專題27 矩形的性質(zhì)與判定【十四大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題27矩形的性質(zhì)與判定【十四大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度、線段長、面積、坐標(biāo)】 1【題型2矩形的判定定理的理解】 2【題型3根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度】 3【題型4根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積】 5【題型5根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長】 6【題型6根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求最值】 7【題型7與矩形有關(guān)的新定義問題】 8【題型8根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題】 9【題型9與矩形有關(guān)的規(guī)律探究問題】 11【題型10矩形有關(guān)的動點問題】 12【題型11與矩形有關(guān)的折疊問題】 13【題型12矩形與一次函數(shù)綜合】 15【題型13矩形與反比例函數(shù)綜合】 16【題型14矩形與二次函數(shù)綜合】 18【知識點矩形的性質(zhì)與判定】(1)定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。(2)矩形的性質(zhì)矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等。推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。(3)矩形的判定有一個角是直角的平行四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形?！绢}型1利用矩形的性質(zhì)求角度、線段【題型1利用矩形的性質(zhì)求角度、線段長、面積、坐標(biāo)】【例1】（2023·廣東江門·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，已知∠BAC=35°，則∠BOC的度數(shù)是（

）A．65° B．70° C．75° D．80°【變式1-1】（2023·甘肅武威·統(tǒng)考三模）如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線交AD，BC于點E，F(xiàn)，若AB=3，BC=4，則圖中陰影部分的面積為．【變式1-2】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABCD中，點E，點F分別在邊AB,BC上，線段AF與線段DE相交于點G，若AB=4,BC=6,AE=BF=3，則FG的長度為．【變式1-3】（2023·天津河?xùn)|·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點A在第一象限，B，D分別在y軸上，O是BD的中點.若AB=OB=23，則點C的坐標(biāo)是（

A．（3，3） B．-3,-3 C．(3，3【題型2矩形的判定定理的理解】【例2】（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）在四邊形ABCD中，AD∥BC,AB=CD．下列說法能使四邊形ABCD為矩形的是（

）A．AB∥CD B．AD=BC C．∠A=∠B D．∠A=∠D【變式2-1】（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）如圖，△ABC和△ACF都是等邊三角形，AE、FD分別是BC、AC邊上的中線，連接ED并延長交AF于G，連接CG．(1)求證：△ADG≌△CDE；(2)求證：四邊形AECG是矩形．【變式2-2】（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，AD上，BE=DF，AC=EF．

(1)求證：四邊形AECF是矩形；(2)AE=BE，AB=2，tan∠ACB=12【變式2-3】（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖所示，△ABC中，D是BC中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF=BD，連接BF．請從以下三個條件：①AB=AC；②FB=AD；③E是AD的中點，選擇一個合適作為已知條件，使四邊形AFBD為矩形．

(1)你添加的條件是；（填序號）(2)添加條件后，請證明四邊形AFBD為矩形．【題型3根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度】【例3】（2023·河北承德·統(tǒng)考二模）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且OA=OD,∠OAD=55°，則∠OAB的度數(shù)為（

）A．35° B．40° C．45° D．50°【變式3-1】（2023·吉林·吉林省第二實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）概念提出若四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，則這條對角線叫做這個四邊形的“巧分線”，這個四邊形叫“巧妙四邊形”，若一個四邊形有兩條巧分線，則稱為“絕妙四邊形”．(1)下列四邊形一定是巧妙四邊形的是；（填序號）①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．(2)初步應(yīng)用在絕妙四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度數(shù)．(3)深入研究在巧妙四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四邊形ABCD的巧分線，請直接寫出∠BCD的度數(shù)．【變式3-2】（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，點D、E分別在邊BC、AB上，BD=2，DE∥AC，將△BDE繞點B旋轉(zhuǎn)，點D、E旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點分別是D'、E'，當(dāng)A、D'【變式3-3】（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AC是⊙O的直徑，點B，D在⊙O上，AD=BC．

(1)在CD上求作一點E，使得∠AED=∠CDE；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，連接DE，CE，AE，若∠ECA=2∠CAB，求∠CAB的大?。绢}型4根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面積】【例4】（2023·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=3，CD=2．連接AC，過點B作BE//AC，交DC的延長線于點E，連接AE，交BC于點F．若∠AFC=2∠D，則四邊形ABEC的面積為（A．5 B．25 C．6 D．【變式4-1】（2023·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC的中點，AC＝8，BC＝6，則四邊形CEDF的面積是（）A．6 B．12 C．24 D．48【變式4-2】（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點O是正六邊形ABCDEF對角線DF上的一點，且S△AOC=8，則正六邊形ABCDEF的面積為（

A．18 B．24 C．30 D．隨著點O的變化而變化【變式4-3】（2023·黑龍江哈爾濱·校考二模）已知矩形ABCD，點E在AD邊上，DE<AE，連接BE，點G在BC邊上，連接EG，BE平分∠AEG，若BG=5GC，DE=2CG，BE=210，則△ABE的面積是【題型5根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長】【例5】（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？既＃┤鐖D，菱形ABCD的對角線相交于點O，過點D作DE∥AC，且DE=12AC，連接CE、OE，連接AE，交OD于點F．若AB=2

A．3 B．5 C．7 D．2【變式5-1】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°,P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，動點P從點B出發(fā)，沿著BC勻速向終點C運動，則線段EF的值大小變化情況是（

A．一直增大 B．一直減小 C．先減小后增大 D．先增大后減少【變式5-2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D、E分別在AC、BC上，CE=AD，連接DE，CG⊥DE于點F，交AB于點G，F(xiàn)E=1，F(xiàn)G=3，則AC=【變式5-3】（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點E為AC上靠近點A的三等分點，點F是矩形內(nèi)一動點，且S△FCD=16S矩形ABCD

【題型6根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求最值】【例6】（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，?ABCD的面積為12，AC=BD=6，AC與BD交于點O．分別過點C，D作BD，AC的平行線相交于點F，點G是CD的中點，點P是四邊形OCFD邊上的動點，則PG的最小值是（

）

A．1 B．32 C．32 D【變式6-1】（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC=6．P為邊AB上一動點，作PD⊥BC于點D，PE⊥AC于點E，則DE的最小值為．

【變式6-2】（2023·陜西西安·高新一中校考模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=5，BC=4，CD=3，點P為直線BC左側(cè)平面上一點，△BCP的面積為2，則PA-PC的最大值為【變式6-3】（2023·廣東汕尾·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E是AD上一點，連接BE，作點A關(guān)于直線BE的軸對稱點

(1)如圖1，當(dāng)∠EBF=30°時，求AE的長；(2)當(dāng)△BCF的面積等于3時，求AE的長；(3)如圖2，射線CF交線段AD于G，求AG的最大值．【題型7與矩形有關(guān)的新定義問題】【例7】（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，P是對角線AC上一點，且AP：PC＝2：3，過點P作直線分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn)，使四邊形ABFP是等腰直角四邊形，則AE的長是．【變式7-1】（2023·廣西南寧·廣西大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考一模）我們給出如下定義：在平面內(nèi)，點到圖形的距離是指這個點到圖形上所有點的距離的最小值．在平面內(nèi)有一個矩形ABCD,AB=4,AD=2，中心為O，在矩形外有一點P，OP=3，當(dāng)矩形繞著點O旋轉(zhuǎn)時，則點P到矩形的距離d的取值范圍為．【變式7-2】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預(yù)測）如圖①，在矩形ABCD中，點F是矩形邊上一動點，將線段BF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得BF與矩形的邊交于點E（含端點），連接BE，把△BEF定義為“轉(zhuǎn)角三角形”．

(1)由“轉(zhuǎn)角三角形”的定義可知，矩形ABCD的任意一個“轉(zhuǎn)角△BEF”一定是一個___三角形；(2)如圖②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，當(dāng)點F與點C重合時，畫出這個“轉(zhuǎn)角△BEF″，并求出點(3)如圖③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，當(dāng)“轉(zhuǎn)角△BEF″面積最大時，求點【變式7-3】（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）定義：如圖1，點C把線段AB分成兩部分，如果ACCB=2，那么點C為線段AB的“

(1)應(yīng)用：如圖2，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E為CD上一點，將矩形ABCD沿BE折疊，使得點C落在AD邊上的點F處，延長BF交CD的延長線于點G，說明點E為線段GC的“白銀分割點”(2)已知線段AB（如圖3），作線段AB的一個“白銀分割點”，（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【題型8根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題】【例8】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點A在第一象限，B，D分別在y軸上，AB交x軸于點E，AF⊥x軸，垂足為F．若OE=3，EF=1．以下結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①OA=3AF；②AE平分∠OAF；③點C的坐標(biāo)為(-4,-2)；④BD=63；⑤矩形ABCDA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式8-1】（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖1，將一張菱形紙片ABCD∠ADC>90°沿對角線BD剪開，得到△ABD和△BCD，再將△BCD以D為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α，使α=2∠ADB，得到如圖2所示的△DB'C，連接AC，BB'，∠DAB=45°，有下列結(jié)論：①AC=BB'；②AC⊥AB；【變式8-2】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=32,AD=6，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點，點E不與A，B重合，且EF=AB，G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE=GF且∠EGF=90°的點，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①∠AEG與∠GFB一定相等；②點G到邊AB，BC的距離一定相等；③點G到邊AD，DC的距離可能相等；④點G到邊DC的距離的最小值為3，其中正確的是

【變式8-3】（2023·廣東東莞·塘廈初中?？级＃┤鐖D，已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點A（10，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點，將△OBP沿OP折疊得到△OPD，連接CD、AD．則下列結(jié)論中：①當(dāng)∠BOP＝45°時，四邊形OBPD為正方形；②當(dāng)∠BOP＝30°時，△OAD的面積為15；③當(dāng)P在運動過程中，CD的最小值為234﹣6；④當(dāng)OD⊥AD時，BP＝2．其中結(jié)論正確的有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型9與矩形有關(guān)的規(guī)律探究問題】【例9】（2023·湖南永州·三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,CB=4，連接AC，以對角線AC為邊，按逆時針方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1相似于矩形；再連接AC1，以對角線AC1為邊，按逆時針方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B

【變式9-1】（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，延長DA到點E，使AE=DA，連接EB，點F1是CD的中點，連接EF1，BF1，得到ΔEF1B；點F2是CF1的中點，連接EF2，BF2，得到ΔEF2B；點F3是C

【變式9-2】（2023·廣西南寧·三模）如圖，四邊形ABCD是矩形，點F是AB邊的三等分點，BF=2AF，點E1是CB邊的中點，連接E1F，E1D，得到△E1FD；點E2是CE1的中點，連接E2F，E2D得到△【變式9-3】（2023·黑龍江雞西·?？既＃┤鐖D，△ABC中，∠B=90°，BC=3，BC邊上的高AB=1，點P1、Q1、H1分別在邊AB、AC、BC上，且四邊形P1Q1H1B為矩形，P1Q1:P1B=2:3，點P2、Q2、

【題型10矩形有關(guān)的動點問題】【例10】（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在矩形ABCD中，AB=6，AD=15，點E在邊BC上．且∠AED=90°，P是射線ED上的一個動點．若△AEP是等腰直角三角形，則CP的長為．【變式10-1】（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考二模）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AB=8,AD=6,F是BC邊上一動點，O是AC的中點，OE⊥OF交AB于E，連接EF、OB．若OB將△OEF的面積分成1:2的兩部分，則BF的長為【變式10-2】（2023·河南南陽·校聯(lián)考一模）【初步探究】（1）把矩形紙片ABCD如圖①折疊，當(dāng)點B的對應(yīng)點B'在MN的中點時，填空：△EB'M△B'AN（“【類比探究】（2）如圖②，當(dāng)點B的對應(yīng)點B'為MN上的任意一點時，請判斷（1【問題解決】（3）在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，點E為BC中點，點P為線段AB上一個動點，連接EP，將△BPE沿PE折疊得到△B'PE，連接DE,DB'，當(dāng)△E【變式10-3】（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在矩形ABCD中，E是邊CD上一點．

(1)如圖1，點D，F(xiàn)關(guān)于直線AE對稱．平移線段DE，使點E與點F重合，設(shè)點D的對應(yīng)點為G．畫出示意圖，判斷四邊形DEFG的形狀并證明；(2)如圖2，若DE=k?DC(k為常數(shù))，H是矩形內(nèi)的動點，且滿足EH=ED，若點H在運動的過程中，存在線段BH長度最小時，點D，H恰好關(guān)于直線AE對稱的情形，請?zhí)骄烤匦蜛BCD的邊AD與CD滿足的數(shù)量關(guān)系．（用含k的式子表示）【題型11與矩形有關(guān)的折疊問題】【例11】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）矩形ABCD中，AB=3,AD=9，將矩形ABCD沿過點A的直線折疊，使點B落在點E處，若△ADE是直角三角形，則點E到直線BC的距離是．【變式11-1】（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，有一張矩形紙片ABCD．先對折矩形ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM﹐同時得到線段BN，MN．觀察所得的線段，若AE=1，則MN=（

）

A．32 B．1 C．233【變式11-2】（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB=4，AD=8，點E為AD邊上一點0<AE<3，連接EO并延長，交BC于點F，四邊形ABFE與A'B'FE關(guān)于EF所在直線成軸對稱，線段B'

(1)求證：GE=GF；(2)當(dāng)AE=2DG時，求AE的長；(3)令A(yù)E=a，DG=b．①求證：4-a4-b②如圖2，連接OB'，OD，分別交AD，B'F于點H，K.記四邊形OKGH的面積為S1，△DGK的面積為S2【變式11-3】（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數(shù)學(xué)趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學(xué)探究，探索數(shù)學(xué)奧秘．【動手操作】如圖1，將矩形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點B落在EF上，并使折痕經(jīng)過點A，得到折痕AM，點B，E的對應(yīng)點分別為B'，E'，展平紙片，連接AB'，

請完成：(1)觀察圖1中∠1，∠2和∠3，試猜想這三個角的大小關(guān)系；(2)證明（1）中的猜想；【類比操作】如圖2，N為矩形紙片ABCD的邊AD上的一點，連接BN，在AB上取一點P，折疊紙片，使B，P兩點重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點B，P分別落在EF，BN上，得到折痕l，點B，P的對應(yīng)點分別為B'，P'，展平紙片，連接，

請完成：(3)證明BB'是【題型12矩形與一次函數(shù)綜合】【例12】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系如圖所示，OA=12，OC=24，點E、F分別是OA、OC上的動點，點E、F分別從A、O同時出發(fā)，沿OA、OC方向，分別以每秒1個單位長度和每秒2個單位長度的速度向點O、C運動，當(dāng)運動秒時，EF∥AC；當(dāng)EF⊥OB時，直線EF的解析式為．

【變式12-1】（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點A、D在坐標(biāo)軸上，其坐標(biāo)分別為2,0，0,4，對角線AC⊥x軸．(1)求直線DC對應(yīng)的函數(shù)解析式(2)若反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過DC的中點M【變式12-2】（2023·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-12x+2分別與x軸、y軸交于點A、B，點M在坐標(biāo)軸上，點N在坐標(biāo)平面內(nèi)，若以A、B、M、N為頂點的四邊形為矩形，則點N的坐標(biāo)為

【變式12-3】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，直線AD交x軸于點A-6,0，交y軸正半軸于點D，點C是點D上方y(tǒng)軸上一點，以AO、OC為鄰邊作矩形OABC，tan

(1)求直線AD的解析式；(2)延長BC交直線AD于點E，連接OE，連接CE，OG為△AEO的中線，設(shè)點E的橫坐標(biāo)為t，△GDO的面積為S，當(dāng)點G在線段AD上時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量t的取值范圍）；(3)如圖2，在（2）的條件下，作OF⊥OE交AE于點F，M是線段AB上一點，連接MG、ME，作GN⊥MG交BE于點N，作GP⊥ME垂足為P交BN于點Q，若AF+DE=23DF，NE=4QN【題型13矩形與反比例函數(shù)綜合】【例13】（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，過y=kx(x>0)的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交y=-1x的圖象于B，D兩點，以AB，AD為鄰邊的矩形ABCD被坐標(biāo)軸分割成四個小矩形，面積分別記為S1，S2，S3，

A．4 B．3 C．2 D．1【變式13-1】（2023·遼寧丹東·?？级＃┤鐖D，矩形OABC的兩邊OA，OC在坐標(biāo)軸上，且OC=2OA，M，N分別為OA，OC的中點，AN與BM交于點E，且四邊形EMON的面積為2，則經(jīng)過點B的反比例函數(shù)的解析式為．

【變式13-2】（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形OABC和正方形CDEF中，點A在y軸正半軸上，點C，F(xiàn)均在x軸正半軸上，點D在邊BC上，BC=2CD，AB=3．若點B，E在同一個反比例函數(shù)的圖象上，則這個反比例函數(shù)的表達式是．【變式13-3】（2023·湖南株洲·統(tǒng)考二模）在矩形AOBC中，OB=8,OA=4．分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸，y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系．F是BC邊上一個動點（不與B，C重合