2020-2021學年河南省駐馬店市高一（下）期末數(shù)學試卷（理科）（解析版）

2020-2021學年河南省駐馬店市高一（下）期末數(shù)學試卷（理科）

一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.

1.若角a的終邊過點（-泥，1）,則cosa等于（）

A.—B.」C.D.

2223

2.某班有學生56人，現(xiàn)將所有學生按1,2,3,…，56隨機編號，采用系統(tǒng)抽樣（等距抽

樣）的方法抽取一個容量為8的樣本，若抽得的最小編號為5,則樣本中編號落在［26,

40］內(nèi)的個體數(shù)目是（）

A.1B.2C.3D.4

3.口袋中裝有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的3個紅球和2個黑球，每個球編有不同的號碼,

現(xiàn)從中任意取出2個小球，事件A：恰有1個紅球；事件8：恰有2個紅球，則A、B關

系正確的是（）

A.事件A與事件8互斥B.事件A與事件8對立

C.事件A與事件2不互斥D.以上判斷都不對

4.已知相，neR,向量彳=（m,1）,石=（1,n）,1=（2,-4）,且［，石，三〃7,

則m+n=（）

A.0B.1C.2D.3

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出。的值為（）

（W）

A.—?B.-3C.--D.2

23

6.某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為30秒.若一名行人來

到該路口遇到紅燈，則其至少需要等待10秒才出現(xiàn)綠燈的概率是（）

7.從某小區(qū)隨機抽取100戶居民進行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其月用電量都在50到350度之間，

制作的頻率分布直方圖如圖所示，若由該直方圖得到該小區(qū)居民戶用電量的眾數(shù)，中位

數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）分別記為a,b,c,則（）

A.b>a>cB.a>b>cC.a>c>bD.c>b>a

8.下列說法不正確的是（）

A.在隨機試驗中，若尸（A）+P（B）=1,則事件A與事件B為對立事件

TTTT

B.函數(shù)/（x）=cos2x的圖像可由y=cos（2x—的圖像向左平移丁個單位而得到

30

C.在△ABC中，若sinA>sinB,則A>2；若A>B,則sinA>sinB

D.在△ABC中，若tanA+tanB+tanOO,則sinA>cosB

9.《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前45。年雕刻的青銅雕像，它取材于現(xiàn)實生活

中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)

在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的每只手臂長約二IT，

4

TT

肩寬約為1-ir，“弓”所在圓的半徑約為1.25處則如圖擲鐵餅者雙手之間的距離約為

()

B.平n

「-5TT兀D.2m

48

10.已知sin(a+sinCl則sin(2a的值是(

3b

n7

AD.--c

-i94

11.已知。的半徑為4,A、5是圓上兩點,ZAOB=120°,MN是一條直徑，點C在圓內(nèi)

則石的取值范圍是()

M^0C=x0A+(l-x)0B(a<x<l))

A.[-12,0]B.[-12,0)C.[-3,0]D.[-3,0)

12.已知函數(shù)/(x)=acos+J§sin(x-m-)(〃ER)是偶函數(shù).若將曲線y=/

33

(2x)向左平移工個單位長度后，再向上平移1個單位長度得到曲線y=g(x).若關

于x的方程g(x)=機在[0,吟]有兩個不相等實根，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.[0,3]B.[0,3)C.[2,3)D.[我+1,3)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某小學從一(1)班和(2)班的某次數(shù)學考試(試卷滿分為100分)的成績中各隨機抽

取了6份數(shù)學成績組成一個樣本，如莖葉圖所示.若分別從(1)班、(2)班的樣本中

各取一份，則(1)班成績更好的概率為

7?8

S6723

52?5Q

2Q3

14.已知函數(shù)f(x)=sin(3x+。)(S>0,。€*，兀))的部分圖象如圖所示，則/

(2021)=.

15.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若6=ccosA,。為AB中點，且CD

=遮，cosA=-^-,則△ABC的面積為.

O

16.在平行四邊形A8CD中，E,F,G分別為邊8C,CD,ZM的中點，B,M,G三點共

線?若Ri=aNi+(6-2a)而，則實數(shù)。的值為-

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.化簡，求值：

(I)已知睜產(chǎn)咚=2,求a+s噌e咤e；

siny-cossin巳+cos

百-tanl2°

(II)---三-----------.

(2cosz120-l)sin60cos60

18.已知￡(2,273)>|b1=3-(2a+3b)?(2a-b)=13-

(i)求Z與E的夾角；

(II)(xZ+E)l(；-2E)時，求實數(shù)尤的值?

19.移動支付是指允許移動用戶使用移動終端(通常是手機)對所消費的產(chǎn)品或服務進行支

付的一種服務方式，某金融機構為了了解移動支付在大眾中的熟知度，對15?65歲的人

群隨機抽祥調(diào)查，調(diào)查的問題是“您會使用移動支付嗎？”其中回答“會”的共有100

人，把這100人按照年齡分成5組，然后繪制成如圖所示的頻數(shù)分布表和頻率分布直方

圖.

組數(shù)第1組第2組第3組第4組第5組

分組[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]

頻數(shù)203630104

(I)求X;

（II）用分層抽樣的方法在1,3,4組中抽取6人，求第1,3,4組分別抽取的人數(shù);

（III）在（II）抽取的6人中再隨機抽取2人，求所抽取的2人來自同一個組的概率.

20.在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知ccosA+%csinA=a+b.

（I）求角C；

（ii）若c=M，求標在正方向上的投影與五在正方向上的投影之和的取值范圍.

21.寧夏西海固地區(qū)，在1972年被聯(lián)合國糧食開發(fā)署確定為最不適宜人類生存的地區(qū)之

一.為改善這一地區(qū)人民生活的貧困狀態(tài)，上世紀90年代，黨中央和自治區(qū)政府決定開

始吊莊移民，將西海固地區(qū)的人口成批地遷移到更加適合生活的地區(qū).為了幫助移民人

口盡快脫貧，黨中央作出推進東西部對口協(xié)作的戰(zhàn)略部署，其中確定福建對口幫扶寧夏,

在福建人民的幫助下，原西海固人民實現(xiàn)了快速脫貧，下表是對2016年以來近5年某移

民村莊100位移民的年人均收入的統(tǒng)計：

年份20162017201820192020

年份代碼X12345

人均年收入y1.32.85.78.913.8

（千元）

現(xiàn)要建立y關于x的回歸方程，有兩個不同回歸模型可以選擇，模型一：y⑴=法+。；模

型二：y^=cx^+d,即使畫出y關于x的散點圖，也無法確定哪個模型擬合效果更好，

現(xiàn)用最小二乘法原理，已經(jīng)求得模型二的方程為＞=0.5/+0.8.

(I)請你用最小二乘法原理，結合下面的參考公式求出模型一的方程(計算結果保留

到小數(shù)點后一位)；

(II)請你用最小二乘法原理，比較哪個模型擬合效果更好，已經(jīng)計算出模型二的參考

數(shù)據(jù)為/(y-y-25)%.42.

i=l

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)("1,V1),("2,V2),…，(詼，V,),其回歸直線v=

n

工uivi-nuv

a+0"的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為0=旦-----------，-Pu.

V2-2

〉,ui-nu

i=l

22.已知［=(sina)x,cosu)x),三=(cosu)x,A/^COSO)X),f(x)=［?(⑴

>0).函數(shù)y=/(x)的最小正周期為TT.

(I)求函數(shù)/(%)在［0,汨內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；

TTTTTTTT

(II)若關于x的不等式f在［0，內(nèi)

恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.

1.若角a的終邊過點（-日，1）,則cosa等于（）

A.—B./C.D.jZl

2223

【分析】根據(jù)已知條件，結合任意角的三角函數(shù)的定義，即可求解.

解：?..角a的終邊過點（-泥，1）,

C0S（）22

,■-V-V3+l2-

故選：C.

2.某班有學生56人，現(xiàn)將所有學生按1,2,3,…，56隨機編號，采用系統(tǒng)抽樣（等距抽

樣）的方法抽取一個容量為8的樣本，若抽得的最小編號為5,則樣本中編號落在［26,

40］內(nèi)的個體數(shù)目是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】求出系統(tǒng)抽樣間隔，根據(jù)抽得的最小編號為5,找出樣本編號落在［26,40］內(nèi)的

是哪些即可.

解：由題意知，系統(tǒng)抽樣間隔是56+8=7,

若抽得的最小編號為5,則抽取樣本中編號為5+7〃，"=0,洋…,7；

所以樣本編號落在［26,40］內(nèi)的是26,33,40,共3個.

故選：C.

3.口袋中裝有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的3個紅球和2個黑球，每個球編有不同的號碼,

現(xiàn)從中任意取出2個小球，事件人恰有1個紅球；事件2：恰有2個紅球，則4、2關

系正確的是（）

A.事件A與事件8互斥B.事件A與事件B對立

C.事件A與事件8不互斥D.以上判斷都不對

【分析】事件48不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，則事件A與事件B互斥.

解：口袋中裝有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的3個紅球和2個黑球，

每個球編有不同的號碼，現(xiàn)從中任意取出2個小球，

事件A：恰有1個紅球；事件8恰有2個紅球，

事件A,5不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，

則A、5關系正確的是事件A與事件5互斥.

故選：A.

4.已知機，nER,向量之=（m,1）,三=（1，〃），*c=（2,-4）,且彳，總E〃一

則m+n=（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算，利用時？E=o即可求出m+〃的值?

解：因為向量之=（m,1）,芯=（1，〃），且

所以;?E=mX1+1Xn=m+n=O.

故選：A.

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出〃的值為（）

a=2,i=1

A.」B.-3C.—D.2

23

【分析】先求出。的值的循環(huán)周期，再根據(jù)循環(huán)結束的i的值即可求解.

,1+?

解：當4=2,，=1時，6Z==-3,1=2;

1-2

1-Q1

當〃=-3,，=2時，a=----=—，i=3；

1+32

1-

當。=-」，，=3時，〃=----i=4；

2-13

1V

當。=」，i=4時，a=一）=2,，=5;故。的值是以4為周期進行循環(huán),

3」

3

當1=2022=505X4+2時，a=-3,循環(huán)結束,

故選：B.

6.某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為30秒.若一名行人來

到該路口遇到紅燈，則其至少需要等待10秒才出現(xiàn)綠燈的概率是（）

3121

A.—B.—C.—D.—

4233

【分析】紅燈持續(xù)時間為30秒，需行人至多前20秒來路口遇紅燈，再結合幾何概型的

公式，即可求解.

解：設行人至少等10秒才出現(xiàn)綠燈為事件A,

:紅燈持續(xù)時間為30秒，

需要至少等10秒才出現(xiàn)綠燈，則需行人至多前20秒來路口遇紅燈，

故選：C.

7.從某小區(qū)隨機抽取100戶居民進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其月用電量都在50到350度之間，

制作的頻率分布直方圖如圖所示，若由該直方圖得到該小區(qū)居民戶用電量的眾數(shù)，中位

數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）分別記為b,c,則（）

A.b>a>cB.a>b>cC.a>c>bD.c>b>a

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可分別求出。，b,c即可進行比較.

解：由圖可得：所抽取的100戶的月均用電量的眾數(shù)為：a=150^--175（度），

由圖可得：(0.0024+0.0036)X50=0.3<0.5,(0.0024+0.0036+0.0060)X50=0.6>0.5,

故中位數(shù)應該在[150,200)的范圍內(nèi)的某一個值.

則b=150+0?5-83><50=183」(度)，

0.33

根據(jù)頻率分布直方圖的得到200度到250度的頻率為：

1-0.0012X50-0.0024X50-0.0036X50-0.0060X50-0.0024X50=0.22,

估計所抽取的100戶的月均用電量的平均數(shù)為：C=(75X0.0024+125X0.0036+175X

0.0060+225X0.2250+275X0.0024+325X0.0012)X50=186(度),

則c>b>a.

故選：D.

8.下列說法不正確的是()

A.在隨機試驗中，若尸(A)+P(B)=1,則事件A與事件B為對立事件

JTJT

B.函數(shù)/(尤)=cos2x的圖像可由y=cos(2x—丁)的圖像向左平移二二個單位而得到

36

C.在△ABC中，若sinA>sinB,則A>&若A>2,則sinA>sinB

D.在△ABC中，若tanA+tanB+tanOO,則sinA>cosB

【分析】由概率，三角函數(shù)的性質(zhì)，逐個判斷，即可得出答案.

解：對于人在投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子時，

記事件4”向上的點數(shù)為奇數(shù)”，

記事件B：”向上的點數(shù)為1點或2點或3點”，

則P(A)=P(B)=—,滿足P(A)+P(8)=1,

2

但A,8不為對立事件，故A不正確；

對于b將函數(shù)y=cos(2尤-二)的圖象向左平移各個單位得到函數(shù)

36

y=cos[2-w-]=852工的圖象，故5正確；

63

對于C記△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別記為〃，b,c,其外接圓的半徑為R,

則由sinA>sinB,及正弦定理可得2RsinA>2Rsin3,

即a>b,

再由三角形中大邊對大角，可得A>8,

反之，由及三角形中大角對大邊可得

再由正弦定理可得27?sinA>27?sinB,

所以sinA>sin8,故。正確;

sinA?sinB?sinC

對于。:因為tanA+tanB+tanC

cosAcosBcosC

sinAcosB+cosAsinB,sinC

cosAcosBcosC

_sin(A+B)?sinC

cosAcosBcosC

_sin(兀-C)?sinC

cosAcosBcosC

—sinC?sinC

cosAcosBcosB

=sinC(---------------+---)>0,

cosAcosBcosC

因為0VC<n,

所以sinOO,

所以―

cosAcosBCOSC

即cosC+cosAcosB)0

cosAcosBcosC

以cos(兀-A-B)+cosAcosB)0

cosAcosBcosC

即一cos(A+B)+c0sAcosB)0

cosAcosBcosC

所以sinAsinB>0,

cosAcosBcosC

因為0<AVir,0<B<n,

所以sinA>0,sinB>0,

所以cosAcosBcosOO,

若cosA>0,則cos3>0且cosOO或cosBVO且cosCVO,(不成立，舍去)，

同樣，cosA<0,cosB>0,cosCVO或cosA>0,cosB>0,cosOO,

故△ABC為銳角三角形,

所以A+B>^-,

jr兀

從而—>A>y--B>0,

22

所以sinA>sin(2--8)—cosB,故。正確,

2

故選：A.

9.《擲鐵餅者》是希臘雕刻家米隆于約公元前450年雕刻的青銅雕像，它取材于現(xiàn)實生活

中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)

在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的每只手臂長約2ir，

4

JT

肩寬約為百ir，“弓”所在圓的半徑約為1.25相，則如圖擲鐵餅者雙手之間的距離約為

()

【分析】由題分析出這段弓所在弧長，結合弧長公式求出其所對圓心角，雙手之間的距

離為其所對弦長.

解：由題得：弓所在的弧長為：/=：4==器(其中弧EF為肩寬)，

4488

5兀

所以其所對的圓心角a=g2，

52

7

...兩手之間的距離＜7=27?sin—=2X—料瓶.

4424

故選：B.

ECF

10.已知sin(a+sin^則sin(2a-7一)的值是()

3b

72

AB.cD.

-I9-i9

【分析】根據(jù)已知條件sin(a+sind=零，運用三角函數(shù)的恒等變換，可得

3

JT1

sin(a*)J，再結合三角函數(shù)的二倍角公式和誘導公式，即可求解.

解：sin(a-Hsina=_^_,

o0

4-sina+^cosa+sina即sin(a

乙乙o

?/兀、2/兀、17

?-cos(2CI+-^-)=l-2sin(a4^-)=1-2X萬3，

1111TTIT7

sin(2a---)=sin(2CI.--^-?t^-)=-cos(2a'k^-)=W

故選：B.

11.已知。的半徑為4,A、8是圓上兩點，ZAOB=120°,MN是一條直徑，點C在圓內(nèi)

且滿足氐=乂贏+(1-乂)而(o〈x〈i)，則石i?K的取值范圍是()

【分析】由題意知,CM-CN=-1［詢+E）2-（石i-&）2］=同12T6,再結合三

點共線的條件，求出?無?的取值范圍，即可得解.

解:而a=［［（而+林2-（而-施2］得（4瓦2_而2）=屈|2-（頻）2

=IcoI2-16-

1?,OC=xOA+（l-x）OB（0<x<l）>

???點C在線段A3上，且與A,5兩點不重合，

當OCLAB時，|五|取得最小值，為2；當。與A,5重合時，|而|取得最大值，為

4,

又C與A,B兩點不重合，??.2W|而|<4,

?,石?五=|512T6日-12,。）.

故選：B.

12.已知函數(shù)/（x）=acos（尤---）+Fsin（x-（oeR）是偶函數(shù).若將曲線y=/

（2x）向左平移二個單位長度后，再向上平移1個單位長度得到曲線y=g（x）.若關

于X的方程g(x)=機在［0,哈］有兩個不相等實根，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.［0,3］B.［0,3)C.［2,3)D.［y+1,3)

【分析】由題意利用三角恒等變換化簡了(%)的解析式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得。，，可

得了(無)的解析式，再利用函數(shù)y=Asin(3x+(p)的圖象變換規(guī)律，可得g(x)的解析

式，再利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得實數(shù)式的取值范圍.

解：?函數(shù)/(尤)=acos(x-+?sin(x-

=("cosx+^-^-<2sinx)+V2(—sin%-&SX)

2222

=(---)cosx+(義sinx是偶函數(shù)(〃€R)，

2222

則f(x)=f(-x),：3.\a=-1,

22

故/(x)=-2cosx,.*./(2x)=-2cos2x.

若將曲線y=/(2x)向左平移二個單位長度后，可得y=-2cos(2X+3)的圖如

126

再向上平移1個單位長度得到曲線y=g(x)=-2cos(2元+3)+1的圖象.

6

若關于x的方程g(%)=根在［0,吟］有兩個不相等實根,

則cos(2I+3)=守在［0,孚］有兩個不相等實根.

6212

兀「兀4兀1

??2x+--e［--，——］，

663

求得相

..cos--K-^-^-—,2W<3,

3222

故選：C.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某小學從一(1)班和(2)班的某次數(shù)學考試(試卷滿分為100分)的成績中各隨機抽

取了6份數(shù)學成績組成一個樣本，如莖葉圖所示.若分別從(1)班、(2)班的樣本中

各取一份，則(1)班成績更好的概率為

【分析】先求出總的基本事件數(shù)，再求出所求事件的基本個數(shù)，進而可以求解.

解：分別從（1）班、（2）班的樣本中各取一份，共有6X6=36種情況，

設抽?。?）（2）班的一份成績分別為％?貝Ux>y的情況有（76,68）,（76,72）,

(76,73)，(76,68),(78,72),(78,73),

(82,68),(82,72),(82,73),(85,68),(85,72),(85,73),(92,

68),(92,72),(92,73),(92,85),(92,89)

共17種情況，故所求概率為昇,

36

故答案為：棄

36

14.已知函數(shù)f（x）=sin（3x+。）（3〉0,。€彳，兀））的部分圖象如圖所示，則了

(2021)V2

再利用誘導公式求解即可.

解：由圖象可知/（0）=零，貝ijsin（p=乎，

又<pe（三,TT）,所以甲=4，

24

由/（―）=-1,可得sin（旦3+*兀）=-1,

444

所以旦3+空=--+2kn,keZ,

442

6二I、J_5兀工8k兀［5

33

由圖象可得!即所以—,

24343

所以k=l時，0)=71,

所以/(%)=sin(nx+3兀),

4

所以/(2021)=sin(202171+3兀-)=-sin兀=-

442

故答案為：-返.

2

15.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若6=ccosA,。為A8中點，且CD

cosA=1■，貝［「△ABC的面積為__—

33

【分析】由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡己知等式可得cosC=0,結合范圍Ce(0,

TT),可得C=手，由題意可求c=2遮，利用勾股定理可得。2+〃=(2?)2=12,又

由余弦定理可得a2=i2+b2-2XbX2^xJ,聯(lián)立解得6的值，利用同角三角函數(shù)基

O

本關系式可求sinA的值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

解：因為b=ccosA,

由正弦定理可得，sin8=sinCcosA=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA,

所以sinAcosC=0,

因為sinAWO,

所以cosC=0,

因為(0,ir),

所以c=5，

因為。為AB中點，且cosA=—,

o

所以4。=。5=虛，c=2?,可得〃2+爐=(2?)2=12,①，

在△ABC中，又由余弦定理可得a2=i2+62-2XbX2/X'1,②

O

由①②解得b=2返，

3

又sinA=hcoS,A=平,

O

所以SAABC=?csinA=/又名度><2?X型

22333

故答案為：生巨.

3

16.在平行四邊形ABC。中，E,F,G分別為邊8C,CD,ZM的中點，B,M,G三點共

線.若京=aI^+(6-2a)而，則實數(shù)。的值為一亍一.

O

【分析】根據(jù)向量加法運算法則以及三點關系的性質(zhì)，利用系數(shù)和相加為1,建立方程進

行求解即可.

解：AF=AB+BF=2AG+7AD-

AE=AD+DE=AD+AG>

7AM=aAE+(6-2a)AF，

AM=fl(AE+AG>+(6-2a)(2菽+￡'同)

=(。+3-a)^￡)+(a+12-4a)AG，

=3標+(12-3a)AG，

VB,M,G三點共線，

3+12-3a=L

得3a=14,得〃

3

故答案為：昔.

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.化簡，求值：

(I)已知嗎+c嘮0求包孥普嗯；

sin-cossinD+cos弓

V3-tanl20

(II)-------------------------------

(2cosZ120-l)sin60cos6O

【分析】(I)利用條件先求出tan。的值，利用弦化切進行求解即可.

(II)利用切化弦，利用輔助角公式進行轉(zhuǎn)化求解即可.

(I)由5空+c喏

解:二2,

sin^-cos

得sin0+cos0=2sin0-2cos0,

即3cos0=sin0,得tan9=3,

(l+sin2?)sin9(sin8+cos8)2sin8

則=sin29+sin6cos9

sin8+cos8sin8+cos8

sin"8+sinBcos8_tan“8+tan86

sin28+cos28tan28+15

廠sinl2°V^cosl20-sinl20

“3-COS12°二cosl2°一

(II)原式=

cos24°-sinl2°cos24°-sinl2°

4(-^cosl20-^_sinl20)8sin48

8sin(60°-12°)=1.“c。=16.

Sin48

cos24°-sinl2°cosl2°cos24°sin24°I

18.已知￡(2,273).lb|=3>(21+3b)*(2a-b)=13-

(i)求之與E的夾角；

(II)(xZ+%)_L(Z-2E)時，求實數(shù)x的值?

【分析】(I)可求出|彳|=4＞然后根據(jù)(22+3石)，(2彳-石)=13進行數(shù)量積的運算即

可求出工,三的值，從而可求出cos〈Z,E〉的值，然后即可求出；，E的夾角；

(II)根據(jù)(xa+b)_L(a-2b)可得出(xa+b)*(a-2b)=0,然后進行數(shù)量積的運算

即可求出x的值.

解：(I)|a|=4，|E|=3，

又(2a+3b)<2a-b)=13，4a^+4a-b-3b2=13,64-27+4a,b=13,

ab--6，cos0=.-.-.=F，

|a|b|122

又：ee[0,m，與芯的夾角為等；

o

(II)*,(xa+b)_L(a-2b)j(xa+b)?(a-2b)=0?

,,xa+(l-2x)ab-2b=0J

/.16x-6(1-2x)-18=0,乂1.

x7

19.移動支付是指允許移動用戶使用移動終端(通常是手機)對所消費的產(chǎn)品或服務進行支

付的一種服務方式，某金融機構為了了解移動支付在大眾中的熟知度，對15?65歲的人

群隨機抽祥調(diào)查，調(diào)查的問題是“您會使用移動支付嗎？”其中回答“會”的共有100

人，把這100人按照年齡分成5組，然后繪制成如圖所示的頻數(shù)分布表和頻率分布直方

圖.

組數(shù)第1組第2組第3組第4組第5組

分組[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]

頻數(shù)203630104

（I）求X;

（II）用分層抽樣的方法在1,3,4組中抽取6人，求第1,3,4組分別抽取的人數(shù);

（III）在（II）抽取的6人中再隨機抽取2人，求所抽取的2人來自同一個組的概率.

【分析】（I）利用頻率分布直方圖能求出x的值.

（II）第1,3,4組共有60人，抽取的比例是擊，由此能求出從第1,3,4組抽取的

人數(shù).

（III）設第1組抽取的2人為4,4,第3組抽取的3人為Bi,比，Bi,第4組抽取的

1人為C,由此能求出從這6人中隨機抽取2人，抽取的2人來自同一個組的概率.

解：（/）由題意可知X得~=0.030,

（〃）第1,3,4組共有60人，故抽取的比例為一門?-金?

20+30+1010

，從第1組抽取的人數(shù)為：20X±=2人，

10

從第3組抽取的人數(shù)為：30X±=3人，

10

從第4組抽取的人數(shù)為：10X±=l人；

10

（山）設從第1組抽取的2人分別為Al,A2,第3組抽取的3人分別為B1,&,

第4組抽取的1人為C,則從這6人隨機抽取2人，

共有：A1A2，AiBi,AiB2fA1B3,AiCfA281,A2B2,A2B3,A2C,B1B2,B1B3,B\C,B2B3,

BzC,23cl5個基本事件.

其中符合所抽取的2人來自同一個組的有4個基本事件,

...所抽取的2人來自于同一個組的概率為

15

20.在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,已知ccosA+%csinA=a+b.

（I）求角C；

（ii）若c=a，求標在菽方向上的投影與包在正方向上的投影之和的取值范圍.

1T

【分析】（I）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式可得2sin（C-k）=l

6

TT

根據(jù)范圍0<C<q,可求C的值.

（II）依題意，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)恒等變換化簡可得

V3c0sA+c0sB=V3sin（A+各），可求范圍?<A0<2?,進而根據(jù)正弦函

6363

數(shù)的性質(zhì)即可求解.

解：（I）因為ccosA+V3csinA=a+b,由正弦定理得：

sinCcosA-?V3sinCsinA=sinA+sinB=sinA+sin（A-H3.，

化簡得：G/^sinC-cosC）sinA=sinA

又入1%/。,

.的nC-coQl，即:2sin（C-y）=L

V0<C<3，

2

.71

1?C=T;

（II）依題：誣在菽方向上的投影與五在前方向上的投影之和為：V3cosA+V3cosB，

2兀n\/3

由（I）知：V3COSA+V3COSB=V3COSA+V3COS（-77--A）=—sinA+^^-cosA=

3NN

?sin（A+^），

因為AABC為銳角三角形,

0<A<-^

2,即三<A<=,2。吾〈筍

所以4

0<22L_A<2L62363

32

sin（A+^）<V

6

故屈在菽方向上的投影與樂在近方向上的投影之和的取值范圍是：仔，Vsl,

21.寧夏西海固地區(qū)，在1972年被聯(lián)合國糧食開發(fā)署確定為最不適宜人類生存的地區(qū)之

為改善這一地區(qū)人民生活的貧困狀態(tài)，上世紀90年代，黨中央和自治區(qū)政府決定開

始吊莊移民，將西海固地區(qū)的人口成批地遷移到更加適合生活的地區(qū).為了幫助移民人

口盡快脫貧，黨中央作出推進東西部對口協(xié)作的戰(zhàn)略部署，其中確定福建對口幫扶寧夏,

在福建人民的幫助下，原西海固人民實現(xiàn)了快速脫貧，下表是對2016年以來近5年某移

民村莊100位移民的年人均收入的統(tǒng)計：

年份20162017201820192020

年份代碼X12345

人均年收入y1.32.85.78.913.8

（千元）

現(xiàn)要建立y關于龍的回歸方程，有兩個不同回歸模型可以選擇，模型一：y^=bx+a-,模

型二：y^=cx2+d,即使畫出y關于x的散點圖，也無法確定哪個模型擬合效果更好，

現(xiàn)用最小二乘法原理，已經(jīng)求得模型二的