吉林省長春市2024屆高三年級下冊三模數(shù)學試題（含答案與解析）

長春市2024屆IKJ三質(zhì)量監(jiān)測(三)

數(shù)學

本試卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形

碼粘貼區(qū).

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工

整、筆跡清楚.

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草

稿紙、試卷上答題無效.

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.

5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.經(jīng)過A"),NT」),三個點的圓的方程為(：)

2222

A.(^+l)+(j-l)=2B.(x-l)+(j7-l)=2

C.x2+(j-l)2=lD.x2+(^+l)2=l

2.已知向量a=(2,4),/?=(3,—1),則“小友”是“R+助-助”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

’2工%>0

3.已知函數(shù)/(x)=〈',貝3)=()

f(x+2),x<0

A.1B.2C.4D.8

4.酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含

量達到20?79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒

后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時30%

的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？()(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

lg3ao.48,lg7*0.85)

A.1B.2C.3D.4

5.已知復數(shù)21,Z2滿足|zj=卜|=3,Zj+Z2=2-V5i）則|Z[-Z2]=（）

A.3B.273C.3A/2D.3K

6.為了迎接2025年第九屆亞冬會的召開，某班組織全班學生開展有關(guān)亞冬會知識的競賽活動.已知該班男

生35人，女生25人.根據(jù)統(tǒng)計分析，男生組成績和女生組成績的方差分別為s；、s；,該班成績的方差為

則下列結(jié)論中一定正確的是（）

Q§2_7sl+5§2

7.己知隨機事件A,B滿足P（A）=g,P（A|B）=|,P（@A）=r，則P（B）=（）

3941

A.B.D.

4161648

8.在同一平面直角坐標系內(nèi)，函數(shù)y=/（x）及其導函數(shù)y=/'（力的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有

一個公共點，其坐標為（0,1）,則（）

A.函數(shù)y=的最大值為1

B.函數(shù)y=/（%）?e*的最小值為1

C.函數(shù)丁=/區(qū)的最大值為1

D.函數(shù)丁=/區(qū)的最小值為1

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知/(x)=Asin(ox+e)［A〉O,0〉O,O<e<|J的部分圖象如圖所示，貝！|()

A.””的最小正周期為兀

B.4%)滿足/(x)+/［至-xj=。

c.在區(qū)間C的值域為［t,6］

D."%)在區(qū)間1,2兀］上有3個極值點

10.設等比數(shù)列｛?。墓葹閝,其前“項和為S”，前w項積為7”并且滿足條件m>l,a7a8>1,—~~

a8T

<0.則下列結(jié)論正確的是()

A.0<^<1B.a7a9<1

C.△的最大值為TiD.S?的最大值為S1

11.某圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為:，面積為3兀的扇形，則()

A.該圓錐母線與底面所成角的正弦值為述

3

2

B.若該圓錐內(nèi)部有一個圓柱，且其一個底面落在圓錐的底面內(nèi)，則當圓柱的體積最大時，圓柱的高為：

C.若該圓錐內(nèi)部有一個球，則當球半徑最大時，球的內(nèi)接正四面體的棱長為2叵

3

D.若該圓錐內(nèi)部有一個正方體ABCD-,且底面ABC。在圓錐的底面內(nèi)，當正方體的棱長最大

時，以A為球心，半徑為逑的球與正方體表面交線的長度為亞兀

99

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知。?0,兀)，且sin(z+costz=:，則sin2tz=.

13.直線/與拋物線必=4＞交于A,3兩點，若|AB|=6,則AB中點M到x軸距離的最小值是.

14.有序?qū)崝?shù)組(％,々，…，Nj(〃eN*)稱為〃維向量，|閡+國+…+|”為該向量的范數(shù)，范數(shù)在度量向

量的長度和大小方面有著重要的作用.已知〃維向量方=(%,/，…，%)，其中％40,1,2},i=l,2，…,〃.記

范數(shù)為奇數(shù)的@的個數(shù)為4,則4=；4〃+1=.(用含九的式子表示)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在ABC中，角A,5c所對的邊分別為a,4c,已知asinB=—JOcosA，角A的平分線交邊5C于

點、D,且AD=1.

(1)求角A的大??；

(2)若BC=2$求.ABC的面積.

16.已知函數(shù)=三一枇，,。￡R.

e

(1)當a=0時，求"％)在x=l處切線方程；

(2)當a=l時，求"％)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(3)若對任意尤GR,有/(x)Wei恒成立，求。的取值范圍.

17.己知耳，工分別為雙曲線C：3/—丁2=九(九＞0)的左、右焦點，過工的直線/與雙曲線C的右支交

于A,B兩點.當/與尤軸垂直時，,48片面積為12.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)當/與x軸不垂直時，作線段A3的中垂線，交x軸于點D試判斷\匕DF守2\是否為定值.若是，請求

\AB\

出該定值；若不是，請說明理由.

18.正四棱臺ABC。—4片。|。的下底面邊長為2后，M為中點，已知點P滿足

AP=(1-2)AB+12AD+2A41,其中2e(0,l).

（1）求證。/LAC；

32

（2）已知平面與平面A3CD所成角余弦值為,，當4=§時，求直線。尸與平面AMC1所成角

的正弦值.

19.入冬以來，東北成為全國旅游話題的“頂流”.南方游客紛紛北上，體驗東北最美的冬天.某景區(qū)為給顧

客更好的體驗，推出了A和2兩個套餐服務，并在購票平臺上推出了優(yōu)惠券活動，顧客可自由選擇A和8

兩個套餐之一，下表是該景區(qū)在購票平臺10天銷售優(yōu)惠券情況.

日期/12345678910

銷售量y2

1.91.982.22.362.432.592.682.760.4

（千張）7

1101010

經(jīng)計算可得：J=—EX=2.2,=118.73,1＞；=385.

1Ui=\i=\i=l

（1）由于同時在線人數(shù)過多，購票平臺在第10天出現(xiàn)網(wǎng)絡擁堵，導致當天顧客購買的優(yōu)惠券數(shù)量大幅減

少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求y關(guān)于r的回歸方程（精確到0.01）,并估計第10天的正常銷量；

23

（2）假設每位顧客選擇A套餐的概率為選擇B套餐的概率為《，其中A套餐包含一張優(yōu)惠券，B套

餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時刻，該平臺恰好銷售了w張優(yōu)惠券，設其概率為匕，求與；

（3）記（2）中所得概率5的值構(gòu)成數(shù)列｛匕｝（〃eN*）.

①求數(shù)列｛月｝的最值；

②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列｛4｝,若對于任意給定的正數(shù)￡,總存在正整數(shù)No,使得當“〉No時,

\an-a\<￡,（。是一個確定的實數(shù)），則稱數(shù)列｛4｝收斂于以根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列｛匕｝收斂.

回歸方程少=6+最中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：B=號----------，a^y-bx.

￡x；-nx2

1=1

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.經(jīng)過“（I'D,3（—1，1）,C（°，2）三個點的圓的方程為（）

A.（x+l）2+（j-l）2=2B.（%-1）2+（3；-1）2=2

C.x2+（y-l）2=lD.x2+（^+l）2=1

【答案】C

【解析】

【分析】設經(jīng)過A,B,C三個點的圓的方程為爐+丁+.+或+/=0（。2+爐一4/>0）,代入三

點坐標可得答案.

【詳解】設經(jīng)過A,B,C三個點的圓的方程為

x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）,

l+l+D+E+F=0[D=0

由題意可得<1+1—D+E+b=0,解得<E=—2,

0+4+2E+尸=0F=0

且滿足D~+E2-4F=4>0,

所以經(jīng)過A,B,C三個點的圓的方程為f+V—2y=0,

即為f+（y-1『=L

故選：C.

2.已知向量。=（2,4）力=（3,-1）,則“左=上”是"（a+磊）-焙卜的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】計算(a+助助時上的取值，再根據(jù)必要與充分條件的定義判斷即可.

【詳解】當(a+助—助時，(a+初(a-助)=0,即J一左2d=0，

故(22+42)-/[32+(—1)2]=0,解得心土近.

故“左=a”是“(?+助±(a-kb)”的充分不必要條件.

故選：A

2%x>0

3.已知函數(shù)/'(%)=<'，貝1/(—3)=()

/(x+2),x<0

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，代入求值即可.

【詳解】由函數(shù)可得，/(-3)=/(-1)=/(1)=2'=2.

故選：B.

4.酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含

量達到20?79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車.假設某駕駛員喝了一定量的酒

后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時30%

的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？()(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

lg3ao.48,lg7ao.85)

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】設經(jīng)過x個小時才能駕駛，則0.6x100x(1-30%)、<20,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的運算計

算可得.

【詳解】設經(jīng)過x個小時才能駕駛，則0.6x100x(1—30%)“<20即0.7￡<；.

由于y=0.7*在定義域上單調(diào)遞減，%>11==坨1一坨3二—048

g°-73-lg0.7-lg7-l-0.85-1-0.15--

他至少經(jīng)過4小時才能駕駛.

故選：D.

5.已知復數(shù)21/2滿足|zj=閆=3,Z[+Z2=2—后，則|Z1-Z21=()

A.3B.2A/3c.3拒D,373

【答案】D

【解析】

【分析】設出對應復數(shù)，利用復數(shù)的運算性質(zhì)整體代值運算即可.

【詳解】設4=a+歷，z2=c+di,且a,瓦c,deR,

由己知得㈤=閆=3,[a。+加=Jc*2+d2=3,得a?=c?+d?=9，

故a+c=2,b+d——y/5，

同時平方得〃+2ac+c2=4，b2+2bd+d2=5^

相加并化簡得Zac+2bd=-9，

而[ZI-Z-,|=J(a-c)~+(b-d)2=J(a+c)2+(b+d)--(4ac+4bd),

=J(a+c)2+(Z;+打-2(2ac+2bd)=79-2x(-9)=后=3G

故選：D

6.為了迎接2025年第九屆亞冬會的召開，某班組織全班學生開展有關(guān)亞冬會知識的競賽活動.已知該班男

生35人，女生25人.根據(jù)統(tǒng)計分析，男生組成績和女生組成績的方差分別為s；、s；,該班成績的方差為

S2,則下列結(jié)論中一定正確的是()

A.2i+￡i2

5=B.5>￡L±S

22

C§2=7sl+5§2

—12

【答案】D

【解析】

【分析】借助分層抽樣的方差公式計算即可得.

【詳解】設該班男生組成績和女生組成績的平均分分別為（，兩個班的總的平均分為，

11

7.已知隨機事件A,3滿足尸（A）=§,P（A|P（B|A）=—,則P（B）=（）

【答案】A

【解析】

/—\73

【分析】根據(jù)已知結(jié)合條件概率公式，即可得出P（AB）=欣，進而推得P（AB）=記.即可根據(jù)條件概

率公式，得出答案.

l、P（AB\7

【詳解】由已知可得，PB\V.>=—.

1）P（A）16

因為P（A）=g,

所以，P（AB\=—.

又P（A）=P（AB）+尸（A耳=|,

3

所以，P（AB）=^

又尸例3）=曾3

4

所以，P（B）=j

故選：A.

8.在同一平面直角坐標系內(nèi)，函數(shù)y=/（力及其導函數(shù)丁=/'（尤）的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有

一個公共點，其坐標為(0,1),則()

B.函數(shù)y=的最小值為1

C.函數(shù)y=J3的最大值為1

e*

D.函數(shù)y=/區(qū)的最小值為1

ev

【答案】C

【解析】

【分析】AB選項，先判斷出虛線部分為y=/'(%),實線部分為y=/(x),求導得到y(tǒng)=/(￡)?在R上

單調(diào)遞增，AB錯誤；再求導得到xe(--0)時，、=駕單調(diào)遞增，當xe(0,+s)時，丁=/學單調(diào)遞

ee

減，故C正確，D錯誤.

【詳解】AB選項，由題意可知，兩個函數(shù)圖像都在x軸上方，任何一個為導函數(shù)，

則另外一個函數(shù)應該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為y=/'(%),

實線部分為y=/(x),

故y'=/'(尤),e*+/(%)-eA=(/(%)+/(%))-e'>。恒成立，

故y=/(%)?/在R上單調(diào)遞增，則A,B顯然錯誤，

，f\x)e-f(x)er(x)-/(x)

對于C,D,丁一77?一，

(e)e

由圖像可知XC(—8,0),y=/'(X)：/(X)>0恒成立,故駕單調(diào)遞增，

ee

當xe(0,+s),yJ(x)-"x)<o,丁=&2單調(diào)遞減，

所以函數(shù)y=1區(qū)在x=0處取得極大值，也為最大值，/啰=1，C正確，D錯誤.

exe°

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知/(x)=Asin(0x+e)1A〉O,0〉O,O<e<"|)的部分圖象如圖所示，貝!!()

A.7(%)的最小正周期為兀

B.“%)滿足/(耳+/1年-x]=o

C.在區(qū)間—的值域為[—1,6]

D./(%)區(qū)間2兀]上有3個極值點

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)圖象確定A和周期，再確定代入最值點確定。，從而得出解析式，再由正弦函數(shù)的圖象

與性質(zhì)逐項判斷即可.

31jr3727r

【詳解】由圖象可知，A=2,-T=----------=——，所以丁=①。=——=2,故A正確；

41264T

JTJTTT

又因為2x——\-(p=——\~2k7i,keZ,所以夕二一+2左肛左￡Z,

626

JTJTTT

而且0<0<一,所以9=—,所以函數(shù)解析式為/(x)=2sin(2x+—).

266

所以

+--xj=2sin(2x+—)+2sin［2(--x)+—］=A/3sin2x-cos2x=2sin(2x--)w0,故

\3J6366

B錯誤;

，一.兀5兀?，所以sin(2i+生)￡［一1,工］,所以/(x)=2sin(2%+囚)

對于C,當工￡時,

366L66J626

值域為[-2,1],故C錯誤;

對于D,當寸，2'+臺.帝，當2x+￡取得三洋彳時，?。┤〉脴O值，所

以/（X）在[],2兀）上有3個極值點，故D正確.

故選：AD.

%一］

10.設等比數(shù)列｛?。墓葹閝,其前"項和為由,前w項積為7”并且滿足條件。1>1,a7a8>1,

a8T

<0.則下列結(jié)論正確的是（）

A.0<（?<1B.。7。9<1

C.7；的最大值為乃D.Sn的最大值為Sy

【答案】ABC

【解析】

【分析】依題意可得為>1,0<^<1,進而可得結(jié)果.

ci-,-1

【詳解】V(zi>l,a7-as>l,r<0,/.aj>l,0<as<l,0<^<1,故A正確;

-1

%%=%2<L故B正確;

因為。7>1,0<?8<1,所以乃是刀,中的最大項，故C正確;

因為ai>l,0<q<l,所以S,無最大值，故D錯誤.

故選：ABC.

2兀

11.某圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為可，面積為3兀的扇形，貝|（）

A.該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為述

3

2

B.若該圓錐內(nèi)部有一個圓柱，且其一個底面落在圓錐的底面內(nèi)，則當圓柱的體積最大時，圓柱的高為:

C.若該圓錐內(nèi)部有一個球，則當球的半徑最大時，球的內(nèi)接正四面體的棱長為友

3

D.若該圓錐內(nèi)部有一個正方體ABC。-且底面A2C。在圓錐的底面內(nèi)，當正方體的棱長最大

時，以A為球心，半徑為生區(qū)的球與正方體表面交線的長度為亞兀

99

【答案】ACD

【解析】

【分析】先根據(jù)圓錐側(cè)面積公式5側(cè)=乃〃和扇形弧長公式得出圓錐的母線長/=3、底面半徑r=1和高

/z=2后即可求出圓錐的母線與底面所成角。正弦值，進而判斷A；根據(jù)三角形相似比得出圓柱高與其底

面半徑比的關(guān)系，再代入圓柱體積公式唳=叫2M導到唳=2缶儼-日,再利用導數(shù)工具求出最值即

可突破求解進而判斷B；CD屬于簡單幾何體的接切和相交問題，要結(jié)合相應幾何體的結(jié)構(gòu)特征和關(guān)系進行

分析判斷，具體看詳解.

7irl=3肛

【詳解】對于A,由圓錐側(cè)面積公式5側(cè)=〃〃和扇形弧長公式得[2?一

2jir=——/,

I3

=>/=3,r=l,所以圓錐的高,二,/一尸=，32_]2=2&,

設圓錐母線與底面所成角夕，貝人達0=2=迪，故A對；

I3

對于B,設圓錐內(nèi)切圓柱底面半徑為([4e(O,l)],高為4,

則有曰=￡=匕=^Z51=20(f)—2向,

hrr1

所以圓柱體積為腺=巧24=叫2（20—2萬;一刃，

2

設y=/一三［XE（。/）］，貝Uy，=2x-3x=x（2-3x）［xG（0,1）］,

所以當xe［o,|■/寸y'〉0,y=d—%3［%e（0,l）］單調(diào)遞增；當xeIg」）時y'<0,

y=必一x3［xe（0,l）］單調(diào)遞減,

所以x=|時y取得最大值，即彳=|時圓柱體積取得最大，此時圓柱的高4=2后-2行4=半，故

B錯.

對于C,當球的半徑最大時，球為圓錐的內(nèi)切球，設球的半徑設為R,此時圓錐與球的軸截面如圖,

因為SSM=|X|AJB|X/Z=1X2X2A/2=2A/2,

RR萬

又SSM=,X（&4+S3+AB）=5X（2/+2r）=4R,所以4R=2忘,nR=拳,

正四面體可由正方體面的對角線切割得到，如圖，正四面體外接球與相對應正方體外接球為同一個球,

當正四面體的棱長為友時，其相對應的正方體棱長為逅，

33

所以外接球直徑為2R=,3xd=日所以外接球半徑為7?=受,

［⑴2

所以該圓錐內(nèi)部有一個球，則當球的半徑最大時，球的內(nèi)接正四面體的棱長為馬8,故c對；

3

對于D,設圓錐內(nèi)接最大正方體ABC。-A4GD1棱長為°,則沿著正方體體對角面作圓錐軸截面得到截

y[la

則有2h—a2A/2—ci2A/24A/6,

--=---N--=---T=—=a=-----<------

rh224239

所以正方體面的對角線長為0a=3〉生但，

39

所以以正方體頂點A為球心，半徑為生反的球與正方體表面交線情況如下圖所示,

所以交線有兩組各有三條長度相等的曲線，第一組曲線如圖(1),第二組曲線如圖(2),

由上9=.=半,AE=AF=^,

2_276

所以4石=AG~~9~

兀n

所以4"/1741704Z7n一門口6o4屈27671,22n3詬i,

ZAAE=ZEAF=BAF=-,=>EF=—x2兀x-----=---------EG=—x2nx------=--------

"62719272TI927

所以交線的總長度為.3EG+3EF=3,故D對.

故選：ACD.

【點睛】易錯點睛：簡單幾何體相交交線是直線還是曲線是容易出錯的點，一般情況下經(jīng)過曲面的交線是

曲線，但交線過旋轉(zhuǎn)體母線的是直線，如下圖:

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知ae(o,7l),且sino+costz=g,貝!]sin2or=

24

【答案】—石'

【解析】

【分析】由同角的三角函數(shù)關(guān)系和二倍角公式計算可得.

【詳解】因為siner+cosa=-,

5

21212424

所以（sina+cosa]=石？sin2acos-a+2sinacosa=—?2sinacosa——?sin2a

252525

24

故答案為：---

13.直線/與拋物線必=4＞交于A,B兩點，若|AB|=6,則AB中點M到了軸距離的最小值是

【答案】2

【解析】

【分析】利用拋物線的定義結(jié)合中位線定理，列出不等式，發(fā)現(xiàn)取等條件，得到最小值即可.

如圖，由拋物線爐=4>得焦點/（0,1）,準線方程為y=-1,

過A,5M分別作y=-l的垂線，交于A，3］，M，

連接AFBF,則刊+忸同，當且僅當A3過點R時取等，

顯然肋%是梯形AB4A的中位線，

又由中位線定理知2|AC闋=|旦|+忸41=|AF|+忸同引=6,

則\MM\>|AB|=3,故M到x軸距離的最小值為2.

故答案為：2

14.有序?qū)崝?shù)組（公%2,…，x,J（〃eN*）稱為“維向量，聞+國+…+同為該向量的范數(shù)，范數(shù)在度量向

量的長度和大小方面有著重要的作用.已知九維向量商=（%,%，…，%），其中％e{012},i=l,2,…,〃.記

范數(shù)為奇數(shù)的&的個數(shù)為4,則&=；4〃+1=.（用含〃的式子表示）

【答案】①.40②.--------

2

【解析】

【分析】根據(jù)乘法原理和加法原理即可求解4；根據(jù)（2+1）2"+1和（2-1）2"+1的展開式相減得到&n+1的通項

公式.

【詳解】根據(jù)乘法原理和加法原理得到A4=C；?23+C；?2=40.

奇數(shù)維向量，范數(shù)為奇數(shù)，則%=1的個數(shù)為奇數(shù)，即1的個數(shù)為1,3,5,…，2”+1,

根據(jù)乘法原理和加法原理得到4"+1=c'22n2M2+C>2〃-4+C；：：；2°,

2n+l+C1M+12-+L

32M+1=（2+1）2K+1=CLi22n+1+C；“+2"+C；“+2"-2+L+C；：：：2。

2n+12n2n2

1=（2-1嚴i=C*2-C\n+12+CL+12--L-C雷2°

Q2H+1i

兩式相減得到4〃+i=2—.

中+1_1

故答案為：2；------.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在一ABC中，角A,5c所對的邊分別為a,4c,已知asinB=—J^cosA，角A的平分線交邊于

點、D,且40=1.

（1）求角A的大??；

（2）若BC=2非,求，ABC的面積.

【答案】（1）=

3

⑵

4

【解析】

【分析】（1）由兩角和的正弦公式以及正弦定理可得tanA=-百，可得結(jié)果；

（2）由三角形面積公式并利用以謝+508=5人詆，可得Z?+C=Z?C,再由余弦定理即可求得Z?c=5,由三

角形的面積公式可得結(jié)果.

【小問1詳解】

因為asinB=-也bcosA，

由正弦定理可得sinAsin3=-百sinBcosA

27t

sinjBwO,所以sinA=-若cosA，故tanA=-0，A=—.

【小問2詳解】

由題意可知s△9+SAACD=SAABC，

|TT1TT1971

即一csin—+—bsin—=-bcsin—,化簡可得b+c=Z7c，

232323

在ABC中，由余弦定理得cosA="+°2a2=S+c）-Zbc-a2=_J_,

2bc2bc2

從而僅c）—2bc_20__L解得bc=5或bc=T（舍），

2bc2

所以SAA”=—Z?csinA=—x5xsin120°=.

△4死224

16.已知函數(shù)/(%)=2-。巴〃￡R.

e

(1)當。=0時，求"％)在尤=1處的切線方程；

(2)當a=l時，求了(九)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(3)若對任意尤eR,有/(x)Wei恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)y=-

e

⑵”司的單調(diào)遞增區(qū)間為：(0,+")；遞減區(qū)間為：(—8,0),

了(%)的極大值為T,無極小值

(3)a>---

2e

【解析】

【分析】(1)利用已知確定切點，導數(shù)的幾何意義確定斜率，求出切線方程即可.

(2)利用導數(shù)先求解單調(diào)性，再確定極值即可.

(3)利用分離參數(shù)法結(jié)合導數(shù)求解參數(shù)范圍即可.

【小問1詳解】

jr

當a=0時，/(%)=—,

則，(力==，/。)=0,7■⑴=L

ee

所以切線方程為y=』.

e

【小問2詳解】

/、1-x-e2x

當a=l時,f(x)=xQx-e,尸(x)=(l—》)尸—e*=.

e

2

令ga)=l_%_e2，，^(%)=-1-26"<0,

故g(x)在R上單調(diào)遞減，而g(O)=O,因此0是g(x)在R上的唯一零點

即：。是/'(%)在R上的唯一零點

當x變化時，/'(%),/(%)的變化情況如下表:

X(-8,0)0(0,+8)

/’(%)+0—

小)JI極大值、

”司的單調(diào)遞增區(qū)間為：(0,+。)；遞減區(qū)間為：(—8,0)

了(%)的極大值為了(0)=—1,無極小值

【小問3詳解】

YpT—p'TX1

由題意知xe"—ae"<i，即a2---------,即—，

exee

i,/、e2v-2xe2xl-2x

設M")=聲r―一則"M)=一值了

CCICI

令加'(x)=0,解得x=g,

當m(%)>0,加(x)單調(diào)遞增，

當m,(x)<0,m(%)單調(diào)遞減，

所以制“2=機［切=：一：=一(，

所以〃〉——

2e

17.已知月，工分別為雙曲線C：3X2一丁2=丸(九>0)的左、右焦點，過工的直線/與雙曲線c的右支交

于A,8兩點.當/與X軸垂直時，.A34面積為12.

(1)求雙曲線C的標準方程；

\DF\

(2)當/與x軸不垂直時，作線段AB的中垂線，交x軸于點。.試判斷匕?2是否為定值.若是，請求

AB

出該定值；若不是，請說明理由.

2

【答案】（1）/—上=1

3

\DF\

（2）不2是定值1

\AB\

【解析】

【分析】（1）根據(jù),鉆片面積為12,結(jié)合雙曲線基本量關(guān)系求解即可;

⑵設直線/的方程為x="+2（/w0）,A（XQJ,6（々,%），聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得出韋達定

理，根據(jù)弦長公式求解即可.

【小問1詳解】

X2

雙曲線3/_y2=2可化為T=1

=^\F\.\AB\=^

uABFFl2

}，即％=3

雙曲線C的標準方程為好—工=1.

3

【小問2詳解】

設直線/的方程為x="+2（/w0）,A（%1,y1）,B（%2,y2）,

_y2=3

聯(lián)立雙曲線C與直線/：\~消去無可得：（3『—l）y2+129+9=0,

x=ty+2'7

A=（12?）2-4X9（3?2-1）>0,則A=/+I>O恒成立，

又直線與雙曲線交于右支兩點，故%+>0,即

■3r-l3r-13

-4

進而可得%；+%2=―,即AB中點M為

線段的中垂線為丁+一,

3r-1

即\匕DF得,\為定值L

AB

【點睛】方法點睛：

(1)根據(jù)題意設直線方程，聯(lián)立圓錐曲線的方程，得出韋達定理；

(2)將條件利用點的坐標結(jié)合弦長公式，代入韋達定理化簡證明.

18.正四棱臺ABCD—的下底面邊長為2挺，M為中點，己知點P滿足

AP=(1-2)AB+12AD+2A41,其中/Le(0,l).

(1)求證AC；

32

(2)已知平面AMG與平面A3CD所成角的余弦值為,，當4=3時，求直線。尸與平面A"G所成角

的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

24^/13

91

【解析】

【分析】（1）方法一運用空間向量的線性運算，進行空間位置關(guān)系的向量證明即可.

方法二：建立空間直角坐標系，進行空間位置關(guān)系的向量證明即可.

（2）建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法求解即可.

【小問1詳解】

方法一：

]/?

V=2AB，-'?MA5=MAD=2^/2X^-=2.

D1A=-1-AD-A41

D1P=D1A+AP=（l-2）AB+Q/l-1-^AD+（2-l）A41

：.DXPAC=（1-2）AJB+QA-1^AD+（2-1）A41（AB+AD）

.2Al]\.2..

=（1-2）AB'+-2--AD+（2-l）AB-A41+（2-l）AD-A41

=8（1-2）+8^2-1^+4（2-1）=0.

：.DXPLAC,即。/LAC.

方法二：以底面A8C￡?的中心。為原點，以0M方向為y軸，過。點平行于向前方向為x軸，

以過點。垂直平面ABCD向上方向為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設正四棱臺的高度為/?,則有

A（衣—也0）

M(0,V2,0),AC=(-2A/2,2A/2,0)

AP=(1-/1)(0,2A/2,0)+-/1(-2V2,0,0)+2-—,—,0=--2,2A/2--

CD八.4D(3口303A/2.372八

D[P—D、A+AP----------%H---------,---------XH--------,A/h—h.

11(2222J

故AC。；尸=0,所以，P，AC.

【小問2詳解】

設平面ABC。的法向量為”=(0,0,1),

___r3亞3亞、

設平面AMG的法向量為沅=(x,y,z),〃0=卜夜,20,0),AQ=——，-^―,A,

-0x+2岳=0

AM-m=0

則有＜

叫303a,n

AC-m=0---------xH--------y+hz=0

XI22

令x=2&i，則根=b"z,"z,3).

33

又題意可得|cosm,”|=「——5—=丁,可得丸=2.

J8/