2023年河南省長葛市高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

222

1.已知雙曲線G：0-方=1與雙曲線。2：5-/=1沒有公共點(diǎn)，則雙曲線G的離心率的取值范圍是（）

A.（1,73］B.［百,+00）C.（1，WD.［石,+00）

2.閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，程序運(yùn)行輸出的結(jié)果是（）

［開始|

A.1.1B.1C.2.9D.2.8

3.已知復(fù)數(shù)2=（1+。（3-。（》為虛數(shù)單位）,則z的虛部為（）

A.2B.2zC.4D.4;

4.設(shè)工行為非零向量，貝U“口+.=問+忖”是與分共線”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知雙曲線C：點(diǎn)-*—Ka＞。力＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,若存在點(diǎn)P滿足

4耳引=4:6:5,則該雙曲線的離心率為（）

55

A.2B.-C.-D.5

23

6,若復(fù)數(shù)2=（加+1）+（2一加"（加€/?）是純虛數(shù)，則處衛(wèi)=（）

Z

A.3B.5C.亞D.375

7.已知6，F(xiàn)，是雙曲線C:二—V=1（。＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)耳且垂直于x軸的直線與。相交于A,6兩點(diǎn)，若

a

|A3卜J5,則A48&的內(nèi)切圓半徑為（）

A.遮B."C.述D.空

3333

8.下列函數(shù)中既關(guān)于直線x=l對(duì)稱，又在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）

A.y=sinm.B.y=］x-i\

C.y=co^7rxD.丁=。'+?一”

9.對(duì)于定義在R上的函數(shù)y=/（x）,若下列說法中有且僅有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的一個(gè)是（）

A./（X）在（7,0］上是減函數(shù)B./（X）在（0,+8）上是增函數(shù)

C./（%）不是函數(shù)的最小值D.對(duì)于xeR,都有/（x+l）=/（l-x）

10.某地區(qū)教育主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了200分到450分之間的2000名學(xué)生的成績,

并根據(jù)這2000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，則成績?cè)冢?50,350］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為（）

A.800B.1000C.1200D.1600

11.已知復(fù)數(shù)2聲=1—4，其中a,bwR,i是虛數(shù)單位，則|。+"=()

A.-l+2zB.1C.5D.75

12.在邊長為2的菱形ABCD中，BD=25將菱形A8CO沿對(duì)角線AC對(duì)折，使二面角B—AC-力的余弦值為

g,則所得三棱錐A-BCD的外接球的表面積為（）

27r

A.——B.2"C.4汽D.6〃

3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知多項(xiàng)式（1+0X）5（1-2x）4的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,則展開式中含X項(xiàng)的系數(shù)為.

14.已知數(shù)列｛可｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S”為｛%｝的前〃項(xiàng)和，若%+|二一@1=1,則邑=.

15.若曲線/Cr）=ae'—lnx（其中常數(shù)。。0）在點(diǎn)（L/（D）處的切線的斜率為1,則。=.

16.已知函數(shù)/（》）=351-1082（2*+1）+0￥（46/?）為偶函數(shù)，貝!]a=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）已知橢圓C:二+二=l（a〉6>0）的上頂點(diǎn)為B,圓。'：/+>2=4與，軸的正半軸交于點(diǎn)4,與C有

a~b

且僅有兩個(gè)交點(diǎn)且都在C軸上，地=走（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

\0A\2

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點(diǎn)。[-1,|）,不過。點(diǎn)且斜率為一;的直線/與橢圓。交于M,N兩點(diǎn)，證明：直線DM與直線DN的斜

率互為相反數(shù).

222—

18.（12分）已知實(shí)數(shù)x,山2滿足丁二+/丁+7^=2,證明：1+7A?+

1+x-\+y~1+z2l+尤1+y1+z

19.（12分）已知函數(shù)/（x）=|2x-4+|x-l|（aeR）.

（I）當(dāng)a=l時(shí)，求不等式/（x）Nl的解集；

（D）若存在xeR滿足不等式/（x）<4,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

"23一

20.（12分）已知矩陣4=,的一個(gè)特征值為4,求矩陣A的逆矩陣/T.

t1

22

21.（12分）已知橢圓￡工+與的右焦點(diǎn)為鳥，過乙作》軸的垂線交橢圓E于點(diǎn)A（點(diǎn)A在x軸上

ah

方），斜率為M攵<0）的直線交橢圓E于A,5兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線AC交橢圓E于點(diǎn)C,且AB_LAC,直線AC交

丁軸于點(diǎn)D.

fb21>

(1)設(shè)橢圓E的離心率為e,當(dāng)點(diǎn)3為橢圓E的右頂點(diǎn)時(shí)，。的坐標(biāo)為0,-—-a,求e的值.

ya3J

(2)若橢圓E的方程為1+丁=1,且k―與,是否存在人使得及|AB|=|Aq成立？如果存在，求出A的值;

如果不存在，請(qǐng)說明理由.

22.(10分)在445C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2ccos8=2a—。，

(I)求NC的大?。?/p>

(U)若逐一；函=2,求八鉆C面積的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

先求得。2的漸近線方程，根據(jù)G，c?沒有公共點(diǎn)，判斷出G漸近線斜率的取值范圍，由此求得G離心率的取值范圍.

【詳解】

2222

雙曲線-爐=1的漸近線方程為y=±2x,由于雙曲線q：a一方=1與雙曲線C2：3-/=1沒有公共點(diǎn),

所以雙曲線G的漸近線的斜率所以雙曲線G的離心率e

a

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

根據(jù)程序框圖的模擬過程，寫出每執(zhí)行一次的運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.

【詳解】

初始值〃=0,5=1

,11

第一次循環(huán)：〃=1,S：=1X-=

2

12

第二次循環(huán)：〃=2,S=—X-：

23~3

131

第三次循環(huán)：力=3,S=—X—=~-.

344

14

第四次循環(huán)：〃=4,S=-X—：

45~5

151

第五次循環(huán)：〃=5,S=—X—=~-.

566

16

第六次循環(huán)：〃二6,S=—X—：=——

67

17

第七次循環(huán)：n=7S=-X—：=—

978

18j_

第九次循環(huán)：九=8,s==—X—=?

899

19

第十次循環(huán)：〃=9,S=—X-

所以輸出S=9x*=0.9.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運(yùn)行結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.

3.A

【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)二進(jìn)行乘法運(yùn)算，并計(jì)算得到z=4+2i,從而得到虛部為2.

【詳解】

因?yàn)閦=(l+i)(3—z)=4+2i,所以z的虛部為2.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及虛部的概念，計(jì)算過程要注意產(chǎn)=-1.

4.A

【解析】

根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.

【詳解】

若|￡+@=|4+W，則￡與B共線，且方向相同，充分性；

當(dāng)Z與坂共線，方向相反時(shí)，K+0聲問+田，故不必要.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.

5.B

【解析】

利用雙曲線的定義和條件中的比例關(guān)系可求.

【詳解】

55田

附|一|p片廣言"5?選民

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的定義及離心率，離心率求解時(shí)，一般是把已知條件，轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系式.

6.C

【解析】

先由已知，求出加=-1,進(jìn)一步可得§上包=l-2i,再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可

z

【詳解】

由z是純虛數(shù)，得m+1=0且2-機(jī)。0,所以加=-1,z=3i.

6+3/"卜

因此,2j.

z

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

首先由|A81=0求得雙曲線的方程，進(jìn)而求得三角形的面積，再由三角形的面積等于周長乘以內(nèi)切圓的半徑即可求

解.

【詳解】

由題意人=1將》=一。代入雙曲線C的方程，得y=±‘則2=&,。=血,。=6,由

aa

\AF2\-\AF{\=\BF2\-\BFi\=2a=2y[2,^/^ABF2的周長為

\AF2\+\BF2\+\AB\=2a+|AFj+2a+忸耳|+|AB|=4a+21ABi=6五,

設(shè)A4BF,的內(nèi)切圓的半徑為j則_lx6&r=Jx2jjxj5,r=@,

223

本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)心的概念，考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題.

8.C

【解析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性的特點(diǎn)，利用排除法，即可得出答案.

【詳解】

A中，當(dāng)x=l時(shí)，y=sin7LY=01,所以y=sin7L￥不關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則A錯(cuò)誤；

B中，y=x-1={1:所以在區(qū)間［—1,0］上為減函數(shù)，則3錯(cuò)誤；

11l-x+l,(x<1)

D中，y=〃x)="+eT,而〃0)=2J(2)=e2+e-2,則〃0)H〃2),所以y=e'+e-,不關(guān)于直線x=l對(duì)

稱，則。錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)基本性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性和單調(diào)性的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

由/(X+1)=/(I-X)得由X)關(guān)于X=1對(duì)稱,

若關(guān)于x=1對(duì)稱，則函數(shù)/(%)在(0,+8)上不可能是單調(diào)的,

故錯(cuò)誤的可能是5或者是

若O錯(cuò)誤,

則f(x)在(-8,01上是減函數(shù)，在/(X)在(0,+8)上是增函數(shù)，則/(0)為函數(shù)的最小值，與C矛盾，此時(shí)C也錯(cuò)誤,

不滿足條件.

故錯(cuò)誤的是8,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合對(duì)稱性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

10.B

【解析】

由圖可列方程算得“，然后求出成績?cè)冢?50,350］內(nèi)的頻率，最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)x頻率可以求得成績?cè)冢?50,350］內(nèi)的

學(xué)生人數(shù).

【詳解】

由頻率和為1,得(0.002+0.004+2。+0.002)x50=1,解得a=0.006,

所以成績?cè)冢?50,350］內(nèi)的頻率=(0.004+0.006)x50=0.5,

所以成績?cè)冢?50,350］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)=2000x0.5=1000.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查頻率直方圖的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

試題分析：由生竺=1一萬,得2一出=*1一次)=Z?+i,，a=-l,Z?=2,則

a+bi^-l+2i,:.\a+bi\=\-l+2i\=1(-1?+2?=后,故選D.

考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2、復(fù)數(shù)的模.

12.D

【解析】

取4C中點(diǎn)N,由題意得N8ND即為二面角B-AC-。的平面角，過點(diǎn)〃作80_LOV于0,易得點(diǎn)。為AAOC的

17丫/

中心，則三棱錐A—BQD的外接球球心在直線30上，設(shè)球心為。-半徑為/?，列出方程+—=產(chǎn)

IJ37\J3J

即可得解.

【詳解】

如圖，由題意易知AABC與AAOC均為正三角形，取AC中點(diǎn)N,連接BN,DN,

則BNLAC,ONJ.AC,NBND即為二面角B—AC—。的平面角，

過點(diǎn)8作8OJ_DV于O,則3O_L平面ACD,

由BN=ND=6,cosNBND=>可得ON=BN-cosNBND=立,0D=^^,=J3-|—|=—

333XI3J3

ON=；ND即點(diǎn)0為AAOC的中心，

二三棱錐A—6C0的外接球球心在直線30上，設(shè)球心為。一半徑為小

5

/.BO、=DO、-r

'2指丫『2健倒瓜

??-...r+——=r解得r=——，

332

k7\J)L

,3

三棱錐A-BCD的外接球的表面積為S=4萬戶=44*2=64.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體圖形外接球表面積的求解，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-3

【解析】

令X=1可得各項(xiàng)系數(shù)和為(1+4)5(1-=32,得出a=1，根據(jù)第一個(gè)因式展開式的常數(shù)項(xiàng)與第二個(gè)因式的展開式含

X一次項(xiàng)的積與第一個(gè)因式展開式含x的一次項(xiàng)與第二個(gè)因式常數(shù)項(xiàng)的積的和即為展開式中含x項(xiàng)，可得解.

【詳解】

令X=1,

則得(1+0)5(1—2)4=32,

解得a=\,

所以(1+x)5(l-2x)4展開式中含x項(xiàng)為：1xC：(-2x)+(C；x)x1=-8x+5x=-3x,

故答案為：-3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二項(xiàng)展開式的系數(shù)和，二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)，賦值法，屬于中檔題.

14.127

【解析】

/X2

已知條件化簡可化為-q+4=2”；,等式兩邊同時(shí)除以Y，則有4見一%￡—2=0,通過求解方程可解得

I4)4

S±L

=2，即證得數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列，根據(jù)已知即可解得所求.

冊(cè)

【詳解】

a,

由an+\一。,用4__-2=0.

1

=2"T=>S“=----=2n-l=>S=127.

“1-277

故答案為:127.

【點(diǎn)睛】

本題考查通過遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列，考查了等比的求和公式，考查學(xué)生分析問題的能力，難度較易.

2

15.-

e

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由/⑴=1解方程即可.

【詳解】

,12

由已知，f(x)=aex一一，所以/(1)=。9—1=1,解得“=4.

xe

故答案為：一.

e

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

1

16.-

2

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義列方程，化簡求得。的值.

【詳解】

由于“X）為偶函數(shù)，所以/（一X）=〃X），

即cos（-x）-log2（2-*+1）-分=cosx-log2（2*'+l）+ax,

即-分=

cosx—log?（2-*+1）cosx-log2（2*+1）+ax,

即log2（2'+1）—log,（2-*+1）—2ax=0,

2*+l（2A+1）-2'（2*+112*

即log，卷三一2以=0,即logzL,〈—24=0,即61——l_一2依=0,即

2+1*+1廣2-2*+1

所以

log22'-2ax=x-2ax=（l-2a）x=0,l-2a=0,a=；.

故答案為：—

2

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（1）工+匕=1（2）證明見解析

43

【解析】

（1）根據(jù)條件可得。=2,進(jìn)而得到匕=百，即可得到橢圓方程；

1

y=-x-\-m

（2）設(shè)直線MN的方程為丁=-gx+/〃2

聯(lián)立《,分別表示出直線和直線斜率，相加利用根與

Yy2DMQN

-------1--------=1

43

系數(shù)關(guān)系即可得到.

【詳解】

解：（1）???圓。:/+）；2=4與。有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)且都在.1軸上，所以。=2,

又?愣岑，巖"322

,故橢圓C的方程為土+匕=1；

43

1

y--x+m

1?

（2）設(shè)直線MN的方程為>=一一x+/〃，聯(lián)立〈22，整理可得4萬2一4/加+4加—12=0,

2xy1

—+—=1

43

則△=（-4m）2-4x4（4/?2-12）=48（4-m2）>0,解得一2<相<2,

設(shè)點(diǎn)N&,%），

貝!j芭+々="?，=加？一3,

331313

必一彳必一X,+）71---------------X-j+771----

所以上+L?2?222

cDM丁nDN----+------

X]+1x2+1X}+1X2+1

一西九2+（加一2）（西+x）+2m-3_3-m2+m2-2/H+2m-3

20,

（X1+1）（尤2+1）a+g+i）

故直線DM與直線DN的斜率互為相反數(shù).

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及橢圓的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題.

18.見解析

【解析】

222

XyZ-xy

已知條件l+x2+l+y2,需要證明的是---------7+“血'要想利用柯西不等式，需要

l+xl+y7*177

722

Xy2+上Xy2+4=3-Xy2z1

2+的值，發(fā)現(xiàn)1+幺+1+y+l+y2+1+z=1,則可以用柯西不等式.

l+xi+y21+z2,2l+x22

【詳解】

22

Xy+—=2,

l+x2+

i+r

2

111_=i__^L+i-V+i一急

----------------------T-----------1.

l+xl+y21+z21+尤2l+y2

由柯西不等式得,

/22

11i）XyZ

%,yl+x2+l+y2+l+z2>1+x2+l+y

22+>r

J+Xl+yTT71+ZJ

(、2

??F+'告<2.

U+x?i+yi+z~J

.x,y,zpz

,,o+[2+[—72.

l1+廠1+y1+z

【點(diǎn)睛】

本題考查柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19.(I)[x|x4g或x21}.(n)-6<6Z<10

【解析】

(I)分類討論解絕對(duì)值不等式得到答案.

(U)討論aW2和a>2兩種情況，得到函數(shù)單調(diào)性，得到只需/(晟)<4,代入計(jì)算得到答案.

【詳解】

(I)當(dāng)a=l時(shí),不等式為|2x-l|+|尤-1,1,

'1f1,(,

X——<X<1X>1?1x

變形為{2或(2或1°?解集為(目%〈二或xNl}.

c々、[、[3冗—2-13

2-3x>1[x>l

_〔a

—3元+1+a,x<5

(II)當(dāng)a42時(shí)，f(x)=\2x-a\+\x-}\=<九一。+1,一

2

3x-6z-l,x>1

由此可知/(x)在(TO,為單調(diào)遞減，在U+8)單調(diào)遞增，

22

當(dāng)。>2時(shí)，同樣得到八幻在(70,自單調(diào)遞減，在我,+8)單調(diào)遞增，

所以/(X)N/(F),存在xeR滿足不等式/(x)<4,只需f(])<4,即|]一1|<4,

解得-6<a<10.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解絕對(duì)值不等式，不等式存在性問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

13'

20.〃=：j.

.2-2.

【解析】

根據(jù)特征多項(xiàng)式可得/(4)=(4-2)(4-1)-3￡=0,可得r=2,進(jìn)而可得矩陣A的逆矩陣.

【詳解】

因?yàn)榫仃嘇的特征多項(xiàng)式/(團(tuán)=(幾一2)(/1-1)一3人所以/(4)=(4-2)(4-1)—31=0,所以t=2.

-23'

因?yàn)锳=,且2x1—2x3=T00,

21

一

.一-

113

--3--

I44

-=

所以A-=-411

-

-2一-

-42I2

2.

一

-4V一

【點(diǎn)睛】

本題考查矩陣的特征多項(xiàng)式以及逆矩陣的求解，是基礎(chǔ)題.

21.(1)e=-；(2)不存在，理由見解析

2

【解析】

(b2}

(1)寫出Ac,一，根據(jù)AO_LAB,斜率乘積為-1,建立等量關(guān)系求解離心率；

<a)

(2)寫出直線A8的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)3的坐標(biāo)，計(jì)算出弦長根據(jù)垂直關(guān)系同理可得|AC|,利用等

式五|A8|=|AC即可得解.

【詳解】

(b2}

(1)由題可得AG—，過點(diǎn)A作直線