2022-2023學(xué)年云南省曲靖市麒麟?yún)^(qū)民族中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年云南省曲靖市麒麟?yún)^(qū)民族中學(xué)高二（下）期末數(shù)

學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.下面是離散型隨機(jī)變量的是（）

A.電燈泡的使用壽命X

B.小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)X

C.測(cè)量一批電阻兩端的電壓，在10V?20y之間的電壓值X

D.一個(gè)在y軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在y軸上的位置X

2.某校食堂餐后有三種水果可供學(xué)生挑選，每名學(xué)生只能挑選其中一種，甲、乙、丙三人

每人任意挑選一種水果，則不同的選擇有（）

A.3種B.6種C.9種D.27種

3.已知又是等差數(shù)列｛叫｝的前兀項(xiàng)和，且。2+。5+。8=30，則59=（）

A.30B.60C.90D.180

4.書(shū)架上有10本書(shū)隨機(jī)排成一排，其中有2本數(shù)學(xué)書(shū)，語(yǔ)文和英語(yǔ)書(shū)共8本，從中隨機(jī)取出

一本書(shū)，設(shè)取出數(shù)學(xué)書(shū)為事件4取出語(yǔ)文書(shū)為事件B,隨機(jī)事件C與B對(duì)立.若P（4+8）=0.5,

則P（C）=（）

A.0.7B.0.8C.0.3D.0.5

5.已知函數(shù)f（%）=2s譏3%+$3>0）且滿(mǎn)足/（當(dāng)一%）=/（%-》則3的最小值為（）

A.,B.；C.1D.2

6.已知a=0.1,b=lnl.1,c=—,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

7.已知正項(xiàng)數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足2Sn=即（即+1），則。2023=（）

A.2022B.2023C.2024D,2025

8.克羅狄斯?托勒密是希臘數(shù)學(xué)家，他博學(xué)多才，既是天文學(xué)權(quán)威，也是地理學(xué)大師.托勒密

定理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線(xiàn)與邊長(zhǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，該

定理的內(nèi)容為圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的乘積等于兩組對(duì)邊長(zhǎng)乘積之和.己知四邊形

ABCD是圓。的內(nèi)接四邊形，且4C=口BD，^-ADC=2/BAD.若-CD+BC-AD=47-3.

則圓。的半徑為（）

A.4B.2C.<3D.2c

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.某醫(yī)院婦產(chǎn)科對(duì)該院歷年來(lái)新生兒體重情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)新生兒體重X?N(2,4),則下

列結(jié)論正確的是()

A.該正態(tài)分布的均值為2B.該正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差為4

1

C.P(X>2)D.P(X>3)=P(X<1)

10.在等比數(shù)列中，ai+a2=i(a3+a4),則{&J的公比可能為()

A.-1B.-2C.2D.4

11.甲袋中裝有3個(gè)白球，3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙袋中裝有2個(gè)白球，2個(gè)紅球和1個(gè)黑球，

先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一球.用A2,%分別表示甲袋

取出的球是白球、紅球和黑球，用B表示乙袋取出的球是紅球，則以下結(jié)論正確的是()

A.A2,4兩兩互斥B.P(BjA1)=l

C.P(B)=1D.4與B是相互獨(dú)立事件

12.觀(guān)察圖象，下列結(jié)論錯(cuò)誤的有()

B.若圖中為廣(x)圖象，則/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.若圖中為y=(x-2)/(x)圖象，則f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增

D.若圖中為y=(x+2)f(x)圖象，則/(x)<0的解集為卜|一2WxW2}

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.某小組由3名女生、2名男生組成，現(xiàn)從中任選出一名組長(zhǎng)，則其中女生甲當(dāng)選為組長(zhǎng)的

概率為.

14.曲線(xiàn)y=(x2+x)/nx+2在點(diǎn)(1,2)處的切線(xiàn)方程為.

15.(X-l)2(x+1)5的展開(kāi)式中/的系數(shù)為.

16.一批小麥種子的發(fā)芽率是0.7,每穴只要有一粒發(fā)芽，就不需要補(bǔ)種，否則需要補(bǔ)種,

則每穴至少種粒，才能保證每穴不需要補(bǔ)種的概率大于97%.(仞3x0.48)

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在△ABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,cKbcosAsinC+asinBcosC=

(1)求角B的大小；

(2)若△ABC為銳角三角形，b=3,求a+c的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

若數(shù)歹我；｝是等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列｛a｝為調(diào)和數(shù)列.若實(shí)數(shù)a、b、c依次成調(diào)和數(shù)列，則稱(chēng)b是

ann

a和c的調(diào)和中項(xiàng).

⑴求軟II的調(diào)和中項(xiàng)；

=

(2)已知調(diào)和數(shù)列｛an｝,%=6,a42,求｛an｝的通項(xiàng)公式.

19.(本小題12.0分)

如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體力BCD—AiBiGOi中，點(diǎn)E是棱4位上的一點(diǎn)，且4E=2EB「點(diǎn)

F是棱久A上的一點(diǎn)，且&尸=2FD1.

(1)求異面直線(xiàn)ZDi與C尸所成角的余弦值；

⑵求直線(xiàn)BD到平面CEF的距離.

20.(本小題12.0分)

已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，周長(zhǎng)為8的AABC的頂點(diǎn)，4(-，與,0)為橢圓E的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)8,

C在E上，且邊BC過(guò)E的右焦點(diǎn).

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為M,N,點(diǎn)P(m,2)(meR,m彳0),若直線(xiàn)PM,PN與橢圓E的

另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)S,T,證明：直線(xiàn)ST過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).

21.(本小題12.0分)

每年的4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書(shū)日”，又稱(chēng)“世界圖書(shū)和版權(quán)日”，

為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了1000名高一學(xué)生進(jìn)行在線(xiàn)

調(diào)查，得到了這1000名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))，并將樣本數(shù)據(jù)分成[0,2],(2,4],

(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九組，繪制成如圖所示的頻率分布

直方圖.

族率

W

0.05

O.(M

0.03

0.02

0.01

0246K1012141618II平均閱讀時(shí)間(小時(shí))

(1)求a的值；

(2)為進(jìn)一步了解這1000名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書(shū)閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均

閱讀時(shí)間在(8,10],(10,12]兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人

中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在(10,12]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=^+lnx+a-2.

(1)討論函數(shù)"x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)X2＞且與＜%2，曲線(xiàn)y=/(x)在這兩個(gè)零點(diǎn)處的切線(xiàn)的交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)為m,證明：m＜a.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：對(duì)于4電燈炮的使用壽命是變量，但無(wú)法將其取值一一列舉出來(lái)，故A不符題意；

對(duì)于8,小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)X是變量，且其取值為0,1,2,10,故X為離散型隨

機(jī)變量，故8符合題意；

對(duì)于C,測(cè)量一批電阻兩端的電壓，在10?/?20?V之間的電壓值X是變量，但無(wú)法一一列舉出X

的所有取值，

故X不是離散型隨機(jī)變量，故C不符題意；

對(duì)于O,一個(gè)在y軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在y軸上的位置X是變量，但無(wú)法一一列舉出其所有取值，

故X不是離散型隨機(jī)變量，故。不符題意.

故選：B.

變量的取值是隨機(jī)出現(xiàn)且可一一列舉出來(lái)的隨機(jī)變量稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可.

本題考查隨機(jī)事件，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：餐后有三種水果可供學(xué)生挑選，每名學(xué)生只能挑選其中一種，甲、乙、丙三人每人

任意挑選一種水果，則不同的選擇有33=27.

故選：D.

甲、乙、丙三人每人任意挑選一種水果，每人有三種選擇，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，求解即可.

本題考查簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：等差數(shù)列｛即｝中，=3詼=30,

解得=10,

所以9（3

59=巴￡=9as=9x10=90.

故選：C.

根據(jù)等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)求出。5,再利用中間項(xiàng)求S,

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)與前幾項(xiàng)和計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：由題意得：

事件4的概率為P(A)=卷=0.2,

?.,事件4與事件B互斥且P(4+B)=P(A)+P(B)=0.5,

P(B)=0.5-0.2=0.3,

???隨機(jī)事件C與B對(duì)立，

???P(C)=1-0.3=0.7.

故選：A.

根據(jù)題意，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的概率公式，能求出結(jié)果.

本題考查互斥事件和對(duì)立事件的概率公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：由已知可得函數(shù)/。)=25譏(3%+芻(3>0)且滿(mǎn)足/(年一；0=/。一總，

J3b

即+X)，

所以f(x)關(guān)于久=，對(duì)稱(chēng)，

所以o>=4k+|,又3>0,

所以k=0時(shí)，3取最小值為|.

故選：A.

由S=47T/?2=12?？傻煤瘮?shù)/(x)的圖象關(guān)于x=*對(duì)稱(chēng)，由正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性列方程求3的最小

值.

本題考查正弦函數(shù)的圖象，屬于中檔題.

6.【答案】D

【解析】解：?=5=署=端，

設(shè)/(x)=ln(l+x)-^(x>-1),

14v2

則f(%)=---------=7>0，

'1+x(2+X)2-(1-+-X-)-(-2-+-X)2

故/(X)在(一1,+8)上為增函數(shù)，

則f(O.l)即)1.1一詈>0,

所以仇1.1>奈故b>c；

設(shè)g(x)=Inx—x+l(x>0),則g'(x)=[-1=

當(dāng)0cx<1時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)％>1時(shí)，gXx)<0,

所以函數(shù)g(無(wú))在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

則當(dāng)x=1時(shí)，g(x)取最大值，

所以g(%)<g(i)=0,BPZnx<%—1,x=1時(shí)等號(hào)成立,

所以仇1.1V1.1-1=0.1,即bva,

又c=^<卷=61=0

所以a>b>c.

故選：D.

通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，比較各式的大小.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查實(shí)數(shù)的大小比較，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：2Sn=謚+而①，2Sn-i=a"+an-i(n22)②，

由①-②得2an=W-W-1+冊(cè)一

W忌-1=+^n-1?

???an>0,an-an_i=1.

當(dāng)九=1時(shí)，2sl=Q：+Qi，?,?的=1,

數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，

???a2023=1+(2023—1)x1=2023.

故選：B.

由題意得2SnT=W_1+即_15>2),結(jié)合an>0,%=1,可得數(shù)列｛a,J是首項(xiàng)為1,公差為1的

等差數(shù)列，進(jìn)而利用通項(xiàng)公式求解，即可得出答案.

本題考查數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：由托勒密定理，得4c=+=

因?yàn)?C=CBD，所以BD=2.

設(shè)圓。的半徑為R,由正弦定理，得一%=—^=2R.

sinZi4DCs\nz.BAD

又AC=CBD，所以sinz■力DC=CsinNBAD.

因?yàn)?ADC=2^,BAD,所以2sin48AOcosNBA。=CsinNBAO，

因?yàn)?<ABAD<n,所以sin/BAD>0,所以COSNBAC=?，

所以sin/BAD=、1-cosZiBAD=則2R=,=4,故R=2.

2s\nZ.BAD

故選：B.

由托勒密定理求出BD,設(shè)圓。的半徑為R,由正弦定理可得==整俞=2R，即可得到

smz/lDCs\nz.BAD

sin^ADC=Csin4BAD,再根據(jù)N4OC=2484。及二倍角公式求出coszBA。，即可求出sin4BAD,

從而得解.

本題主要考查了圓的性質(zhì)，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

由正態(tài)分布的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可.

本題主要考查正態(tài)分布及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：因?yàn)閄?N(2,4),

所以正態(tài)分布的均值為2,標(biāo)準(zhǔn)差為2,所以4正確，B錯(cuò)誤，

因?yàn)檎龖B(tài)分布的均值為2,

所以由正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)可得P(X>2)=5P(X>3)=P(X<1),所以CO正確，

故選ACD.

10.【答案】ABC

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，

右口1+g=W(。3+。4)'即的+g=+(。1+。2)'

當(dāng)。1+。2=。時(shí)，9=一1，符合題意，

當(dāng)a〔+a2Ho時(shí)，必有彳=1,解可得q=±2,

綜合可得：q=-1或q=±2.

故選：ABC.

根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得由+。2=：(%+。2)，分析

可得答案.

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】AB

【解析】解：對(duì)于力，由題意知41，A2,4不能同時(shí)發(fā)生，二4，^2，4兩兩互斥，故4正確，

3321

--X-=-

對(duì)于B,由題意知P(4)8868

???P(B|4)=竟?，故B正確,

33321221

4

--X---X-=

8868J86

12

???P(B)=P(4B)+P(&B)+P(&B)=-+>+<=捺-C錯(cuò)誤,

對(duì)于D,???「(必乃WPQ42)P(8)，二4與2不是相互獨(dú)立事件，二。錯(cuò)誤.

故選：AB.

由互斥事件的定義判斷4由條件概率的定義判斷B,由全概率公式的定義判斷C,由獨(dú)立事件的

定義判斷￡>.

本題考查互斥事件、條件概率、獨(dú)立事件，是中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：選項(xiàng)4若圖為八為圖象，則在x=-2兩邊單調(diào)性一致，不是極值，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：若圖為「(乃圖象，x6(—8,-2),f'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；xe(-2,0),fCx)>0,

函數(shù)單調(diào)遞增；XG(0,2),f(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；XG(2)+00),f(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

故函數(shù)有-2,0,2三個(gè)極值點(diǎn)，選項(xiàng)3錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：若圖為y=(久—2)［。)圖象，則x-2<0時(shí)，單調(diào)性相反，即xe(―8,-2),/。)>0,

函數(shù)單調(diào)遞增：x€(-2,0),f(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；xe(0,2),f(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)x6(2,+8),單調(diào)性一致，尸(乃>0,函數(shù)單調(diào)遞增；故C正確；

選項(xiàng)D：若圖為y=(%+2)/(x)圖象,x+2<0,圖像正負(fù)相反,x+2>0時(shí)圖像正負(fù)一■致,f(x)<

0的解集為{x|0Wx<2},故￡>錯(cuò)誤；

故答案為：ABD.

選項(xiàng)A：若圖為圖象，f(乃在x=-2左右單調(diào)性一致，不是極值；選項(xiàng)B：若圖為(。)圖象，

根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的大小判斷單調(diào)性，判斷極值；

選項(xiàng)C：若圖為y=(x—2)/'(x)圖象，根據(jù)圖像的正負(fù)判斷y=f'(x)的正負(fù)，判斷單調(diào)性；選項(xiàng)

D：若圖為丫=。+2)/。)圖象，根據(jù)圖像的正負(fù)判斷y=/(x)的正負(fù)，解出/(x)W0的解集.

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，屬于中檔題.

13.【答案】|

【解析】解：所有的選法有5種，而女生當(dāng)選為組長(zhǎng)的選法有3種，故女生當(dāng)選為組長(zhǎng)的概率等于

3

59

故答案為：|.

所有的選法有5種，而女生當(dāng)選為組長(zhǎng)的選法有3種，由此求得女生當(dāng)選為組長(zhǎng)的概率.

本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】y=2x

【解析】解：曲線(xiàn)y=(%2+x)/nx+2,可得y，=(2%4-l)Znx+(%2+%)?：=(2x+l)Znx+x+1,

y'\x=i-2,所以k=2,

切線(xiàn)方程為：y—2=2(%—1),即y=2x.

故答案為：y=2x.

先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，再令％=1解出切線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線(xiàn)方程.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)方程.

15.【答案】-5

【解析】解：(x—l)2(x+I)5=(x2—2x+l)(x+I)5=x2(x+l)5—2x(%+l)5+(x+l)5,

因?yàn)?x+1戶(hù)展開(kāi)式通項(xiàng)為圖+i=C[x5-r,

所以(x+l)5展開(kāi)式中/,X3,P的系數(shù)分別為廢,釐,廢，

故(x-l)2(x+1)5的展開(kāi)式中鏟的系數(shù)為1X。+(-2)x鬣+C)=-5.

故答案為：—5.

展開(kāi)(X—1)2,再求出(X+1)5展開(kāi)式中/,/，/的系數(shù)，即可得答案.

本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】3

【解析】解：記事件4為“種一粒種子，發(fā)芽”，

則P(4)=0.7,p(A)=1-0.7=0.3-

因?yàn)槊垦ɡαＯ喈?dāng)于做了般次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，記事件B為“每穴至少有一粒種子發(fā)芽”，

則P(B)=C°-0.70-0.3n=0.3n>

所以P(B)=1-P(B)=1-0.3n>

根據(jù)題意得P(8)>97%,

即1-0.3">0.97,

所以0.371<0.03,

兩邊同時(shí)取以10為底的對(duì)數(shù)，得汨g0.3<國(guó)0.03,

即幾(仞3-1)<lg3-2,

解得”瘠，

因?yàn)镴g3-2_0.48-2X2.92,

句3-10.48-1

且neN*,所以n的最小正整數(shù)值為3.

故答案為：3.

記事件4為“種一粒種子，發(fā)芽”，每穴種n粒相當(dāng)于做了建次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，記事件B為“每穴至

少有一粒種子發(fā)芽”，求出P(4)、P(B),根據(jù)P(B)>97%,求出n的最小正整數(shù)值.

本題考查了n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)恰有k次發(fā)生的概率計(jì)算問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題.

17.【答案】解：(1)2\48C中，^bcosAsinC+asinBcosC=

利用正弦定理可得sinBcosAsinC+sinAsinBcosC=

因?yàn)閟inBH0,

所以cosAsinC+sinAcosC=sin(4+C)=sinB=

又B6(0,71),

所以或等

(2)若△4BC為銳角三角形，b=3,

由正弦定理得急=肅=備=2g

~2~

所以a+c=2y/~3(sinA+sinC)?

因?yàn)锳+C=等

所以a+c=2yT^[slnA+sing—4)]=2V-3x(|sin-4+?cosA)=6sin(A+凱

又△ABC為銳角三角形，則0<4<*且0<C<*

又0=等—4,則所以？<4+*<]，

3o/363

所以孕<sin(4+》<1.

所以3q<a+cW6,

所以a+c的取值范圍是(3，？,6].

【解析】(1)由正弦定理，即可求出cosB以及B的值；

(2)利用正弦定理和三角恒等變換，即可求出a+c的取值范圍.

本題考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題.

18.【答案】解：設(shè)細(xì)1的調(diào)和中項(xiàng)為b,依題意得：3、k1依次成等差數(shù)列,

3b

所以:=乎=2,即b=J；

b22

(2)依題意，｛；｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

an

3d=

11,?、」1,,?、12n+l

所rri以o以=^+(zn_l)d=d+(n—l)§=F-

故斯=磊

【解析】(1)根據(jù)題意得到3、￡、1成等差數(shù)列，從而得到方程，求出b=；,得到答案;

(2)根據(jù)題意得到｛；｝是等差數(shù)列，設(shè)出公差，由通項(xiàng)公式基本量計(jì)算得到公差，進(jìn)而得到｛即｝的

an

通項(xiàng)公式.

本題是新定義題型，主要考查利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式，等差中項(xiàng)的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則4(3,0,0),。1(0,0,3),C(0,3,0),F(1A3),E(3,2,3),

砧=(-3,0,3),#=(1,一3,3)，

斯?存_-3+9_￡38

則cos<AD[,CF>=

|西||函-3/^xO9-

???異面直線(xiàn)4劣與CF所成角的余弦值為譽(yù);

(2)連接&Di，則BD〃BiD"/EF,可得BD〃平面CEF,

直線(xiàn)BD到平面CEF的距離等于。到平面CEF的距離，又而=(3,-1,3)，

設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

n-CE=3x-y+3z=0???

由__,，取z=1,可得記=

.n?CF=%—3y+3z=0

又而=(0,-3,0)，

9

瓦函_4_9E

.??直線(xiàn)。到平面的距離為

BCEFE34?

2>n

【解析】(1)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求異面直線(xiàn)4劣與CF所

成角的余弦值；

(2)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求D到平面CEF的距離，再由空間向量求解.

本題考查空間角與空間距離等求法，考查空間向量的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

20.【答案】解：⑴由題意知，橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上,

所以設(shè)橢圓方程為冬+

5=l(a>b>0),焦距為2c(c>0),

所以△ABC周長(zhǎng)為4Q=8,即Q=2,a2=4,

因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)4(一/豆,0),所以cc2=3,

所以82=a2-c2=1,

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為3+y2=1;

(2)證明：由題意知，M(0,l),N(0,-l),直線(xiàn)PS,PT,ST斜率均存在,

所以直線(xiàn)PS：y='+1,與橢圓方程聯(lián)立得(tn?+4)x2+8mx=0,4=64m2>0對(duì)mWR,m手

0恒成立,

mil.-8m|i—8mm,i—8m1,.m2—4

則與+"“=而’B即&=而’則%=菽石*云+1=藤百,

24m36-m2

同理%丁=yT=f

m2+36,^+36

rn^—436—

_144fd_(12-7712)(12+7712)_12-77心

一8血24m16m34-192m16m(12+m2)16m'

xS^xT

m2+4m^+36

所以直線(xiàn)"方程為一=專(zhuān)手(段途)+寓=睛、+最

所以直線(xiàn)S7過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,》.

【解析】(1)根據(jù)橢圓定義直接求解即可；

(2)求出S,T的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線(xiàn)57方程即可求出定點(diǎn)坐標(biāo).

本題主要考查了橢圓性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖得：2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+

0.01)=1,

解得a=0.10.

(2)由頻率分布直方圖得：

這1000名學(xué)生中日平均閱讀時(shí)間在(8,10］,(10,12］兩組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)之比為0.15：0.1=3：2,

若采用分層抽樣的方法抽取了10人，

則從日平均閱讀時(shí)間在(8,10］內(nèi)的學(xué)生中抽取,x10=6(人),

在日平均閱讀時(shí)間在(10,12］內(nèi)的學(xué)生中抽取4人，

現(xiàn)從這10人中隨機(jī)拍取3人，則X的可能取值為0,1,2,3,

「5=。)=1=言/

吵7=管=嶄4

P-2)=蜜=粉=磊

P(X=3)=旨=卷=親

故X的分布列為：

X0123

1131

P

621030

故E（X）=0XH1XH2X^+3X*.

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)，即可求解.

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義可得，兩個(gè)區(qū)間分別抽取的人數(shù)，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)拍取

3人，貝IJX的可能取值為0,1,2,3,分別求出對(duì)應(yīng)的概率，再結(jié)合期望公式，即