數(shù)學(xué)（選修45）課件21含有絕對(duì)值的不等式

第2章絕對(duì)值不等式2.1含有絕對(duì)值的不等式1．絕對(duì)值的幾何意義設(shè)a是任意一個(gè)實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上：(1)|a|表示________________________的距離．(2)|x－a|表示___________________________________的距離．(3)|x＋a|表示___________________________________的距離．實(shí)數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)O實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與實(shí)數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間實(shí)數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與實(shí)數(shù)－a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間在數(shù)軸上把|a|，|b|，|a＋b|表示出來(lái)(分ab＞0，ab＜0兩種情況)．2．絕對(duì)值重要不等式如果a，b是實(shí)數(shù)，那么|a|－|b|≤__________≤|a|＋|b|.|a＋b||a－b|與|a|－|b|及|a|＋|b|具有怎樣的大小關(guān)系？提示：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.3．絕對(duì)值重要不等式的常用結(jié)論(1)設(shè)a，b是任意實(shí)數(shù)，有||a|－|b||≤|a＋b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時(shí)，__________成立．(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，有|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－c)(c－b)≥0時(shí)，__________成立．等號(hào)等號(hào)不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，兩個(gè)等號(hào)成立的條件分別是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右側(cè)“＝”成立的條件是ab≥0，左側(cè)“＝”成立的條件是ab≤0，且|a|≥|b|.含絕對(duì)值不等式的證明【點(diǎn)評(píng)】含絕對(duì)值不等式的證明，往往可通過(guò)平方法、換元法去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式證明題，或利用不等式的性質(zhì)|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|證明不等式，常要對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的式子進(jìn)行分析組合、添項(xiàng)或減項(xiàng)使待證式與已知之間聯(lián)系起來(lái)，最后通過(guò)絕對(duì)值的運(yùn)算完成證明．

求函數(shù)y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．解法一：||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.利用絕對(duì)值重要不等式求函數(shù)的最值【點(diǎn)評(píng)】求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值的主要方法有如下幾種：①借助絕對(duì)值的定義，進(jìn)行零點(diǎn)分段求解；②利用絕對(duì)值的幾何意義求解；③利用定理||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|直接求解．2．求函數(shù)y＝|x－3|＋|x＋1|的最小值．解法一：|x－3|＋|x＋1|＝|3－x|＋|x＋1|≥|(3－x)＋(x＋1)|＝4，當(dāng)且僅當(dāng)(3－x)(x＋1)≥0時(shí)取等號(hào)．由(3－x)(x＋1)≥0，得(x－3)(x＋1)≤0.∴－1≤x≤3，由此當(dāng)－1≤x≤3時(shí)，函數(shù)y＝|x－3|＋|x＋1|取得最小值4.畫(huà)出該函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖象可得y≥4，∴當(dāng)－1≤x≤3時(shí)，y取得最小值4.

若不等式a＜|x－4|＋|x＋3|恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.解析：∵|x－4|＋|x＋3|≥|(x－4)－(x＋3)|＝7，∴a＜7.故a的取值范圍是(－∞，7)．答案：(－∞，7)．絕對(duì)值重要不等式的應(yīng)用[互動(dòng)探究]若本例條件變?yōu)椤叭舨坏仁絘＞|x－4|－|x＋3|恒成立”，則如何求實(shí)數(shù)a的取值范圍？解析：∵|x－4|－|x＋3|≤|(x－4)－(x＋3)|＝7.∴a＞7.故a的取值范圍為(7，＋∞)．答案：(7，＋∞)【點(diǎn)評(píng)】利用絕對(duì)值重要不等式的性質(zhì)解決恒成立問(wèn)題時(shí)，通常利用|a±b|達(dá)到消去變量的目的，從而得到|a|＋|b|的最小值或|a|－|b|的最大值．3．(1)若不等式|x－2|＋|x＋3|＜a的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.(2)若不等式|2x＋1|－|2x－1|＜a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則a的取值范圍是__________.解析：(1)不等式|x－2|＋|x＋3|＜a的解集為空集，即|x－2|＋|x＋3|≥a恒成立，又|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，故a的取值范圍是a≤5.(2)|2x＋1|－|2x－1|≤|(2x＋1)－(2x－1)|＝2，因此a的取值范圍是a＞2.答案：(1)a≤5

(2)a＞21．證明絕對(duì)值不等式的三種方法(1)利用絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明．(2)利用重要不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|進(jìn)行證明．(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明．2．研究含有絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)