【數(shù)學】2019年高考真題-全國Ⅲ卷（理）（含答案）

2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(全國III卷)

理科數(shù)學

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.已知集合人={-1,0,1,2},B={X|X2<1},則AB=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

2.若z(l+i)=2i，則z=()

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古

典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學生，其中

閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱

讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人

數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

4.(l+2x2)(1+x)4的展開式中R的系數(shù)為()

A.12B.16C.20D.24

5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{飆}的前4項為和為15,且45=34+44，則/=()

A.16B.8C.4D.2

6.已知曲線y=ae*+xlnx在點(1,ae)處的切線方程為則()

A.a=e,b=-lB.4=e,b=l

AJL,X

7T

—“一

8.如圖，點N為正方形ABC。的中心，AECD為正三角形,平面￡COJ_平面ABCD.M是

線段的中點，則（）

78

A.BM=EN,且直線BM、EN是相交直線

B.BM^EN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM、EN是異面直線

D.BM,EN,且直線BM,EN是異面直線

9.執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的￡為0.01,則輸出S的值等于（）

A.-2?1B.2c-l-C.2c-l-D.c2-l-

10.雙曲線C：工—二=1的右焦點為F,點尸在c的一條漸進線上，。為坐標原點，若

42

回=閥,則APF。的面積為（）

A.迫B.述C.2A/2D.372

42

II.設/（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且在（0,8）單調(diào)遞減，則（）

A.f（logl[-）＞f（-3i）＞f（盧2）

34922

B.f（loga1l）＞f（2-23）＞f（2”3）

c.f（2-32）＞f（2-23）＞f（Iog3：1）

-）

D.f（2-|）＞/（22（砥:）

12.設函數(shù)/（x）=sin（0X+1）（0>0）,己知/（X）在［0,2可有且僅有5個零點，下述

四個結(jié)論：

①“X）在（0,2兀）有且僅有3個極大值點

②/（X）在（0,2兀）有且僅有2個極小值點

③/（X）在（0令）單調(diào)遞增

1229

④。的取值范圍是［彳，記）

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.①?B.②③C.①②③D.①③④

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知a,6為單位向量，且a/=0,若c=2a-后b，貝ijcos<a，c>=.

S

14.記S,為等差數(shù)列｛斯｝的前八項和，qWO,a2=3at,則言=.

二5

22

15.設耳鳥為橢圓C:二+六=1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限.若AM耳瑪

為等腰三角形，則M的坐標為.

16.學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體

ABC?！?4G2挖去四棱錐O—EFGH后所得幾何體，其中。為長方體的中心，E,F,

G,H分別為所在棱的中點，AB=BC^6cm,AA,=4cm,3D打印所用原料密度為0.9g/cn?,

不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分。

17.（12分）

為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A、

B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每組小

鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠

體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

頻率/組距

o3O

o0

0.20

o.J25

0.15

oJ0

b

OQ5

0.05

O2.53.54.55.56.57.58.5百分比

甲窩子殘的百分比真方留乙禹，?殘的百分比比方用

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”,根據(jù)直方圖得到P（C）的估計值

為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中。，。的值;

（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代

表）.

18.（12分）

A+C

△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知asin--------=/?sinA.

2

(1)求B；

(2)若AABC為銳角三角形，且c=l,求△ABC面積的取值范圍.

19.（12分）

圖1是由矩形AOEB、RSA8C和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1,BE=BF=2,

4BC=60。，將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)力G,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面ABCJ_平面8CGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

20.（12分）

己知函數(shù)/(x)=2/-ax1+h.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)是否存在a,b,使得/(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為-1且最大值為1?若存在，求出

。力的所有值；若不存在，說明理由.

21

21.已知曲線C：產(chǎn)x工，。為直線尸-不上的動點，過。作C的兩條切線，切點分別為A,

22

B.

(1)證明：直線4B過定點：

(2)若以E(0,g)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形AO8E

的面積.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計分。

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

如圖,在極坐標系。x中，42,0),如衣?C(倉爭，。(2,兀)，弧45,BC，CD

所在圓的圓心分別是(1,0),(1(),(1,2,曲線M是弧A3,曲線是弧3C，曲線加3

是弧CD

(1)分別寫出Mi，M”的極坐標方程；

(2)曲線M由M1,M2,Af；構(gòu)成，若點P在M上，且|OP|=6,求P的極坐標.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

設x,y,zeR,且x+y+z=l.

(1)求(x—l)2+(y+l)2+(z+l)2的最小值；

(2)若(x-2)2+(y-l)2+(z-a)2Ng成立，證明：a<-3^a>-\.

【參考答案】

一、選擇題

1.A2.D3.C4.A5.C6.D7.B8.B9.C10.A

II.C12.D

二、填空題

13.|-14.415.(3,V15)16.118.8

三、解答題

17.解：(1)由已知得0.70=4+0.20+0.15,故a=0.35.

1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為

2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.10+7x0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計值為

3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00.

A+C

18.解：(1)由題設及正弦定理得sinAsin----=sinBsinA.

2

A+C

因為sinAwO,所以sin-----=sin5.

2

由A+8+C=l80,可得sin-----=cos—,?cos—=2sin—cos—.

22222

B8]

因為cos—w0,故sin—=一，因此8=60。.

222

(2)由題設及(l)知aABC的面積

由正弦定理得"*=刨曳二9=旦+L

sinCsinC2tanC2

由于AABC為銳角三角形，故0。<4<90。，0°<C<90°,由(1)知A+C=120。，所以30。<(7<90。

故一<a<2,從而<SAABC<~~■

282

因此，aABC面積的取值范圍是

19.(1)證明：由已知得A。BE,CGBE,所以A。CG,故A。，CG確定一個平面,

從而A,C,G,。四點共面.

由已知得AB1BE,AB1BC,故A8J■平面BCGE.

又因為A8U平面4BC,所以平面ABC，平面BCGE.

(2)解：作EH_LBC,垂足為H.因為EHU平面BCGE,平面8CGE1平面ABC,

所以EH1平面48c.

由己知，菱形BCGE的邊長為2,NEBC=60°,可求得B4=l,EH=6.

以H為坐標原點，HC的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系H-xyz,

則A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,G),CG=(1,0,6),AC=(2,

-1,0).

設平面ACGO的法向量為〃=(x,y,z)，則

CG-n=0,nnfx+V3z=0,

<即<

ACn=0,［2x-y=0.

所以可取"=(3,6,_乖)).

又平面BCGE的法向量可取為/n=(0?1,0),所以cos〈”,/〃〉="

\n\\m\2

因此二面角B-CG-A的大小為30。.

20.解：⑴/'(%)=6爐-20r=2x(3x-a).

令/'(x)=0,得x=0或x=@.

若a>0,則當xe(-oo,0)($+°°時，/'(幻>0；當xe］。,1卜j,f'(x)<0.故/(x)

在(fo,0),(5，+ocj單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

若。=0,7(X)在(-8,+8)單調(diào)遞增；

若4<0,則當(0,+oo)時，/,(x)>0；當時，r(x)<0.故/(x)

在［-00,(0,+oo)單調(diào)遞增，在(1,()］單調(diào)遞減.

(2)滿足題設條件的。，人存在.

⑴當心0時，由(1)知，f(x)在［0,1］單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為f(O)=b,

最大值為/(I)=2-。+。.此時a,b滿足題設條件當且僅當。=一1,2-。+人=1,即a=0,

b=-\.

(ii)當定3時，由(1)知，/(x)在［0,1］單調(diào)遞減，所以/(x)在區(qū)間［0,1］的最大值為

f(0)=b,最小值為/(I)=2-a+b.此時a,b滿足題設條件當且僅當2-a+b=-l,b=l,

即a=4,b-\.

(iii)當0＜a＜3時，由(1)知，/(x)在［0,1］的最小值為/(1=一|^+6,最大值為b

或2-。+A.

若一二+6=—1,b=l,則與0＜々＜3矛盾.

27

3

若----I-Z?=—1,2—a+b=\,則。=或Q=—或〃=0,與0＜。＜3矛盾.

27

綜上，當且僅當。=0,。=-1或折4,8=1時，/(X)在［0,1］的最小值為-1,最大值為1.

21.解：⑴設。，，一,,A(x1,yI),則x；=2y「

\27

1

Jl+2

由于yr=x,所以切線D4的斜率為王，故X]?

%]一t

整理得2缶-2必+1=0.

設3(匕,%)，同理可得2%-2%+1=。?

故直線AB的方程為2次一2y+1=0.

所以直線A8過定點(0,工).

2

(2)由(1)得直線AB的方程為y=fx+g.

y=tx+—

由42,可得f—2a一1=0.

于是玉+九2=%，司9=-1,y+%=，芯+W）+1=2產(chǎn)+1，

|A8|=7I77|西一々|二J"/XJ（X+/）2-4中2=21+1）.

設4,d,分別為點。，E到直線AB的距離，則4=護[1,d,=I________

因此，四邊形4￡>8后的面積5=3|4研（4+《）=（r+3）177.

設M為線段AB的中點，則/+g）

由于EM,AB,而一2）,AB與向量（l,t）平行，所以1+（*-2>=0.解得

片0或￡=±1.

當f=0時，S=3；當，=±1時，5=472.

因此，四邊形ADBE的面積為3或4&.

22.解：（1）由題設可得，弧A3,BC,CD所在圓的極坐標方程分別為夕=2cos氏0=2sin8,

0二-2cos8.

所以M的極坐標方程為p=2c0，