命題“若x=l,則/=1”的否命題是“若x=l,則

C.命題“Vx>0,都有f>0”的否定是“外>0,使得/W0”

D.若p/\q為假命題，則p、q都為假命題

10.為了解全市居民月用水量，隨機抽取了1000戶居民進行調查，發(fā)現(xiàn)他們的月用水量都

在0?24r之間，進行等距離分組后，圖1是分成6組，圖2是分成12組，分別畫出頻

率分布直方圖如圖所示:

（華立）

圖1圖2

則下列說法正確的是（）

A.從圖1中知：抽取的月用水量在［4,8）f之間的居民有50戶

B.從圖1中知：月用水量的90。分位數(shù)為

C.由圖1估計全市居民月用水量的平均值為7.78（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點

值表示）

D.圖1中：組數(shù)少，組距大，容易看出數(shù)據(jù)整體的分布特點；圖2中：組數(shù)多，組距小，

不容易看出總體數(shù)據(jù)的分布特點

11.如圖，在正方體ABCD-A/iG。中，E為A山的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點（不包

括端點），則（）

5

A.對任意的F點，三棱錐F-AQE與三棱錐Ai-AOE的體積相等

B.對任意的F點過。，E,F三點的截面始終是梯形

C.存在點凡使得斯〃平面4G。

D.存在點F,使得E/，平面BDG

12.已知正數(shù)“，〃滿足"2方=1,則()

19

A."有最大值!B.二」有最小值8

Oab

C.工+^?有最小值4D.層+加有最小值!

ba5

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知集合4={3,同},B={a,1},AUB={1,2,3,-2],則a的值為.

14.甲、乙兩人獨立正確解答一道數(shù)學題的概率分別是?1，假定兩人是否正確解答互不

35

影響，則甲、乙兩人至少有一人正確解答這道題的概率為.

15.從星期一到星期五安排甲，乙，丙三人值班，其中1人值1天班，另2人各值2天班,

則不同的安排方法共有種.

16.函數(shù)f(數(shù)=>°色音I的最小值為.

8

四、解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分。解答題應

寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17.己知拋物線C：x1=2py(p>0)的焦點/與雙曲線E：1_乂2=1的一個焦點重合.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)若過拋物線C的焦點的直線/交拋物線于A,B兩點，且|AB|=10,求直線/的方程.

18.2021年6月2日巴蜀中學成功地舉辦了一年一度的大型學生社團文化節(jié)，吸引了眾多

學生.巴蜀中學目前共有社團近40個，由高一和高二學生組成，參加社團的學生共有四

百人左右.已知巴蜀中學高一和高二的所有學生中男生與女生人數(shù)比為6：4,為了解學

生參加社團活動的情況，按性別采用分層抽樣的方法抽取部分學生，統(tǒng)計得到如圖等高

累積型條形圖：

■參加社團

未參加社團

男生女生

(1)求巴蜀中學參加社團的學生中，任選1人是男生的概率；

(2)若抽取了100名學生，完成下列2X2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性

檢驗，能否認為巴蜀中學高一和高二學生的性別與參加學生社團有關聯(lián)？請說明理由.

參加社團未參加社團合計

男生

女生

合計

附：y2=----、嗎,----n=a+b+c+d.

7(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

19.如圖幾何體中，BB[,CCi都垂直于底面ABCi,已知如Bi=5iG=l,NA向G

=90°,A4i=l,8Bi=2,CCi=3.

(1)求該幾何體的體積；

(2)求平面ABC與平面4&G所成銳二面角的余弦值.

r

20.風雨蒼黃百年路，高歌奮進新征程，今年是中國共產(chǎn)黨成立100周年.為傳承紅色基因，

某市開展了“學黨史，擔使命”的中學生黨史知識競賽，共一萬名學生參賽，其成績服

從正態(tài)分布N（72,81）.現(xiàn)從中隨機抽取40名學生的成績，得到如圖所示的莖葉圖.

（1）求這40名學生成績的中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）主辦單位計劃獎勵成績排在前228名的學生，則獲獎學生的分數(shù)線應劃為多少分？

（3）現(xiàn)從這40名成績在［80,100］分的學生中隨機抽取2人，依據(jù)（2）劃定的獲獎分數(shù)

線，記這2人中獲獎人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

參考數(shù)據(jù)：尸（U-。）%0.6826,P（U-2。＜?Wu+2。）比0.9544,P（“-3

o＜gWu+3。）七0.9974.

519

6222345669

711112233455566889

812344569

91269

40名學生知識競賽成線

莖葉圖

21.已知函數(shù)/(x)—xlnx+ax1-2x+b在x—\處的切線方程為y=3x—^.

（1）求實數(shù)”，人的值;

（2）已知關于X的不等式r（x）|vr在（0,1）上恒成立，求實數(shù)r的取值范圍.

22.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一

書中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點例與兩定點。，P的距離之

比曾〉=入（入＞0,入戶1）,人是一個常數(shù)，那么動點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，

IMPI

圓心在直線P。上.已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為/+)2=4,定點分別

22r

為橢圓c9+^^l(a>b>0)的右焦點F與右頂點4,且橢圓C的離心率為e=\.

a"2

(I)求橢圓C的標準方程；

(2)如圖，過右焦點尸斜率為k(&>0)的直線/與橢圓C相交于8,。(點B在x軸

上方)，點S,7是橢圓C上異于B,。的兩點，S尸平分/BSD,TF平分NBTD.

(i)求的取值范圍；

(ii)將點S、F、T看作一個阿波羅尼斯圓上的三點，若△SFT外接圓的面積為8尹,

O

求直線/的方程.

參考答案

一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.復數(shù)z滿足（2+/）?z=/-1,則z在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的乘法法則和復數(shù)的幾何含義，即可求解.

i-l(i-l)(2-i)~l+3i

解:z=2+i=(2+i)(2-i)=5

則Z在復平面內對應的點為z（4,?!）在第二象限.

55

故選：B.

2.設集合A={x||2x+l|V3},B={x\(%-2)(x+l)>0},貝ijAA(CRB)=()

A.[-1,1)B.(-2,2]C.(-2,-1)D.(-1,1)

【分析】可求出集合A,B,然后進行補集和交集的運算即可.

解：\*A={x\-3<2x+l<3}={x|-2<x<l},B={x|x<-1或x>2},

???CR8={X|-AA(CRB)=(X\-1^X<1}=[-1,1).

故選：A.

3.變量x,y之間有如下對應數(shù)據(jù):

X44.55.56

y1211109

已知變量y對x呈線性相關關系，且回歸方程為_144，則的值是（）

y-1.4x+aa

A.3B.3.5C.17D.17.5

【分析】求出樣本中心，將點代入回歸方程求解即可.

解：因為x=5，y=10.5,

則把樣本中心點（5,10.5）代入回歸方程_144：

y-1.4x+a

所以a=?+L47=10.5+1.4X5=17.F

故選：D.

4.二項式（對+乂）I2的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)為（)

A.6B.5C.4D.3

【分析】由題意利用二項展開式的通項公式，求出系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù).

解：；場歷展開式的通項為丁rrr,要使系數(shù)為有理數(shù)的項,

'VS'JTr+i=C123X

r

需1■為有理數(shù)，所以，r=0,3,6,9,12,共5項，

3J

故選：B.

5.為做好社區(qū)新冠疫情防控工作，需將五名志愿者分配到三個社區(qū)去開展工作，每名志愿

者只分配到一個社區(qū)，每個社區(qū)至少分配一名志愿者，志愿者甲和乙必須去同一個社區(qū)，

則不同的分配方法共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

【分析】利用相鄰問題捆綁法，然后先分組后排的方法進行計算即可.

解：?.?志愿者甲和乙必須去同一個社區(qū)，

...把甲乙兩人看作一個元素，則問題變成4個元素分成3組進行排列，

貝怏有C/A$6X6=36種方法，

故選：D.

6.已知a,〃為非零實數(shù)，WiJua<bn是“不旦〒的（）

lbIlai

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】構造函數(shù)/（X）=x|x|,利用函數(shù)的奇偶性和單調性判斷即可.

解：設/（x）=x\x\f則/（x）為偶函數(shù)且在（0,+8）上為增函數(shù)，

lbIlai

：.a<b是/丁<1耳的充要條件，

lbIlai

故選：C.

7.有5把外形一樣的鑰匙，其中3把能開鎖，2把不能開鎖.現(xiàn)準備通過一一試開將其區(qū)

分出來，每次隨機抽出一把進行試開，試開后不放回，則恰好試開3次就將能開鎖的和

不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

10101515

【分析】恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的情況為3種：①前三

把都能開鎖，②第一把不能開鎖，第二把能開鎖，第三把不能開鎖，③第一把能開鎖，

第二把不能開鎖，第三把不能開鎖，由此能求出恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖

的鑰匙區(qū)分出來的概率.

解：有5把外形一樣的鑰匙，其中3把能開鎖，2把不能開鎖.現(xiàn)準備通過一一試開將其

區(qū)分出來，

每次隨機抽出一把進行試開，試開后不放回，

恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的情況為3種：

①前三把都能開鎖，②第一把不能開鎖，第二把能開鎖，第三把不能開鎖，

③第一把能開鎖，第二把不能開鎖，第三把不能開鎖，

...恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的概率為：

故選：A.

8.已知品，尸2為雙曲線C：三-二廣l(a>0,b>0)的左、右焦點，斜率為苫?的直線/

a2b24

過為分別交雙曲線左、右支于A、8點，尸則雙曲線C的漸近線方程為()

A.y=±77xB.y=+-^￡xC.y=+-^S.D.y=+-^S

3vIAj-YAy-yAy-yA

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及可得AB=4a,根據(jù)勾股定理建立方程關系即

可得到結論.

解：設|FM|=|尸2劇=加，由雙曲線定義得:\F\A\=m-2a,\F\B\=m+2a,

所以|A8|=|Fi用-|FiA|=(m+2a)-(m-2a)=4。，

F?H?9

作尸2”_LQ8,中，lana=二鼻==，可得F2H=="i,,

F[H44

Rt△F2HA中,勾股定理得

2222八，/

|F2H|+|AH|=|AF2|=>(-1n0+(2a)=m=]6=7*……①，

□△6/2中，勾股定理得：IF2Hl2+|F1H|2=|FJ212nm2+(142=(2c)2,

2

可得至S_=4c2.......②，

16

由①②可得25X量=4C2,整理可得￡■=孕，即可得彳=孕_1^.

22

7a7a77

所以漸近線的斜率為+組運，故漸近線方程為y=±m(xù)叵*

77

八,°

故選：D.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.下列有關命題的說法正確的是（）

A.命題“若x=l,則好=1”的逆否命題是真命題

B.命題“若x=l,則好=1”的否命題是“若x=l,則好#1”

C.命題“Vx>0,都有r>0”的否定是使得TWO”

D.若p/\q為假命題，貝IJp、4都為假命題

【分析】由原命題和其逆否命題的等價性可判斷4由命題的否命題的形式可判斷B；由

命題的否定的形式可判斷C；由復合命題的真假可判斷D

解：命題“若x=l,則/=1”正確，由原命題與其逆否命題同真同假，所以其逆否命題

是真命題，故A正確；

命題“若x=l,則f=l”的否命題是“若xWl,則3W1”，故8錯誤：

命題“Vx>0,都有r>0”的否定是使得好W0”，故C正確；

若p/\q為假命題，則P、4中至少有一個為假命題，故。錯誤.

故選：AC.

10.為了解全市居民月用水量，隨機抽取了1000戶居民進行調查，發(fā)現(xiàn)他們的月用水量都

在。?24,之間，進行等距離分組后，圖1是分成6組，圖2是分成12組，分別畫出頻

率分布直方圖如圖所示：

（生代t）逸0t)

圖1圖2

則下列說法正確的是（）

A.從圖1中知：抽取的月用水量在［4,8）f之間的居民有50戶

B.從圖1中知：月用水量的90°分位數(shù)為18/

C.由圖1估計全市居民月用水量的平均值為7.76/（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點

值表示）

D.圖1中：組數(shù)少，組距大，容易看出數(shù)據(jù)整體的分布特點：圖2中：組數(shù)多，組距小，

不容易看出總體數(shù)據(jù)的分布特點

【分析】根據(jù)已知條件，結合頻率分布直方圖的性質，以及分位數(shù)和平均值的公式，即

可求解.

解：從左圖可知，抽取的月用水量在［4,8）t之間的頻率為1-4X

（0.1+0.04+0.02+0.03+0.01）=0.2,故居民有1000X0.2=200戶，故A選項錯誤，

從左圖可知，從最后一組往前看［20,24）的頻率為4%,故［16,20）取6%即可，而［16,

20）的頻率為12%,所以90%分位數(shù)為116,20）的中點18f,故B選項正確，

月用水量的平均值為4X（0.1X2+0.05X6+0.04X10+0.02X14+0.03X18+0.01X22）=

7.766故C選項正確，

兩圖相比較，左圖數(shù)據(jù)整體分別更明顯.故。選項正確.

故選：BCD.

11.如圖，在正方體中，E為4B的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點（不包

括端點），則（)

5

A.對任意的F點，三棱錐F-AQE與三棱錐Ai-AOE的體積相等

B.對任意的F點過。，E,F三點的截面始終是梯形

C.存在點凡使得所〃平面4G。

D.存在點F,使得平面8OG

【分析】證明/和4到面ADE的距離相等判斷A；證明PF//QD且。尸與PQ不平行判

斷8；證明EF總與面ACQ相交于點E判斷C；取F為8c中點時，可得EFL面8DG

判斷D.

解：如圖所示，

???小。1〃面ADE,BC〃面ADE,且A山J_面ADE,

.?.尸和4到面AOE的距離相等，故三棱錐尸-49E與三棱錐Ai-AOE的體積相等，A

正確；

過D,E,F三點的截面為四邊形PFDQ,且PF//QD,。尸與PQ不平行，故四邊形PFDQ

始終是梯形，B正確；

B

?；面EMCN〃面4G，而EF總與面4CQ相交于點E,故不存在這樣的點凡使得

EF〃平面4G。，C錯誤；

；AiCJ_面BOG,.?.當EF〃AC,即F為BC中點時，EF_L面BDG,故存在這樣的點F,

使得平面BOG,。正確.

故選：ABD.

12.已知正數(shù)”，〃滿足a+2b=1,則（）

119

A.仍有最大值士B.二/有最小值8

8ab

C.工+?有最小值4D./+按有最小值!■

ba5

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，綜合可得答案.

解：根據(jù)題意，依次分析選項：

2

對于A，a-2b4（￡@0=L=ab<L，當且僅當aJ，bJ時取等號，則A正確；

24824

對于B,工W=（a+2b）（工《）=^_"^2+5>4+5=:9，當且僅當a=時取等號，B

abababo

錯誤；

對于C,咨B>2+2=4，當且僅當a=b=2時取等號，則C正確；

baba3

對于C,a2+b2=（l-2b）2+b2=5b2-4b+l=5（b-|-）W（°<b<J），故最小值為

0DN

三則D正確;

5

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知集合4={3,同},B={a,1},AUB={1,2,3,-2},則a的值為-2.

【分析】根據(jù)條件可得出{1,3,同，"}={1,2,3,-2},然后求出〃的值即可.

解:；A={3,⑷},B={a,1},AUB={1,2,3,-2）,

.?.4UB={1,3,\a\,?!={1,2,3,-2],

\a\=2且a=-2,:.a=-1.

故答案為：-2.

14.甲、乙兩人獨立正確解答一道數(shù)學題的概率分別是與，提，假定兩人是否正確解答互不

影響，則甲、乙兩人至少有一人正確解答這道題的概率為_圣_.

【分析】兩人至少有一人正確解答這道題的對立事件為兩人都沒有正確解答這道題，由

此能求出甲、乙兩人至少有一人正確解答這道題的概率.

解：兩人至少有一人正確解答這道題的對立事件為兩人都沒有正確解答這道題，

...甲、乙兩人至少有一人正確解答這道題的概率為：

15.從星期一到星期五安排甲，乙，丙三人值班，其中1人值1天班，另2人各值2天班,

則不同的安排方法共有90種.

【分析】將5天組合為2天、2天、1天，再分配給3個進行全排列即可.

解：將5天組合為2天、2天、1天，再分配給3個人:

故答案為：90.

16.函數(shù)f（x）=----------------的最小值為--.

ex-e—

【分析】方法（1）：f(x)=~(10-^-1）,設t=,先求出t（x）的值域，再求出

ee

g（t）=tUnt-1）的值域，即可得出答案.

方法（2）：求導分析/（%）的正負，進而可得f（x）單調性,

e

最值，即可得出答案.

解：方法(1)：f(x)=《(ln^-1),

、rX

設

e

L=

則t'(x)=-^O=>x=l,t(x)在(0,1)單增，(1,+8)單減，

e

???t(x)max=t(l)=p

又x>0,即

e

則有g(t)=t(lnt-l)(0<t<-),

e

g'(r)=lnt,

0<t4工=■=-1，

ee

：.g'(r)<0,

?,.g(r)在(0,工］單減，

e

g(t)^=g(-(lrr^-l)=-—?

eeee

方法(2)：f(x)二」］口乂：,其中(xbvc-x2-x)'=lnx-2x,

e

々/(x-1)(x-lnx)

f(x)=---------------------，

e

Vx-仇x>0恒成立，

AXG(0,1)時，/(x)VO；怔(1,+8),/(x)>0,

：.f(x)在(0,1)單減，(1,+8)單增，

,2

:.f(x)-二f(1)二——.

八'J，e

故答案為：

四、解答題：本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分。解答題應

寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知拋物線C：/=2外(p>0)的焦點F與雙曲線E：_x2=1的一個焦點重合.

3

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)若過拋物線C的焦點的直線/交拋物線于A,B兩點，且以8|=10,求直線/的方程.

【分析】(1)由雙曲線方程求出焦點坐標，結合題意可得p,則拋物線方程可求；

(2)設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理、焦半徑公式求解.

2

解：(1)：￡1_*2=1的焦點為(0，±2)，

3

Ac：x1=2py(p>0)的焦點為(0,2)=勺2np=4,

???拋物線C的標準方程為必=8)，.

(2)設過焦點為(0,2)的直線方程為>=日+2,代入/=8)，得：x2--16=0,

設4(汨，yi),8(X2,”)，

則|A3|=yi+y2+4=10=yi+y2=Z(笛+及)+4=6,

即8k2=2交2=，1<=±5，

42

二直線/為:y=±yX+2.

18.2021年6月2日巴蜀中學成功地舉辦了一年一度的大型學生社團文化節(jié)，吸引了眾多

學生.巴蜀中學目前共有社團近40個，由高一和高二學生組成，參加社團的學生共有四

百人左右.已知巴蜀中學高一和高二的所有學生中男生與女生人數(shù)比為6：4,為了解學

生參加社團活動的情況，按性別采用分層抽樣的方法抽取部分學生，統(tǒng)計得到如圖等高

累積型條形圖：

■參加社團

||未參加社團

男生女生

(1)求巴蜀中學參加社團的學生中，任選1人是男生的概率；

(2)若抽取了100名學生，完成下列2X2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性

檢驗，能否認為巴蜀中學高一和高二學生的性別與參加學生社團有關聯(lián)？請說明理由.

參加社團未參加社團合計

男生

女生

合計

n(ad-bc)2

附：x2_.,,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

【分析】（1）由題中的數(shù)據(jù)，利用貝葉斯公式求解即可;

（2）先完成2X2列聯(lián)表，然后由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算群的值，對照臨界表中的數(shù)據(jù),

比較即可得到答案.

解：（1）設高一和高二的所有學生中任選一人是男生、是女生分別為事件A、A，

設高一和高二的所有學生中任選一人參加社團為事件B,

則P(A)=60%,P(A)=40%>

則

P（A|B）至喘產(chǎn)P(A)P(B|A)60%-10%63

P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)+40%-20%飛+8-7'

（2）2X2列聯(lián)表如下:

參加社團未參加社團合計

男生65460

女生83240

合計1486100

假設為為：性別與參加社團獨立，即性別與參加社團無關,

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到

X,嘿箴^工郎＜工刈”。.。5,

依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，沒有充分的證據(jù)推斷Ho不成立,

因此可以認為Ho成立，即性別與參加社團無關.

19.如圖幾何體中,A4,,BB\,CG都垂直于底面ABiG,已知如8i=8iG=l,ZAiBiCi

=90°,AAi=\,BBi=2,CG=3.

(1)求該幾何體的體積；

(2)求平面A8C與平面A\B\C\所成銳二面角的余弦值.

【分析】(1)原幾何體補形得一個底面為等腰直角三角形的直三棱柱，利用體積轉化求

解即可.

(2)建立空間直角坐標系，求出平面ABC的法向量，平面A81cl的一^法向量利用空

間向量的數(shù)量積求解二面角的平面角的余弦函數(shù)值即可.

解：(1)如圖所示，原幾何體補形得一個底面為等腰直角三角形的直三棱柱，

則

???11(1+2)x1311

V幾何體ABC-A：B：C「V三棱柱EFC-A：B：C「V四棱錐C-AEFBavXoSEi~7=1

①

(2)建立如圖所示的空間直角坐標系,

設平面ABC的法向量為W=(x,y,z)，AB=(-1,0,1).BC=(O,1,1)，

[-x+z-0＞取[(],1),平面AiBG的一個法向量為\=(O,0,1)

ly+z=0

—?—?

AIcosG.人〉?=1平面ABC與平面48Q所成銳二面角的余弦值

InMmlV3

V

20.風雨蒼黃百年路，高歌奮進新征程，今年是中國共產(chǎn)黨成立100周年.為傳承紅色基因，

某市開展了“學黨史，擔使命”的中學生黨史知識競賽，共一萬名學生參賽，其成績服

從正態(tài)分布N（72,81）.現(xiàn)從中隨機抽取40名學生的成績，得到如圖所示的莖葉圖.

（1）求這40名學生成績的中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）主辦單位計劃獎勵成績排在前228名的學生，則獲獎學生的分數(shù)線應劃為多少分？

（3）現(xiàn)從這40名成績在［80,100］分的學生中隨機抽取2人，依據(jù)（2）劃定的獲獎分數(shù)

線，記這2人中獲獎人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

參考數(shù)據(jù)：尸（R-。＜WWp+。）々0.6826,P（口-2。＜《Wu+2。）、0.9544,尸⑺-3

o＜寧口+3。）%0.9974.

519

6222345669

711112233455566889

812344569

91269

40名學生知識克賽成績

莖葉圖

【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結合眾數(shù)和中位數(shù)的定義，即可求解.

（2）根據(jù)已知條件，結合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.

（3）這40名學生中成績在［80,100］分的共有12人，其中［90,100］分（獲獎）的學生

有4人，則X?”（2,4,12）,分別求出對應的概率，即可得X的分布列，并結合期望

公式，即可求解.

解：(1)將40名學生的成績從小到大排序，可得中位數(shù)為歿殳=74.5,眾數(shù)為71.

(2)該市一萬名學生成績U?N(72,92),

則由正態(tài)曲線的對稱性得>90)=1~'1,^544=0,0228,

,.-0.0228X10000=228(人)，

獲獎學生的分數(shù)線應劃為90(分).

(3)這40名學生中成績在［80,100］分的共有12人，其中［90,100］分(獲獎)的學生

4R/、Q14-

有4人，則X?H（2,4,12）,P（X=k）="2~~（k=0,1,2）,P（X=0）=-^-=^!

C12C12

plplr2

P（X=1）=藝嚙P（x=2）=/卡

b12L12

故X的分布列為:

X012

p14161

333311

21.已知函數(shù)/(x)f/ax+ox2-2x+￡>在x=l處的切線方程為y=3x—1.

(1)求實數(shù)m匕的值；

(2)已知關于x的不等式「(X)|<f在(0,1)上恒成立，求實數(shù)f的取值范圍.

【分析】(1)求導的/(x)—lnx+2ax-1,由導數(shù)的幾何意義可得％以=/(1)—2a-1

=3,解得“，根據(jù)題意可得切點(1,卷)代入/(X)解得江

(2)由(1)得f(x)=xlnx+2x2-2x+/(0〈x〈：L),求導，分析單調性，可得了(x)

min,分析，(X)\maxt只需/>|/(X)|.，即可得出答案.

解：(1)因為/(x)=lnx^2ax-1,

所以/(1)=2。-1=3=。=2,

所以切點(1,代入得：f(1)=a-2+b=

所以。=2,b="

2

⑵由(1)得：f(x)=xlnx+2x2-2x+^(0<x<1)，

f(x)=(l+/m?)+4x-2=4x+樞-1,

f"(x)=44>0，

X

則/(X)在(0,+8)上是增函數(shù)，

又f，(?)*2<0,針(y)=l-ln2>0,

所以，存在仕，!)，使得/(助)=°，即阮vo=l-4xo①

ue2

所以在(0,xo)時，f(x)<0,

xe(xo,+8)時，f(x)>0,

所以/(%)在(0,Xo)單減，在(xo,+8)單增，

所以fix'1n=f(Xo)=XolnxQ+2xQ2-2x0+^

22

將①代入得：f(x0)=x0(l-4x0)+2x0-2x0-^=-2x0-x0+y-

因為/(沏)在,《)單減,

62

2

所以f(x0)>f(■1")=-2X(y)~'2+^=~^2,

22

所以xe(0,1)時，蔣<f(x0)<f(x)=xlnx+2(x-/)〈2缶卷)

當且僅當x=l時取等，所以等號不成立，則|f(x)|<y,

所以f>/(x)|在(0,1)上恒成立時，t>|,

所以f的取值范圍為+8).

22.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一

書中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點M與兩定點Q,P的距離之

比丘3〉。,

人戶1),人是一個常數(shù)，那么動點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓,

圓心在直線P。上.已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為r+^=4,定點分別

乙41

為橢圓C：三■^片l(a〉b〉O)的右焦點尸與右頂點4且橢圓C的離心率為e=(.

a"b"2

(I)求橢圓C的標準方程；

(2)如圖，過右焦點F斜率為k(A>0)的直線/與橢圓C相交于B,。(點B在x軸

上方)，點S,T是橢圓C上異于B,。的兩點，SF平分/BSD,TF平分NBTD.

（i）求的的取值范圍;

81K

（ii）將點5、F、7看作一個阿波羅尼斯圓上的三點，若尸T外接圓的面積為

8

求直線/的方程.

J（X-C）2+y2

MFVUC，7

【分析】（1）結合題意可得