2023湘教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步練習(xí)-全書綜合測評

全書綜合測評

（滿分150分，考試用時120分鐘）

一、單項選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的）

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)目對應(yīng)的點位于（）

（1-1）2

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.水平放置的△45C用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的△/'4?！?其中

O'A'=O'B'=2,O'C'=W,則△/阿繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面

積為

A.8V3nB.16V3n

C.(8V3+3)JiD.(16V3+12)n

3.設(shè)〃為%所在平面內(nèi)一點，品=3麗,則()

A.AD=--AB+-ACB.AD=-AB--AC

3333

>4>1>>4>1.

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB--AC

3333

4.下列說法正確的是()

A.若A,夕為兩個事件,則“4與B互斥”是“4與6相互對立”的必要不充分條

件

B.若A,〃為兩個事件,則P（A+n）=P（A）+P（助

C.若事件A,B,。兩兩互斥,則2⑷+〃（⑸+2（。=1

D.若事件A,8滿足夕（0+〃（而=1,則A與8相互對立

5.已知向量華（8弓％）,"（x,1）,其中x>0,若（才26）//（2a+6）,則x的值為（）

A.4B.8C.0D.2

6.騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動,深受大眾喜愛.如圖

是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓月（前輪），圓〃（后輪）的直徑均為

1,叢ABE,XBEC,△￡徵均是邊長為1的等邊三角形.設(shè)點刀為后輪上的一點,則在

騎該自行車的過程中，麗?麗的最大值為)

A.3B.3+yC.3+V3D.3V3

7.已知圓柱的底面圓的半徑和母線長均為2,44分別為圓見圓。上的點,

若異面直線。/與6M所成的角為60°,則AB=)

A

A.2V2B.4V2

C.2&或4D.4或4加

8.已知在銳角三角形ABC^,角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,若心a（a+c）,則

的取值范圍是

A.（。爺B.（。與

C.D.（評）

二、多項選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分）

9.已知復(fù)數(shù)z=l+2i,下列說法正確的是)

A.復(fù)數(shù)z的虛部是2iB.|z|=5

C.zi=-2+iD.復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為1-2i

10.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,有如下隨機事件:走“至少一枚骰子點數(shù)為

1”，廬“兩枚骰子點數(shù)一奇一偶"，C="兩枚骰子點數(shù)之和為8"，分“兩枚骰子

點數(shù)之和為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AQBB.8,〃為對立事件

C.A,。為互斥事件D.A,〃相互獨立

11.在a'中，角A,4C所對的邊分別為a,b,c.若爐ccosN如C角A的平分線

交比1于點〃，/氏1,cosN的作:，以下結(jié)論正確的是（）

8

A.3B./廬8

4

C.空」D.XABD的面積為叱

BD84

12.已知正方體ABCAABCD的棱長為2,點￡Q分別是棱AB,A出的中點，點〃在

四邊形4式》內(nèi)（包含邊界）運動,則下列說法正確的是（）

A.若尸是線段力的中點，則平面/笈2L平面DEF

B.若尸在線段4C上,則異面直線〃/與4G所成角的取值范圍是［；,：

C.若如〃平面則點夕的軌跡長度為魚

D.若勿〃平面BCD、,則線段/長度的取值范圍是［遍,2V2］

三、填空題（本題共4小題,每小題5分，共20分）

13.sin50。（1+V3tan10°）=.

14.已知圓錐的高是底面圓的半徑的8倍，側(cè)面積為?夕為圓錐頂點，若正方形

49切內(nèi)接于底面圓0,則四棱錐？4盟?的側(cè)面積為

15.已知中，分別是線段BC,〃的中點,4?與座交于點0,且

N加信90°,若除2,則△/比1的周長的最大值為.

16.在一次數(shù)學(xué)考試中，第22題和第23題為選做題,規(guī)定每位考生必須且只需在

其中選做一題.設(shè)四名考生選做這兩題的可能性均為a則甲、乙兩名考生選做同

一道題的概率為;甲、乙兩名考生都選做第22題的概率為.

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟）

17.（10分）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7:30之前到校的概率均為|.假定甲、

乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.

⑴設(shè)甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中，7:30之前到校的天數(shù)為X求后0,弟1,后2,右3

時的概率/（右0）,尸（上4）,尸（后2）,尸（后3）;

（2）設(shè)"為事件”上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在

7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件〃發(fā)生的概率.

18.（12分）如圖，在△如〃中，已知月為線段四上一點,而=赤+卜赤.

⑴若前41,求實數(shù)x,y的值；

⑵若前=3而，OA=4,|施=2,且就與質(zhì)的夾角為60°,求赤?荏的值.

B

r

0A

19.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=cosx?cos(久—l+V5sin、-乎.

⑴求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)北玲,同時,求函數(shù)4)的最大值和最小值.

20.(12分)在①2acosGc=2b,②cos史上-cosBcos上三,③(sinB+

24

sin6)~=sin2^+3sin〃sin。這三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以

解答.

在中，角A,B,。所對的邊分別為a,6,c,且.

(1)求角力的大??；

(2)若a=2,求a1面積的最大值.

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

21.（12分）如圖是一個四棱柱被一個平面所截的幾何體,底面/比7?是正方形,M

是切的中點，后如CR2,B六1,EMVBD.

⑴證明：平面⑸/61平面ABCD-,

⑵求直線房與平面加所成角的正弦值.

22.（12分）如圖甲，在矩形ABCD^,E是5的中點,AB=2,B（=<2,以AE,硬為折痕

將△4〃￡與△方2折起，使〃。重合（仍記為〃），如圖乙（以夕〃所在平面為底

面）.

（1）探索折疊形成的幾何體中直線班'的幾何性質(zhì)并證明（寫出一條即可,不含

DEVDA.DEVD^）;

（2）求翻折后幾何體氏/如外接球的體積.

答案全解全析

1n??1+i1+i(l+i)i-1+i1,1.

1.B.--T=—=-_-....=—+-1,

(1-i)2-2i-2ii222

.??復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(-[J)，在第二象限，故選B-

2.B如圖，根據(jù)“斜二測畫法”可得A3B12,彼2口所以AB=A(=B(=4,

將△/比繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體，每個

圓錐的底面圓的半徑r=2V3,母線長7=4,所以它的表面積

貸2冗27=2弘義2次義4=16811.故選B.

3.AAD=AB+'BD=AB+'BC+CD=AB+-BC=AB+-（AC^AB）=--AB+-AC.故選A.

3333

4.A對于A,若事件A與夕互斥,則A與夕不一定相互對立，但4與方相互對立，

則月與臺一定互斥，故”4與方互斥”是“4與夕相互對立”的必要不充分條件，

故A正確；

對于B,若A,夕為兩個事件,則〃（力+8）=&4）+尸（戌-84門8）,故B錯誤；

對于C,若事件A,&C兩兩互斥,則〃（⑷+夕（4）+夕（。=1不一定成立,如:拋擲一枚

均勻的骰子一次，記/=”向上的點數(shù)為1”，分“向上的點數(shù)為2”，公”向上的

點數(shù)為3”，事件A,4。兩兩互斥，但P（A）+P⑶+P（。=；+；+；="故C錯誤；

6662

對于D,拋擲一枚均勻的骰子,所得的點數(shù)為偶數(shù)的概率是去拋擲一枚硬幣，正面

向上的概率是條滿足產(chǎn)（4+2（夕）=1,但是A與8不對立,故D錯誤.故選A.

5.A因為&=（8彳%）,爐（x,1）,

所以3-2左（8—2x,^x—2）,2a+Z?=（16+x,x+1）.

因為（a-2b）//（2a+8）,所以（8-2X）（x+1）=（16+^）gx-2）,

即-%2+40=0,解得x=±4,因為x〉0,所以A=4,故選A.

6.B以〃為坐標(biāo)原點,4。所在直線為x軸,過〃作的垂線為y軸，建立如圖所

示的平面直角坐標(biāo)系，

則〃(0,0),A(-2,0),用―1,/)'4-'!’/)'

設(shè)/^Qcosajsina),

則/P=gcosa+2jsina),BD=(^,

所以Q?麗=取0cosa+2)-更"sina3osa--sina+3=—Xcos(a4-

2\2722442\

故當(dāng)cos（a+f=l時,AP?麗取得最大值,且最大值為3+y.

7.C如圖，過夕作母線BD,連接AD,0A

貝ijaa//BD,0仿BD,

...四邊形。口以為平行四邊形，

...OyB//0,D,

.?.NW"〃（或其補角）為異面直線。夕與44所成的角，

即N4"氏60°或N/%9=120°,

當(dāng)/月口氏60°時，/分2,

此時/比2位；

當(dāng)N4"ZM20。時，由余弦定理得/仄J4+4-2X2X2X0=273,

止匕時力廬4.

故4斤2魚或AB^4.故選C.

8.C由62=a(a+c)及余弦定理，

得c'-ac=2accosB,

Vc^O,c-ap2acosB,

由正弦定理，得sinPsin力=2sin4cosB.

'：A+B+(=TI,

sin(班/)-sin爾2sinAcosB,

...sin(6⑷=sinA,

???△4%是銳角三角形，

：.B-A=A,：.B=2A,

又0<^<-,-<A+B<Jt,

64

則由正弦定理，得h71Vl4粵2=sinae").

bcosA-acosBsin(B-A)\22/

9.CD復(fù)數(shù)z的虛部是2,|z|=V5,zi=(l+2i)i=i+2i2=-2+i,復(fù)數(shù)z的共聊復(fù)數(shù)

5=l-2i.故選CD.

10.BC根據(jù)題意，事件力包含的樣本點有

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(6,1),(5,1),(4,1),(3,1),(2,1),共

11個；

事件8包含的樣本點有

(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,

5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5),共18個；

事件。包含的樣本點有(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),共5個；

事件〃包含的樣本點有

(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,

6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18個.

對于A,由于事件)中的樣本點(1,1),(1,3),(1,5),(5,1),(3,1)均不在事件〃中,

所以加氏故A錯誤；

對于B,事件夕與事件〃互斥,且并集為樣本空間故B,〃為對立事件,故B正

確；

對于C,顯然事件A與事件C是不可能同時發(fā)生,為不可能事件，故4。為互斥事

件，故C正確；

對于D,由題知產(chǎn)(冷=芻尸事件4G〃包含的樣本點有

36362

(1,1),(1,3),(1,5),(5,1),(3,1),共5個,則尸(如〃)=［顯然

36

P{AnD)W尸(4)P⑦,故D錯誤.故選BC.

11.ACD如圖，在相中，由己知及余弦定理得,cos/6小2孝二R所以

2bcc

4+養(yǎng)房所以w.

由已知及倍角公式得cosN胡仁2cos解得cosN。分三(負值舍去).

84

在RtA/167?中，AOADcosZCAI^-,故A正確；

4

在回中，cosZBAC=—=~,又AO-,所以A&6,故B錯誤；

AB84

-1-1

S^ADB-BDAC-ABAD-Sinz.BAD

所以CDACW，故C正確;

BDAB

在初中，由cosN為場cosN。女,得sinZBAD=—,

44

所以必祈工49?AB?sin/BAgX1X6X—=—,故D正確.故選ACD.

2244

CI)

12.ACD對于A,如圖①,因為正"分別是線段BC,4?的中點,

所以△力的N△的笈則/乃I比//龐；

又/PAB+/D4p=9。°,所以的490°,所以APA.DE,

又因為廳工平面ABCD,4t平面ABCD,所以EFVAP,

又DECE廣E,DE,加t平面DEF,

所以4;U平面龐E因為加七平面ABP

所以平面仍2L平面協(xié);故A正確；

圖①

對于B,在正方體ABCD~A、BCD,中，4C〃/C

所以〃戶與4G所成的角即為〃/與所成的角，

連接DC則為等邊三角形，

所以〃/與4G所成角的取值范圍為槨,1|,故B錯誤；

對于C,如圖②,設(shè)平面4。建與直線充交于點G,

連接CGEG,則G為回的中點,分別取以%的中點M,N,連接仄虬MN,D、N,

因為〃必〃GG,〃/施平面平面4G5；

所以〃也〃平面4G￡同理可得以V〃平面4G七

又因為nD\N=D\,DM,〃A匕平面〃覘

所以平面〃物V//平面4GE

又必〃平面4GE所以直線如＜=平面D\MN,

故點尸的軌跡是線段MN,易得腸箕魚,故點〃的軌跡長度為近，故C正確；

圖②

對于D,如圖③,取切的中點N,m的中點R,及7的中點G,連接FN,

因為FBJ/NC,FBENC,所以四邊形胡③為平行四邊形，

所以FN〃B\C,又因為用a平面BCD\,區(qū)。U平面B、C及

所以即〃平面4az,

連接BD,NG,則?！ò劣忠驗锽D〃B\D\,所以NG〃B、D\,

又因為MW平面B@\,￡〃u平面B\CD\,

所以〃平面4勿，

連接FR,GR,由GR//B.C,且B\C〃FN,得RG〃FN,

故月&G,〃四點共面,所以平面硼前〃平面B@\,

因為依〃平面BCD、,所以次平面FNGR,

所以點尸的軌跡為線段M7,

由正方體ABCD~A\BC"的棱長為2,得小2企,檢企,連接FB,FG,

在RtZXW中，F(xiàn)G=FR+B於(V5)2+l=6,所以FGZ&

所以所=腑+%,所以/用290°,

故線段/長度的最小值為吩傷,最大值為不忙2加,

所以線段件長度的取值范圍是［遍,2位］,故D正確.故選ACD.

13.答案1

解析sin50°(1+V3tan100)=sin50°(1+遮x^^)二

\cosl0°7

.廣八0、/coslO°+V3sinlO°.

sin50X-----------=sin

COS100

50oX2&°sl0°+Vsinl0°)2sin500sin(100+30o)2sin500cos500sin00()ocosl.0°]

coslO°coslO°coslO°coslO°coslO°

14.答案V7

解析設(shè)圓錐底面圓的半徑為乙則高為Hr,母線長為2r.

?.?圓錐的側(cè)面積為幾，

Ji?r,2廠n,即/=1.

設(shè)正方形的邊長為a,則2a2=4/,所以年夜r,

易知四棱錐為正四棱錐,其斜高為J（恁/+（小?=”，

???正四棱錐的側(cè)面積為4x1xV2rX^=2V7/=V7.

15.答案2+2V1U

解析因為在△/a1中,D,后分別是線段BC,〃1的中點,力〃與做交于點0,所以0

為的重心，因為/加俏90°,所以0*BOL所以力氏3。氏3.

因為而三（荏+尼），所以2AD=AB+AC,

所以4AD2=（AB+AC）2=AB2+AC2+2AB?AC,

故4A^=A^+A（^+2AB?AC*cosZBAOA^+Ae+2AB?AC?

2ABAC

BG=2A#+2AC-4,

所以40=2萌+2—=商+〃+（4疥我）2所+/+244?AO{AB+AC）2,當(dāng)且僅當(dāng)

/斤/eVIO時,等號成立.

所以力班4々2同，

因此△/回的周長的最大值為2/1U+2.

16.答案24

解析設(shè)事件A表示“甲選做第22題”，事件〃表示“乙選做第22題”，則甲、

乙兩名考生選做同一道題的事件為（（ABUA月"，\?事件48相互獨立，

甲、乙兩名考生選做同一道題的概率為去

?）夕⑶=;><M，

224

.??甲、乙兩名考生都選做第22題的概率為:

4

17.解析⑴由獨立事件的概率計算公式可得P（后0）=（1-|?嶗

〃（a1）=3X|X（1一|），|,

產(chǎn)（弟2）=3X針X（1一|后，

尸件3）=（|）3嶗（4分）

⑵設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中，7:30之前到校的天數(shù)為K

則尸（助=尸（右2,片0）+尸（弟3,右1）=尸（加2）尸（片0）+尸（加3）尸（右1）=士義工+義義“史.

927279243

（10分）

18.解析⑴?.訴=刀,：.BO+OP=PO+OA,

即2OP=OB+OA,（2分）

J.OP^OA^OB,

22

即下|,啟.（4分）

（2）'：~BP=3PA,

：.'BO+OP=3PO+3OA,即4OP=OB+3OA,（6分）

：.~OP=-OA+-OB,（8分）

44

：.OP?AB=（^OA+^OB^?（OB-OA）

=-OB2--OA2+-OA-OB

442

=-X22--X42+-X4X2X-=-9,（12分）

4422

19.解析（1）f（x）=cosx?cos（%—g+V^sir?『券

=cos〈季cos%+：sin%）+V^（l-cos,x）一乎

-1si.nxcosx~—V3cos2x,+V—S

224

__1.A/3

=-sinLox~—cos2Ox

44

=|sin（2%-=）,（2分）

所以f（x）的最小正周期是（4分）

由』+2AnW2x-XE+24n,屆Z,

232

解得—工+〃五WxW也+A■兀k^-Z,

1212

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[―看+加冷+kn\,AGZ.（6分）

（2）由（1）知，/'（x）gsin（2%—

當(dāng)x嚕用時，2*卜*,（8分）

所以sin（^2x-^e[-1,l],（10分）

所以f（x）引一；,"

L42J

綜上,當(dāng)x目三同時，函數(shù)F（X）的最大值為今最小值為q（12分）

.1ZZZ4

20.解析（1）選①：由正弦定理，得2sinAcos仆sin^=2sinB,

得2sinAcos￡>sin伐2sin（4+0=2（sinAcosC^cosAsinC）,（2分）

所以sin俏2cos/sinC所以sin（7（2cos4T）=0,（4分）

因為CG（0,n）,所以sin6>0,所以cosA=^,

又（0,n）,所以A=^.（6分）

1+cBc

選②：因為cos坦丁-cosBcos^=°^-）-C0S及osC

_l-cosBcosC+sinBsinC_l-cos（F+C）_3

（2分）

224’

所以COS（4+。=彳，

所以COS長-cos（班。=|,（4分）

又因為北（0,n）,所以弓.（6分）

選③：因為（sin京sin6）2-sin;^+3sin以inC,

所以sin%'sin?介2sin咫in伐sinZ+3sin厭inC,

即sin2^-sin2（7-sin2^=sin為sinC,（2分）

所以由正弦定理,得券be,則cos在標(biāo);c「2q,（4分）

因為北（0,冗），所以耳.（6分）

（2）由（1）得A=^,由余弦定理,得a=tj+c'-2bccosA=lj+c-bc^2,bc-bc=bc,當(dāng)且僅

當(dāng)左。時取等號，（8分）

又a=2,所以6cW4,

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取等號，

故S&Q沙siny4^|x4Xy=V3,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取等號，

所以△/a1面積的最大值為VI.（12分）

21.解析⑴證明：證法一:如圖①，連接4C因為四〃CG"斤CG,

所以四邊形45ZK是平行四邊形，

所以力勿用（2分）

因為四邊形/仇》是正方形，

所以Ha/C所以初

因為EMVBD,￡GAEM-E,EG,El仁平面EMG,

所以劭，平面EMG,又劭c平面ABCD,

所以平面屣_L平面力及力.（6分）

R

圖①

證法二:如圖②,取/〃的中點0,連接EO,OM,AC,

則OM//AC//EG,所以￡G,M,。四點共面，（2分）

因為四邊形四必是正方形,所以BDA.AC,所以BDA.0M,

又EMVBD,QMGEM^M,0M,威t平面EMG,所以初_1平面EMG,

又劭c平面ABCD,所以平面￡%LL平面ABCD.（6分）

圖②

⑵如圖③，取AE的中點“連接BN,ND,

國為BF〃NE,B產(chǎn)NE,

所以四邊形跖刻是平行四邊形，

所以EF//BN,

又因為劭_L平面向e，

所以N的切就是爐與平面⑸浴所成角的余角，（8分）

取4〃的中點0,連接EO,0M,則OM//AC//EG,

所以￡GM。四點共面，

又初，平面EMG,屬七平面EMG,

所以BDLEO,

又EOLAD,BDC4大〃初,/△=平面ABCD,

所以￡<9_L平面ABCD,

所以EOVAB,又ABLAD,EOCAD=O,E0,4代平面EAD,

所以四，平面EAD,

所以ABLAE,（10分）

易知?W?=V3,初=2&，

所以楊+“=7^,

所以N￡W=90°,

所以cosN/VS店邛，

所以鰭與平面包外所成角的正弦值為尊.（12分）

4

圖③

22.解析⑴性質(zhì)1:〃反1平面力被證明如下:（1分）

翻折前,DELDA,CELBC,翻折后垂直關(guān)系不變，則DELDA,DELDB,又

DAnDB^D,DA,如u平面ABD,所以DEL平面AB