第一章空間向量與立體幾何章末題型歸納總結(jié)（原卷版）

第一章空間向量與立體幾何章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：空間向量的概念及運(yùn)算經(jīng)典題型二：利用空間向量證明位置關(guān)系經(jīng)典題型三：利用空間向量計(jì)算距離經(jīng)典題型四：利用空間向量求空間角經(jīng)典題型五：共線與共面問題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想模塊一：本章知識(shí)思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：空間向量的概念及運(yùn)算例1．（2023·黑龍江哈爾濱·高二尚志市尚志中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四面體中，，點(diǎn)在棱上，且，為中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．例2．（2023·福建寧德·高二?？茧A段練習(xí)）直三棱柱中，若，，，則（

）.A． B．C． D．例3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若是空間的一個(gè)基底，且向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（

）A． B． C． D．例4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在以下命題中：①三個(gè)非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，，共面；②若兩個(gè)非零向量，與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，共線；③對(duì)空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若，則，，，四點(diǎn)共面④若，是兩個(gè)不共線的向量，且，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底⑤若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3例5．（2023·廣西百色·高二統(tǒng)考期末）在正四面體中，，，，為中點(diǎn)，為靠近的三等分點(diǎn)，用向量，，表示（

）A． B．C． D．例6．（2023·全國·高二階段練習(xí)）已知矩形為平面外一點(diǎn)，平面，點(diǎn)滿足，．若，則（

）A． B．1 C． D．例7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在四面體中，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則=（

）A．B．C．D．例8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平行六面體中，，，且，，則（

）A． B． C． D．例9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，正四面體的高的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為.(1)求證：，，兩兩垂直；(2)求.例10．（2023·江蘇連云港·高二連云港高中校考期中）平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱，且，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，設(shè)，，；(1)用向量，，表示向量；(2)求線段的長度．經(jīng)典題型二：利用空間向量證明位置關(guān)系例11．（2023·高二單元測(cè)試）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，且，二面角是直二面角．(1)求證：平面；(2)求證：平面.例12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)，.證明：平面平面.例13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面，D，E分別為棱AB，的中點(diǎn)，，，.證明：平面.例14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，E是的中點(diǎn)，已知，．(1)求證：；(2)求證：平面平面．例15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，求證：．例16．（2023·云南大理·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得?若存在，求的值；若不存在，說明理由.例17．（2023·福建漳州·高二統(tǒng)考期末）如圖所示的幾何體中，平面平面為等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，.(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)滿足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.例18．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)．(1)在B1B上是否存在一點(diǎn)P，使平面？(2)在平面上是否存在一點(diǎn)N，使平面？例19．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD為正方形，E為PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PB上，問點(diǎn)F在何位置時(shí)，為平面DEF的一個(gè)法向量?經(jīng)典題型三：利用空間向量計(jì)算距離例20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．(1)求直線\到直線的距離；(2)求直線到平面的距離．例21．（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖，在四棱錐中，平面，底面四邊形是正方形，，點(diǎn)為上的點(diǎn)，.(1)求證：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.例22．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直四棱柱中，底面為正方形，邊長為，側(cè)棱，分別為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．例23．（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖1，在等腰梯形中，，沿將折成，如圖2所示，連接，得到四棱錐.(1)若平面平面，求證：；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.例24．（2023·全國·高二假期作業(yè)）在梯形中，，，，，如圖1．現(xiàn)將沿對(duì)角線折成直二面角，如圖2，點(diǎn)在線段上．(1)求證：；(2)若點(diǎn)到直線的距離為，求的值．例25．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．例26．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在長方體中，，，求：(1)點(diǎn)到直線BD的距離；(2)點(diǎn)到平面的距離；(3)異面直線之間的距離.例27．（2023·山東濟(jì)寧·高二濟(jì)寧市兗州區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐，，，E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點(diǎn)．（1）求直線BF與平面ABC所成角的正弦值；（2）給出以下定義：與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，公垂線被這兩條異面直線截取的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段．兩條異面直線的公垂線段的長度，叫做這兩條異面直線的距離．根據(jù)以上定義可知，公垂線段的長度也可以看作是兩條異面直線上任意兩點(diǎn)連線的方向向量在公垂線的方向向量上的投影向量的長度．請(qǐng)根據(jù)以上定義和理解，求異面直線SE，BF的距離d．例28．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，點(diǎn)E為CC1中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD1中點(diǎn)．（1）求異面直線BD1與CC1的距離；（2）求直線BD1與平面BDE所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)F到平面BDE的距離．經(jīng)典題型四：利用空間向量求空間角例29．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考開學(xué)考試）四棱錐的底面是正方形，平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點(diǎn)，且．(1)求證：平面PEC；(2)求直線BF與平面PEC所成角的正弦值．例30．（2023·安徽合肥·高二合肥一六八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，三棱錐的棱長都是，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，記，，.(1)用向量，，表示向量；(2)求異面直線與所成角的余弦值.例31．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，P為上的點(diǎn).且求：(1)λ的值；(2)異面直線PC與所成角的余弦值．例32．（2023·全國·高二假期作業(yè)）在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，E是AC的中點(diǎn).(1)求證：平面(2)確定在線段上是否存在一點(diǎn)P，使得AP與平面所成角為，若存在，求出的值;若不存，說明理由.例33．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱平面ABCD，底面四邊形ABCD是矩形，，點(diǎn)M，N分別為棱PB，PD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AD上，.(1)求證：直線平面BNE；(2)從下面①②兩個(gè)條件中選取一個(gè)作為已知，證明另外一個(gè)成立.①平面PAB與平面PCD的交線l與直線BE所成角的余弦值為；②二面角的余弦值為.注：若選擇不同的組合分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.例34．（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn).(1)證明：；(2)若BF與CD所成的角為，求平面BEF和平面ABE夾角的余弦值.例35．（2023·山東煙臺(tái)·高二山東省煙臺(tái)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱平面，，，，，點(diǎn)是AB的中點(diǎn)．(1)求直線到平面的距離．(2)在線段AB上找一點(diǎn)，使得與CP所成角為60°，求的值．例36．（2023·全國·高二專題練習(xí)）圖①是直角梯形，，，四邊形是邊長為的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說明理由.例37．（2023·山東東營·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知六面體的面為梯形，，，，，棱平面，，，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.例38．（2023·江西南昌·高二南昌市八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在梯形中，，，，P為AB的中點(diǎn)，線段AC與DP交于O點(diǎn)（如圖1）.將沿AC折起到位置，使得平面平面（如圖2）.(1)求證：平面；(2)求二面角的大小；(3)線段上是否存在點(diǎn)Q，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；例39．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知、分別是正方體的棱、的中點(diǎn)，求：(1)與所成角的大小；(2)二面角的余弦值；(3)點(diǎn)在棱上，若與平面所成角的正弦值為，請(qǐng)判斷點(diǎn)的位置，并說明理由.例40．（2023·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）如圖1，在邊長為的正方形中，點(diǎn)分別是邊和的中點(diǎn)，將沿翻折到，連結(jié)，如圖2.(1)證明：；(2)當(dāng)平面平面時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.例41．（2023·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊101中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，，，，E為棱的中點(diǎn)，異面直線與所成的角為.(1)在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使得直線平面，如果存在，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置，如果不存在，請(qǐng)說明理由；(2)若二面角的大小為，求P到直線的距離.例42．（2023·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是一個(gè)邊長為的菱形，且，側(cè)面是正三角形.(1)求證：；(2)若平面平面，求平面與平面所成角的正弦值.例43．（2023·重慶長壽·高二重慶市長壽中學(xué)校?？计谥校┤鐖D甲，在矩形中，，E為線段的中點(diǎn)，沿直線折起，使得，O點(diǎn)為AE的中點(diǎn)，連接DO、OC，如圖乙．(1)求證：；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)的位置．經(jīng)典題型五：共線與共面問題例44．（2023·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．(1)求與共線的單位向量．(2)若，且四點(diǎn)共面，求，并求此時(shí)點(diǎn)P到直線的距離．例45．（2023·重慶九龍坡·高二渝西中學(xué)?？计谀┮阎叫蔚倪呴L為4，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，以EF為棱將正方形ABCD折成如圖所示的60°的二面角，點(diǎn)M在線段AB上．(1)若M為AB的中點(diǎn)，且直線MF與由A，D，E三點(diǎn)所確定平面的交點(diǎn)為O，試確定點(diǎn)O的位置，并證明直線平面EMC；(2)是否存在點(diǎn)M，使得直線DE與平面EMC所成的角為；若存在，求此時(shí)二面角的余弦值，若不存在，說明理由．例46．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，，.試運(yùn)用向量方法證明：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.例47．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在長方體中，M為的中點(diǎn)，N在AC上，且，E為BM的中點(diǎn).求證：，E，N三點(diǎn)共線.例48．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，連接．(1)證明：平面；(2)證明：E，F(xiàn)，N，M四點(diǎn)共面．例49．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知四面體ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．(1)若M是BD的中點(diǎn)，求直線CM與平面ACD所成的角的正弦值；(2)若P，A，C，D四點(diǎn)共面，且BP⊥平面ACD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．例50．（2023·遼寧沈陽·高二東北育才雙語學(xué)校?？计谀┰陂L方體中，，，是的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)向量是否與向量、共面?例51．（2023·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，AB⊥AD，，E是的中點(diǎn)，．(1)證明：．(2)證明：，C，D，E四點(diǎn)共面．例52．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在棱長為1的正方體，中，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，其中，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．(1)求證：；(2)若、E、F、四點(diǎn)共面，求證：．模塊三：數(shù)學(xué)思想方法① 分類討論思想例53．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，底面為等邊三角形，，且平面平面．（1）求三棱錐的體積；（2）求二面角的余弦值；（3）判斷在線段上是否存在點(diǎn)Q，使得為直角三角形？若存在，找出所有符合要求的點(diǎn)Q，并求的值；若不存在，說明理由．例54．（2023·廣東廣州·高二廣州市協(xié)和中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，空間直角坐標(biāo)系中，四棱錐的底面是邊長為的正方形，底面OABC在xOy平面內(nèi)，且拋物線Q：經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)．點(diǎn)B在y軸正半軸上，平面OABC，側(cè)棱OP與底面所成角為．(1)求m的值；(2)若是拋物線Q上的動(dòng)點(diǎn)，M是棱OP上的一個(gè)定點(diǎn)，它到平面OABC的距離為，寫出M、N兩點(diǎn)之間的距離，并求的最小值；(3)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得當(dāng)取得最小值時(shí)，異面直線MN與OB互相垂直？請(qǐng)說明理由．②轉(zhuǎn)化與化歸思想例55．（2023·高二單元測(cè)試）已知點(diǎn)A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．(1)求以AB，AC為邊的平行四邊形的面積；(2)若向量分別與，垂直，且，求的坐標(biāo)．例56．（2023·湖北武漢·高二湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正四棱錐中，點(diǎn)分別是棱上的點(diǎn)，且，其中．(1)若，且平面，求的值；(2)若，且點(diǎn)平面，求的值．