第5講無窮級數(shù)

第5講無窮級數(shù)1實驗?zāi)康?/p>

學(xué)習(xí)用軟件判斷級數(shù)的斂散性，會求收斂數(shù)項級數(shù)的和.23級數(shù)(級數(shù)求和)級數(shù)求和運算是數(shù)學(xué)中常見的一種運算。例如：

函數(shù)symsum可以用于此類對符號函數(shù)的求和運算。該函數(shù)的引用時，應(yīng)確定級數(shù)的通項式表達(dá)式u，變量k的變化范圍a和b。該函數(shù)的引用格式為：symsum(u,k,a,b)4例1求級數(shù)1/12+1/22+1/32+1/42+……的和:通項：u=1/k^2K的范圍：[1，+inf）Matlab程序：symsksymsum(1/k^2,1,Inf)%k值為1到無窮大ans=1/6*pi^2其結(jié)果為：1/12+1/22+1/32+1/42+……=π2/65[例2]對—級數(shù)（1）求和；（2）求部分和；[解]>>p=input('p=')>>symskn%輸入p的值%定義變量>>s=symsum(1/k^p,1,inf)%求S>>s=symsum(1/k^p,1,n)%求Sn6練習(xí)：判定級數(shù)的斂散性；

symsn;symsum(1/n,n,1,inf)ans=Inf方法：直接求和若和存在，則收斂反之就發(fā)散7二.常數(shù)項級數(shù)的判別1.正項級數(shù)的判別法

(1)比較判別法正項級數(shù)和

判別方法：（大小比較法）大的收斂，則小的收斂；小的發(fā)散，則大的發(fā)散8Ⅰ如果，斂散性相同Ⅱ如果則大的收斂，則小的收斂；小的發(fā)散，則大的發(fā)散[例2]判定級數(shù)的斂散性；[解]

symsn;>>symsum(sin(1/n),n,1,inf)ans=sum(sin(1/n),n=1..Inf)比較判別法的極限形式：無法判斷出此級數(shù)的斂散性9用調(diào)和級數(shù)作為參考級數(shù)，考慮極限>>symsn>>I=limit(sin(1/n)/(1/n),n,inf)>>I=1由比較審斂法，調(diào)和級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散。利用比較判別法判斷10（2）比值判別法

正項級數(shù)，若滿足，

則當(dāng)時級數(shù)收斂；時級數(shù)發(fā)散。

[例3]用比值判別法判定級數(shù)的斂散性。[解]考查極限程序如下：11>>symsn>>I=limit((n+1)^2/3^(n+1)/(n^2/3^n),n,inf)>>ansI=1/3由比值判別法知級數(shù)收斂。symsum(n^2/3^n,n,1,inf)ans=3/2本題也可以直接求級數(shù)的和12正項級數(shù)，若，當(dāng)時級數(shù)收斂；時級數(shù)發(fā)散。適用對象：一般項表達(dá)式Un含有n次冪（3）補充：根值判別法13[例4]級數(shù)，用根值判別法判定斂散；[解]考查極限程序如下：>>symsn;y=((n/(3*n-1))^(2*n-1))^(1/n),y1=limit(y,n,inf)

y=((n/(3*n-1))^(2*n-1))^(1/n)y1=1/9級數(shù)收斂142．交錯級數(shù)判別法（萊布尼茲判別法）

如果交錯級數(shù)滿足條件：

（1）；

（2）；

則級數(shù)收斂。15（2）求極限；程序如下：symsn;limit(1/(n^3),n,inf)

ans=0[例5]判斷交錯級數(shù)的斂散性。[解]步驟：（1）判斷；由定理可知，交錯級數(shù)收斂16三．冪級數(shù)求收斂半徑：

不缺項時缺項時再求出x的范圍收斂17[解]程序如下：>>symsn；>>R=limit(abs(((-1)^(n-1)/log(n))/((-1)^n/log(n+1))),n,inf)或者：R=limit(1/log(n)/(1/log(n+1))),n,inf)>>R=1系數(shù)[例6]求冪級數(shù)的收斂半徑。18四．傅立葉級數(shù)收斂定理：設(shè)是以2T為周期的周期函數(shù)，如果滿足：（1）在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點。（2）在一個周期內(nèi)至多有有限個極值點。則的傅立葉級數(shù)展開式為：是連續(xù)點）19其中：[例7]設(shè)是周期為的方波函數(shù)，它在上的表達(dá)式為(x是間斷點)20將展開成傅立葉級數(shù)。[解]步驟：（1）計算傅立葉系數(shù)

21程序如下：>>symsnx;>>an=(-int(cos(n*x),x,-pi,0)+int(cos(n*x),x,0,pi))/pi,>>bn=(-int(sin(n*x),-pi,0)+int(sin(n*x),0,pi))/pians:an=0bn=-2*(cos(pi*n)-1)/n/pi第二步、代入公式進(jìn)行運算22[例9]將展開為傅立葉級數(shù)。[解]程序如下：>>symsnx;f=1-x^2,a0=int(f,-pi,pi),an=int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pi,bn=int(f*sin(n*x),-pi,pi)/pi23ans:>>f=1-x^2a0=2*pi-2/3*pi^3an=-2*(-2*sin(pi*n)-n^2*sin(pi*n)+pi^2*n^2*sin(pi*n)+2*pi*n*cos(pi*n))/n^3/pi