2015年中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編圓(七)解析

2015中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：圓(7)

一?解答題(共30小題)

1.(2015?六盤水)如圖，在Rt△ACB中，/ACB=90。，點(diǎn)0是AC邊上的一點(diǎn)，以。為

圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)D，連接OD.

(1)求證：AADOACB.

(2)若。。的半徑為1，求證：AC=AD?BC.

2.(2015?東營)已知在ZSABC中，/B=90.以AB上的一點(diǎn)。為圓心，以O(shè)A為半徑的圓

交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E.

(1)求證：AC?AD=AB?AE;

(2)如果BD是O。的切線，D是切點(diǎn)，E是OB的中點(diǎn)，當(dāng)BC=2時，求AC的長.

3.(2015?遂寧)如圖，AB為00的直徑，直線CD切00于點(diǎn)D,AM，CD于點(diǎn)M,

BN_LCD于N.

(1)求證：/ADC=ZABD;

(2)求證：AD2=AM?AB;

(3)若AM3,sinZABD:;,求線段BN的長.

5

4.(2015?麗水)如圖，在AABC中，AB=AC，以AB為直徑的。O分別與BC.AC交于點(diǎn)

D.E,過點(diǎn)D作0。的切線DF，交AC于點(diǎn)F.

(1)求證：DFAC;

(2)若。。的半徑為4,/CDF=22.5°求陰影部分的面積.

△ABC內(nèi)接于OO,AB=AC,BD為OO的弦，且AB//CD,

過點(diǎn)A作O。的切線AE與DC的延長線交于點(diǎn)E,AD與BC交于

點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

(2)若AE=6,CD=5,求OF的長.

6.(2015?咸寧)如圖，在AABC中，/C=90以AB上一點(diǎn)。為

圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點(diǎn)D，分別交AC、AB

5.(2015?瀘州)如圖,于點(diǎn)E、F.

(1)若/B=30。,求證：以A、。、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

(2)若AC=6,AB=10,連結(jié)AD，求00的半徑和AD的長.

7.(2015?烏魯木齊)如圖，AB是。。的直徑，CD與0。相切于點(diǎn)C,與AB的延長線交于點(diǎn)

D,DE_LAD且與AC的延長線交于點(diǎn)E.

⑴求證：DC=DE:

(2)若tan/CAB=,AB=3，求BD的長.

2

8(2015?陜西)如圖，AB是OO的直徑，AC是OO的弦，過點(diǎn)B作00的切線DE,

與AC的延長線交于點(diǎn)D，作AE_LAC交DE于點(diǎn)E.

(1)求證：/BAD=/E;

(2)若。。的半徑為5,AC=8,求BE的長.

9.(2015?溫州)如圖，AB是半圓。的直徑，CD_LAB于點(diǎn)C,交半圓于點(diǎn)E,DF切半圓于

點(diǎn)F.已知/AEF=135°.

(1)求證：DF//AB;

(2)若OC=CE.BF=.二，求DE的長.

10.(2015?黃岡)已知：如圖，在Z\ABC中，AB=AC，以AC為直徑的OO交AB于點(diǎn)

M，交BC于點(diǎn)N，連接AN，過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)P.

(1)求證：/BCP=ZBAN

11.(2015?巴彥淖爾)如圖，AB是OO的直徑，點(diǎn)C是?「的中點(diǎn)，OO的切線BD交

AC的延長線于點(diǎn)D,E是OB的中點(diǎn)，CE的延長線交切線BD于點(diǎn)F,AF交O。于點(diǎn)H，

連接BH.

⑴求證：AC=CD；

(2)若。C=〔求BH的長.

D

12.(2015?通遼)如圖，MN是OO的直徑，QN是OO的切線，連接MQ交。。于點(diǎn)

2

H,E為YH上一點(diǎn)，連接ME,NE.NE交MQ于點(diǎn)F,且ME2=EF?EN.

⑴求證：QN=QF;

(2)若點(diǎn)E到弦MH的距離為1,cos/Q=:，求。。的半徑.

Q

13.(2015?臨沂)如圖，點(diǎn)。為RtAABC斜邊AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的OO與BC

切于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E,連接AD.

(1)求證：AD平分/BAC;

(2)若/BAC=60°,OA=2，求

陰影部分的面積(結(jié)果保留

14.(2015?梅州)如圖，直線I經(jīng)過點(diǎn)A(4,0),B(0,3).

(1)求直線I的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若圓M的半徑為2,圓心M在y軸上，當(dāng)圓M與直線I相切時，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

15.(2015?聊城)如圖，已知AB是0。的直徑，點(diǎn)P在BA的延長線上，PD切O。于點(diǎn)

D，過點(diǎn)B作BE垂直于PD，交PD的延長線于點(diǎn)C,連接AD并延長，交BE于點(diǎn)E.

(1)求證:AB=BE;

(2)若PA=2,cosB=(求OO半徑的長.

A、B、C是O。上的三個點(diǎn)?四邊形OABC是平行四邊形，過點(diǎn)

(口)如圖②，經(jīng)過點(diǎn)0作CD的平行線，與AB交于點(diǎn)E,與/交于點(diǎn)F,連接AF,

17.(2015?銅仁如圖，已知三角形ABC的邊AB是O0的切線，切點(diǎn)為B.AC

求/FAB的大小.

市)

經(jīng)過圓心0并與圓相交于點(diǎn)D、C,過C作直線CE」.AB，交AB的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：CB平分/ACE;

(2)若BE=3,CE=4,求O。的半徑.

18.（2015?珠海）五邊形ABODE中，/EAB=ZABC=ZBCD=90AB=BC，且滿足B為圓

以點(diǎn)心，AB長為半徑的圓弧AC與邊DE相切于點(diǎn)F,連接BE,BD.

（1）如圖1,求/EBD的度數(shù)；

（2）如圖2,連接AC,分別與BE.BD相交于點(diǎn)G,H,若AB=1,ZDBC=15。,求

19.（2015?天水）如圖，是00的直徑，BC切0。于點(diǎn)B,0C平行于弦AD，過連

點(diǎn)D作DE_LAB于點(diǎn)E,結(jié)AC,與DE交于點(diǎn)P.求證：

（1）AC?PD=AP?BC;

20.（2015?丹東）如圖，AB是00的直徑，||=H，連接ED、BD，延長AE交BD

的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作OO的切線交AB的延長線于點(diǎn)C.（1）若。A=CD=2「，求陰影

部分的面積；

（2）求證：DE=DM.

21.（2015?貴港）如圖，已知AB是OO的弦，CD是00的直徑，CD±AB1垂足為E,

且點(diǎn)E是0D的中點(diǎn)，0。的切線BM與A0的延長線相交于點(diǎn)M，連接AC,CM.

(1)若AB=4二，求，「的長；(結(jié)果保留n

(2)求證：四邊形ABMC是菱形.

22.(2015?柳州)如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AD與^ABC的外接圓O。恰好

相切于點(diǎn)A，邊CD與。。相交于點(diǎn)E,連接AE,BE.

(1)求證：AB=AC;

(2)若過點(diǎn)A作AH_LBE于H,求證：BH=CE+EH.

23.(2015?玉林)如圖，在OO中，AB是直徑，點(diǎn)D是OO上一點(diǎn)且/BOD=60°過點(diǎn)D

作OO的切線CD交AB的延長線于點(diǎn)C,E為川的中點(diǎn)，連接DE,EB.

(1)求證：四邊形BCDE是平行四邊形；

(2)已知圖中陰影部分面積為6n,求O。的半徑r.

24.(2015?黔西南州)如圖，點(diǎn)。在/APB的平分線上，。。與PA相切于點(diǎn)C.

(1)求證：直線PB與00相切；

(2)P。的延長線與O。交于點(diǎn)E.若OO的半徑為3,PC=4.求弦CE的長.

25.(2015?蘭州)如圖，在RtAABC中，/C=90ZBAG的角平分線AD交BC邊于D?

以AB上某一點(diǎn)O為圓心作O。,使O0經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)D.

(1)判斷直線BC與O。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若AC=3，/B=30°.

①求OO的半徑；

②設(shè)。。與AB邊的另一個交點(diǎn)為E,求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的

26.(2015?酒泉)已知aABC內(nèi)接于00,過點(diǎn)A作直線EF.

(1)如圖①所示，若AB為。0的直徑，要使EF成為00的切線，還需要添加的一

個條件是(至少說出兩種)：或者.

(2)如圖②所示，如果AB是不過圓心0的弦，且/CAE=ZB,那么EF是00的切線嗎？

試證明你的判斷.

圉①圖②

27.(2015?安順)如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10,AB=12，以BC為直徑作00交

AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G,DF1.AC?垂足為F,交CB的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：直線EF是00的切線；

(2)求8$/E的值.

28.(2015?呼和浩特)如圖，00是AABC的外接圓，P是00外的一點(diǎn)，AM是00的直

徑>/PAC=/ABC

(1)求證：PA是00的切線；

(2)連接PB與AC交于點(diǎn)D，與00交于點(diǎn)E,F為BD上的一點(diǎn)，若M為〔「的中點(diǎn)，

且/DCF=/P,求證：二=」=二〔

PDEDAD

29.(2015?泰州)如圖，AABC中，AB=AC，以AB為直徑的OO與BC相交于點(diǎn)D,與

CA的延長線相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DF±AC于點(diǎn)F.

(1)試說明DF是。。的切線；

30.(2015?資陽)如圖，在AABC中，BC是以AB為直徑的OO的切線，且OO與AC相

交于點(diǎn)D,E為BC的中點(diǎn)，連接DE.

(1)求證：DE是O。的切線；

(2)連接AE?若/C=45。,求sin/CAE的值.

2015中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：圓(7)

參考答案與試題解析

-?解答題(共30小題)

1.(2015?ASTK)$D?'&RtAACB^>/ACB=90?，點(diǎn)。是AC邊上的一點(diǎn)，以。為

圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點(diǎn)D，連接OD.

(1)求證：AADOACB.

(2)若。O的半徑為1，求證：AC=AD?BC.

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：（1）由AB是。。的切線，得到ODJ_AB，于是得到/C=ZADO=90°，問題可證；

（2）SAADOACB列比例式即可得到結(jié)論.

解答：（1）證明：TAB是0。的切線，

…OD±AB,

/.zC=ZADO=90°,

TZA=ZA,

ADOACB;

（2）解：由（1）知：△AD。ACB.

.…匚門

ACBC

?AD?BC=AC?OD,

?/OD=1,

-AC=AD?BC.

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2015?東營）已知在ZSABC中，ZB=90°,以AB上的一點(diǎn)0為圓心，以0A為半徑的圓

交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E.

（1）求證：AC?AD=AB?AE;

（2）如果BD是。。的切線，D是切點(diǎn)，E是OB的中點(diǎn)，當(dāng)BC=2時，求AC的長.

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：（1）連接DE,根據(jù)圓周角定理求得ZADE=90。,得出ZADE=ZABC>進(jìn)而證得

AADEABC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)論；

（2）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)求得ODBD，在RTAOBD中，根據(jù)已知求得ZOBD=30°,

進(jìn)而求得ZBAC=30。,根據(jù)30。的直角三角形的性質(zhì)即可求得AC的長.解答：（1）證明：連接

DE,

?/AE是直徑）

-ZADE=90°,

-ZADE=ZABC,TZDAE=ZBAC,???△ADEABC,-如少

?AC?AD=AB?AE；

（2）解：連接OD,

TBD是O。的切線，

?OD±BD,

在R"OBD中>OE=BE=OD,-0B=20D.

/?ZOBD=30°,

同理/BAC=30°,

在RTAABC中>AC=2BC=2X2=4

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，30

的直角三角形的性質(zhì)等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.(2015?遂寧)如圖，AB為OO的直徑，直線CD切OO于點(diǎn)D,，

BN_LCD于N.

⑴求證：ZADC=ZABD：

2

(2)求證：AD=AM?AB:

(3)若AMX,sinZABD=-,求線段BN的K

55

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：(1)連接OD，由切線的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)果;

(2)由已知條件證得△ADMABD，即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理代入數(shù)值即可得到結(jié)果.

解答：(1)證明：連接OD.

???直線CD切OO于點(diǎn)D,

?ZCDO=90°°

???AB為O。的直徑，

?ZADB=90°,

?Z1+Z2=Z2+Z3=90°,

,Z仁Z3,

vOB=OD,

?Z3=Z4,

?ZADC=ZABD;

(2)證明：vAM±CD,

-ZAMD=ZADB=90°,

vZ仁Z4,

…△ADMsiABD,

?怔_AP

2

二AD=AM?AB;

(3)解:Tsin/ABD

5

?sin/1=

5

???AM=—1

?AD=6,

?AB=10,

?BD==8,???BN±CD,

?/BND=90°,

?/DBN+/BDN=/1+/BDN=90°,

,/DBN=/1,

?sin/NBD=,

?DN=J,

點(diǎn)評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形的知識-運(yùn)

用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形

解決有關(guān)問題.

4.(2015?麗水)如圖，在4ABC中，AB=AC，以AB為直徑的OO分別與BC,AC交于點(diǎn)

D,E,過點(diǎn)D作OO的切線DF，交AC于點(diǎn)F.

(1)求證：DF±AC;

(2)若00的半徑為4,/CDF=22.5°,求陰影部分的面積.

分析：(1)連接0D，易得ZABC=ZODB，由AB=AC，易得ZABC=ZACB，等量

代換得/ODB=ZACB，利用平行線的判定得OD//AC，由切線的性質(zhì)得DFJLOD，得出結(jié)

論；

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算

(2)連接0E,利用(1)的結(jié)論得/ABC=ZACB=67.5°易得/BAC=45。,得出/

AOE=901利用扇形的面積公式和三角形的面積公式得出結(jié)論.解答：(1)證明：連接0D,

vOB=OD,

/?ZABC=ZODB,vAB=AC,

???ZABC=ZACB,”?ZODB=ZACB,

?ODIIAC,

vDF是OO的切線，

?DF±OD,

?DF±AC.

(2)解：連接OE,

vDF±AC,ZCDF=22.5°

-ZABC=ZACB=67.5°

-ZBAC=45°,

vOA=OE,

-ZAOE=9O°,

vO。的半徑為4,

?Ser-AOE=4n,SAAOE=8,

點(diǎn)評：本題主要考查了切線的性質(zhì)，扇形的面積與三角形的面積公式，作出適圓周角定理等,

當(dāng)?shù)妮o助線，利用切線性質(zhì)和圓周角定理，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵.

5.(2015?瀘州)如圖，z\ABC內(nèi)接于。O*AB=AC,BD為OO的弦，且ABHCD,過

點(diǎn)A作O0的切線AE與DC的延長線交于點(diǎn)E,AD與BC交于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

(2)若AE=6,CD=5,求OF的長.

AE

D

考占,切線的性質(zhì)；平行四邊形的判定，

分析：(1)根據(jù)切線的性質(zhì)證明/EAC=ZABC，根據(jù)等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)

和等量代得到/EAC=ZACB■從而根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行的判定得到AEIIBC,

結(jié)合已知ABIICD即可判定四邊形ABCD是平行四邊形；

(2)作輔助線，連接A0,交BC于點(diǎn)H，雙向延長OF分別交AB,CD于點(diǎn)N,M,根據(jù)切

割線定理求得EC=4,證明四邊形ABDC是等腰梯形，根據(jù)對稱性、圓周角定理和垂徑定理的

綜合應(yīng)用證明△QFHDMFBFN，并由勾股定理列式求解即可.

解答：（1）證明：TAE與O。相切于點(diǎn)A,

/?ZEAC=ZABC,

???AB=AC

???ZABC=ZACB,

???ZEAC=ZACB,

?AEIIBC,

???ABIICD,

?四邊形ABCE是平行四邊形；

(2)解：如圖，連接AO,交BC于點(diǎn)H-雙向延長OF分別交AB,CD與點(diǎn)N,M,…AE

是。0的切線，

由切割線定理得，AE2=EC?DE,

AE=6,CD=5,

2

?/6=CE(CE+5)，解得：CE=4,(已舍去負(fù)數(shù))-

由圓的對稱性，知四邊形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4,

又根據(jù)對稱性和垂徑定理，得A0垂直平分BC,MN垂直平分AB,DC,

設(shè)OF=x,OH=Y,FH=z,

■/AB=4,BC=6,CD=5,

?BF=BC-FH=3-z,DF=CF=BC+FH=3+z,

22

易得△OFHDMFBFN,

j『

53+T~2

即?一；

3-z2_

②1sy

69

①+②得：-，

x2y

①-②得:

3-zAl,

3+z5得,

13-z4

X2=y2+z2,?「：J

?1—

21

-0F=5T

21

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，圓周勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行的判定，平行四邊

形的判定和性質(zhì)，等腰梯形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，相似判定和性質(zhì)，勾股定理，正確得作

出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.(2015?咸寧)如圖，在Z\ABC中，/C=90"以AB上一點(diǎn)。為圓心，OA長為半徑的圓恰

好與BC相切于點(diǎn)D＞分別交AC、AB于點(diǎn)E、F.

(1)若/B=30。,求證：以A、0、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

(2)若AC=6,AB=10,連結(jié)AD，求OO的半徑和AD的長.

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：C)連接OD、OE、ED?先證明AAOE是等邊三角形，得到AE=AO=0D，則

四邊形AODE是平行四邊形，然后由OA=OD證明四邊形AODE是菱形；

(2)連接OD、DF.先由AOBDABC,求出OO的半徑，然后證明AADCAFD,

得出AD2=AC?AF，進(jìn)而求出AD.

解答：。)證明：如圖1,連接OD、OE、ED.

TBC與。。相切于一點(diǎn)D,

?OD±BC,

???/ODB=90°=ZC,

…OD//AC,vZB=30°,

?ZA=60°,

vOA=OE,

?△AOE是等邊三角形，

,AE=AO=OD,

?四邊形AODE是平行四邊形，

vOA=OD,

?四邊形AODE是菱形.

(2)解：設(shè)OO的半徑為r.

v0DIIAC,

?△OBDABC.

?'一，即[310r=6(10-r)ACAB

解得r=,

4

-OO的半徑為二.

4

如圖2,連接OD、DF.

vODIIAC,

-ZDAC=ZADO,

vOA=OD,

?ZADO=ZDAO,

?ZDAC=ZDAO,

vAF是OO的直徑，

?ZADF=90°ZC,

?△ADCAFD,

?Jx'J

?「J,

2

-AD=AC?AF,

vAC=6,AF=L

2[E

?.ADx6=45

-AD=V45=3A/5.

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)

以及相似三角形的判定和性質(zhì)，是一個綜合題，難度中等?熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)及判定是

解本題的關(guān)鍵.

7.(2015?烏魯木齊)如圖，AB是0。的直徑，CD與O。相切于點(diǎn)C,與AB的延長線交于

點(diǎn)D,DE_LAD且與AC的延長線交于點(diǎn)E.

(1)求證:DC=DE;

(2)若tan/CAB=,AB=3，求BD的長.

2

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；勾股定理；解直角三角形.

分析：(1)利用切線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出/DCE=/E,進(jìn)而得出答案；

(2)設(shè)BD=x，貝VAD=AB+BD=3+x,OD=OB+BD=1.5+x-利用勾股定理得出BD的長.解

答：證明：連接OC,

vCD是OO的切線，

/?/OCD=90°°

/./ACO=/DCE=90°,

又vED±AD,A/EDA=90°,

/./EAD+/E=90°,

vOC=OA,A/ACO=/EAD,

故/DCE=/E,

…DC=DE,

(2)解：設(shè)BD=x，貝VAD=AB+BD=3+x,0D=0B+BD=1,5+x,

在RtAEAD中>

vtan/CAB=，二ED=AD=(3+x),

222

由(1)知，DC=,(3+x)>在RtAOCD中，

2

222

OC+CD=DO,

0100

則1.5+[(3+x)]=(1.5+x),

解得：X1=-3(舍去)，X2=1,

故BD=1.

點(diǎn)評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及以及勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練應(yīng)用

切線的性質(zhì)得出/OCD=90。是解題關(guān)鍵.

8(2015?陜西)如圖，AB是00的直徑，AC是00的弦，過點(diǎn)B作00的切線DE,與AC

的延長線交于點(diǎn)D，作AE1.AC交DE于點(diǎn)E.

(1)求證：/BAD=ZE;

(2)若00的半徑為5,AC=8,求BE的長.

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：(1)根據(jù)切線的性質(zhì)，和等角的余角相等證明即可；

(2)根據(jù)勾股定理和相似三角形進(jìn)行解答即可.

解答：(1)證明：TAB是。。的直徑，AC是。。的弦，過點(diǎn)B作00的切線DE,/?Z

ABE=90°,

/?ZBAE+ZE=90°,

TZDAE=90°,

???ZBAD+ZBAE=90°,

???ZBAD=ZE;

(2)解：連接BC,如圖：

TAB是OO的直徑，

?ZACB=90°,

TAC=8,AB=2X5=10

.一BC=「卜」.，，，

TZBCA=ZABE=90°,ZBAD=ZE,ABCEAB,

?.三73

…肝一I,

BE—

3

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形等知識點(diǎn)，關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)和相似

三角形的性質(zhì)分析.

9.(2015?溫州)如圖，AB是半圓。的直徑，CD1.AB于點(diǎn)C,交半圓于點(diǎn)E,DF切半圓于點(diǎn)

F.已知/AEF=135°.

(1)求證：OFIIAB;

(2)若OC=CE,BF=..-r>求DE的長.

D

考點(diǎn)：切線的性質(zhì).

分析：⑴證明：連接OF，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到/AEF+ZB=180。,由于Z

AEF=135。,得出/B=45。,于是得到/AOF=2ZB=90。,由DF切O0于F,得到/DFO=90°由

于DC_LAB，得到ZDCO=90°于是結(jié)論可得；

(2)過E作EMJ.BF于M,由四邊形DCOF是矩形，得至UOF=DC=OA,由于OC=CE,推

出AC=DE，設(shè)DE=x，貝VAC=x，在RtAFOB中，ZFOB=90°,OF=OB,BF=2(1),由勾

股定理得：OF=OB=2，貝VAB=4,BC=4-x，由于AC=DE,OCDF=CE＞由勾股定理

得：AE=EF,通過RtAECA也RtAEMF,得出AC=MF=DE=x，在RtAECB和RtAEMB中，

由勾股定理得：BC=BM，問題可得.

解答：(1)證明：連接OF,

TA'E'F'B四點(diǎn)共圓，

?ZAEF+ZB=180°,

TZAEF=135°,

?ZB=45°,

?ZAOF=2ZB=90°,

TDF切OO于F,

-ZDFO=90°,

TDC±AB,

-ZDCO=90°,

即ZDCO=ZFOC=ZDFO=90°,

?四邊形DCOF是矩形，

?DFIIAB；

(2)解：過E作EM_LBF于M,

T四邊形DCOF是矩形，

-OF=DC=OA,

TOC=CE,

?AC=DE,

設(shè)DE=x，則AC=x,

T在RtAFOB中，ZFOB=90°,OF=OB,BF=2匚,由勾股定理得：OF=OB=2,

貝VAB=4,BC=4-x,

…AC二DE,OCDF=CE,

???由勾股定理得：AE=EF,

/?ZABE=ZFBE,

TEC±AB,EM±BF

?EC=EM,ZECB=ZM=90°,

在RtAECA和RtAEMF中

irAE-EF

\EC=EM

?RtAECA也RtAEMF,

?AC=MF=DE=x,

在RtAECB和RtAEMB中，由勾股定理得：BC=BM,

,BF=BM-MF=BC-MF=4-x-x=2>

解得：X=2-"Jj,

即DE=2-二

點(diǎn)評：本題考查了圓周角性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，角

平分線性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.(2015?黃岡)已知：如圖，在AABC中，AB=AC，以AC為直徑的OO交AB于點(diǎn)M，

交BC于點(diǎn)N，連接AN，過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)P.

(1)求證：ZBCP=ZBAN

(2)求證:M=CB

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).

專題：證明題.

分析：(1)由AC為O0直徑，得到/NAC+ZACN=90。,由AB=AC，得到/BAN=Z

CAN，根據(jù)PC是。0的切線，得到ZACN+ZPCB=90。,于是得到結(jié)論.

(2)由等腰三角形的性質(zhì)得到ZABC=ZACB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到ZPBC=

ZAMN，證出ABPCSAMNA，即可得到結(jié)論.

解答：(1)證明：丁人(：為0。直徑，

…ZANC=90°,

???ZNAC+ZACN=90°,

???AB=AC,

?ZBAN=ZCAN,

?/PC是00的切線，

?ZACP=90°,

?ZACN+ZPCB=90°,

?ZBCP=ZCAN,

?ZBCP=ZBAN;

(2)TAB=AC,

?ZABC=ZACB,

TZPBC+ZABC=ZAMN+ZACN=180°,

-ZPBC=ZAMN,

由(1)知ZBCP=ZBAN,

?△BPCsAMNA,

?凰氏

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是熟練掌握定理.

11.(2015?巴彥淖爾)如圖，AB是00的直徑，點(diǎn)C是?「的中點(diǎn)，。0的切線BD交

AC的延長線于點(diǎn)D,E是OB的中點(diǎn)，CE的延長線交切線BD于點(diǎn)F,AF交。。于點(diǎn)H，

連接BH.

(1)求證：AC=CD;

(2)若OC=，，求BH的長.

考點(diǎn)：切線的性質(zhì).

分析：(1)連接0C,由C是4的中點(diǎn)，AB是0。的直徑，則CQ」.AB，再由BD

是O0的切線，得BD1.AB，從而得出0C//BD■即可證明AC=CD；

(2)根據(jù)點(diǎn)E是0B的中點(diǎn)，得OE=BE，可證明aCOEFBE(ASA)，貝VBF=CO,

即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=.L「，t-r由AB是直徑，得BH_LAF，可證明AABF

BHF，即可得出BH的長.

解答：(1)證明：連接0C,

VC是的中點(diǎn)，AB是。。的直徑，

???CO±AB,

vBD是00的切線，

?BD±AB,

?0C//BD,

vOA=OB,

?AC=CD;

(2)解：vE是OB的中點(diǎn)，

?OE=BE,

在△COE和AFBE中、

,ZCEO=ZFEB

LZCOE=ZFBE

-△COEAAFBE(ASA),

?BF=CO,

VOB=..,

?BF=E2，

?AF='_5,

vAB是直徑，

?BH±AF,

?△ABFBHF,

麗肯，

???AB?BF=AF?BH,

-BH=U----二=2

AFS

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，是中檔題，

難度不大.

12.(2015?通遼)如圖，MN是00的直徑，QN是OO的切線，連接MQ交00于點(diǎn)

H.E為丫H上一點(diǎn)，連接ME,NE,NE交MQ于點(diǎn)F,且ME2=EF?EN.

(1)求證:QN=QF;

(2)若點(diǎn)E到弦MH的距離為1,cos/Q=:，求。。的半徑.

Q

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：如圖1，通過相似三角形(AMEFMEN)的對應(yīng)角相等推知，/1=/EMN;又由弦切

角定理、對頂角相等證得/2=/3;最后根據(jù)等角對等邊證得結(jié)論；

(2)如圖2,連接。E交MQ于點(diǎn)G,設(shè)。。的半徑是r?根據(jù)(1)中的相似三角形的性質(zhì)證得/

EMF=/ENM，所以由圓周角、弧、弦間的關(guān)系”推知點(diǎn)E是弧MH的中點(diǎn)，則。E_LMQ;然

后通過解直角AMNE求得cos/Q=sin/GMOj'=〔則可以求r的r5

值.

解答：(1)證明：如圖1,

2

TME=EF?EN,

.訂fvi/又vZMEF=ZMEN,…△MEFMEN,???/1=ZEMN.

vZ1=Z2,Z3=ZEMN,

-Z2=Z3,

?QN=QF；

(2)解：如圖2，連接OE交MQ于點(diǎn)G,設(shè)O。的半徑是r.

由(1)知，AMEFMEN，則Z4=Z5.

?VI="H.

?OE±MQ,

?EG=1.

vcosZQ=W，且ZQ+ZGMO=90°,

5

,sinZGMO=；,

5

?：=；即」=；

OM5r5

解得＞r=2.5，即OO的半徑是2.5.

點(diǎn)評：本題考查切線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)?在(1)中判定AMEF

MEN是解題的關(guān)鍵，在(2)中推知點(diǎn)E是弧MH的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

13.(2015?臨沂)如圖，點(diǎn)。為RtAABC斜邊AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的OO與BC

切于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，連接AD.

(1)求證：AD平分ZBAC;

(2)若/BAC=60°-OA=2，求陰影部分的面積(結(jié)果保留n.

分析：(1)由RtaABC中，/C=90°,0。切BC于D，易證得AC//OD，繼而證得

AD平分/CAB.

(2)如圖，連接ED＞根據(jù)(1)中ACIIOD和菱形的判定與性質(zhì)得到四邊形AEDO是菱形，

則△AEMDMO，則圖中陰影部分的面積=扇形EOD的面積.

解答：（1）證明：TO。切BC于D,

??,ODI.BC.

???AC±BC,

?ACIIOD,

.?ZCAD=ZADO,

?/OA=OD,

-ZOAD=ZADO,

-ZOAD=ZCAD,

即AD平分ZCAB;

（2）設(shè)EO與AD交于點(diǎn)M，連接ED.

TZBAC=60°.OA=OE.

?ZAEO是等邊三角形，

?AE=OA,ZAOE=6O°,

?AE=AO=OD,

又由（1）知,ACIIOD即AEIIOD,

?四邊形AEDO是菱形，則AAEMDMO,ZEOD=6O°,

?SAAEM=SADMO,

.??60兀X222兀

??,Sm?；=SOJ；EOD=.=

3603

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)?此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，

注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

14.(2015?梅州)如圖，直線I經(jīng)過點(diǎn)A(4,0),B(0,3).

(1)求直線I的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若圓M的半徑為2,圓心M在y軸上，當(dāng)圓M與直線I相切時，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.

分析：(1)把點(diǎn)人(4,0)，B(0，3)代入直線I的解析式y(tǒng)=kx+b，即可求出結(jié)果.

(2)先畫出示意圖，在RtAABM中求出sin/BAM，然后在RtAAMC中，利用銳角三角函

數(shù)的定義求出AM，繼而可得點(diǎn)M的坐標(biāo).

解答：解：(1)丫直線1經(jīng)過點(diǎn)人(4,0),B(0,3),

二設(shè)直線I的解析式為：y=kx+b,

.f0=4k+b

13=b

lb=3

???直線I的解析式為：y=-_x+3；

4

(3)設(shè)M坐標(biāo)為(0,m)(m>0)，即［3OM=m,若M在B點(diǎn)下邊時，BM=3-m,

v/MBN'/ABO,/MN,B=/BOA=90°°

?△MBNABO,

?瞪一型即2=3-IT

?irLi.,-：,

解得：m=』,此時M(0)±)：

22

若M在B點(diǎn)上邊時，BM=m-3,

同理ABMNBAO,則有'"=:即口

0AAB45

解得：m」.此時M(0,1).

22

v

1?。?/p>

A

0

點(diǎn)評：本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，切線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是畫

出示意圖，熟練掌握切線的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，難度一般.

15.(2015?聊城)如圖，已知AB是0。的直徑，點(diǎn)P在BA的延長線上，PD切。。于點(diǎn)

D，過點(diǎn)B作BE垂直于PD，交PD的延長線于點(diǎn)C,連接AD并延長，交BE于點(diǎn)E.

(1)求證：AB=BE;

(2)若PA=2,cosBH，求00半徑的長.

5

D

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；解直角三角形.

分析：(1)本題可連接0D，由PD切00于點(diǎn)D，得至IJ0DLPD，由于BE，PC,得到

0D//BE，得出/ADO=ZE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等量代換可得結(jié)果；

(2)由(1)知ODIIBE，得到/POD=ZB,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)果.解答：(1)

證明：連接0D,

TPD切OO于點(diǎn)D,

???OD±PD,

???BE±PC,

?ODIIBE,

?ADO=ZE,

?/OA=OD,

.?ZOAD=ZADO,

.?ZOAD=ZE,

?AB=BE;

(2)解：有(1)知，ODHBE,

?ZPOD=ZB,

?cosZPOD=cosB=\

5

在RtAPOD中，cosZPOD=1，=:,

OP5

?/OD=0A,PO=PA+OA=2+0A,

?「：

?尹■，

-0A=3,

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)以及等邊三角形的判定等知識點(diǎn)，正確的

畫出輔助線是解題的關(guān)鍵.

16.(2015?天津)已知A、B、C是00上的三個點(diǎn)?四邊形OABC是平行四邊形，過點(diǎn)C

作0。的切線，交AB的延長線于點(diǎn)D.

(1)如圖①，求/ADC的大小.

(D)如圖②，經(jīng)過點(diǎn)0作CD的平行線，與AB交于點(diǎn)E,與小交于點(diǎn)F,連接AF,

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

分析：⑴由CD是00的切線，C為切點(diǎn)，得到OC±CD-即/OCD=90。由于四邊形

0ABe是平行四邊形，得到AB//OC,即口AD//0C,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

(n)如圖，連接0B,則OB=OA=OC,由四邊形0ABe是平行四邊形，得至!|OC=AB,AA0B

是等邊三角形，證得/AOB=600由OFIICD，又/ADC=90。得/AEO=ZADC=90°根

據(jù)垂徑定理即可得至月蓼吉果.

解答：解：(I)TCD是00的切線，C為切點(diǎn)，

???OC±CD，即/OCD=90°

???四邊形OABC是平行四邊形，

?ABIIOC,BPPADII0C,

有/ADC+ZOCD=180°,

???/ADC=1800-ZOCD=90°；

(n)如圖②，連接OB,貝VOB=OA=OC,

???四邊形0ABe是平行四邊形，

?OC=AB.

,OA=OB=AB,

即AAOB是等邊三角形，

?ZAOB=60°,

由0F〃CD，又ZADC=90°,

得ZAEO=ZADC=90°,

?OF±AB,

?」?「,

-ZFOB=ZFOA=ZAOB=30°,

?一〕出■「卜

2

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定，熟練掌握

定理是解題的關(guān)鍵.

17.（2015?銅仁市）如圖，已知三角形ABC的邊AB是00的切線，切點(diǎn)為B.AC經(jīng)過圓

心0并與圓相交于點(diǎn)D、C,過C作直線CE_LAB，交AB的延長線于點(diǎn)E.

（1）求證:CB平分/ACE；

分析：（1）證明：如圖1，連接OB，由AB是O0的切線，得到OB±AB,由于CE±AB'的

OB//CE，于是得到/仁/3,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/仁/2,通過等量代換得到結(jié)果.

（2）如圖2,連接BD通過ADBCCBE）得到比例式’’，列方程可得結(jié)果.

BCCE

解答：（1）證明：如圖1,連接OB,

…AB是O0的切線，

…OB±AB,

VCE±AB,

?OBIICE,

?Z仁/3,

vOB=OC,

?,上仁/2,

?Z2=73,

?CB平分7ACE;

（2）如圖2,連接BD,

VCE±AB,

-7E=90°°

BC=,f一二乞；』=5,

vCD是OO的直徑）

-7DBC=90°°

?7E=7DBC,

???△DBCCBE,

?CD』

':??，

2

二BC=CD?CE,

?CD==~'>

44

?oc”..一二）

：r

???oo的半徑一

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定

平行線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

18.(2015?珠海)五邊形ABCDE中，/EAB—/ABC-/BCD=90AB=BC，且滿足以

點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑的圓弧AC與邊DE相切于點(diǎn)F,連接BE,BD.

(1)如圖1,求/EBD的度數(shù)；

(2)如圖2,連接AC,分別與BE,BD相交于點(diǎn)G.H,若AB=1,ZDBC=15°,求

AG?HC的值.

分析：(1)如圖1,連接8尸,由?！昱c08相切于點(diǎn)下,得到8尸」.0￡，通過RtABAE

也RtABEF，得到/仁/2,同理/3—/4,于是結(jié)論可得；

(2)如圖2,連接BF并延長交CD的延長線于P,由4ABEPBC，得至UPB=BE=±2

求出PF=MI,通過AAEGsACHD，列比例式即可得到結(jié)果.3

解答：解：(1)如圖1，連接BF,

TDE與OB相切于點(diǎn)F,

…BF_LDE,

在RtABAE與RtABEF中，口嵐F,

?RtABAE也RtABEF,

,.上仁/2,BE=BE

同理/3=74,

vZABC=90°,

?72+Z3=45°,

即ZEBD=45°；

(2)如圖2,連接BF并延長交CD的延長線于P.

vZ4=15°,

由⑴知，Z3=74=15°,

?Z1=72=30°,ZPBC=30°,

vZEAB=ZPCB=90°,AB=1,

-AE=BE±",

'Z1=ZPBC

在AABE與APBC中>"AB=BC

.ZBAEAZBCP

vZP=60°,

?DF=2-_

?AABE也APBC,

PB=BE^^

3

PF=^-1

3

?CD=DF=2vZEAG=ZDCH=45°,

ZAGE=ZBDC=75°,

?AAEGsACHD,

?廠

?'J,

?AG?CH=CD?AE,

?AG?CH=CD?AE=(2-=)?◎=-'

2/-3

33

E

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，

畫出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

19.（2015?天水）如圖，AB是O。的直徑，BC切O。于點(diǎn)B,0c平行于弦AD，過點(diǎn)

D作DE_LAB于點(diǎn)E,連結(jié)AC,與DE交于點(diǎn)P.求證：

⑴AC?PD=AP?BC;

（2）PE=PD.

切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).

證明題.

（1）首先根據(jù)AB是O。的直徑，BC是切線，可得AB1.BC.再根據(jù)DE±判斷出DEII

BC,AAEPABC，所以訐=:;「?；然后判斷出，“=??—■，即可判斷

BCABBCAB

出ED=2EP>據(jù)此判斷出PE=PD即可.

<2）首先根據(jù)MB心ABC，判斷出「3然后根據(jù)PE=PD,可得廣T,據(jù)此

判斷出AC?PD=AP?BC即可.

解答：解：（1）vAB是00的直徑，BC是切線，

…AB_LBC,

vDE±AB,

?DEIIBC,

?△AEPABC,

n①，

BCAB

又vADn0C,

/.zDAE=ZCOB,

???△AEDslOBC,

疝=>J上=—J.②，

AB—

由①②，可得ED=2EP,?PE=PD.

(2)TAB是。。的直徑，BC是切線，

?AB±B