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第一章排列組合在小于2000的數(shù)中,有多少個(gè)正整數(shù)含有數(shù)字2?解:千位數(shù)為1或0,百位數(shù)為2的正整數(shù)個(gè)數(shù)為:2*1*10*10;千位數(shù)為1或0,百位數(shù)不為2,十位數(shù)為2的正整數(shù)個(gè)數(shù)為:2*9*1*10;千位數(shù)為1或0,百位數(shù)和十位數(shù)皆不為2,個(gè)位數(shù)為2的正整數(shù)個(gè)數(shù)為:2*9*9*1;故滿足題意的整數(shù)個(gè)數(shù)為:2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1=542。在所有7位01串中,同時(shí)含有“101”串和“11”串的有多少個(gè)?解:〔1〕串中有6個(gè)1:1個(gè)0有5個(gè)位置可以插入:5種?!?〕串中有5個(gè)1,除去0111110,個(gè)數(shù)為-1=14?!不颍海?4〕〔3〕串中有4個(gè)1:分兩種情況:①3個(gè)0單獨(dú)插入,出去1010101,共-1種;②其中兩個(gè)0一組,另外一個(gè)單獨(dú),那么有種?!?〕串中有3個(gè)1:串只能為**1101**或**1011**,故共4*2種。所以滿足條件的串共48個(gè)。一學(xué)生在搜索2004年1月份某領(lǐng)域的論文時(shí),共找到中文的10篇,英文的12篇,德文的5篇,法文的6篇,且所有的都不相同。如果他只需要2篇,但必須是不同語言的,那么他共有多少種選擇?解:10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*6設(shè)由1,2,3,4,5,6組成的各位數(shù)字互異的4位偶數(shù)共有n個(gè),其和為m。求n和m。解:由1,2,3,4,5,6組成的各位數(shù)字互異,且個(gè)位數(shù)字為2,4,6的偶數(shù)均有P(5,3)=60個(gè),于是:n=60*3=180。以a1,a2,a3,a4分別表示這180個(gè)偶數(shù)的個(gè)位、十位、百位、千位數(shù)字之和,那么m=a1+10a2+100a3+1000a4。因?yàn)閭€(gè)位數(shù)字為2,4,6的偶數(shù)各有60個(gè),故a1=(2+4+6)*60=720。因?yàn)榍А舶?,十〕位?shù)字為1,3,5的偶數(shù)各有3*P(4,2)=36個(gè),為2,4,6的偶數(shù)各有2*P(4,2)=24個(gè),故a2=a3=a4=(1+3+5)*36+(2+4+6)*24=612。因此,m=720+612*(10+100+1000)=680040。從{1,2,…,7}中選出不同的5個(gè)數(shù)字組成的5位數(shù)中,1與2不相鄰的數(shù)字有多少個(gè)?解:1與2相鄰:。故有1和2但它們不相鄰的方案數(shù):只有1或2:沒有1和2:P(5,5)故總方案數(shù):++P(5,5)安排5個(gè)人去3個(gè)學(xué)校參觀,每個(gè)學(xué)校至少一人,共有多少種安排方案?解:方法一:有兩種方案:①有兩個(gè)學(xué)校只要一個(gè)人去,剩下的那個(gè)去3人;②有兩個(gè)學(xué)校去2人,剩下的去1人。故方案數(shù)為:〔〕*P(3,3)=150。方法二:=150?,F(xiàn)有100件產(chǎn)品,其中有兩件是次品.如果從中任意抽出5件,抽出的產(chǎn)品中至多有一件次品的概率是多少?解:無次品:;有一件次品:因此,概率為〔+〕/有七種小球,每個(gè)小球內(nèi)有1~7個(gè)星星。一次活動中,主辦方隨機(jī)發(fā)放禮品盒,每個(gè)盒里放兩個(gè)這樣的小球,那么共有多少種這樣的禮品盒?解:方法一、方法二、〔7×7-7〕/2+7=28方法三、一個(gè)球是一星球,另一個(gè)球可以是一~七星球,故有7種;一個(gè)球是二星球,另一個(gè)球可以是二~七星球,故有6種;…………一個(gè)球是七星球,另一個(gè)球可以是七星球,故有1種。因此,共7+6+…+1=28種。效勞器A接到發(fā)往效勞器B、C、D、E、F的信包各3個(gè),但它一次只能發(fā)出一個(gè)信包。問共有多少種發(fā)送方式?如果發(fā)往效勞器B的信包兩兩不能相鄰發(fā)出呢?解:〔1〕{3?B,3?C,3?D,3?E,3?F}的全排列〔2〕其余4個(gè)效勞器全排列,在插入B的三個(gè):有m個(gè)省,每省有n個(gè)代表,假設(shè)從這mn個(gè)代表中選出k〔k≤m〕個(gè)組成常任委員會,要求委員會中的人來自不同的省,一共有多少種不同的選法?解:?nk7對夫婦圍一圓桌而坐,每對夫婦都不相鄰的坐法有多少種?解:7個(gè)夫人先坐:7!/7第一個(gè)丈夫不坐在他夫人旁邊,那么有5個(gè)地方可以坐;第二個(gè)丈夫由于可以坐在第一個(gè)丈夫旁邊,故有6個(gè)地方可以坐;……第7個(gè)丈夫有11分地方可以坐。因此:5*6*7*8*9*10*11*7!/7=1197504000。設(shè)S={n1·a1,n2·a2,…,nk·ak},其中n1=1,n2+n3+…+nk=n,證明S的圓排列的個(gè)數(shù)等于:證明:S的全排列為:因?yàn)橐懦?n+1)圓,故圓排列數(shù)為/(n+1)=有8個(gè)大小相同的棋子〔5個(gè)紅的3個(gè)藍(lán)的〕,放在12×12的棋盤上,每行、每列都只能放一個(gè),問有多少種放法.解:先放紅的。選出5行出來,列可任選為P(12,6)。再先放藍(lán)的。選出3行出來,列可任選為P(7,3)。設(shè)1≤r≤n,考慮集合{1,2,…,n}的所有r元子集及每個(gè)子集中的最小數(shù),證明這些最小數(shù)的算數(shù)平均數(shù)為.證明:r元子集共個(gè),于是共有個(gè)最小數(shù)。下面我們求出這些最小數(shù)之和。如果r元子集中的最小數(shù)為k,那么除k外的r-1個(gè)數(shù)只能從{k+1,k+2,…,n}中取,有種取法,即以k為最小數(shù)的r子集有個(gè),因此這些最小數(shù)之和為。于是平均數(shù)為。由和有上面兩式相減得:因此=。用二項(xiàng)式定理展開(4x-3y)8.解:(3y–2z)20的展開式中,y5z15的系數(shù)是什么?解:證明:證明:該等式的組合意義是說,n元集S的偶子集數(shù)與奇子集數(shù)相等?,F(xiàn)在我們?nèi)稳中的一個(gè)元x。對S的任何一個(gè)偶子集AS,如果x∈A,那么令B=A-{x};否那么,令B=A∪{x}。B顯然是S的奇子集。不難證明這是所有偶子集與所有奇子集之間的一一對應(yīng)。所以,S的偶子集數(shù)與奇子集數(shù)相等。證明等式并討論其組合意義.證明:〔n+1〕!=n*n!+n!n!=(n-1)*(n-1)!+(n-1)!………………2!=1*1!+1!以上各式相加,整理得:(n+1)!=n+n!+(n-1)*(n-1)!+…+2*2!+1*1!+1故。組合意義:將〔n+1〕個(gè)不同物體a1,a2,…,an+1放入〔n+1〕個(gè)不同的盒子A1,A2,…,An+1內(nèi)的方法如下:〔a1不在A1內(nèi)〕+〔a1在A1內(nèi)但a2不在A2內(nèi)〕+〔a1,a2分別在A1,A2內(nèi)但a3不在A3內(nèi)〕+……+〔a1,a2,…,ai分別在A1,A2,…,Ai內(nèi)但ai+1不在Ai+1內(nèi)〕+……+〔a1,a2,…,an+1分別在A1,A2,…,An+1內(nèi)〕即:故證明:證明:證明:.證明:假設(shè)n=m:=1。假設(shè)n>m:我們知道,(1+x)n=對該式兩邊求m階導(dǎo)數(shù):乘以:令x=-1:0=證明以下等式:〔1〕證明:因此,〔2〕證明:利用路徑問題解決。左邊第i項(xiàng)相當(dāng)于從點(diǎn)c(-r-1,0)到點(diǎn)(-1,i),再經(jīng)點(diǎn)(0,i),最后到達(dá)b(n-m,m)的所有路徑數(shù)。而右邊為從c到b的所有路徑數(shù)。因此得證。證明:證明:因此試證明:〔1〕證明:由二項(xiàng)式定理知:=(1+x)n等式兩邊對x求2次導(dǎo)數(shù)得:=n(n-1)(1+x)n-2令x=1,那么:=n(n-1)2n-2整理得:〔2〕證明:得證。證明:.證明:由二項(xiàng)式定理知:=(1+x)n等式兩邊對x積分得:再次積分:令x=1。整理,得證。展開(a+3b-7c-d)5.解:〔n1+n2+n3+n4=5〕。(4x+3y–2z)20的展開式中,x5y7z8的系數(shù)是什么?x5y15的呢?解:x5y7z8的系數(shù):x5y15的系數(shù):求(3+x+x2+2x3)6的展開式中x5的系數(shù).解:證明:整數(shù)n的m分拆數(shù)等于整數(shù)n-的m分拆數(shù).證明:設(shè)n=a1+a2+…+am是n的一個(gè)m項(xiàng)分拆,并假定a1≥a2≥…≥am≥1,那么(a1-1)+(a2-1)+…+(am-1)=n-m是n-m的一個(gè)項(xiàng)數(shù)不超過m的拆分。反之,設(shè)a1+a2+…+ar=n-m(r≤m)是n-m的一個(gè)分拆,那么=((n-m)+r)+(m-r)=n是n的一個(gè)m項(xiàng)拆分。于是這兩種拆分一一對應(yīng),故其拆分?jǐn)?shù)相等。得證。設(shè)將N無序分拆成正整數(shù)之和且使得這些正整數(shù)都小于等于m的方法數(shù)為B’(N,m).證明:B’(N,m)=B’(N,m-1)+B’(N-m,m).證明:B’(N,m)分為兩類:一類是m不是其中一個(gè),那么為B’(N,m-1);一類是m是其中一個(gè),即B’(N-m,m)。故B’(N,m)=B’(N,m-1)+B’(N-m,m).證明:周長為2n,邊長為整數(shù)的三角形的個(gè)數(shù)等于數(shù)n的3分拆數(shù).證明:設(shè)n的一個(gè)拆分n=x+y+z,那么2(x+y+z)=(x+y)+(x+z)+(y+z)=2n其中(x+y)+(x+z)=2x+(y+z)>y+z同理(y+z)+(x+z)>(x+y),(x+y)+(y+z)>(x+z)因此(x+y),(x+z),(y+z)可以組成一個(gè)三角形,且周長為2n。反之,設(shè)一個(gè)周長為2n的三角形,其三條邊長a,b,c是整數(shù),那么n=設(shè)x=n-a,y=n-b,z=n-c。顯然x,y,z都是正整數(shù),而x+y+z=n-a+n-b+n-c=3n-(a+b+c)=n即構(gòu)成n的一個(gè)拆分。得證.n個(gè)人出去野炊,其中r個(gè)人圍一圈,另外n-r個(gè)人圍一圈,問共有多少種不同的方案?解:把n個(gè)不同顏色的小球放入r個(gè)不同形狀的盒子,恰好有1個(gè)空盒的放法有多少種?恰好有m〔m<n〕個(gè)空盒呢?解:恰好有1個(gè)空盒的放法恰好有m〔m<n〕個(gè)空盒:一凸十邊形內(nèi)任意三條對角線不共點(diǎn)〔即不相交于同一點(diǎn)〕,問這些對角線被它們的交點(diǎn)分成多少條線段?解:該10邊形的對角線條數(shù)為:,交點(diǎn)數(shù)為。設(shè)第i條對角線上交點(diǎn)數(shù)為ni,那么線段有ni+1條;即總數(shù)為:每個(gè)交點(diǎn)由2條對角線相交而成,因而=2*210=420故總線段數(shù)為420+35=455。一次小型聚會中,主人要把4塊相同的蛋糕、6杯不同的飲料和5盤不同的水果分給5個(gè)客人,其余各項(xiàng)可隨便使用。問任一客人接到3份不同食物的概率是多少?解:先把4塊相同的蛋糕分給5個(gè)人:;再分6杯不同的飲料:56=15625;再分5盤不同的水果:55=3125。而一位客人接到3種物品的情況有:1*6*5=30種。因此所求概率為:*100。(x1+x2+…+xm)n的展開式有多少項(xiàng)?解:其中ni≥0,且n1+n2+…+nm=n〔*〕那么原題即相當(dāng)于求方程〔*〕的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。即為:。10個(gè)人進(jìn)行排名,其中甲必須在乙的前面,丙必須在丁的后面,問共有多少種排名方案?解:先排好甲、乙。那么可把除丙、丁外的6人插入,方案數(shù)為36。那么現(xiàn)在有9個(gè)位置可以插入??;然后再把丙放在它后面的位置,方案數(shù)為:1+2+…+9=45。故總方案數(shù)為45*36。10套試驗(yàn)
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