高考文數(shù)一輪課件3第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算總綱目錄教材研讀1.函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率考點(diǎn)突破2.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)3.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1.函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率為①

,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),則平均變化率可表示為②

.教材研讀2.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)(1)定義稱函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率

=

為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f'(x0)或y'

,即f'(x0)=

=

.(2)幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(diǎn)③(x0,f(x0))

處的④切線的斜率

.相應(yīng)地,切線方程為⑤

y-f(x0)=f'（x0)(x-x0)

.3.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)f'(x)=

為f(x)的導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y'.4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式5.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)[f(x)±g(x)]'=

f'(x)±g'(x)

;(2)[f(x)·g(x)]'=

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

;(3)

'=

(g(x)≠0).

1.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是

()A.

'=1+

B.(log2x)'=

C.(3x)‘=3xlog3eD.(x2cosx)'=-2sinx答案

B

'=x'+

'=1-

;(3x)'=3xln3;(x2cosx)'=(x2)'cosx+x2(cosx)'=2xcosx-x2sinx.故選B.B2.若f(x)=ax4+bx2+c滿足f'(1)=2,則f'(-1)=

()A.-4

B.-2

C.2

D.4答案

B∵f(x)=ax4+bx2+c,∴f'(x)=4ax3+2bx,又f'(1)=2,∴4a+2b=2,∴f'(-1)=-4a-2b=-2.B3.(2016北京東城期中)若曲線f(x)=ax2-lnx在點(diǎn)(1,a)處的切線平行于x軸,

則a=

.答案

解析

f'(x)=2ax-

,則f'(1)=2a-1,由題意得2a-1=0,所以a=

.4.曲線y=xex+2x+1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為

.答案3x-y+1=0解析對(duì)函數(shù)y=xex+2x+1求導(dǎo)得y'=(x+1)ex+2,當(dāng)x=0時(shí),y'=3,因此曲線y=

xex+2x+1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y-1=3x,即3x-y+1=0.3x-y+1=05.如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y=-x+8,則f(5)+f'(5)=

.

答案2解析由題意知f'(5)=-1,f(5)=-5+8=3,∴f(5)+f'(5)=3-1=2.2典例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=cos

;(2)y=ex·lnx.考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算考點(diǎn)突破解析(1)∵y=cos

=cos

sin

-cos2

=

sinx-

(1+cosx)=

(sinx-cosx)-

,∴y'=

(cosx+sinx)=

sin

.(2)y'=ex·lnx+ex·

=ex

.方法技巧函數(shù)的求導(dǎo)原則1.對(duì)于函數(shù)求導(dǎo),一般要遵循先化簡(jiǎn),再求導(dǎo)的基本原則,求導(dǎo)時(shí),不但要

重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用,而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用,在

化簡(jiǎn)時(shí),要注意變換的等價(jià)性,避免不必要的運(yùn)算失誤.2.利用公式求導(dǎo)時(shí),一定要注意公式的適用范圍及符號(hào),如(xn)'=nxn-1中,n

∈N*,(cosx)'=-sinx,還要注意公式不要用混,如(ax)'=axlna,而不是(ax)'=xax-1.1-1已知f(x)=

x2+2xf'(2016)+2016lnx,則f'(2016)=

.答案-2017解析由題意得f'(x)=x+2f'(2016)+

,所以f'(2016)=2016+2f'(2016)+

,即f'(2016)=-(2016+1)=-2017.-20171-2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=(3x3-4x)(2x+1);(2)y=

;(3)y=exlnx+2x+e.解析(1)解法一:∵y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,∴y'=24x3+9x2-16x-4.解法二:y'=(3x3-4x)'(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)'=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)·2=24x3+

9x2-16x-4.(2)y'=

=

=

.(3)y'=(ex)'·lnx+ex·(lnx)'+(2x)'+0=exlnx+

+2xln2.考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題角度一求切線方程典例2

(2016北京東城(上)期中)曲線f(x)=

在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程是

()A.y=1

B.y=

C.x+y=1

D.x-y=1答案

B由題意得f'(x)=

,故曲線f(x)=

在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率k=f'(1)=0,易知切點(diǎn)為

,所以切線方程為y=

,故選B.B命題角度二求切點(diǎn)坐標(biāo)典例3(1)(2015陜西,15,5分)設(shè)曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y=

(x>0)上點(diǎn)P處的切線垂直,則P的坐標(biāo)為

.(2)(2016北京東城(上)期中)若過曲線f(x)=xlnx上的點(diǎn)P的切線斜率為2,

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.答案(1)(1,1)(2)(e,e)解析(1)∵函數(shù)y=ex的導(dǎo)函數(shù)為y'=ex,∴曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k1=e0=1.設(shè)P(x0,y0)(x0>0),∵函數(shù)y=

的導(dǎo)函數(shù)為y'=-

,∴曲線y=

(x>0)在點(diǎn)P處的切線的斜率k2=-

,易知k1k2=-1,即1·

=-1,解得

=1,又x0>0,∴x0=1.又∵點(diǎn)P在曲線y=

(x>0)上,∴y0=1,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1).(2)設(shè)切點(diǎn)P(m,n),由題意得f'(x)=1+lnx,由曲線f(x)=xlnx在點(diǎn)P處的切線斜率為2,得1+lnm=2,解得m=e,∴n=mlnm=elne=e,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(e,e).命題角度三求參數(shù)的值典例4(1)(2015課標(biāo)Ⅰ,14,5分)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線過點(diǎn)(2,7),則a=

.(2)(2015課標(biāo)Ⅱ,16,5分)已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=

.答案(1)1(2)8∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.(2)令f(x)=x+lnx,求導(dǎo)得f'(x)=1+

,f'(1)=2,又f(1)=1,所以曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-

1.設(shè)直線y=2x-1與曲線y=ax2+(a+2)x+1的切點(diǎn)為P(x0,y0),則y'

=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-

,又a

+(a+2)x0+1=2x0-1,即a

+ax0+2=0,當(dāng)a=0時(shí),顯然不滿足此方程,∴x0=-

,此時(shí)a=8.解析(1)由題意可得f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-(a+2)=

(3a+1)·(x-1),又此切線過點(diǎn)(2,7),易錯(cuò)警示求函數(shù)圖象的切線方程的注意事項(xiàng)(1)首先應(yīng)判斷所給點(diǎn)是不是切點(diǎn),如果不是,需將切點(diǎn)設(shè)出.(2)切點(diǎn)既在原函數(shù)的圖象上,也在切線上,可將切點(diǎn)代入兩者的函數(shù)解

析式建立方程組.(3)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值對(duì)應(yīng)切線的斜率,這是求切線方程最重要的條件.(4)曲線與直線相切并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn).如y=x3在(1,1)處的切線與

y=x3的圖象還有一個(gè)交點(diǎn)(-2,-8).2-1設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a-3)x的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f'(x)是偶函

數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為

.答案9x-y-16=0解析

f'(x)=3x2+2ax+a-3,∵f'(x)是偶函數(shù),∴a=0,∴f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3,∴f(2)=8-6=2,f'(2)=9,∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y-2=9(x-2),即9x-y-16=0.9x-y-16=02-2

(2015北京豐臺(tái)二模)曲線y=x3-x2-x+1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是

.答案

y=-x+1解析

y'=3x2-2x-1,所以y'|x=0=-1,則切線的斜率k=-1,故可得切線方程為y=

-x+1.y=-x