江蘇省南京市弘光中學高一數(shù)學理測試題含解析

江蘇省南京市弘光中學高一數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知等比數(shù)列{an}的公比為q,若成等差數(shù)列，則q的值為(

)A．

B．

C.或

D．1或2參考答案：2.（4分）如圖所示為一個平面四邊形ABCD的直觀圖，A′D′∥B′C′，且A′D′=B′C′，則它的實際形狀（） A． 平行四邊形 B． 梯形 C． 菱形 D． 矩形參考答案：D考點： 平面圖形的直觀圖．專題： 計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析： 由直觀圖可知，AB，CD兩條邊與橫軸平行且相等，邊BC與縱軸平行，得到AB與BC兩條相鄰的邊之間是垂直關(guān)系，得到平面圖形是一個矩形．解答： 解：根據(jù)直觀圖可知，AB，CD兩條邊與橫軸平行且相等，故四邊形ABCD為平行四邊形，邊BC與縱軸平行，∴AB⊥BC，∴平面圖形ABCD是一個矩形，故選：D．點評： 本題考查平面圖形的直觀圖，考查有直觀圖得到平面圖形，考查畫直觀圖要注意到兩條坐標軸之間的關(guān)系，本題是一個基礎(chǔ)題．3.幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為

（）A． B．

C．

D．參考答案：C4.將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】函數(shù)向左平移個單位變?yōu)?，化簡得，橫坐標伸長到原來的2倍有，整理可得。【詳解】由題得，橫坐標伸長到原來的2倍后函數(shù)為，故選B?！军c睛】本題考查三角函數(shù)的平移和伸長變換，屬于基礎(chǔ)題。5.（5分）一個幾何體的三視圖尺寸如圖，則該幾何體的表面積為（） A． 4+8 B． 20 C． 4+4 D． 12參考答案：D考點： 由三視圖求面積、體積．專題： 計算題；空間位置關(guān)系與距離．分析： 三視圖復原的幾何體是正四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，求出幾何體的表面積．解答： 三視圖復原的幾何體是正四棱錐，底面是邊長為2的正方形，斜高為2，所以正四棱錐的表面積為：S底+S側(cè)=2×2+4×=12，故選：D．點評： 本題考查由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對三視圖的理解與應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是用三視圖中的數(shù)據(jù)還原出實物圖的數(shù)據(jù)，再根據(jù)相關(guān)的公式求表面積與體積，三視圖的投影規(guī)則是：“主視、俯視長對正；主視、左視高平齊，左視、俯視寬相等”，本題是一個基礎(chǔ)題．6.已知，，，則三者的大小關(guān)系是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.使得函數(shù)有零點的一個區(qū)間是

(

)

A

(0，1)

B

(1，2)

C

(2，3)

D

(3，4)參考答案：C8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且當時,單調(diào)遞增，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A．

B．

C．

D．隨的值而變化參考答案：C略9.設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，則在映射f下，象20的原象是

（

）

A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：C10.的圖象

（

）

A．關(guān)于原點對稱

B．關(guān)于直線y=x對稱

C．關(guān)于x軸對稱

D．關(guān)于y軸對稱參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過△ABC所在平面α外一點，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC．若PA=PB=PC，則點O是△ABC的

心．參考答案：外考點：三角形五心．專題：證明題．分析：點P為△ABC所在平面外一點，PO⊥α，垂足為O，若PA=PB=PC，可證得△POA≌△POB≌△POC，從而證得OA=OB=OC，符合這一性質(zhì)的點O是△ABC外心．解答： 證明：點P為△ABC所在平面外一點，PO⊥α，垂足為O，若PA=PB=PC，故△POA，△POB，△POC都是直角三角形∵PO是公共邊，PA=PB=PC∴△POA≌△POB≌△POC∴OA=OB=OC故O是△ABC外心故答案為：外．點評：本題考查三角形五心，求解本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題設(shè)條件得出PA，PB，PC在底面上的射影相等，以及熟練掌握三角形個心的定義，本題是一個判斷形題，是對基本概念的考查題．12.已知，則=．參考答案：﹣7【考點】兩角和與差的正切函數(shù)．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可得到tanα，再利用兩角和的正切公式即可得出．【解答】解：∵，∴，∴，故=，∴．故答案為﹣7．【點評】熟練掌握三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系、兩角和的正切公式是解題的關(guān)鍵．13.已知A船在燈塔C東偏北10°處，且A到C的距離為2km，B船在燈塔C北偏西40°，A、B兩船的距離為3km，則B到C的距離為______km．參考答案：【分析】直接利用余弦定理列方程求解即可.【詳解】如圖，由條件知，，由余弦定理得，即，解得．【點睛】本題主要考查余弦定理的實際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.數(shù)列{an}的通項公式，則它的前100項之和為．參考答案：100【考點】8E：數(shù)列的求和．【分析】由an=（﹣1）n（2n﹣1），可得a2k﹣1+a2k=（4k+1）﹣（4k﹣1）=2．利用“分組求和”即可得出．【解答】解：∵an=（﹣1）n（2n﹣1），∴a2k﹣1+a2k=（4k+1）（4n﹣1）=2．∴S100=（2﹣1）+（﹣4+1）+…+（﹣200+1）=2×50=100．故答案為：100．15.若直線x﹣y=2被圓（x﹣a）2+y2=4所截得的弦長為2，則實數(shù)a的值為．參考答案：0或4【考點】J8：直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】由已知得圓心（a，0）到直線x﹣y=2的距離d==，由此利用點到直線的距離公式能求出實數(shù)a的值．【解答】解：∵直線x﹣y=2被圓（x﹣a）2+y2=4所截得的弦長為2，∴圓心（a，0）到直線x﹣y=2的距離d==，∴，解得a=0或a=4，故答案為：0或4．16.已知是奇函數(shù)，當時，，則_______________.參考答案：略17.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列命題：（1）若，，，則；（2）若，，，則；（3）若，，，則；（4）若，，，則.上面四個命題中，正確的命題序號為

▲

（請寫出所有正確命題的序號）參考答案：（2）（4）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（10分）（2015秋?合肥校級月考）已知關(guān)于x的方程：x2+2（a﹣1）x+2a+6=0．（Ⅰ）若該方程有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）若該方程有兩個不等實數(shù)根，且這兩個根都大于1，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+2（a﹣1）x+2a+6，x∈[﹣1，1]，記此函數(shù)的最大值為M（a），最小值為N（a），求M（a），N（a）的解析式．參考答案：【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）方程有兩個不等實數(shù)根，從而判別式△＞0，這樣便可得出a＜﹣1，或a＞5，即得出了實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）該方程有兩個不等實數(shù)根，且這兩個根都大于1，從而判別式△＞0，由（Ⅰ）知a＜﹣1，或a＞5，并且小根滿足大于1，即，解出該不等式，再根據(jù)a還需滿足a＜﹣1，或a＞5即可得出實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）先求f（x）的對稱軸，x=1﹣a，討論1﹣a和區(qū)間[﹣1，1]的關(guān)系：分1﹣a≤﹣1，﹣1＜1﹣a≤0，0＜1﹣a＜1，和1﹣a≥1四種情況，在每種情況里，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性或取得頂點情況及端點值的比較，便可得出f（x）在[﹣1，1]上的最大值，和最小值，最后便可寫出M（a），N（a）．【解答】解：（Ⅰ）該方程有兩個不等實數(shù)根；∴△=4（a﹣1）2﹣4（2a+6）＞0；解得a＜﹣1，或a＞5；（Ⅱ）該方程有兩個不等實數(shù)根，根據(jù)（Ⅰ）便知，a＜﹣1，或a＞5；且這兩個根都大于1；∴；即；∴；∴；解得；∴；∴實數(shù)a的取值范圍為（，﹣1）；（Ⅲ）f（x）的對稱軸為x=1﹣a；∴①1﹣a≤﹣1，即a≥2時，f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增；∴M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（﹣1）=9；②﹣1＜1﹣a≤0，即1≤a＜2時，M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（1﹣a）=﹣a2+4a+5；③0＜1﹣a＜1，即0＜a＜1時，M（a）=f（﹣1）=9，N（a）=f（1﹣a）=﹣a2+4a+5；④1﹣a≥1，即a≤0時，f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞減；∴M（a）=f（﹣1）=9，N（a）=f（1）=4a+5；∴綜上得，，．【點評】考查一元二次方程有兩個不等實數(shù)根時判別式△的取值情況，一元二次方程的求根公式，二次函數(shù)的對稱軸，以及根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性或取得頂點情況，及對端點值的比較，從而得出函數(shù)最值的方法．19.（本小題滿分12分）計算求值：（1）已知，求的值（2）計算：參考答案：（1）；（2）52。20.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，E為B1D1的中點.（1）求證：直線AC⊥平面B1BDD1；（2）求證：DE∥平面ACB1.參考答案：（1）證明：在正方體中，平面,平面,

…………2分在正方形中，

…………4分又平面，平面,直線平面

…………7分（2）證明：設(shè)連結(jié)在正方體中，所以四邊形是平行四邊形.則有

…………9分分別為為的中點,四邊形是平行四邊形.

…………11分又平面，平面，平面.

…………14分21.已知x為實數(shù)，用[x]表示不超過x的最大整數(shù).（1）若函數(shù)，求的值；（2）若函數(shù)，求f(x)的值域；（3）若存在且，使得，則稱函數(shù)f(x)是函數(shù)，若函數(shù)是函數(shù)，求a的取值范圍.參考答案：（1）1，2；（2）{0，1}；（3）且且．【分析】（1）根據(jù)取整函數(shù)的定義直接計算；（2）考慮與之間的大小關(guān)系，從而得到的值域；（3）對進行分類討論：，利用單調(diào)性證明在時不成立，當時，再對分類討論：，由此求解出的取值范圍.【詳解】（1）f(1.2)=1,f(-1.2)=-2；（2）因為[]=[]或[]=[]+1所以若函數(shù)的值域為{0，1}（3）當函數(shù)f（x）=x+是Ω函數(shù)時，若a=0，則f（x）=x顯然不是Ω函數(shù)，矛盾．若a＜0，則一個增函數(shù)，所以f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時不存在m＜0，使得f（m）=f（[m]），同理不存在m＞0，使得f（m）=f（[m]），又注意到m[m]≥0，即不會出現(xiàn)[m]＜0＜m的情形，所以此時f（x）=x+不是Ω函數(shù)．當a＞0時，設(shè)f（m）=f（[m]），所以m+=[m]+，所以有a=m[m]，其中[m]≠0，當m＞0時，因為[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜（[m]+1）[m]，所以[m]2＜a＜（[m]+1）[m]，當m＜0時，[m]＜0，因為[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＞m[m]＞（[m]+1）[m]，所以[m]2＞a＞（[m]+1）[m]，記k=[m]，綜上，我們可以得到：a＞0且?k∈N?，a≠k2且a≠k（k+1）．【點睛】本題考查新定義背景下的取整函數(shù)