2020-2021學(xué)年上海交大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2020-2021學(xué)年上海交大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（共12小題）.

1.復(fù)數(shù)；2’的虛部為_____.

1-1

（=2t-l

2.直線/i：xi（/GR）,/：ax+y+3=0若則〃=_______.

（y=4t+42f

'y<2

3.已知變量x,y滿足約束條件<x+y>4，則z=3x+y的最大值為.

x-yC1

4.若方程N+（A+3i）x+&+4=0有實數(shù)根，則實數(shù)上的取值是.

5.拋物線y=4N的準線方程為.

6.若圓錐底面半徑為1,高為愿，則其側(cè)面積為.

7.已知三棱錐A-BCD中，AB=CD=?AC=BC=AD=BD=返,則三棱錐A-BC。

的體積是.

8.在北緯45°東經(jīng)30°有一座城市A,在北緯45°東經(jīng)120°有一座城市B,設(shè)地球半徑

為R,則A、3兩地之間的距離是.

22

9.尸是雙曲線二一匚=1上的一點，F(xiàn)i,尸2為焦點，若|尸川=7,則|PB|=.

916

10.設(shè)復(fù)數(shù)Z|,Z2滿足|Z||=1,|Z2|=2,Z[+Z2=J^-i,則|ZLZ2|=.

11.已知異面直線所成角為70°,過空間定點P與“北成55°角的直線共有條.

12.三角形A8C的AB邊在平面a內(nèi)，C在平面a外，AC和8c分別與面a成30°和45°

的角，且平面A8C與平面a成60°的二面角，那么NACB的大小為.

二、選擇題（共4小題）.

13.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+4?（其中a、hER,i為虛數(shù)單位），則“a=0”是“z為純虛數(shù)”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

14.已知P\（ai,bl）與尸2（42,62）是直線>="+1（k為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)

于八：aix+biy-1=0和'a2x+"y-1=0的交點情況是（）

A.存在2,P,尸2使之無交點

B.存在k,P,P2使之有無窮多交點

C.無論A,Pi,P2如何，總是無交點

D.無論鼠Pl,P2如何，總是唯一交點

15.平行六面體A8CO-48C01的六個面都是菱形，那么點4在面A3。上的射影一定

是△AB1Q的心，點4在面BGO上的射影一定是△BGO的心.（）

A.外心、重心B.內(nèi)心、垂心C.外心、垂心D.內(nèi)心、重心

16.正方體ABC。-AiBiGd中，M為CG的中點，P在底面ABC。內(nèi)運動，且滿足

=NCPM,則點P的軌跡為（）

A.圓的一部分B.橢圓的一部分

C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分

三、解答題

17.直三棱柱A8C-48G中，底面ABC為等腰直角三角形，ABLAC,AB=AC=2,A4,

=4,“是側(cè)棱CG上一點，設(shè)MC=〃.

（1）若求〃的值；

（2）若6=2,求直線BAi與平面ABM所成的角.

18.已知方程x2+x+p=0有兩個根X”X2,p€R.

（1）若僅I-X2|=3,求實數(shù)p的值;

（2）若M|+g|=3,求實數(shù)p的值.

19.《九章算術(shù)》是古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，書本記載了一種名為

“芻舞”的五面體(如圖1).其中四邊形A8C。為矩形，EF//AB,△E4O和△F3C是

三角形，“芻薨”字面意思為茅草屋頂.圖2是一棟農(nóng)村別里，為全新的混凝土結(jié)構(gòu).它

由上部屋頂和下部主體兩部分組成.如圖3,屋頂五面體為“芻薨”，其中前后兩坡屋面

ABEF和CDEF是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面EAD和FBC是全等的三角形，點F

在平面A8CD和8c上射影分別為H,M,己知HM=5米，BC=10米，梯形A8EF的面

積是面積的2.2倍.設(shè)NFMH=8(0<8<4).

(1)(2)(3)

(1)求屋頂面積S關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式；

(2)已知上部屋頂造價由屋頂面積確定，造價為600元/平方米，下部主體造價由高度

確定，造價為9600元/米.現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為6米的別墅，試問：當。為何值

時，總造價最低？

20.如圖，已知長方體ABCQ-AEG。，AB=2,A4i=l,直線8D與平面A488所成的

角為30°,AE垂直3D于E.

(1)若月為棱43上的動點，試確定F的位置使得AE〃平面8CF,并說明理由；

(2)若尸為棱48上的中點；求點A到平面8OF的距離；

(3)若尸為棱4囪上的動點(端點Ai,自除外)，求二面角F-80-A的大小的取值

范圍.

21.設(shè)曲線E是焦點在x軸上的橢圓，左、右焦點分別是Fi,Fi,且|FiB|=2,M是曲線

上的任意一點，且點M到兩個焦點距離之和為4.

(1)求E的標準方程；

（2）設(shè)橢圓上P（-l,y）,判斷以（尸2為橢圓右焦點）為直徑的圓與以橢圓E的長

軸為直徑的圓的位置關(guān)系并說明理由；

（3）設(shè)點N（入，H）為曲線E上確定的一個點，若直線6：丫=履+〃?與曲線E交于兩點

C,D（C,D異于點N）,且滿足|而+而|=|NC-ND卜請問直線b是否恒過定點？

若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

參考答案

一、填空題(共12小題).

1.復(fù)數(shù)二2一的虛部為1

1-1

解：復(fù)數(shù)上2(l+i)=l+i,

1-1(1-i)(1+i)

???復(fù)數(shù)人的虛部為1.

1-1

故答案為：1.

(x=2t-l1

2.直線1\：<(ZGR),I2：以+)葉3=0,若/i則a=—

ly=4t+4~2~

(x=2t-1

解：??,直線kP(怎R),

ly=4t+4

???直線八的直角坐標方程為2%->6=0.,

V/2：or+y+3=0,/i±/2,

.\2a-1=0,解得〃=工.

2

故答案為：

'y<2

3.已知變量x,y滿足約束條件?x+y》4，則2=知+>，的最大值為11

x-yC1

解：不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖

由z=3x+y得y=-3x+z,

平移直線y=-3x+z,則由圖象可知當直線y=-3x+z經(jīng)過點A時直線)，=-3x+z的截距

最大，

此時z最大，

=

由4'vy=2得1(x2,即A(3,2),

x-y=1(y=2

止匕時z=3X3+2=ll,

故答案為：11.

4.若方程/+*+3i)x+A+4=0有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值是-4

解：；方程/+(%+3i)x+k+4=0有實數(shù)根，

設(shè)xo是方程x2+(k+3i)x+k+4=0的實數(shù)根，

/.(a)2+Ho+4+左)+3直=0

xo2+to+4+Zr=0,且3必=0,

解得k=-4.

故答案為：-4.

5.拋物線y=4N的準線方程為_丫=0_.

解：整理拋物線方程得x2=g,.?.0=5

??,拋物線方程開口向上，

...準線方程是丫=-今

故答案為：y=.

6.若圓錐底面半徑為1,高為M，則其側(cè)面積為21T.

解：圓錐的高位愿，底面半徑為1,所以圓錐的母線為：2,

圓錐的側(cè)面積：yX2TtX2=2n

故答案為：2TT.

7.已知三棱錐A-BCD中，AB=CD=M，AC=BC=AD=BD=M，則三棱錐A-BCD

的體積是返.

-3一

解：如圖，AB=CD=?,AC=BC=AD=BD=a，

A

取C￡）的中點。，連接A。，BO,可得AO_LC￡>,BOLCD,

又AORBO=O,則CO_L平面AOB,

在△ACZ）中，求得A0=J（V§）2_（號）2=^>

在△BC￡>中，同理求得BO=H,

2______________

乂AB=y[2,：,SAAB0VX亞X42_（喙）2=1.

2

...三棱錐4-BCD的體積是V=lSAABOxCD=y-

故答案為：返.

3

8.在北緯45°東經(jīng)30°有一座城市4,在北緯45°東經(jīng)120。有一座城市B,設(shè)地球半徑

TT

為R,則A、B兩地之間的距離是

解：由己知地球半徑為R,

則北緯45。的緯線圈半徑為返R

2

又；兩座城市的經(jīng)度分別為東經(jīng)30°和東經(jīng)120。

故連接兩座城市的弦長心=亨五?后R

K

則A,8兩地與地球球心。連線的夾角NAO8=—

3

JT

則A、B兩地之間的距離是飛-R

JT

故答案為：--R

o

22

9.尸是雙曲線三--匚=i上的一點，F(xiàn)x,乃為焦點，若|尸m=7,則|PF2|=13.

916

解:由雙曲線的定義知，||PFi|-|PB||=2a=6,

.,.|PF2|=|PFI|±6=7+6=1或13,

「焦距|BB|=2c=2義后記=10,

...當|PA|=1時，|PA|+|PR=8<10,不能構(gòu)成三角形,舍去，

.,.|PF2|=13.

故答案為：13.

10.設(shè)復(fù)數(shù)zi,Z2滿足|zi|=l,|Z2|=2,Z]+Z2=V^-i,貝lj|zi-Z2|=_

解：設(shè)z”Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為西，西，

Z1+Z2對應(yīng)的向量為OZ3，如圖所示，

因為Z1+Z2=j^-i,

所以|Z1+Z2|=2,

所以COS/OZIZQ=1+2_2―』，

COSZ-U41431X2X24

又因為/。2123+/4。22=180°,

=-

所以cos/Z1OZ2cosZOZ1Zg=-^-，

222

所以|Z^|=0Z1-K)Z2-20Z1-0Z2-COSZZ10Z2=1+4+1=6,

所以WZ；I=V6，故|zi-Z2|=|Z2Z；I=V6.

故答案為："y6-

Zly*-Z、

11.已知異面直線”，〃所成角為70°,過空間定點P與m人成55°角的直線共有3條.

解：將直線4,人平移，使兩直線經(jīng)過點P,如下圖所示:

設(shè)直線小〃所成角的角平分線為C,

過點P垂直于直線。，人所在平面的直線為d,

因為a,。所成角為70°,

當直線/經(jīng)過點尸且直線/在直線小b所在平面內(nèi)且垂直于直線c,

此時直線/與直線a,6所成的角均為強。;7°：一=55°，

當直線/在直線c,"所在平面內(nèi)時，

若/繞著點尸旋轉(zhuǎn)，此時/與直線”，人所成角相等，

且所成角從弓一=35°變化到90°,再從90°變化到35°,

所以此時滿足條件的/有2條，

綜上所述，過空間定點P與a,b成55°角的直線共有3條.

故答案為：3.

12.三角形ABC的AB邊在平面a內(nèi)，C在平面a外，AC和BC分別與面a成30°和45°

的角，且平面ABC與平面a成60°的二面角，那么NAC8的大小為90°或

2注

arccos---.

3—

解：從C向平面作垂線C。，連接4。，B。，作CELAB,連接。E,

根據(jù)三垂線定理，DE±AB,

設(shè)CQ=〃，NCBD=45°,8。=揚，ZCAD=30°,

AC=2CD=2h,NCEZ)是二面角的平面角，

NCED=60°,CE=^&h,

3_

根據(jù)勾股定理,AE=^^-li,BE=J^h,AB=AE+BE=招，

根據(jù)勾股定理逆定理，AB^BCi+AC2,

(第Q2=(@)2+(2/i)2,

/.ZACB=90°,

另一種是N8是鈍角，CE在三角形A8C之外，

AB=AE-BE=J^h,

3

根據(jù)余弦定理，AB--AC+BC1-2ACXBCXcosC,

C^h)2=(2〃)2+(&/?)2-2X2〃X揚cosC,

cosZACB-^^-,ZACB=arccos-^-^-.

33

二、選擇題

13.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+6i（其中a、6eR,i為虛數(shù)單位），則“。=0”是“z為純虛數(shù)”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

解：復(fù)數(shù)z=a+6i（其中a、〃6R,i為虛數(shù)單位），當＜2=0,且6#0時，z為純虛數(shù)，

則％=0”是“z為純虛數(shù)”必要非充分條件，

故選：B.

14.已知Pi（防，bi）與Pi（公，歷）是直線y=H+l（%為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)

T'/i：a\x+b\y-1=0fe：ayc+bzy-1=0的交點情況是()

A.存在A,P|,P2使之無交點

B.存在k,Pi,P2使之有無窮多交點

C.無論％,Pl,尸2如何，總是無交點

D.無論鼠Pl,P2如何，總是唯一交點

解：Pi（ai,bi）與P2（〃2,歷）是直線y=kx+l（k為常數(shù)）上兩個不同的點，直線y

=履+1的斜率存在，

bn-b1

:.k=------,即aiWs,并且力=生“+1,bi—kai+X,

a2-a1

/.02b\-a\bi=ka\a2-kaiai+a2~a\—ai-ai,

aJx+b|Y=1

?，解得：（a必2-sbi）x=b2-",

=

a2x+b2yl

即（ai-ai）x=bi-b\.

方程組有唯一解.

故選：D.

15.平行六面體A8C￡>-ABiGDi的六個面都是菱形，那么點Ai在面ABQi上的射影一定

A.外心、重心B.內(nèi)心、垂心C.外心、垂心D.內(nèi)心、重心

解：；平行六面體ABC。-ALBCQI的六個面都是菱形，

AiA=AiBi=AiDi,

點4在面ABQi上的射影。到A、Bi、。三點的距離相等，

...點Ai在面AB\D\上的射影O一定是△ABQi的外心；

設(shè)4在平面8QG中的射影為M,連接4G、A\M,

則A\M是AiCi在平面BDC\中的射影，

?.?平行六面體ABCD-AIBIGDI的六個面都是菱形，

：,BD//B\D\,AICI±BI￡)I,：.A\C\VBD,

由三垂線定理得CtM±BD,

同理可證明BA/_LOG,DMVBCx,

點Ai在面BCiD上的射影一定是△BCi。的垂心.

故選：C.

16.正方體ABC。-AIBIGOI中，M為CG的中點，尸在底面ABC。內(nèi)運動，且滿足/。2口

=ZCPM,則點尸的軌跡為()

A.圓的一部分B.橢圓的一部分

C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分

解：'：ZDPDt=ZCPM,M為CG的中點，二蛇上2_1=垂.

PCDPDP

4=2

PC

在平面ABC。內(nèi)以。為原點建立平面直角坐標系，設(shè)OC=1,P(x,y),

?.包=2

PC

：.PD=2PC

；?7x2+y2=2Vx2+(y-l)2

.2j4s24

??x+(ry)

在底面ABC。內(nèi)運動，

軌跡為圓的一部分

故選：A.

三、解答題

17.直三棱柱ABC-AiBCi中，底面ABC為等腰直角三角形，AB1AC,AB=AC=2,A4]

=4,M是側(cè)棱CCi上一點，設(shè)MC=fi.

(1)若求力的值;

(2)若仁2,求直線BAi與平面ABM所成的角.

解：(1)以A為原點，以AB,AC,A4為坐標軸建立空間直角坐標系A(chǔ)-Jtyz,

則8(2,0,0),Ai(0,0,4),C(0,2,0),M(0,2,h),

BH=(-2,2,/I),A[C=(0,2,-4),

若5M_L4C,則而忑=0,即4-4力=0,

：.h=\

(2)當h=2時，M(0,2,2),BH=(-2,2,2),研=(2,0,0),BA1=(-

2,0,4),

，一?

則H里,

設(shè)平面A8M的法向量為門=(x,y,z)

.n?BM=0

令z=l可得丟=(0,-1,1).

.___n-BA]_4_77o

n1InllBAjV2X2V55

設(shè)直線BAi與平面ABM所成的角為。，則sin0=|cos<n，西>|=H,

5

.n_.'/W

..u-——.

arcsinD

18.已知方程P+x+p=O有兩個根X],X2,pGR.

(1)若團-12|=3,求實數(shù)p的值；

(2)若團|+咫|=3,求實數(shù)〃的值.

解：(1)因為方程]2+x+p=0有兩個根羽，必p￡R,

則X]+X2=-1,X\X2=p,

因為|XI-X2|=3,所以|X[-乂2I2=9，即|(X]->2)2-4X]>21=9,

可得|l-4p|=9,解得p4或-2；

(2)①當xi,尤為兩個實根時，△=l-4p20,所以同看，

2=22=

所以(|xj|+|X2I)9，所以Xj+X2+21X^2l9>即

2-=

(xj+x2)2XJx2+21xjx2I9>

所以l+2p+2bl=9,解得p=-2；

②當M,及為兩個共輾虛根時，即pg時，

|刈+|閱=3,即|XI|+|x1|=3,所以|x1|h^，

由韋達定理可得,p=k/2號;

綜上所述,P=-2或自

19.《九章算術(shù)》是古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，書本記載了一種名為

“芻費”的五面體(如圖1).其中四邊形ABC。為矩形，EF//AB,△E4。和△FBC是

三角形，“芻薨”字面意思為茅草屋頂.圖2是一棟農(nóng)村別墅，為全新的混凝土結(jié)構(gòu).它

由上部屋頂和下部主體兩部分組成.如圖3,屋頂五面體為“芻薨”，其中前后兩坡屋面

ABEF和CDEF是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面EAD和FBC是全等的三角形，點F

在平面ABC。和BC上射影分別為H,M,己知HM=5米，8c=10米，梯形A8EF的面

(1)(2)(3)

（1）求屋頂面積s關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式;

（2）己知上部屋頂造價由屋頂面積確定，造價為600元/平方米，下部主體造價由高度

確定，造價為9600元/米.現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為6米的別墅，試問：當。為何值

時，總造價最低？

解：(1)在R3HM中，F(xiàn)M=——^―-=—

cosZFMHcos8

SMBC=LM?BC=4-X-^-X10=2J一,

22cos9cos8

?.?梯形ABEF的面積是△FBC面積的2.2倍，即SWABEF=2.2S^BC,

.?.屋頂面積5=2(SMBC+SWABEF>=2X3.2S“BC=2X3.2X—-

COSyCOSy

e€(o,今).

(2)在RtZ\FHM中，F(xiàn)/7=WM?tan0=5tan0,

,下部主體的高度為6-5tan0,

總造價y=—^-義600+(6-5tan0)X9600=9600X(1(^+6-5sin^)=9600

cos8cos8cos8

105s9

X(~^+6),

COS0

設(shè)/(O)=l°-5s\",要使總造價最低，則/(。)最小，

cosy

-5cos8"cos8+(10-5sin9),sin6lOsinQ-5

/⑹=2e2

COScos0

令/(6)=0,則sin0=/,

???ee(o,為…$

46

TTTTTT

當06(0,--)時，f(0)V0,f(0)單調(diào)遞減，當0G(---,---)時，f(0)>0,

664

/（6）單調(diào)遞增,

.?.當時，f（0）取得最小值，

6

TT

故當8—時，總造價最低.

o

20.如圖，已知長方體ABCQ-A山iG。”AB=2,AAi=l,直線20與平面AABB所成的

角為30°,AE垂直8。于E.

（1）若尸為棱4為上的動點，試確定尸的位置使得AE〃平面BGF,并說明理由；

（2）若尸為棱4步上的中點；求點A到平面B。下的距離；

（3）若F為棱上的動點（端點4,除外），求二面角F-BO-A的大小的取值

范圍.

B.F1

解：（1）當丁4—=合時，AE〃平面AGF,證明如下：

B]A]3

延長AE交CQ于點因為A。，平面ABBMi,

所以NQBA就是直線8。與平面AB81A1所成的角，即/QBA=30°,

所以A￡>=ABtan30°=2返，

3

由所以NOAE=30°,￡>M=ADtan30°=—,

3

在CQ上取點N,使得D]N《，連結(jié)MN,AiN,

BiFi9A

因為釘1=5,則B/A，

D?A?o1O1O1

又4尸〃GN,所以4FGN是平行四邊形，

則4N〃FG,D\N=DM,DiN〃DM,

則。iNMD是平行四邊形，

所以MN〃O￡）i〃AAi,MN=DDi=AAt,

所以AiAMN是平行四邊形，

所以AM〃4N,

所以AM〃GF,又AA/仁平面BCiF,GFu平面BG凡

所以AM〃平面BCiF,即AE〃平面BCiF；

（2）因為SABD9X竿X2挈,

所以VF-ABD^XI'等邛,

由長方體的性質(zhì)可得，BF=V2,BD=3^,DF=畫，

33

所以BF1+FD2=BD2,

所以BFLDF,

所以S^DF^X加X尊邛’

設(shè)點A到平面BDF的距離為h,

則由以-9產(chǎn)=匕一"。可得，lx^p-h=^"所以hRG，

故點4到平面BDF的距離為25；

5

（3）作FPLAB,垂足為P,作PQVBD于Q,連結(jié)FQ,

則FPJ_平面ABC。，BOu平面4BCD,

所以FPJ_B。，同理FPJ_PQ,

因為FPCPQ=P,FP,PQu平面FP。，

所以平面FP。，而FQu平面FP。，

所以BDYFQ,

所以NFQP是二面角F-8。-A的平面角，

設(shè)3F=x（0<x<2）,則由是矩形可得BP=x,FP=BBi=l,

貝ijPQ=BPsin30°=/*

所以tanNFQP罷工€（1.0），

PQx

又NR2P是銳角，

所以/尸2尸€（亍IT，子TT），

所以二面角尸-8。-A的大小的取值范圍為（g兀,-7Ty）.

21.設(shè)曲線E是焦點在x軸上的橢圓，左、右焦點分別是Q,3,且|BB|=2,M是曲線

上的任意一點，且點M到兩個焦點距離之和為4.

（1）求E的標準方程；

（2）設(shè)橢圓上P（-l,-1）,判斷以（后為橢圓右焦點）為直徑的圓與以橢圓E的長

軸為直徑的圓的位置關(guān)系并說明理由；

（3）設(shè)點Na,|i）為曲線E上確定的一個點，若直線乙：y=Ax+，〃與曲線E交于兩點

C,D（C,D異于點N）,且滿足|前+而|=|亞-而|"請問直線，2是否恒過定點？

若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

解：（1）由題意可得2c=2,2a=4,所以。=2,c=\,b2—a2-c2—3,

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所以橢圓的方程為：三-+，=1；

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（2）由⑴可得右焦點尸2（1,0）,|PF2|=J（-1-1）2+（_|_）2=_|,

中點CI坐標（0,孑），圓的半徑為八=?,

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橢圓E的長軸為直徑的圓