2022-2023學(xué)年人教A版必修第二冊8 .6 .2 直線與平面垂直

8.6.2直線與平面垂直

A級必備知識基礎(chǔ)練

L若空間四邊形ABCO的四邊相等，則它的兩對角線AC,BD的關(guān)系是（）

A.垂直且相交

B.相交但不一定垂直

C.垂直但不相交

D.不垂直也不相交

2.（多選題）已知a力是兩條不重合的直線,a/是兩個不重合的平面，則下列命題正確的是（）

A.若a_La,a_L//,則a//P

B.若a_La,b_La，則a//b

C.若a_L6,6_La,a〃￡,則a//P

D.若a〃fS,a與a所成的角和6與￡所成的角相等，則a//b

3.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，尸A_L平面ABC。,且PA=&，則PC與平面

ABC。所成角的大小為（）

A.30°B.45°C.6O0D.90°

4.如圖，在正方體ABCO-A山CiA中,E『分別是棱AB,BC的中點,O是底面ABCD的中心，則E歹與平

面BBQ的位置關(guān)系是.（填“平行”或“垂直”）

5.如圖，在三棱柱ABC-A3C中，底面ABC是正三角形,A4」底面ABC,且AB=1AA，=2,則直線BC'與

平面ABB⑷所成角的正弦值為.

6.在三棱錐V-A2C中，當三條側(cè)棱之間滿足條件時，有VCLAA（注:填上你認為

正確的一種條件即可）

7.（2023全國高一專題練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，直線A\B與直線AC所成角的大

小為；直線AiB和平面AiBtCD所成角的大小為.

8.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCO是矩形,PA_L平面ABCnA尸=AB=2,BC=2加,E1分另lJ是

AD,PC的中點.證明:PC±BE.

9.如圖，在棱長均為1的直三棱柱ABC-AIiG中，。是BC的中點.

（1）求證:ADJ_平面BCC}Bi；

⑵求直線ACi與平面BCGB1所成角的正弦值.

B級關(guān)鍵能力提升練

10.（多選題）如圖,ABCD-AiBCid為正方體,下面結(jié)論正確的是（）

R

A.BD〃平面CBiDi

B.ACi±BD

C.AC」平面CBD

D.異面直線AD與CBi所成的角為60°

11.（多選題）在正三棱錐A-3CD中，側(cè)棱長為3,底面邊長為2,E,F分別為棱AB,CD的中點，則下列結(jié)論

中正確的是（）

A.EF與AD所成角的正切值為方

B.EF與AD所成角的正切值為|

C.AB與面ACD所成角的余弦值為筆

D.AB與面ACD所成角的余弦值為:

12.如圖，在正方體ABCD/LBICQI中,有下列結(jié)論:

①AC〃平面C215;②AC」平面CBiA;③ACi與底面ABCD所成角的正切值是學(xué)④A5與3。為異

面直線.

其中正確結(jié)論的序號是.

13.在直三棱柱ABC-4B1C1中,AC=BC=&,AB=A4i=2,E是棱CCi的中點.

(1)求證:AE_LBC;

⑵求點4到平面ABE的距離.

C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練

14.如圖，正方體4BCZ)-AiBCiDi的棱長為1,動點E在線段AG上,分別是AO,CD的中點，則下列

結(jié)論中正確的是.

①與BCi所成角為45°;

②BM_L平面CCiF;

③存在點E,使得平面〃平面CCiDiD;

④三棱錐B-CFE的體積為定值.

15.(2023全國高一課時練習(xí))如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，尸。1.平面ABC。,底面ABCD是矩

形尸。,瓦尸分別為CD,PB的中點.

Et/D

(1)求證:EF〃平面PAD-,

(2)求證:EP_L平面PAB-

⑶設(shè)夜，求三棱錐P-AEF的體積.

8.6.2直線與平面垂直

1.C取8。的中點0,連接AO,CO,

貝UBD±A0,BD.LC0,

故8￡>_L平面AOC,BD±AC.

又3。,AC異面，故選C.

2.AB對于A,若由線面垂直的性質(zhì)及面面平行的定義可得a〃△故A正確;對

于B,若a_La,6_La,由線面垂直的性質(zhì)定理可得a//6,故B正確;對于C,若a.Lb,b-La,a//△則a與

少可能平行，也可能相交，故C錯誤;對于D,若a〃4a與a所成的角和6與夕所成的角相等，則a

與6可能平行、相交或異面，故D錯誤.故選AB.

3.C

如圖，連接AC.

?.?PA_L平面A3CD,

ZPCA就是尸C與平面ABCD所成的角.

\'AC=>/2,PA=y/6,

tanZPCA-^：=^=V3.

ACVZ

AZPCA=60°.

4.垂直?.?底面ABCD為正方形,...ACL80.

:BBi_L平面ABCD,ACu平面ABCD,：.AC±BB\.

又BOCBBi=B,

；.AC_L平面BBO

?.?EP是△ABC的中位線，

EF//AC,：.EF±平面Q

-V15

5?而

A'.,C'

C

如圖所示，取AE的中點。，連接C'D,BD.

?底面△ABC是正三角形,

：.C'D±A,B'.

：A4'_L底面ABC,二AA_LC'D

又A4nA3'=A',

.?.C'￡）_L側(cè)面ABBA；

故NC3￡>是直線BC'與平面ABB方所成角.

等邊三角形A'B'C'的邊長為LC'￡>=/,

在RtABB。中,BC=JB'B2+Bt、2=逐,故直線BC與平面A33⑷所成角的正弦值為巖=

V15

6.VCLVB（答案不唯一，只要能保證VC±AB即可）只要VCL平面E4B,即有VC

LAB;故只要VC±VA,VC±VB即可.

7』？連接4Ci,3G,ZJ3ACi為等邊三角形.

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又AC〃AiG,所以直線4山與直線AC所成角的大小為全

因為四邊形BCG81是正方形，所以BCiXBiC.

又DC±平面BCCiBi,所以BCi±CD.

又因為C￡>riBiC=C，所以BC1_L平面A131CD

設(shè)BCi交B1C于點。，則ZOAiB為直線A1B和平面A^BiCD所成的角,

在RtAOAiB中,sin/O43=瓷;=《，所以直線和平面A^CD所成角的大小為［

A\B26

8.證明如圖，連接PE,EC,在R3PAE和RtACDE中，尸A=AB=CD,AE=OE,

所以PE=C6即是等腰三角形.

又因為P是尸C的中點，所以EFLPC.

又因為BP3Ap2+AB2=2值BC,

P是PC的中點，所以BF±PC.

又因為BFClEF=F，所以PC±平面BEF.

因為BEu平面BEF,所以PC±BE.

9.(1)證明在直三棱柱ABC-AiBCi中,88」平面ABC,

：.BBi±AD,

'：AB^AC,D是3c的中點,：.AD±BC.

又BCCBBi=B,；.AD_L平面BCGBi.

⑵解連接CiD.

由(1)知平面BCCiBi,

則NAG。即為直線AG與平面BCGB1所成角.

在RtAACiD中,AD=坐,AG=V^,sinNACO=絆=乎,

2AC]4

即直線AG與平面BCGBi所成角的正弦值為半.

10.ABC由于8￡>〃氏￡>1,3￡)0平面CBiDi,BQiU平面C3Q1,則平面CBD,所以A

正確；

因為BD_LAC,BD_LCCiACCCCi=C,

所以3￡>_L平面ACG,所以ACi_L8￡),所以B正確；

可以證明ACi±B,Di,ACi±BiC,

所以AG，平面CBQi,所以C正確；

由于AD〃BC,則/3C8i=45°是異面直線AO與C8所成的角，所以D錯誤.

11.BC設(shè)AC中點為G,BC的中點為“，連接EG,FG,AH,DH.

因為AE=BE,AG=GC,CF=DF,所以EG//BC,FG//AD.

所以ZEFG就是直線E/與4。所成的角.

在三角形EFG中,EG=1/G',

由于三棱錐A-BCD是正三棱錐,3C_L￡>H,8C_LA//,

又因為平面AZ汨,AHn￡)H=H，所以8C_L平面ADH.

因為ADu平面ADH,^以8C_LA￡>,所以EGLFG,

所以tanNEFG=f^=蕓=女,所以A錯誤,B正確.

過點B作B0垂直AP,垂足為0.

因為CD上BF,CDJ_AF,BFCAF=F,BF,AFu平面A3產(chǎn)，所以CD_L平面ABF.

因為30u平面所以CD±BO.

因為BO_LAP,APnC￡>=￡ARC￡)u平面ACD,所以80_L平面ACD.

所以ZBAO就是A3與平面ACD所成角.

由題得魚,所以=裊=三四，所以正確,錯誤.

3b=V^A/=243=3,COSN&4O=Z「X3，XZ：V3Z1幺CD

12.②③④①因為ACC平面C51D1=C，所以AC與平面C8D1不平行，故①錯誤；

②連接3C1AG,圖略.易證ACi±BiDi,AG±BiC,

因為所以AG，平面CBiDi,故②正確；

③因為CG_L底面ABCD,^以ZCiAC是AG與底面ABCD所成的角，所以tanZ

GAC=^=乎，故③正確；

④ADi與8￡>既無交點也不平行，所以ADi與8。為異面直線，故④正確.

13.(1)證明因為AC=BC3,AB=2,

所以熊+叱必序,即ACLBC.

因為直棱柱ABC-A18C1,

所以A4i_L底面A5C,BCu平面ABC,

所以A4i_L5C,

又A4inAC=A,44iU平面ACGA4Cu平面ACG4,

所以BC_L平面ACGAi.

又因為AEt平面ACGAi,所以AE_L8c.

(2)解設(shè)點Ai到平面ABE的距離為力,取AB中點0,連接EO,

在AABE中,4后=5石=8,45=2,貝|E0±AB,

所以EO=yjAE2-A02=V2.

所以AABE1的面積為gx2xj^=V2.

因為也-ABE=^B-AEA^

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所以］XSA4BEX/Z=EXSAAEAIXBC,

所以gxV2x/z=|x^x2x-\/2x解得/z=V2,

所以點Ai到平面ABE的距離為世.

14.②④連接AiSBG,圖略.

對于①,分別為AD,CD的中點,...五河〃AC,

在正方體ABCD-AiBiCiDi中,441//CCi且A4i=CG,貝I四邊形A41cle為平行四邊形,二AC

〃AiG,...異面直線FM與所成的角為NA1G8,

在AAiGB中ACI=A7=8G,所以△AC/為等邊三角形，則NAICIB=60°,故①錯誤；

對于②，：BC=CD,CM=DF,ZBCM=ZCDF,

：.4BCM沿4CDF,

：.ZBMC+Z￡)CF=90°,二BM±CF,

又因為CCi_L平面ABCD,3.3Mu平面ABCD,^以CG_L8M,因為CFACG=C，所以BM±

平面CG凡故②正確；

對于③，若平面〃平面CGDQ,因為平面CG￡)i￡)〃平面441氏氏所以平面平面

A4出山,但平面5。與平面AAiBiB有公共點仇故③錯誤；

對于④,V5-ME=VE-BC產(chǎn)二X3JBCABA4I=X定值)，故④正確.

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