積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用說(shuō)明

陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文PAGE第6頁(yè)共10頁(yè)題目積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用學(xué)生姓名學(xué)號(hào)專(zhuān)業(yè)班級(jí)指導(dǎo)教師學(xué)校鄖陽(yáng)師范高等專(zhuān)科學(xué)校湖北省十堰市郵編：442000

積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用優(yōu)秀論文[摘要]本文主要介紹了積分中值定理在數(shù)學(xué)分析中應(yīng)用時(shí)的注意事項(xiàng)及幾點(diǎn)主要應(yīng)用,這些應(yīng)用主要是：一.求函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的平均值;二.估計(jì)定積分的值;三.求含有定積分的極限;四.確定積分的符號(hào);五.證明中值的存在性命題;六.證明積分不等式;七.證明函數(shù)的單調(diào)性.[關(guān)鍵詞]積分;中值;定理;應(yīng)用1引言積分中值定理是數(shù)學(xué)分析中的主要定理之一,同時(shí)也是定積分的一個(gè)主要性質(zhì),它建立了積分和被積函數(shù)之間的關(guān)系,從而我們可以通過(guò)被積函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究部分的性質(zhì),有較高的理論價(jià)值和廣泛應(yīng)用.本文就其在解題中的應(yīng)用進(jìn)行討論.2預(yù)備知識(shí)定理2.1[1](積分第一中值定理)若在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上至少存在一點(diǎn)使得.證明由于在區(qū)間[a,b]上連續(xù),因此存在最大值和最小值.由,使用積分不等式性質(zhì)得到,或.再由連續(xù)函數(shù)的介值性,至少存在一點(diǎn),使得定理2.2[1](推廣的積分第一中值定理)若在閉區(qū)間上連續(xù),且在上不變號(hào),則在至少存在一點(diǎn),使得證明推廣的第一中值積分定理不妨設(shè)在上則在上有其中,分別為在上的最小值和最大值,則有若,則由上式知,從而對(duì)上任何一點(diǎn),定理都成立.若則由上式得則在上至少存在一點(diǎn),使得即顯然,當(dāng)時(shí),推廣的積分第一中值定理就是積分中值定理3積分中值定理的應(yīng)用由于積分中值定理可以使積分號(hào)去掉,從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化,對(duì)于證明包含函數(shù)積分和某個(gè)函數(shù)值之間關(guān)系的等式和不等式,也可以考慮使用積分中值定理.在使用積分中值定理時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：在應(yīng)用中要注意被積函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)這一條件,否則,結(jié)論不一定成立.例如,顯然在處間斷.由于但在上,,所以,對(duì)任何都不能使.(2)定理中的在區(qū)間上不變號(hào)這個(gè)條件也不能去掉.例如令由于,但所以,不存在,使(3)定理中所指出的并不一定是唯一的,也不一定必須是的內(nèi)點(diǎn).例如令,則對(duì)都有,這也說(shuō)明了未必在區(qū)間的內(nèi)點(diǎn).下面就就其應(yīng)用進(jìn)行討論.3.1求函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的平均值例1試求在上的平均值.解平均值3.2估計(jì)定積分的值例2估計(jì)的值.解由推廣的積分第一中值定理,得其中因?yàn)樗约垂世?估計(jì)的值.解因?yàn)樵谏线B續(xù),且,,所以由積分第一中值定理有.在估計(jì)其類(lèi)積分的值時(shí),首先我們要確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)的基礎(chǔ)上確定被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值和最小值,然后再利用積分中值定理就迎刃而解了.綜上,在利用積分中值定理估計(jì)積分的值時(shí),我們要根據(jù)不同的題型給出不同的解決方法,這也是我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸要培養(yǎng)的,積累的好習(xí)慣.3.3求含有定積分的極限例4求極限QUOTElimn→∞為自然數(shù).解利用中值定理,得因?yàn)樵谏线B續(xù),由積分中值定理得當(dāng)時(shí),,而||.故QUOTElimn→∞=QUOTElim=0.例5求.解若直接用中值定理=,因?yàn)槎荒車(chē)?yán)格斷定,其癥結(jié)在于沒(méi)有排除,故采取下列措施=+QUOTE.其中為任意小的正數(shù).對(duì)第一積分中值定理使用推廣的積分第一中值定理,有.=,.而第二個(gè)積分=,由于得任意性知其課任意小.所以=+=0.注求解其類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是使用積分中值定理去掉積分符號(hào).在應(yīng)用該定理時(shí),要注中值不僅依賴(lài)于積分區(qū)間,而且還依賴(lài)于根式中自變量的趨近方式.3.4證明不等式例6證明.證明估計(jì)連續(xù)函數(shù)的積分值的一般的方法是求在的最大值和最小值,則.因?yàn)?所以.例7證明證明估計(jì)積分的一般的方法是:求在的最大值和最小值,又若,則.本題中令.因?yàn)樗?3.5證明函數(shù)的單調(diào)性例8設(shè)函數(shù)在上連續(xù),,試證:在內(nèi),若為非減函數(shù),則為非增函數(shù).證明,對(duì)上式求導(dǎo),得利用積分中值定理,得,若為非減函數(shù),則,所以,故為非減函數(shù).綜上所述,積分中值定理在應(yīng)用中所起到的重要作用是可以使積分號(hào)去掉,從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.因此,對(duì)于證明有關(guān)題設(shè)中含有某個(gè)函數(shù)積分的等式或不等式,或者要證的結(jié)論中含有定積分,或者所求的極限式中含有定積分時(shí),一般應(yīng)考慮使用積分中值定理,去掉積分號(hào).在使用該定理時(shí),常與微分中值定理或定積分的其他一些性質(zhì)結(jié)合使用,是所求問(wèn)題迎刃而解.參考文獻(xiàn)[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2001.217-219.[2]張筑生.數(shù)學(xué)分析新講[M].北京:北京大學(xué)出版社,1990.92-95.[3]劉鴻基.數(shù)學(xué)分析習(xí)題講義[M].江蘇:中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社,1999.85-92.[4]李惜雯.數(shù)學(xué)分析例題解析及難點(diǎn)注釋[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,2004.311-313.[5]吳炯圻.數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)英語(yǔ)[M].第二版.北京:高等教育出版社,2009.285-309.[6]W.Rmdin,PrincipleofMathematicalAnalysis（Secondedition）,McGraw-Hill,NewYork,1964.96-102.MeanValueTheoreminMathematicalAnalysisAbstract:Thispaperdescribesthemeanvaluetheoreminmathematicalanalysisapplicationnoteandafewofthemajorapplications.Theseapplicationsaremainly:1.Demandfunctioninanintervalontheaverage;2.Theestimatedvalueofdefiniteintegral;3.Ordertocontainthelimitsofdefiniteintegrals;4.Defineintegralofsymbol;5.Proofoftheexistenceofth