(全國1卷)2018年理科數(shù)學(xué)真題(含答案解析)_第1頁
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文檔簡介

絕密★啟用前

2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng):

1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮

擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

,工1-i2i,則|z|=

1.設(shè)Z—-上

—I

1+i

T

A.0B.

2

2.已知集合?

A=x*-x-20則/=

dR

uu

A.x"X2B.x"X2

C.x-12D.x\x-12

3.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍,實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)

建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是

A.新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后,其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

4.記為等差數(shù)列a=,則=

a的前"項(xiàng)和.若3S=S+12a

Q5

0'5

n324

A.-12B.-10C.10D.12

5.設(shè)函數(shù)f(x)=/+(a-1)/2+ax.若為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為

A.y=-2xB.y--xC.產(chǎn)2xD.y-x

6.在△力GC打力。為8c邊上的中線,5為2。的中點(diǎn),貝修=一

A31AB-ACC.3AB+1ACD.13

AB-ACB.13

AB+AC

444A._4____________4444

某圓柱的高為2,底面周長為16,1三視圖如)」圓柱面面1:0點(diǎn)用在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為面,圓柱

7.

表面上的點(diǎn)/V在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為匕圓柱側(cè)面上,從例到/V的路徑中,最短路徑的長度為

A.217B.25C.3D.2

2

8.設(shè)拋物線C:w=4x的焦點(diǎn)為尸,過點(diǎn)(-2,0)且斜率門的直線與C交于"/V兩點(diǎn),則成FN

為3=

A.5B.6C.7D.8

9.已知函數(shù)f⑻e、X0

9

gx=fx+x+a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍

()()

Inx,x0,

A.[-1,0)B.2,+■+oo)D,n,+oo)

10.下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所碎麟洸詢慟時(shí)般圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為

直角三角形/8C的斜邊8c直地484c.A/IGC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II,

其余部分記為川.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自I,ii,山的概率分別記為0,◎,pi,則

A.py=pzB.p\=2

C.p2=psD.pi=a+必

口AznW也如〃X-2=1,。為坐標(biāo)原點(diǎn),尸為C的右焦點(diǎn),過廠的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)

\In大UAX.InjCz:―2y

3

分別為儀,若AO/VW為直角三角形,則I例2=

力?

A.B.3C.23D.4

2

12.已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等,則a截此正方體所得截面面積的最

D.3

2

二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。

x-2y-2,則z=3x+2y的最大值為

13.若x,y滿足約束條件0---------------------

-+

xy10

yo

14.記s為數(shù)列

a的前〃項(xiàng)和.若S-2a+1,則S=

nnnn6

15從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有_____________

種.(用數(shù)字填寫答案)

16.已知函數(shù)/'(x)=2sinx+sin2x,貝Uf(x)的最小值是.

三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生

都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題:60分。

17.(12分)

在平面四邊形中,A0C=9O,>4=45,AB=2,BD=5.

(1)求cosADB;

(2)若DC=22,求GC

18.(12分)

如圖,四邊形/SCO為正方形,£,尸分別為42GC的中點(diǎn),以。尸為折痕把△,尸C折起,使點(diǎn)。

到達(dá)點(diǎn)尸的位置,且尸尸,8尸.

(1)證明:平面尸E尸上平面廠。;

(2)求。尸與平面/夕尸。所成角的正弦值.

19.(12分)

X

C+y=的右焦點(diǎn)為尸,過尸的直線/與C交于4G兩點(diǎn),點(diǎn)例的坐標(biāo)為(2,0).

:1

2

設(shè)橢圓

2

(1)當(dāng)/與x軸垂直時(shí),求直線/例的方程;

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:OMA=OMB.

20.(12分)

某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不

合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余

下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn),設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為P(0p1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相

互獨(dú)立.學(xué)科&網(wǎng)

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f[p),求f{p}的最大值p.

點(diǎn)0

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的夕作為「的值.已知每

o

件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)

用.

(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX;

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)?

21.(12分)

1

已知函數(shù)〃、

/■(x)=-x+aln

x.

x

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

()-()a-2

(2)若尸(X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)R,A2,證

明:12

X-X

12

(二)選考題:共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。

22.[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)

C的方程為y=用M+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),X軸正半軸為極軸建立極

坐在直角坐標(biāo)系X。/中,曲線

標(biāo)系,曲線

。的極坐標(biāo)方程為2+2cos-3=0.

2

(1)求C的直角坐標(biāo)方程;

2

(2)若。與C有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C的方程.

121

23.[選修4—5:不等式選講](10分)

已知/(A)=|x+11-1ax-\|.

(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)1的解集;

(2)若x(0,1)時(shí)不等式,(*)x成立,求a的取值范圍.

參考答案:

123456789101112

CBABDABDCABA

_X3

13.614.-6315.16

2

16.

17.(12分)

BDAB

解:(1)在△/8D中,由正弦定理得

sinAsin

ADBj

5-2,所以-2

由題設(shè)知,:ADB

sin45sin

ADB

由題設(shè)知,ADB90,J聽以cos

255

2

(2)由題設(shè)及(1)知,

cos8DC=sinADB

5

?—

在ABC。中,由余弦定理得

BO=B&+DO-2BDDCcosBDC

2

=25+8-252

25

=25.

所以BC=5.

18.(12分)

解:(1)由已知可得,BFLPF,BFLEF,所以平面尸&

又BF平面45尸。,所以平面戶日工平面為罰力.二

(2)作PH'EF,垂足為〃.由(1)得,PHCA

-7C

以”為坐標(biāo)原點(diǎn),6尸的方向?yàn)橄蚴絋立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz.

A

由(1)可得,DELPE.又DP=2,DE=',所以吟4.又尸e1,EF=2,敬PELPF.

可-r,得曰PH引J3,EHr3.

22

則^(0,0,0|,f\Q,Op3一3、f3-G

戶昕

DP=_L〃尸=(0,(廣)為平面/b的法向

222量.

2

J

設(shè)。尸與平面48/77所成角為,則

/HP\\DP\34

sin

=HPDP3.

4

3

所以。尸與平面Z8&7所成角咿弦值為小

19.(12分)

解:(D由已知得尸(1,①C/的碗為片工j

22

由已知可得,點(diǎn)力的坐標(biāo)為(1,)或(1,)

2-

所以力〃的方程為廣一*+2或片x-2

(2)當(dāng)/與x軸重合時(shí),0MA=OMB-0

當(dāng)/與x軸垂直時(shí),為A8的垂直平分線,所以O(shè)MA=OMB.

當(dāng)/與X軸不重合也不垂直時(shí),設(shè)/的方程為y=4(x-D(44(x,y),G(x,

0)----------------------V),

1122

則yy-

X直線例4例8的斜率之和為左+k=+

12,22_

12

MAMBX-X-

122

2

由y=kx-ky=kx-k

1,22

1

..2kxx-3k(x+x)+

k+k-A')

MAMBQK

1212

(x-2)(x-2)

12

X+1/2=1

將y=4(x-l)代入

2

(2依+1)/-4依x+242-2=0.

4k2k-2-

所以,-------z----2----

X+X=XX=

122+1+

2

2k12k

1

4依-44-12依+8依+44

人2kxx-34(x+x)+44=

0

1222+

1

2k1

從而0

k+k=,故AM,例8的傾斜角互補(bǔ),所以O(shè)MA-OMB.

MAMB

綜上,OMA=OMB.

20.(12分)

解:(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=C2b(1-0>8.因此

20

PP-PP-PP-PP-

()C[2(1)18(1)]2C(1)(110)

218217217

2020

令,(p)=0,得夕=0.1.當(dāng)夕(0,0.1)時(shí),f(夕)0;當(dāng)夕(0.1,1)時(shí),f(夕)0.

所以f(夕)的最大值點(diǎn)為A=0.1.

(2)由(1)知,p-0.1.

(i)令V表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知匕5(180,0.1),X=202+25P,

即X=40+25匕

所以。=F(40+25>0=40+25EY=490.

(ii)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),則這一箱#麗需要的檢驗(yàn)炳麗5元.

由于EX400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

21.(12分)

1X-ax+1

解:(1)f(冷的定義域?yàn)?

(0.+),/—J

/(X)1

XXX

22

⑴若,2,則f(x)0,當(dāng)且僅當(dāng)3=2,x=1Htf(x)=0,所以,(x)在(0,+)單調(diào)遞減.

a2-4a+*-4

(ii)若a2,令f(x)=0x_x

或r=

得,一

22

“,a-a2-4a+a2--4

0(0,)(,)

U+時(shí),f(x)

0;

22

a-a+a2-4

(0,).()

o.所以0M在

2222

調(diào)遞減,在岸4ag虎,

'單調(diào)遞增.

22

(2)由(1)知,f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a2.

由于的兩個(gè)極值點(diǎn)H,及滿足*-ax+1=0,所以A1A2=1,不XX,放1.由

_妨設(shè)則于

12

f(x)f(x)1InxInxIn%Inz—2In,

x

-+=-+=—+—

a12

22

X-X_XXX-XX-X-x

1

121212

2

X

2

“X)f(x)2----1-X+2lnx

一等價(jià)于。0.

-22

所以12a

X-X

12

1

設(shè)函數(shù)

g(x)=-x+2lnx,由(1閱,g(x)在(0,+)單調(diào)遞減,又g⑴=0,從tffix。,+)

x

時(shí),g(Mo.

f(x)-f(x)

所以

X

2

-x+2\nx0,即12a

22

XX

12

22.[選修J4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)

解:(1)由*=cos,y-sin得。的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4.

2

(2)由(1)知G是圓心為4(-1,0),半徑為2的圓.學(xué)&科網(wǎng)

由題設(shè)知,G是過點(diǎn)8(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線記y軸守的射線為

7/,y軸左邊的射線為

1

他于8在圓G的外面,故G與G有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于/與G只有一個(gè)公共點(diǎn)且分與G有

兩個(gè)公共點(diǎn),或分與G只有一個(gè)公共點(diǎn)且?與G有兩個(gè)公共點(diǎn).

Ik?\4

當(dāng)/與G只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),力到/所在直線的距離為2,所+I2

以k14=-或4=0.

2+,故

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