2018-2019學(xué)年江西省九江市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2018-2019學(xué)年江西省九江市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共14小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）已知平面向量￡（x,3），b=（l,x-2）1若W與工同向，則實(shí)數(shù)x的值是（）

A.-1B.1c.-3D.3

2.(5分)sinllO0cos40°+cos70°sin320°=()

A.LB.返

c.1D.

22T2

3.（5分）總體由編號(hào)為01,02,…，60的60個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)

個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第8列和第9列數(shù)字開始由左至右選取兩個(gè)數(shù)字,

則選出的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）

50446644296706580369803427188361464223

91674325745883110330208353122847736305

A.42B.36C.22D.14

4.（5分）已知|a|=1，|b|=2＞且Zj_（Z+E），則W在詁向上的投影為（）

A.-1B.1C..AD.工

22

5.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序語(yǔ)句，輸出的結(jié)果為（）

S=0,〃=1

Do

S=S+―-—

n(n+l)

n=M+1

LoopWhilen<10

輸出S

A.WB.-LC.D.1

111090110

6.(5分)如圖，正方形的邊長(zhǎng)為a,以A,C為圓心，正方形邊長(zhǎng)為半徑分別作圓，在正

方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（)

7.（5分）已知函數(shù)f（x）=sin（3x+（p）（o）＞0,|0|＜號(hào))的部分圖象如圖所示，則

u）,＜p的值分別是（）

nir

A.2,2兀B.2K,C.1,《D.1,A

630O

8.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入〃=7,則輸出C=()

苧

Q=,4+51

1-=8|

18三C1

IAr=+11

（^1

A.5B.8C.13D.21

9.（5分）從集合｛1,2,3,4｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a,從集合｛4,6,8｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b,

則向量/(a,b)與向量3=(2,-1)垂直的概率為(）

A?工B?工C.AD.L

6432

10.（5分）某班20名學(xué)生的期末考試成績(jī)用如圖莖葉圖表示，執(zhí)行如圖程序框圖，若輸入

的3（i=l,2,…，20）分別為這20名學(xué)生的考試成績(jī)，則輸出的結(jié)果為（）

入q,,a2c

.*T

|n=0J=1|

82

945

10347

11225

123467

135679

14668

A.11B.10C.9D.8

11.（5分）（普通中學(xué)做）若sin（a-）二2sin（a+-：），則tan（2a-：）=（

A.-7B.-A.C.7D.1.

77

12，（重點(diǎn)中學(xué)做）若sin（a^一鼠）=cosasin■了，則3兀=（）

cos（CL—）

A.1-B?工C.2D.3

23

13.（5分）（普通中學(xué)做）如圖，在矩形A8C。中，\AB\=2f|BC|二點(diǎn)。為A8的中

點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)廠在邊4。上，且NEOF=90°,則舊網(wǎng)的最大值是（）

c?平D.V?

14.（重點(diǎn)中學(xué)做）如圖，在矩形ABCD中，|AB|=4,|3C1=2,點(diǎn)P滿足|CP|=1，記a=AB?屈,

b=AC-AP-c=AD-AP>則小b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共2（）分.

15.（5分）已知點(diǎn)A（1,-2）,8（-2,-1）,若向量正=（o,3），則向量前=-

16.（5分）函數(shù)/（x）=2sin2x+sin2r的最小正周期為.

17.（5分）某縣現(xiàn)有高中數(shù)學(xué)教師500人，統(tǒng)計(jì)這500人的學(xué)歷情況，得到如下餅狀圖，

該縣今年計(jì)劃招聘高中數(shù)學(xué)新教師，只招聘本科生和研究生，使得招聘后該縣高中數(shù)學(xué)

?？茖W(xué)歷的教師比例下降到8%,且研究生的比例保持不變，則該縣今年計(jì)劃招聘的研究

生人數(shù)為.

■研究生

■本科生

?？粕?/p>

18.（5分）如圖，在aABC中，ADLAB,前=正而，I詬=1，則正?屈=

19.（重點(diǎn)中學(xué)做）如圖，以AB為直徑的圓O中，|A8|=2,C,D,G在圓O上，ZAOD

=ZBOC,DEA.ABT'E,CFJ_AB于凡EG=FG,記△OA。，△OBC,△EFG的面積

和為s,則s的最大值為

AB

G

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

TT

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=4sinxcos(xz-)-!,

6

(I)求f(需)的值；

(II)若f(xo)>1,求X0的取值范圍.

21.(12分)如圖，在平面四邊形488中，已知而二2就，|前|二|而|=2,BA-BC=b

。為線段3c上一點(diǎn).

(I)求NABC的值：

(II)試確定點(diǎn)。的位置，使得贏?而最小.

22.(12分)某校全體教師年齡的頻率分布表如表所示，其中男教師年齡的頻率分布直方圖

如圖所示.己知該校年齡在35歲以下的教師中，男女教師的人數(shù)相等.

年齡[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)[50,55)[55,60)合計(jì)

(歲)

人數(shù)681123189580

(I)求圖2中a的值;

（0）若按性別分層抽樣，隨機(jī)抽取16人參加技能比賽活動(dòng)，求男女教師抽取的人數(shù)；

（III）若從年齡在［55,60）的教師中隨機(jī)抽取2人，參加重陽(yáng)節(jié)活動(dòng)，求至少有1名女

教師的概率.

23.（12分）將函數(shù)￡&）=亞＜：05（三乂4）的圖象向右平移1個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）

的圖象.

（I）求），=/（x）g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（II）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線2x+2y-1=0與函數(shù)），=/（x）g（x）的圖象自左至右相交

于點(diǎn)A,B,C,求（丞+羽）?根的值.

24.（12分）（普通中學(xué)做）使用支付寶和微信支付已經(jīng)成為廣大消費(fèi)者最主要的消費(fèi)支付

方式，某超市通過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)一周內(nèi)超市每天的凈利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與每天使用支付寶和微信

支付的人數(shù)x（千人）具有線性相關(guān)關(guān)系，并得到最近一周x,y的7組數(shù)據(jù)如表，并依

此作為決策依據(jù).

周一周二周三周四周五周六周日

X13162622252930

（千人）

y7111522242734

（萬(wàn)元）

（I）作出散點(diǎn)圖，并求出回歸方程、=。+尿（a,6精確到0.01）；

（II）超市為了刺激周一消費(fèi)，擬在周一開展使用支付寶和微信支付隨機(jī)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，總

獎(jiǎng)金7萬(wàn)元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，抽獎(jiǎng)活動(dòng)能使使用支付寶和微信支付消費(fèi)人數(shù)增加7千人,

試決策超市是否有必要開展抽獎(jiǎng)活動(dòng)？

（HI）超市管理層決定：從周一到周日，若第二天的凈利潤(rùn)比前一天增長(zhǎng)超過(guò)兩成，則

對(duì)全體員工進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，在（II）的決策下，求全體員工連續(xù)兩天獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率.

7777__

參考數(shù)據(jù)：￡走3951，Ey：=3340,￡Xiy=3544,￡(x-x)(y_-y)=324-

i=li=li=li=l

n__n__

￡（Xj-x）仇-y）￡XiVi-n*x*y

參考公式：一.-，a^-b-r

￡（xi'x）￡x：-n?x

i=li=l

25.（重點(diǎn)中學(xué)做）2019年，河北等8省公布了高考改革綜合方案將采取“3+1+2”模式，

即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必考，然后考生先在物理、歷史中選擇1門，再在思想政治、地理、

化學(xué)、生物中選擇2門.為了更好進(jìn)行生涯規(guī)劃，甲同學(xué)對(duì)高一一年來(lái)的七次考試成績(jī)

進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，其中物理、歷史成績(jī)的莖葉圖如圖所示.

（I）若甲同學(xué)隨機(jī)選擇3門功課，求他選到物理、地理兩門功課的概率；

（II）試根據(jù)莖葉圖分析甲同學(xué)應(yīng)在物理和歷史中選擇哪一門學(xué)科？并說(shuō)明理由;

（III）甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)，其物理考試成績(jī)〉（分）與班級(jí)平均分x（分）具有線性相關(guān)關(guān)系,

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示，試求當(dāng)班級(jí)平均分為50分時(shí)，其物理考試成績(jī).

X（分）57616572747784

y（分）76828285879093

參考數(shù)據(jù)：￡x：=34840，￡y：=50767，￡X1y.=41964，

i=li=li=l

7__

￡(x「x)(yj-y)=314

i=i

n__n__

￡(x「x)(y「y)￡xiyi-n-x-y

參考公式：---------L1--------------'2力工4(計(jì)

2

E：(X1-x)￡x，n?r

i=li=l

算2,a寸精確至UO91）.

物理成績(jī)歷史成績(jī)

69

676

7522802

309468

請(qǐng)考生在第22?23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

26.（10分）某算法框圖如圖所示.

（I）求函數(shù)y=/（x）的解析式及f［f（2L）］的值；

6

（II）若在區(qū)間［-2,2］內(nèi)隨機(jī)輸入一個(gè)x值，求輸出y的值小于0的概率.

/輸入x/

/輸出）,/

27.如圖1,單位圓0：x?+y2=i與x軸正半軸相交于點(diǎn)p,圓。上的動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)p出發(fā)沿

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周回到點(diǎn)P,設(shè)NP0Q=x（0Wx<2ir）,△OP。的面積為y（當(dāng)0,P,Q

三點(diǎn)共線時(shí)，y=0）,_y與x的函數(shù)關(guān)系如圖2所示的程序框圖.

（I）寫出程序框圖中①②處的函數(shù)關(guān)系式；

2018-2019學(xué)年江西省九江市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共14小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)已知平面向量￡(x,3))b=(l,x-2＞若W與4同向，則實(shí)數(shù)x的值是()

A.-1B.1C.-3D.3

【分析】根據(jù)Z與4同向即可得出Z//E，從而得出x(x-2)-3=0,解出x并驗(yàn)證是否

滿足二,了同向即可.

【解答】解：：a與b同向；

aIIb：

(x-2)-3=0；

解得元=-h或3；

①x=-l時(shí)，￡(-!,3),b=(l,-3A方向相反，不合題意，舍去；

②x=3時(shí)，短⑶3),b=(l,1＞方向相同；

，x=3.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】考查兩向量同向、反向的定義，平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，向量數(shù)乘的幾何意義.

2.(5分)sinllO0cos40°+cos70°sin320°=()

A.1B.區(qū)C..XD.

2222

【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、兩角差的正弦公式，求得要求式子的值.

【解答】解：sinl10°cos40°+cos70°sin320°=sin70°cos40°-cos70°sin400=sin

(70°-40")=sin30°=L

2

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.(5分)總體由編號(hào)為01,02,…，60的60個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)

個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第8列和第9列數(shù)字開始由左至右選取兩個(gè)數(shù)字,

則選出的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）

50446644296706580369803427188361464223

91674325745883110330208353122847736305

A.42B.36C.22D.14

【分析】由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得：選出的5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為42,36,03,14,22,得解.

【解答】解：由隨機(jī)數(shù)表可得：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第8列和第9列數(shù)字開始由左至右

選取兩個(gè)數(shù)字，選出的5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為42,36,03,14,22,

即選出的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為22,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，屬基礎(chǔ)題.

4.（5分）已知IGl=l'|b|=2>且Zj_（W+E），則W在己方向上的投影為（）

A.-IB.IC.D.J-

22

【分析】通過(guò)向量的垂直，得到向量的數(shù)量積的值，然后求解W在E方向上的投影.

【解答】解:Gi=i，|E1=2,且Z1G+E），

可得Z2+W?E=°，所以

則W在芯方向上的投影蕓旦=3=—L

|b|22

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

5.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序語(yǔ)句，輸出的結(jié)果為（）

S=0.〃=1

Do

S=S+―-—

〃（〃+1）

〃=〃+1

LoopWhilen<10

輸出S

A.IP.B.aC.D.1

iiio90no

【分析】模擬程序的運(yùn)行，可得程序的功能是計(jì)算并輸出s=」_…—的

1X22X39X10

值，利用裂項(xiàng)法即可計(jì)算得解.

【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得程序的功能是計(jì)算并輸出…

1X22X3

由于s—―-_+--_+???+―I——?=（1-.L）+（-L_L）+…（L-_1_）=i-

1X22X39X102239101010

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序算法的應(yīng)用，模擬程序的運(yùn)行即可得解，屬于

基礎(chǔ)題.

6.（5分）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為“，以A,C為圓心，正方形邊長(zhǎng)為半徑分別作圓，在正

方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（）

【分析】將陰影部分拆分成兩個(gè)小弓形，從而可求解出陰影部分面積，根據(jù)兒何概型求

得所求概率.

【解答】解:如圖所示:

陰影部分可拆分為兩個(gè)小弓形，

則陰影部分面積：S=2義（lKa2J.a2）^lKa2_a2

正方形面積：S=/,

.?.所求概率0=§二=工-1,

S2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用幾何概型求解概率問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

7.(5分)已知函數(shù)/(x)=sin(3x+(p)(3>0,|<.^-)的部分圖象如圖所示，則

3,<p的值分別是()

【分析】根據(jù)圖象可得周期7=4(衛(wèi)二工)=兀，從而得到3,再由時(shí)，/(x)

k123112

取得最小值，可得(p的值.

【解答】解：由圖象知，周期7=4("三)=兀，，3=2,

又當(dāng)工=衛(wèi)二時(shí)，fG)取得最小值，

12

??7?兀2X人^+3兀0瑪T2/k廣兀、(k€Z)，

JTIT

0=q+2k兀(k^Z)*>

?._K?(P—.

3

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬基礎(chǔ)題.

8.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入〃=7,則輸出C=()

C.13D.21

【分析】由已知中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量C的

值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得

n—1,A—l,B—l,k=3

滿足條件ZW7,執(zhí)行循環(huán)體,C=2,4=1,8=2,k=4

滿足條件2<7,執(zhí)行循環(huán)體,C=3,4=2,8=3,k=5

滿足條件攵W7,執(zhí)行循環(huán)體,。=5,A=3,8=5,k=6

滿足條件攵W7,執(zhí)行循環(huán)體，。=8,A=5,B=8,女=7

滿足條件ZW7,執(zhí)行循環(huán)體，C=13,A=8,B=13,k=8

此時(shí)，不滿足條件ZW7,退出循環(huán)，輸出C的值為13.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，以便得

出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題.

9.（5分）從集合｛1,2,3,4｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)“，從集合｛4,6,8｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)切

則向量去（a,b）與向量左（2,-1）垂直的概率為（）

A.LB.1C.1D，

6432

【分析】由古典概型及其概率計(jì)算公式得：向量於（a,b）與向量二=（2,-1）垂直的概

率為且=工，得解.

124

【解答】解：從集合｛1，2,3,4｝中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)“，從集合｛4,6,8｝中隨機(jī)抽取一

個(gè)數(shù)b,

其基本事件有C；?c；=i2個(gè)，

由向量/（a,b）與向量左（2,-1）垂直，

則2“-。=0,其基本事件有（2,4）,（3,6）,（4,8）共3個(gè)，

即向量；F（a,b）與向量左（2,-1）垂直的概率為

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，屬基礎(chǔ)題.

10.（5分）某班20名學(xué)生的期末考試成績(jī)用如圖莖葉圖表示，執(zhí)行如圖程序框圖，若輸入

的）（i=l,2,20）分別為這20名學(xué)生的考試成績(jī)，則輸出的結(jié)果為（）

【分析】模擬執(zhí)行算法流程圖可知其統(tǒng)計(jì)的是成績(jī)大于等于120的人數(shù)，由莖葉圖知:

成績(jī)大于等于120的人數(shù)為11,從而得解.

【解答】解：由算法流程圖可知，其統(tǒng)計(jì)的是成績(jī)大于等于120的人數(shù)，

所以由莖葉圖知：成績(jī)大于等于120的人數(shù)為11,

因此輸出結(jié)果為11.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生對(duì)莖葉圖的認(rèn)識(shí)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)考查程序流程圖的認(rèn)識(shí)，是一

道綜合題.

11.（5分）（普通中學(xué)做）若sin（a-^~）=2sin（a則tan（2a-：）=（）

A.-7B.C.7D.L

77

【分析】由題意利用兩角和差的三角公式求得tana的值，再利用二倍角公式求得tan2a

的值，從而求得要求式子的值.

【解答】解：若sin（Ct-千）=2sin（a+■卷），即乎^ina-^^cosa=2sina八尊_+2cosa

即tana=-3,

2

，tan2a=—__3_

—2tan。；

1-tan2a4

則tan（2a-工）=**1=_工，

41+tan2a7

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和差的三角公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

sin（a-^~）

12.（重點(diǎn)中學(xué)做）右sin（a'—T-）=COS（Isin_7_,則37T~）

cos（a,-）

A.1B.1C.2D.3

23

【分析】由題意利用兩角和差的三角公式，誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，先求

Wtana=2tan2L,再代入要求的式子，可得結(jié)論.

8

-7T7TTT

【解答】解：右sin（a一?）二cosasirr^，貝sinacos——-cosasin—―=cosasin--，

888

兀兀

即sinacos---=2cosasin---,

88

即tana=2tan』_,

8

,n、7T7T.兀.兀

sin（a^~）sin。cos-^-cosasirr-^sinClcos-^-cosasi

o1rT

cos（a普）3兀,3兀7T7T

cosacos+sinCIsincosasin^^+sinClcos~^~

oooooo

7171

tana-tangtarr^-

1

7T713

tail-+tanQ.Stan-^-

oo

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和差的三角公式，誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬

于基礎(chǔ)題.

13.（5分）（普通中學(xué)做）如圖，在矩形A2CQ中，|AB|=2,|BC|二F，點(diǎn)。為48的中

點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AZ）上，且NEOF=90°,則|EQ的最大值是（）

C.平D.有

【分析】設(shè)NBOE=a,用含有a的關(guān)系式表示OE,OF,利用勾股定理可求EF,從而

可求.

【解答】解：設(shè)NBOE=a,

在Rt^BOE中，08=1,/B=90°,NBOE=a,：.0E=_k__,

cosa

在RtZ\AO尸中，OA=1,/A=90°,ZAFO=a,

：.0F=—1.

sin。

又NEOF=90",

EF=J1+1二=-------------=-------,

Vsin2acos2aSinacosasin2a

，當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)。時(shí)，這時(shí)角a最小，此時(shí)a=?L,此時(shí)sin2a最小.

_6

3四一區(qū)-3.

~2~

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了借助于三角函數(shù)解三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了利用數(shù)

學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，及推理運(yùn)算的能力.

14.(重點(diǎn)中學(xué)做)如圖,在矩形A8C。中,|A8=4,|BC|=2,點(diǎn)P滿足|而|=1，記a=靛?屈,

b二AJAP，c=AD?AP，則“，b,c的大小關(guān)系為()

A.a>h>cB.a>c>bC.b>a>cD.h>c>a

【分析】以。為原點(diǎn)，CD,CB所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

利用坐標(biāo)表示向量，計(jì)算平面向量的數(shù)量積，再比較大小.

【解答】解：以C為原點(diǎn)，CD,C8所在的直線為x軸，y軸，

建立如圖所示的坐標(biāo)系，如圖所示；

貝ijA(-4,-2),B(0,-2),C(0,0),D(-4,0),

/.(4,0),AC=(4,2),AD=(0,2),

VCP=1,且尸在矩形內(nèi),

，可設(shè)P(cosa,sina),(0WaV2ir),

/.AP=(cosa+4,sina+2),

.'.a=AB*AP=4cosa+16,

h=AC*AP—4cosa+2sina+18,

c=AD*AP=2sina+4,

:?b-a=2sina+2>0,即b>a；

又c-a=2sina-4cosa-12=2^/^sin(a+(p)-12<0,則c<a；

綜上，有b>a>c.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，建立坐標(biāo)系是關(guān)鍵，屬于中檔題.

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共20分.

15.(5分)已知點(diǎn)A(1,-2),B(-2,-1),若向量過(guò)=(o,3)，則向量麗=(3,

2).

【分析】可求出標(biāo)=(-3,1)>根據(jù)玩=菽-直進(jìn)行向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算即可.

【解答】解：AB=(-3,1)；AC=(0,3)，

?'-BC=AC-AB=(3,2>

故答案為：(3,2).

【點(diǎn)評(píng)】考查根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)的方法，向量減法的幾何意義，以及向量坐標(biāo)

的減法運(yùn)算.

16.(5分)函數(shù)/(x)=2sin2x+sin2x的最小正周期為TT.

【分析】由題意利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，得出

結(jié)論.

【解答】解：函數(shù)/(X)=2sin2x+sin2x=sin2x-cos2x+l=J^in(2A---)+1的最小

4

正周期為空=TT,

2

故答案為：TT.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換、正弦函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題.

17.(5分)某縣現(xiàn)有高中數(shù)學(xué)教師500人，統(tǒng)計(jì)這500人的學(xué)歷情況，得到如下餅狀圖，

該縣今年計(jì)劃招聘高中數(shù)學(xué)新教師，只招聘本科生和研究生，使得招聘后該縣高中數(shù)學(xué)

?？茖W(xué)歷的教師比例下降到8%,且研究生的比例保持不變，則該縣今年計(jì)劃招聘的研究

生人數(shù)為50.

■研究生

■本科生

?？粕?/p>

【分析】根據(jù)題意，設(shè)今年招聘的研究生x人，本科生y人，由扇形圖分析可得現(xiàn)有大

500+x+y=0'08

專生和研究生的人數(shù)，進(jìn)而可得〈變形解可得x的值，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)今年招聘的研究生X人，本科生y人,

又由現(xiàn)有高中數(shù)學(xué)教師500人，其中大專生500X10%=50人，研究生500X40%=200

人,

50

-0.08

―500+x+y

則有＜…，變形可得=1

200+x200+x

「0.4

,500+x+y

解可得：x=5O；

故答案為：50.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形圖的分析，注意分析扇形圖中的信息，屬于基礎(chǔ)題.

..?1?'

18.（5分）如圖，在aABC中，AD1AB,BC=J^而，IAD=1，貝UAC?AD=_?_.

【分析】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算與解三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于難題.

【解答】解：AC?AD=IACI??IcosZDAC-

V|AD|二1，

AAC?標(biāo)二|同|?麗cos/DAC=|AC|?cos/DAC，

??/n

?NBAC二萬(wàn)TNDAO

cosZDAC=sinZBAC9

AC-AD=|AC!?|AD|cosZDAC=|AC|?cos/DAC=|AC|sin/BAC，

在aABC中，由正弦定理得1^2=__匝J—變形得|AC|sin/BAC=|BC|sinB,

sinBsinZBAC

AC-AD=|AC|,|AD|cosZDAC=|AC|'cosZDAC=|AC|sinZBAC.

=|BqsinB=|BC|-||^-=V3'

故答案為舊.

【點(diǎn)評(píng)】近幾年天津卷中總可以看到平面向量的身影，且均屬于中等題或難題，應(yīng)加強(qiáng)

平面向量的基本運(yùn)算的訓(xùn)練，尤其是與三角形綜合的問(wèn)題

19.（重點(diǎn)中學(xué)做）如圖，以AB為直徑的圓0中，\AB\=2,C,D,G在圓。上，ZAOD

=ZBOC,DELAB于E,CF±ABTF,EG=FG,記△OAO,△OBC,△EFG的面積

和為S,則S的最大值為—返

【分析】設(shè)NAOD=。，利用三角形的面積公式可求

SA）AD=SzkOBC《XlXlXsin8=，sin8，由題意可得EF=2cos。，連接°G,由

OGLEF,利用三角形的面積公式可得S^EFGIX2cos8Xl=cos。，根據(jù)兩角和的

正弦函數(shù)公式可得S=sin8+cos9j歷sin（0+?。谜液瘮?shù)的圖象和性質(zhì)可

求其最大值.

【解答】解：設(shè)/AO￡>=/BOC=e,則?！?gt;=0A=0C=08=l,

SAOAD=SAOBC總X1X1Xsin8卷sin8,

*.*OE=ODcosQ=cos0=OF,可得：EF=2cos0,

連接OG,可得。G_LER

'S/kEFG斗X2cos8XI二cos8，

兀

?,S二sinB+cos0zV2sin（9+-^->

當(dāng)e百寸，s二近.

4maxv乙

故答案為：瓜

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的面積公式，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象

和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

TT

2。?(12分)已知1函數(shù)f(x)=4sinxcos(x~^~)-l?

6

（I）求f（筆-）的值；

（II）若/（刈）＞1,求刈的取值范圍.

【分析】（I）由題意利用三角恒等變換化簡(jiǎn)/（X）的解析式，從而求得f（等）的值.

（II）若人刈）＞1，可得sin（2x1--）從而可得2Zni+^L＜2x（）-JLv2匕r+.5兀..

口62666

由此求得求;0）的取值范圍.

【解答】解：([)f(x)=4sinx(cosxcos-7-+sinxsin-7-)-l=

66

4sinx(-^-cosx+ysinx)-1=2V3sinxcosx+2sin2x-1=V3sin2x-cos2x=

/兀、

2sin(2xT-)*

6

.,5兀、/5兀兀、2兀l

,,f(-j-^-)=2sin(2X-....-)=2sin-7—=A/3-

1Z1Z0o

(11)由/(刈)>1,得sin(2x-.?.2E+?<2ro-工<2hr+鏟

062666

解得^TT+_<^)<^n+—,kez,

62

即xo的取值范圍是(KT+2L,^rr+—),kez.

62

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

21.（12分）如圖，在平面四邊形A8C。中，已知而二2就，|BC|=|CD|=2-BA-BC=1，

O為線段BC上一點(diǎn).

(I)求/ABC的值;

**

（II）試確定點(diǎn)。的位置，使得OA?ODM小.

rD

【分析】(I)通過(guò)向量共線以及向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可.

(II)法一：設(shè)麗二t前(0WW1),通過(guò)水?而=4產(chǎn)-7f+3,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求

解最小值即可.

法二：建立如圖平面直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)的坐標(biāo)，然后求解向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解最

小值即可.

【解答】解：(I)VCD=2BA)|CD\=2>ABAIICD.|AB|=1>

VBA-BC=1>???|BA|-|BC|cosZABC=l?即1X2COSNA8C=1,cos/ABc］，

VZABC&(0,TT),/.ZABC=—?

3

(H)法一：設(shè)的十標(biāo)(OWrWl),則羽=(l-t)前，AOA=BA-BO=BA-tBC?

0D=0C+CD=2BA+(l-tW

??0A?0D=(BA-tBC)?[2BA+(1-t)BC]=2BA+(l-3t)BA-BC-t(l-t)BC

=2X產(chǎn)+(i-3f)xi-r(1-r)X4=4?-7r+3,

當(dāng)BPBO=700^，贏?而最小.

法二：建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則3(0,0),A(l-,,C(2,0),D(3,V3).

設(shè)°(xo,0)(OWxoW2),則0人=6-*0,0D=(3-x0?

A2

OA-OD=(y-x0)X(3-x0)4-xV3=x0-yx0+3'

當(dāng)x0斗，即此7枷，水?,小.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量共線的充要條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

22.（12分）某校全體教師年齡的頻率分布表如表所示，其中男教師年齡的頻率分布直方圖

如圖所示.已知該校年齡在35歲以下的教師中，男女教師的人數(shù)相等.

年齡[25,30）[30,35）[35,40）[40,45）[45,50）[50,55）[55,60）合計(jì)

（歲）

人數(shù)681123189580

頻率

（II）若按性別分層抽樣，隨機(jī)抽取16人參加技能比賽活動(dòng)，求男女教師抽取的人數(shù)；

（III）若從年齡在[55,60）的教師中隨機(jī)抽取2人，參加重陽(yáng)節(jié)活動(dòng)，求至少有1名女

教師的概率.

【分析】（I）根據(jù)頻率分布直方圖的定義和性質(zhì)，求得"的值.

（II）利用分層抽樣的定義和方法，求出男女教師抽取的人數(shù).

（III）先求出所有的情況，再求出至少有1名女教師的情況，可得至少有1名女教師的

概率.

【解答】解：（I）由男教師年齡的頻率分布直方圖得（0.012+24+2X0.024+0.048+0.060）

義5=1,

解得4=0.016.

（II）該校年齡在35歲以下的男女教師人數(shù)相等，且共14人，，年齡在35歲以下的男

教師共7人.

由（I）知，男教師年齡在[25,35）的頻率為（0.012+0.016）X5=0.14,

男教師共有」一二50（人），女教師共有80-50=30（人），

0.14°

???按性別分層抽樣，隨機(jī)抽取16人參加技能比賽活動(dòng)，則男教師抽取的人數(shù)為

16乂意=10（人），

oU

女教師抽取的人數(shù)為16X瑞=6人.

(III)年齡在[55,60)的教師中，男教師為0.016X5X50=4(人)，則女教師為1人，

從年齡在[55,60)的教師中隨機(jī)抽取2人，共有10種可能情形，

其中至少有1名女教師的有4種情形，

故所求概率為

105

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查頻率分布直方圖，分層抽樣的定義和方法，屬于基礎(chǔ)題.

23.(12分)將函數(shù)f(x)=acos(f-x+■卷)的圖象向右平移1個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)

的圖象.

(I)求y=/(x)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(II)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線2x+2y-1=0與函數(shù)y=/(x)g(x)的圖象自左至右相交

于點(diǎn)A,B,C,求(贏+反)?麗的值.

【分析】(I)由函數(shù)y=4sin(3x+cp)的圖象變換可求g(x),利用三角函數(shù)恒等變換

的應(yīng)用可求y=/(x)g(x)的解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解y=f(x)g(x)

的單調(diào)遞增區(qū)間.

(II)由題意可求直線〃+2y-1=0與x軸的交點(diǎn)為(之，0)，利用余弦函數(shù)的圖象和

性質(zhì)可得水+權(quán)=2而，根據(jù)平面向量的運(yùn)算即可求解.

【解答】解：(I)由于g(x)=V^cos[^-(x-l)+^_]=V^cos(^-x^^_>

可得：

y=f(x)g(x)=V2cos(-^x+^~)X&cos(-^-x-^-)=2cos(~^-x+^-)sin(-^-x4^-)=sin(兀xj

令2E:-HWTIXW2%TI,(&€Z),解得：2k-\WxW2k,(%Ez),

可得：y=fCx)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是：[2攵7,2k](依z).

(II)直線2x+2y-1=0與x軸的交點(diǎn)為弓，0),即為函數(shù)y=/(x)g(x)的對(duì)稱中

心，

可得：B(A-(0),且A,C關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，

可得：0A+0C=20B-

可得：演+羽）?祈=2而2=2X（寺）2寺

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及三角函數(shù)圖象的變換和單調(diào)性，屬中檔

題.

24.（12分）（普通中學(xué)做）使用支付寶和微信支付已經(jīng)成為廣大消費(fèi)者最主要的消費(fèi)支付

方式，某超市通過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)一周內(nèi)超市每天的凈利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與每天使用支付寶和微信

支付的人數(shù)x（千人）具有線性相關(guān)關(guān)系，并得到最近一周x