人教A版高中數(shù)學(xué)（選擇性必修三）同步講義第20講 8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用（8.2.1一元線性回歸模型+8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘法估計(jì)）（原卷版）

第02講8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用（8.2.1一元線性回歸模型+8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘法估計(jì)）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解一元線性回歸模型的含義，理解兩個變量之間隨機(jī)關(guān)系的一元線性回歸模型的作用與意義。②了解殘差在線性回歸與非線性回歸問題的作用及意義。③了解一元線性回歸模型參數(shù)與最小二乘估計(jì)的推導(dǎo)過程，理解最小二乘估計(jì)的原理。④會結(jié)合題意求一元線性回歸方程。⑤會用相關(guān)指數(shù)進(jìn)行分析模型擬合的效果情況.。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會求一元線性回歸方程，會進(jìn)行殘差分析，能判斷回歸模型的擬合效果，能利用樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計(jì)模型并能進(jìn)行預(yù)測知識點(diǎn)1：一元線性回歸模型（1）一元線性回歸模型我們稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的一元線性回歸模型，其中SKIPIF1<0稱為因變量或響應(yīng)變量，SKIPIF1<0稱為自變量或解釋變量；SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為模型的未知參數(shù)，SKIPIF1<0稱為截距參數(shù)，SKIPIF1<0稱為斜率參數(shù)；SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的隨機(jī)誤差.（2）隨機(jī)誤差在線性回歸模型SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為模型的未知參數(shù)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的誤差,通常SKIPIF1<0為隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)誤差.它的均值SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0.線性回歸模型的完整表達(dá)式為SKIPIF1<0,在此模型中，隨機(jī)誤差SKIPIF1<0的方差SKIPIF1<0越小，用SKIPIF1<0預(yù)報(bào)真實(shí)值SKIPIF1<0的精度越高.知識點(diǎn)2：一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘法（1）經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解法：最小二乘法回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心SKIPIF1<0，是回歸直線方程最常用的一個特征；我們將SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線。這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的SKIPIF1<0，叫做SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小二乘估計(jì),其中SKIPIF1<0稱為回歸系數(shù)，它實(shí)際上也就是經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率，SKIPIF1<0為截距.其中SKIPIF1<0【即學(xué)即練1】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）某校數(shù)學(xué)建模學(xué)生社團(tuán)進(jìn)行了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)研究，采集了SKIPIF1<0的一組數(shù)據(jù)如下表所示：SKIPIF1<0234567SKIPIF1<052.54540302517.5該社團(tuán)對上述數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間具有線性相關(guān)關(guān)系．(1)畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并指出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0是正還是負(fù)；(2)求出SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程，并寫出當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，預(yù)測數(shù)據(jù)SKIPIF1<0的值．附：在線性回歸方程SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為樣本平均值．【答案】(1)散點(diǎn)圖見解析，負(fù)(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意得散點(diǎn)圖如圖所示：由圖可知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間成負(fù)相關(guān)關(guān)系，所以SKIPIF1<0是負(fù)．（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴關(guān)于SKIPIF1<0線性回歸方程為SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．（2）求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟①作出散點(diǎn)圖，判斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可求其經(jīng)驗(yàn)回歸方程；②列表求出SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的值；③利用公式先計(jì)算SKIPIF1<0,再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸直線過樣本點(diǎn)的中心SKIPIF1<0計(jì)算SKIPIF1<0；④寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程SKIPIF1<0.求經(jīng)驗(yàn)回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由于計(jì)算量較大，所以計(jì)算時(shí)要仔細(xì)謹(jǐn)慎、分層進(jìn)行，避免因計(jì)算產(chǎn)生錯誤要特別注意，只有兩個變量呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程才有意義.（3）經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)①經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過點(diǎn)SKIPIF1<0,點(diǎn)SKIPIF1<0通常稱為樣本點(diǎn)的中心；②一次函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性由SKIPIF1<0的符號決定，函數(shù)遞增的充要條件是SKIPIF1<0；函數(shù)遞減的充要條件是SKIPIF1<0.這說明：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0正相關(guān)的充要條件是SKIPIF1<0；SKIPIF1<0與SKIPIF1<0負(fù)相關(guān)的充要條件是SKIPIF1<0.③在經(jīng)驗(yàn)回歸方程SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率，SKIPIF1<0是截距.一般地，當(dāng)回歸系數(shù)SKIPIF1<0時(shí)，說明兩個變量呈正相關(guān)關(guān)系，它的意義是當(dāng)SKIPIF1<0每增大一個單位時(shí)，SKIPIF1<0平均增大SKIPIF1<0個單位；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，說明兩個變量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，它的意義是當(dāng)SKIPIF1<0每增大一個單位時(shí)，SKIPIF1<0平均減小SKIPIF1<0個單位.知識點(diǎn)3：殘差（1）殘差對于響應(yīng)變量SKIPIF1<0，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的SKIPIF1<0稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差.（2）殘差圖作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合效果越好.（3）殘差分析殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.其步驟為：計(jì)算殘差SKIPIF1<0化殘差圖SKIPIF1<0在殘差圖中分析殘差特性.【即學(xué)即練2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，其樣本中心為SKIPIF1<0，回歸方程為SKIPIF1<0，則相應(yīng)于樣本點(diǎn)SKIPIF1<0的殘差為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因?yàn)闅埐钍菍?shí)際觀察值與估計(jì)值（擬合值）之間的差，所以相應(yīng)于樣本點(diǎn)SKIPIF1<0的殘差為SKIPIF1<0，故選：C.知識點(diǎn)4：決定系數(shù)SKIPIF1<0（1）殘差平方和殘差平方和SKIPIF1<0，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模型擬合效果越差.（2）決定系數(shù)SKIPIF1<0決定系數(shù)SKIPIF1<0是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)，在線性模型中，它代表解釋變量客戶預(yù)報(bào)變量的能力.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0越大，即擬合效果越好，SKIPIF1<0越小，模型擬合效果越差.【即學(xué)即練3】（2023下·青海西寧·高二?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時(shí)，分別選擇了4種不同模型，計(jì)算可得它們的相關(guān)指數(shù)R2分別如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85建立的回歸模型擬合效果最好的同學(xué)是.【答案】選甲相關(guān)指數(shù)R2越大，表示回歸模型擬合效果越好．【詳解】相關(guān)指數(shù)SKIPIF1<0越大，相關(guān)性越強(qiáng)，回歸模型擬合效果越好，所以效果最好的是甲．（3）決定系數(shù)SKIPIF1<0與相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0的聯(lián)系與區(qū)別①相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0反映兩個變量的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱及正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，決定系數(shù)SKIPIF1<0反映回歸模型的擬合效果.②在含有一個解釋變量的線性模型中，決定系數(shù)SKIPIF1<0的數(shù)值是相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0的平方，其變化范圍為SKIPIF1<0，而相關(guān)系數(shù)的變化范圍為SKIPIF1<0.③當(dāng)相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0接近于1時(shí)，說明兩變量的相關(guān)性較強(qiáng)，當(dāng)SKIPIF1<0接近于0時(shí)，說明兩變量的相關(guān)性較弱；而當(dāng)SKIPIF1<0接近于1時(shí)，說明經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果較好.題型01由散點(diǎn)圖判斷是否線性相關(guān)【典例1】（2023下·河南南陽·高二唐河縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2003年春季，我國部分地區(qū)SARS流行，黨和政府采取果斷措施，防治結(jié)合，很快使病情得到控制，下表是某同學(xué)記載的5月1日至5月12日每天北京市SARS治愈者數(shù)據(jù)，以及根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制出的散點(diǎn)圖日期5.15.25.35.45.55.65.75.85.95.105.115.12人數(shù)100109115118121134141152168175186203下列說法：①根據(jù)此散點(diǎn)圖，可以判斷日期與人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系；②根據(jù)此散點(diǎn)圖，可以判斷日期與人數(shù)具有一次函數(shù)關(guān)系.其中正確的個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．以上都不對【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）某個男孩的年齡與身高的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：年齡x（歲）123456身高y（cm）788798108115120(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)．【變式1】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下列四個圖中，兩個變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系的是（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．②④題型02求回歸直線方程【典例1】（2024上·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）大氣污染物SKIPIF1<0（直徑不大于2.5SKIPIF1<0的顆粒物）的濃度超過一定限度會影響人的身體健康．為研究SKIPIF1<0濃度y（單位：SKIPIF1<0）與汽車流量x（單位：千輛）的線性關(guān)系，研究人員選定了10個城市，在每個城市建立交通監(jiān)測點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)了24h內(nèi)過往的汽車流量以及同時(shí)段空氣中的SKIPIF1<0濃度，得到如下數(shù)據(jù)：城市編號12345678910總和x1.3001.4440.7861.6521.7561.7541.2001.5001.2000.90813.5y667621170156120721201001291030并計(jì)算得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求變量SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程；(2)根據(jù)SKIPIF1<0內(nèi)SKIPIF1<0濃度確定空氣質(zhì)量等級，SKIPIF1<0濃度在0～35SKIPIF1<0為優(yōu)，35～75SKIPIF1<0為良，75～115SKIPIF1<0為輕度污染，115～150SKIPIF1<0為中度污染，150～250SKIPIF1<0為重度污染，已知某城市SKIPIF1<0內(nèi)過往的汽車流量為1360輛，判斷該城市的空氣質(zhì)量等級．參考公式：線性回歸方程為SKIPIF1<0，其中以SKIPIF1<0．【典例2】（2024上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）在入室盜竊類案件中，出現(xiàn)頻率最高的痕跡物證之一就是足跡．負(fù)重行走對足跡步伐特征影響的規(guī)律強(qiáng)，而且較為穩(wěn)定．正在行走的人在負(fù)重的同時(shí)，步長變短，步寬變大，步角變大．因此，以身高分別為170cm，175cm，180cm的人員各20名作為實(shí)驗(yàn)對象，讓他們采取雙手胸前持重物的負(fù)重方式行走，得到實(shí)驗(yàn)對象在負(fù)重0kg，5kg，10kg，15kg，20kg狀態(tài)下相對穩(wěn)定的步長數(shù)據(jù)平均值．并在不同身高情況下，建立足跡步長s(單位：cm)關(guān)于負(fù)重x(單位：kg)的三個經(jīng)驗(yàn)回歸方程．根據(jù)身高170cm組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程①：SKIPIF1<0；根據(jù)身高175cm組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程②：SKIPIF1<0根據(jù)身高180cm組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程③：SKIPIF1<0．(1)根據(jù)身高180cm組的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，并解釋參數(shù)SKIPIF1<0的含義；身高180cm不同負(fù)重情況下的步長數(shù)據(jù)平均值負(fù)重x/kg05101520足跡步長s/cm74.3573.5071.8068.6065.75(2)在一起盜竊案中，被盜竊物品重為9kg，在現(xiàn)場勘查過程中，測量得犯罪嫌疑人往返時(shí)足跡步長的差值為4.464cm，推測該名嫌疑人的身高，并說明理由．附：SKIPIF1<0．為回歸方程，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【典例3】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x（單位：萬元）與銷售額y（萬元）之間有如下一組數(shù)據(jù)：廣告費(fèi)支出x24568銷售額y3040605070(1)求出樣本點(diǎn)中心(2)求回歸直線方程（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【變式1】（2024上·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級中學(xué)校聯(lián)考期末）近期，一些地方中小學(xué)生“課間10分鐘”問題受到社會廣泛關(guān)注，國家號召中小學(xué)要增加學(xué)生的室外活動時(shí)間．但是進(jìn)入12月后，天氣漸冷，很多學(xué)生因氣溫低而減少了外出活動次數(shù)．為了解本班情況，一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)了一周（5天）的氣溫變化和某一固定課間該班級的學(xué)生出樓人數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：溫度SKIPIF1<0（零下SKIPIF1<0）710111517出樓人數(shù)SKIPIF1<0201617107(1)利用最小二乘法，求變量SKIPIF1<0之間的線性回歸方程；附：用最小二乘法求線性回歸方程SKIPIF1<0的系數(shù)：SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)預(yù)測當(dāng)溫度為SKIPIF1<0時(shí)，該班級在本節(jié)課間的出樓人數(shù)（人數(shù)：四舍五入取整數(shù)）．(3)為了號召學(xué)生能夠增加室外活動時(shí)間，學(xué)校舉行拔河比賽，采取3局2勝制（無平局）．在甲、乙兩班的較量中，甲班每局獲勝的概率均為SKIPIF1<0，設(shè)隨機(jī)變量X表示甲班獲勝的局?jǐn)?shù)，求SKIPIF1<0的分布列和期望．【變式2】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）下面給出了根據(jù)我國SKIPIF1<0年SKIPIF1<0年水果人均占有量SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0）和年份代碼SKIPIF1<0繪制的散點(diǎn)圖（SKIPIF1<0年SKIPIF1<0年的年份代碼SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0）．

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖分析SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的相關(guān)關(guān)系；(2)根據(jù)散點(diǎn)圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程.（精確到SKIPIF1<0）附：回歸方程SKIPIF1<0中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在一次抽樣調(diào)查中測得SKIPIF1<0個樣本點(diǎn)，得到下表及散點(diǎn)圖.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0哪一個適宜作為SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的回歸方程；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果試建立SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的回歸方程；（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)）參考公式：SKIPIF1<0題型03求樣本中心(根據(jù)樣本中心求參數(shù)）【典例1】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）具有線性相關(guān)關(guān)系的變量SKIPIF1<0的一組數(shù)據(jù)如下：x0123y-5-4.5-4.2-3.5其線性回歸直線方程為SKIPIF1<0，則回歸直線經(jīng)過（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）已知SKIPIF1<0取表中的數(shù)值，若SKIPIF1<0具有線性相關(guān)關(guān)系，線性回歸方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝（

）SKIPIF1<00134SKIPIF1<0a4.34.86.7A．2.2 B．2.4 C．2.5 D．2.6【典例3】（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）某公司一種型號的產(chǎn)品近期銷售情況如表：月份SKIPIF1<023456銷售額SKIPIF1<0（萬元）15.116.317.017.218.4根據(jù)上表可得到回歸直線方程SKIPIF1<0，據(jù)此估計(jì)，該公司7月份這種型號產(chǎn)品的銷售額為（

）A．18.85萬元 B．19.3萬元 C．19.25萬元 D．19.05萬元【典例4】（多選）（2024上·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）某電商平臺為了對某一產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，采用不同的單價(jià)在平臺試銷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：單價(jià)x/元88.599.510銷量y/萬件8985807868根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0具有較強(qiáng)的線性關(guān)系，若用最小二乘估計(jì)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為SKIPIF1<0，則（

）A．相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0 B．點(diǎn)SKIPIF1<0一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0時(shí)，對應(yīng)銷量的殘差為SKIPIF1<0【變式1】（2024上·四川綿陽·高二綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┮阎獂與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程為SKIPIF1<0必過點(diǎn)（

）A．（2，2） B．（1.5，0）C．（1.5，4） D．（1，

2）【變式2】（2024上·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┮阎兞縳，γ呈線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為SKIPIF1<0，且變量x，y的樣本數(shù)據(jù)如下表所示x-2-1012y54m21據(jù)此計(jì)算出在SKIPIF1<0時(shí)，預(yù)測值為-0.2，則m的值為（

）A．3 B．2.8 C．2 D．1【變式3】（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）變量x，y的數(shù)據(jù)如下所示：x54321y21.5110.5回歸直線恒過點(diǎn)．【變式4】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）某地建立了農(nóng)業(yè)科技圖書館，供農(nóng)民免費(fèi)借閱，收集了近5年的借閱數(shù)據(jù)如下表：年份20192020202120222023年份代碼SKIPIF1<012345年借閱量SKIPIF1<0萬冊4.95.15.55.75.8根據(jù)上表，可得SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程為SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0.題型04根據(jù)回歸直線方程估計(jì)數(shù)據(jù)【典例1】（2024上·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期末）已知在特定的時(shí)期內(nèi)某人在一個月內(nèi)每天投入的體育鍛煉時(shí)間SKIPIF1<0（分鐘）與一個月內(nèi)減輕的體重SKIPIF1<0（斤）的一組數(shù)據(jù)如表所示：SKIPIF1<03040506070SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0一個月內(nèi)減輕的體重SKIPIF1<0與每天投入的體育鍛煉時(shí)間SKIPIF1<0之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是SKIPIF1<0，據(jù)此模型估計(jì)當(dāng)此人在一個月內(nèi)每天投入的體育鍛煉時(shí)間為90分鐘時(shí)，該月內(nèi)減輕的體重約為（

）A．SKIPIF1<0斤 B．SKIPIF1<0斤 C．SKIPIF1<0斤 D．SKIPIF1<0斤【典例2】（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）某科學(xué)興趣小組的同學(xué)認(rèn)為生物都是由蛋白質(zhì)構(gòu)成的，高溫可以使蛋白質(zhì)變性失活，于是想初步探究某微生物的成活率與溫度的關(guān)系，微生物數(shù)量SKIPIF1<0（個）與溫度SKIPIF1<0的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：溫度SKIPIF1<0481018微生物數(shù)量SKIPIF1<0（個）30221814由表中數(shù)據(jù)算得回歸方程為SKIPIF1<0，預(yù)測當(dāng)溫度為SKIPIF1<0時(shí)，微生物數(shù)量為個.【變式1】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）如果在一次實(shí)驗(yàn)中，測得SKIPIF1<0的五組數(shù)值如下表所示，經(jīng)計(jì)算知，y對x的線性回歸方程是SKIPIF1<0，預(yù)測當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（

）x01234y1015203035A．73.5 B．74 C．74.5 D．75【變式2】（2024上·全國·高三專題練習(xí)）牛膝是莧科多年生藥用草本植物，具有活血通經(jīng)、補(bǔ)肝腎、強(qiáng)筋骨等功效，可用于治療腰膝酸痛等癥狀．某農(nóng)戶種植牛膝的時(shí)間SKIPIF1<0（單位：天）和牛膝的根部直徑SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0）的統(tǒng)計(jì)表如下：SKIPIF1<02030405060SKIPIF1<00.81.32.23.34.5由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為SKIPIF1<0，若此農(nóng)戶準(zhǔn)備在SKIPIF1<0時(shí)采收牛膝，據(jù)此模型預(yù)測，此批牛滕采收時(shí)間預(yù)計(jì)是第天．題型05殘差計(jì)算【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知一組樣本數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，SKIPIF1<0，根據(jù)這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分析SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的線性相關(guān)關(guān)系，若求得其線性回歸方程為SKIPIF1<0，則在樣本點(diǎn)SKIPIF1<0處的殘差為（

）A．38.1 B．22.6 C．SKIPIF1<0 D．91.1【典例2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)?？家荒＃哂芯€性相關(guān)關(guān)系的變量SKIPIF1<0有一組觀測數(shù)據(jù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則相應(yīng)于點(diǎn)SKIPIF1<0的殘差為．【典例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）隨機(jī)選取變量SKIPIF1<0和變量SKIPIF1<0的SKIPIF1<0對觀測數(shù)據(jù)，選取的第SKIPIF1<0對觀測數(shù)據(jù)記為SKIPIF1<0，其數(shù)值對應(yīng)如下表所示：編號SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0計(jì)算得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求變量SKIPIF1<0和變量SKIPIF1<0的樣本相關(guān)系數(shù)（小數(shù)點(diǎn)后保留SKIPIF1<0位），判斷這兩個變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，并推斷它們的線性相關(guān)程度；(2)假設(shè)變量SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的一元線性回歸模型為SKIPIF1<0.（?。┣骃KIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0的值；（ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時(shí)該回歸模型的殘差，求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方差．參考公式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【變式1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的散點(diǎn)圖分析x與y之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系，求得其線性回歸方程為SKIPIF1<0，則在樣本點(diǎn)SKIPIF1<0處的殘差為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高x（單位：cm）與體重y（單位：kg）數(shù)據(jù)如下表：x165165157170175165155170y4857505464614359若已知y與x的線性回歸方程為SKIPIF1<0，設(shè)殘差記為觀測值與預(yù)測值之間的差（即殘差SKIPIF1<0）那么選取的女大學(xué)生身高為175cm時(shí)，相應(yīng)的殘差為.【變式3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）高中女學(xué)生的身高預(yù)報(bào)體重的回歸方程是SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的單位分別是cm，kg），則此方程在樣本點(diǎn)SKIPIF1<0處的殘差是.題型06相關(guān)指數(shù)計(jì)算【典例1】（2024上·全國·高三期末）2021年6月17日9時(shí)22分，我國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征2F遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝?劉伯明?湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國人首次進(jìn)入自己的空間站.某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛.該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造.根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：SKIPIF1<0，模型②：SKIPIF1<0；序號1234567x234681013y15222740485460(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，比較模型①，②的相關(guān)指數(shù)SKIPIF1<0的大小；(2)據(jù)（2）選擇擬合精度更高?更可靠的模型，預(yù)測對A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時(shí)的直接收益.附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好.SKIPIF1<0.回歸模型模型①模型②SKIPIF1<079.3120.2【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的數(shù)據(jù)如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程；（2）完成下面的殘差表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0并判斷（1）中線性回歸方程的回歸效果是否良好（若SKIPIF1<0，則認(rèn)為回歸效果良好）.附：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【典例3】（2021下·山東青島·高二統(tǒng)考期中）現(xiàn)代物流成為繼勞動力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤的重要因素．某企業(yè)去年前八個月的物流成本和企業(yè)利潤的數(shù)據(jù)（單位：萬元）如下表所示：月份SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0物流成本SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0利潤SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0殘差SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0根據(jù)最小二乘法公式求得線性回歸方程為SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值，并利用已知的線性回歸方程求出SKIPIF1<0月份對應(yīng)的殘差值SKIPIF1<0；（2）請先求出線性回歸模型SKIPIF1<0的決定系數(shù)SKIPIF1<0（精確到SKIPIF1<0）；若根據(jù)非線性模型SKIPIF1<0求得解釋變量（物流成本）對于響應(yīng)變量（利潤）決定系數(shù)SKIPIF1<0，請說明以上兩種模型哪種模型擬合效果更好？（3）通過殘差分析，懷疑殘差絕對值最大的那組數(shù)據(jù)有誤，經(jīng)再次核實(shí)后發(fā)現(xiàn)其真正利潤應(yīng)該為SKIPIF1<0萬元．請重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式，求出新的線性回歸方程．附1（修正前的參考數(shù)據(jù)）：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．附2：SKIPIF1<0．附3：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【變式1】（2022下·寧夏·高二六盤山高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）有一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，根據(jù)數(shù)據(jù)建立了如下的兩個模型：①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0.通過殘差分析發(fā)現(xiàn)第①個線性模型比第②個線性模型擬合效果好.若SKIPIF1<0分別是相關(guān)指數(shù)和殘差平方和，則下列結(jié)論正確的是.①SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0.【變式2】（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）混凝土的抗壓強(qiáng)度x較容易測定，而抗剪強(qiáng)度y不易測定，工程中希望建立一種能由x推算y的經(jīng)驗(yàn)公式，下表列出了現(xiàn)有的9對數(shù)據(jù)，分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0．x141152168182195204223254277y23.124.227.227.828.731.432.534.836.2以成對數(shù)據(jù)的抗壓強(qiáng)度x為橫坐標(biāo)，抗剪強(qiáng)度y為縱坐標(biāo)作出散點(diǎn)圖，如圖所示．(1)從上表中任選2個成對數(shù)據(jù)，求該樣本量為2的樣本相關(guān)系數(shù)r．結(jié)合r值分析，由簡單隨機(jī)抽樣得到的成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)是否一定能確切地反映變量之間的線性相關(guān)關(guān)系？(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，我們選擇兩種不同的函數(shù)模型作為回歸曲線，根據(jù)一元線性回歸模型及最小二乘法，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程分別為：①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0．經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的殘差計(jì)算公式分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（?。┣骃KIPIF1<0；（ⅱ）經(jīng)計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的殘差平方和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的決定系數(shù)SKIPIF1<0，求經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的決定系數(shù)SKIPIF1<0．附：相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0，決定系數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【變式3】（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會導(dǎo)致輪胎胎面磨損.某實(shí)驗(yàn)室通過試驗(yàn)測得行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù)如下：行駛里程/萬km0.000.641.291.932.573.223.864.515.15輪胎凹槽深度/mm10.028.377.396.485.825.204.554.163.82以行駛里程為橫坐標(biāo)、輪胎凹槽深度為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖，如圖所示.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，可認(rèn)為散點(diǎn)集中在直線SKIPIF1<0附近，由此判斷行駛里程與輪胎凹槽深度線性相關(guān)，并計(jì)算得如下數(shù)據(jù)，請求出行駛里程與輪胎凹槽深度的相關(guān)系數(shù)（保留兩位有效數(shù)字），并推斷它們線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02.576.20115.1029.46附：相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0(2)通過散點(diǎn)圖，也可認(rèn)為散點(diǎn)集中在曲線SKIPIF1<0附近，考慮使用對數(shù)回歸模型，并求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程SKIPIF1<0及該模型的決定系數(shù)SKIPIF1<0.已知（1）中的線性回歸模型為SKIPIF1<0，在同一坐標(biāo)系作出這兩個模型，據(jù)圖直觀回答：哪個模型的擬合效果更好？并用決定系數(shù)驗(yàn)證你的觀察所得.附：線性回歸模型中，決定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即SKIPIF1<0.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·四川綿陽·統(tǒng)考二模）已知變量x，y之間的線性回歸方程為SKIPIF1<0，且變量x，y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，x2468y58.213m則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．變量y與x是負(fù)相關(guān)關(guān)系C．該回歸直線必過點(diǎn)SKIPIF1<0D．x增加1個單位，y一定增加2個單位2．（2024上·全國·高三專題練習(xí)）變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：SKIPIF1<044.55.56SKIPIF1<0121110SKIPIF1<0已知變量SKIPIF1<0對SKIPIF1<0呈線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（）A．10 B．9 C．8 D．73．（2024上·全國·高三期末）某同學(xué)在研究變量SKIPIF1<0之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，得到以下數(shù)據(jù)：并采用最小二乘法得到了線性回歸方程SKIPIF1<0，則（

）SKIPIF1<04.85.878.39.1SKIPIF1<02.84.17.29.111.8A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列四幅殘差分析圖中，與一元線性回歸模型擬合精度最高的是（

）A．

B．

C．

D．

5．（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）一組成對數(shù)據(jù)SKIPIF1<0樣本中心點(diǎn)為SKIPIF1<0，由這組數(shù)據(jù)擬合的線性回歸方程為SKIPIF1<0，用最小二乘法求回歸方程是為了使（

）最小.A．總偏差平方和SKIPIF1<0 B．殘差平方和SKIPIF1<0C．回歸平方和SKIPIF1<0 D．豎直距離和SKIPIF1<06．（2024·全國·高三專題練習(xí)）為研究每平方米平均建筑費(fèi)用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費(fèi)用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)SKIPIF1<0與每平米平均建筑成本SKIPIF1<0（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點(diǎn)圖：則下面四個回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費(fèi)用SKIPIF1<0和樓層數(shù)SKIPIF1<0的回歸方程類型的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2024上·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）某學(xué)校一同學(xué)研究溫差SKIPIF1<0（單位：℃）與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)SKIPIF1<0（單位：人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0568912SKIPIF1<01620252836由上表中數(shù)據(jù)求得溫差SKIPIF1<0與新增感冒人數(shù)SKIPIF1<0滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程SKIPIF1<0，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有正相關(guān)關(guān)系 B．經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0時(shí)，殘差為0.28．（2024上·全國·高三專題練習(xí)）已知一組成對數(shù)據(jù)SKIPIF1<0中y關(guān)于x的一元非線性回歸方程SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題9．（2024·全國·模擬預(yù)測）下列有關(guān)回歸分析的結(jié)論中，正確的有（

）A．若回歸方程為SKIPIF1<0，則變量y與x負(fù)相關(guān)B．運(yùn)用最小二乘法求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心SKIPIF1<0C．若決定系數(shù)SKIPIF1<0的值越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好D．若散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在直線SKIPIF1<0上，則相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<010．（2024上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）2023年入冬以來，流感高發(fā)，某醫(yī)院統(tǒng)計(jì)了一周中連續(xù)5天的流感就診人數(shù)y與第SKIPIF1<0天的數(shù)據(jù)如表所示．x12345y2110a15a90109根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知x，y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為SKIPIF1<0，則（

）A．樣本相關(guān)系數(shù)在SKIPIF1<0內(nèi) B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，殘差為-2C．點(diǎn)SKIPIF1<0一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上 D．第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測值為130三、填空題11．（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）某同學(xué)收集了變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：x0.5233.545ySKIPIF1<015SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0為了研究SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的相關(guān)關(guān)系，他由最小二乘法求得SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程為SKIPIF1<0，經(jīng)驗(yàn)證回歸直線正好經(jīng)過樣本點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．12．（2023·高二單元測試）下列關(guān)于回歸分析的說法正確的是（填上所有正確說法的序號）①相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0越小，兩個變量的相關(guān)程度越弱；②殘差平方和越大的模型，擬合效果越好；③用相關(guān)指數(shù)SKIPIF1<0來刻畫回歸效果時(shí)，SKIPIF1<0越小，說明模型的擬合效果越好；④用最小二乘法求回歸直線方程，是尋求使SKIPIF1<0取最小值時(shí)的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值；⑤在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，模型擬合精度越高.四、解答題13．（2023上·遼寧沈陽·高二?？计谀┠嘲嗌鐣?shí)踐小組在寒假去書店體驗(yàn)圖書銷售員工作，并對某圖書定價(jià)x(元)與當(dāng)天銷量y(本/天)之間的關(guān)系進(jìn)行調(diào)查