2019-2020學(xué)年北京市昌平區(qū)九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2019-2020學(xué)年北京市昌平區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.如圖是某個幾何體的三視圖，該幾何體是（）

主視圖左視圖

△

俯視圖

A.長方體B.圓錐C.圓柱D.三棱柱

2.已知NA是銳角，tanA=l,那么NA的度數(shù)是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

3.隨著國民經(jīng)濟快速發(fā)展，我國涌現(xiàn)出一批規(guī)模大、效益高的企業(yè)，如大疆、國家核電、

華為、鳳凰光學(xué)等，以上四個企業(yè)的標(biāo)志是中心對稱圖形的是（）

4.如圖，為。。的直徑，弦CDLAB于點、E,連接AC,OC,OD,若NA=20°,則

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點A,5坐標(biāo)分別為（1,0）,（3,2）,連接A8,將線段A5

平移后得到線段—，點A的對應(yīng)點4'坐標(biāo)為（2,1）,則點戌坐標(biāo)為（）

A.（4,2）B.（4,3）C.（6,2）D.（6,3）

6.二次函數(shù)y=f+加;+。的圖象如圖所示，若點A（0,ji）和b（-3,J2）在此函數(shù)圖象

上，則）1與）2的大小關(guān)系是（）

A.J1>J2B.J1<J2C.J1=J2D.無法確定

7.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖中△A3C繞著一個點旋轉(zhuǎn)，得到點。的對

應(yīng)點。所在的區(qū)域在1區(qū)?4區(qū)中，則點。所在單位正方形的區(qū)域是（）

A.1區(qū)B.2區(qū)C.3區(qū)D.4區(qū)

8.如圖，拋物線y=-f+2x+相交X軸于點A（%0）和5（b,0）,交y軸于點C,拋物

線的頂點為D,下列四個結(jié)論：

①點。的坐標(biāo)為（0,m）;

②當(dāng)機=0時，△A6O是等腰直角三角形；

③若〃=-1,貝寸8=4;

④拋物線上有兩點尸（X1,J1）和。（x2,J2）,若X1VIVX2,且％1+必>2,則了1>了2.

其中結(jié)論正確的序號是（）

B\x

A.①②B.①②③C.①②④D.②③④

二、填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）

9.已知拋物線y=f+c,過點（0,2）,則c=.

10.如圖，已知正方形045c的三個頂點坐標(biāo)分別為A（2,0）,B（2,2）,C（0,

2）,若反比例函數(shù)>=區(qū)（4>0）的圖象與正方形0A5C的邊有交點，請寫出一個符合

x

條件的"值.

加

3-

2Q5

?II?

-1O123X

11.如圖，正方形A5C￡）內(nèi)接于O。，OO的半徑為6,則定的長為.

（Q）

12.如圖，在△ABC中，NC=90°,NA=a,AC=20,請用含a的式子表示的長_____

B

13.如圖，PA,是。。的切線，切點分別是點A和8,AC是。。的直徑.若NP=60°,

PA=6,則的長為.

A

14.平面直角坐標(biāo)系中，點A,5的坐標(biāo)分別是A(2,4),B(3,0),在第一象限內(nèi)以

原點。為位似中心，把△0A5縮小為原來的方，則點A的對應(yīng)點4的坐標(biāo)為.

15.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧A8,點。是這段弧所在圓的圓心，43=40機，點

C是定的中點，且CZ>=10機，則這段彎路所在圓的半徑為m.

16.如圖，拋物線￥=x2+2*+2和拋物線7=￥-2%-2的頂點分別為點“和點"，線段MN

經(jīng)過平移得到線段PQ,若點Q的橫坐標(biāo)是3,則點P的坐標(biāo)是,MN平移到PQ

掃過的陰影部分的面積是.

三、解答題(共6道小題，每小題5分，共30分)

17.計算：sin30°+2cos60°Xtan60°-sin245°.

18.如圖，在RtZkABC中，ZC=90°,tanA=-^,BC=2,求AB的長.

3

19.已知二次函數(shù)y=-x-2x+3.

(1)將二次函數(shù)化成y=a(x-h)?+左的形式；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出y=-f-2x+3的圖象;

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y>0時工的取值范圍.

4-

3-

2-

-4

20.下面是小東設(shè)計的“過圓外一點作這個圓的兩條切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：及。。外一點P.

求作：直線04和直線尸優(yōu)使P4切。。于點A,PB切于點、B.

作法：如圖，

①連接0P,分別以點0和點P為圓心，大于［OP的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交

于點M,N;

②連接MN,交OP于點0,再以點0為圓心，0。的長為半徑作弧，交。。于點A和

點此

③作直線PA和直線PB.

所以直線PA和PB就是所求作的直線.

根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：是。。的直徑，

：.ZOAP=ZOBP=°（）（填推理的依據(jù)）.

：.PA±OA,PB±OB.

,：OA,為。。的半徑，

：.PA,尸3是。。的切線.

22.課堂上同學(xué)們借助兩個直角三角形紙板進行探究，直角三角形紙板如圖1所示，分別

為RtZkABC和RtZkOE憶其中NA=NZ>=90°,AC=DE=2cm.當(dāng)邊AC與DE重合,

且邊48和。F在同一條直線上時:

（1）如圖2在下邊的圖形中，畫出所有符合題意的圖形;

（2）求5尸的長.

四、解答題（共4道小題，每小題6分，共24分）

23.材料1:如圖1,昌平南環(huán)大橋是經(jīng)典的懸索橋，當(dāng)今大跨度橋梁大多采用此種結(jié)構(gòu).此

種橋梁各結(jié)構(gòu)的名稱如圖2所示，其建造原理是在兩邊高大的橋塔之間，懸掛著主索，

再以相應(yīng)的間隔，從主索上設(shè)置豎直的吊索，與橋面垂直，并連接橋面承接橋面的重量，

主索幾何形態(tài)近似符合拋物線.

圖1

橋塔

圖2

材料2:如圖3,某一同類型懸索橋，兩橋塔AO=5C=10m，間距48為32m,橋面A5

水平，主索最低點為點P,點尸距離橋面為2機；

DC

為了進行研究，甲、乙、丙三位同學(xué)分別以不同方式建立了平面直角坐標(biāo)系，如圖4:

圖4

甲同學(xué)：以O(shè)C中點為原點，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系；

乙同學(xué)：如圖5,以A5中點為原點，A3所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系；

圖5

丙同學(xué)：以點尸為原點，平行于的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

),A

圖6

(1)請你選用其中一位同學(xué)建立的平面直角坐標(biāo)系，寫出此種情況下點C的坐標(biāo)，并

求出主索拋物線的表達式；

(2)距離點尸水平距離為4機和8機處的吊索共四條需要更換，則四根吊索總長度為多

少米？

24.如圖，A3是。0的直徑，點C是圓上一點，點。是半圓的中點，連接交08于點

E,點尸是AB延長線上一點，CF=EF.

(1)求證：fc是。。的切線；

25.如圖1,金是直徑A8所對的半圓弧，點尸是金與直徑43所圍成圖形的外部的一個

定點，48=8"/,點C是第上一動點，連接尸C交4B于點。.小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)

驗，對線段A。，CD,PD,進行了研究，設(shè)A,。兩點間的距離為xc/n,C,O兩點間

究.下面是小明的探究過程，請補充完整:

(1)按照下表中自變量x的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了力,以與x的幾組對

應(yīng)值：

x/cm0.001.002.003.003.204.005.006.006.507.008.00

yi/cm0.001.042.093.113.304.004.413.462.501.530.00

yjcm6.245.294.353.463.302.642.00m1.802.002.65

補充表格；(說明：補全表格時，相關(guān)數(shù)值保留兩位小數(shù))

（2）如圖2,在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點,

并畫出函數(shù)”的圖象：

圖2

（3）結(jié)合函數(shù)圖象解決問題：當(dāng)40=2尸。時，AO的長度約為.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線yuaf+bx+c與y軸交于點A,將點A向右平移2

個單位長度，得到點5,點3在拋物線上.

（1）①直接寫出拋物線的對稱軸是;

②用含。的代數(shù)式表示牝

（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫整點.點A恰好為整點，若拋物線在點A,5之間的部

分與線段A5所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有1個整點，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出a

的取值范圍.

五、解答題（共2道小題，每小題7分，共14分）

27.已知等邊△A3C,點。為3c上一點，連接AD

（1）若點E是AC上一點，且CE=BD,連接BE,5E與AO的交點為點尸，在圖（1）

中根據(jù)題意補全圖形，直接寫出NAPE的大??；

（2）將AZ）繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得到AF,連接5廠交AC于點Q,在圖（2）中

根據(jù)題意補全圖形，用等式表示線段4。和3的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

28.對于平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(-2,0)和點3(3,0),線段A5和線段

AB外的一點P,給出如下定義：若45°WNAPBW90°時，則稱點尸為線段48的可視

點，且當(dāng)尸時，稱點P為線段45的正可視點.

(1)①如圖1,在點Pi(3,6),尸2(-2,-5),尸3(2,2)中，線段的可視點

是

②若點P在y軸正半軸上，寫出一個滿足條件的點尸的坐標(biāo):

(2)在直線y=x+B上存在線段A3的可視點，求b的取值范圍;

(3)在直線y=-x+機上存在線段A3的正可視點，直接寫出機的取值范圍.

V，

55-

44-

33-

22-

月14-

BB

11I工Ij_?_?_?_1_^J__4_|_!_>,

-5-4-3-2-1O12345x2345x

-1

-2

-3

-41-4T

圖1備用圖

參考答案

一、選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）下列各題均有四個選項，其中只有一個

是符合題意的.

1.如圖是某個幾何體的三視圖，該幾何體是（）

主視圖左視圖

△

俯視圖

A.長方體B.圓錐C.圓柱D.三棱柱

【分析】根據(jù)三視圖看到的圖形的形狀和大小，確定幾何體的底面，側(cè)面，從而得出這

個幾何體的名稱.

解：俯視圖是三角形的，因此這個幾何體的上面、下面是三角形的，主視圖和左視圖是

長方形的，且左視圖的長方形的寬較窄，因此判斷這個幾何體是三棱柱，

故選：D.

2.已知NA是銳角，tanA=l,那么NA的度數(shù)是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案.

解：?.,NA是銳角，tanA=l,

.?.NA的度數(shù)是：45°.

故選：C.

3.隨著國民經(jīng)濟快速發(fā)展，我國涌現(xiàn)出一批規(guī)模大、效益高的企業(yè)，如大疆、國家核電、

華為、鳳凰光學(xué)等，以上四個企業(yè)的標(biāo)志是中心對稱圖形的是（）

5O

D.

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷后利用排除法求解.

解：4、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

5、是中心對稱圖形，故本選項正確；

C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

。、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：B.

4.如圖，A3為。。的直徑，弦CDLAB于點、E,連接AC,OC,OD,若NA=20°,則

【分析】先根據(jù)垂徑定理得到BD=BC，然后根據(jù)圓周角得到和N5OC的度數(shù)，

從而得到NCO。的度數(shù).

解：?.?弦

??BD=BC，

/.ZBOD=ZBOC=2ZA=2X2Q°=40°,

：.ZCOD=4Q°+40°=80°.

故選：C.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點A,5坐標(biāo)分別為(1,0),(3,2),連接A5,將線段48

平移后得到線段4沙，點A的對應(yīng)點⑷坐標(biāo)為(2,1),則點加坐標(biāo)為()

A.(4,2)B.(4,3)C.(6,2)D.(6,3)

【分析】根據(jù)4點的坐標(biāo)及對應(yīng)點的坐標(biāo)可得線段向右平移1個單位，向上平移了

1個單位，然后可得3'點的坐標(biāo)；

解：...A(1,0)平移后得到點4'的坐標(biāo)為(2,1),

.?.向右平移1個單位，向上平移了1個單位，

：.B(3,2)的對應(yīng)點坐標(biāo)為(4,3),

故選：B.

6.二次函數(shù)yuf+Bx+c的圖象如圖所示，若點A(0,ji)和B(-3,j2)在此函數(shù)圖象

上，則以與了2的大小關(guān)系是()

A.J1>J2B.J1<J2C.J1=J2D.無法確定

【分析】根據(jù)拋物線的對稱性，在對稱軸同側(cè)的可根據(jù)增減性由自變量X的大小得出函

數(shù)值y的大小，在對稱軸一側(cè)的可根據(jù)離對稱軸的遠近和拋物線的增減性進行判斷.

解：點A(0,ji)和3(-3,J2)在拋物線對稱軸比=-2的兩側(cè)，且點A比點3離對

稱軸要遠，因此yi>72,

故選：A.

7.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖中△A3C繞著一個點旋轉(zhuǎn)，得到△?"C,點C的對

應(yīng)點。所在的區(qū)域在1區(qū)?4區(qū)中，則點。所在單位正方形的區(qū)域是()

A.1區(qū)B.2區(qū)C.3區(qū)D.4區(qū)

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)連接AA'、BB',分別作AA'、BB'的中垂線，兩直線的

交點尸即為旋轉(zhuǎn)中心，從而得出線段AB和點C是繞著尸點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,據(jù)此可得

答案.

解：如圖，連接44'、BB',分別作44'、BB'的中垂線，兩直線的交點產(chǎn)即為旋

轉(zhuǎn)中心，

由圖可知，線段45和點C繞著尸點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,

...點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°后所得對應(yīng)點C落在4區(qū)，

故選：D.

8.如圖，拋物線y=-#+2*+機交工軸于點A（a,0）和B（,b,0）,交y軸于點C,拋物

線的頂點為O,下列四個結(jié)論：

①點C的坐標(biāo)為（0,7"）;

②當(dāng)m=0時，ZkAB。是等腰直角三角形：

③若a=-l,則5=4;

④拋物線上有兩點尸（Xi,J1）和。（比2,72）,若X1V1VX2,且XI+*2>2,則為>）2.

其中結(jié)論正確的序號是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.②③④

【分析】①根據(jù)拋物線與y軸的交點坐標(biāo)的求法即可判斷；

②當(dāng)機=0時，可得拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)和對稱軸即可判斷；

③根據(jù)拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)和對稱軸即可得另一個交點坐標(biāo)即可判斷；

④根據(jù)二次函數(shù)圖象當(dāng)X1V1VX2,且XI+M>2,則了1>及.

解：①,拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0,機），

：.C（0,m）,

故①正確；

②當(dāng)m=0時，拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別為（0,0）、（2,0）,

對稱軸方程為x=l,

:.△480是等腰直角三角形，

故②正確；

③當(dāng)”=-1時，拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為（-1,0）,

\,對稱軸x=l,

;另一個交點坐標(biāo)為（3,0）,

：.b=-3）,

故③錯誤；

④觀察二次函數(shù)圖象可知：

當(dāng)X1V1VX2,且Xl+*2>2,則了1>%.

故④正確.

故選：C.

二、填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）

9.已知拋物線y=，+c,過點（0,2）,則c=2.

【分析】把點（0,2）代入y=f+c即可得到結(jié)論.

解：?.?拋物線y=f+c,過點（0,2）,

.*.0+c=2,

'.c=2,

故答案為：2.

10.如圖，已知正方形045c的三個頂點坐標(biāo)分別為A（2,0）,B（2,2）,C（0,

2）,若反比例函數(shù)>=區(qū)（左>0）的圖象與正方形OABC的邊有交點，請寫出一個符合

條件的k值?=1（滿足條件的左值的范圍是0V&W4）

%

3-

?II?

-10123x

【分析】把5（2,2）代入）=上即可得到結(jié)論.

x

解：?.?反比例函數(shù)y=K（兀＞0）的圖象與正方形OABC的邊有交點，

X

...把5（2,2）代入y=區(qū)得，k=4,

x

,滿足條件的左值的范圍是0VMW4,

故左=1（答案不唯一），

故答案為：k=l（滿足條件的左值的范圍是0V4W4）.

11.如圖，正方形A3C。內(nèi)接于。0,。。的半徑為6,則窟的長為3n.

【分析】連接08,CO,根據(jù)弧長公式即可求解.

解：連接。3,0C,則0C=0B=6,ZBOC=90°,

故答案為3TT

12.如圖，在AABC中，ZC=90",ZA=a,AC=20,請用含a的式子表示BC的長

20tana

B

A

【分析】直接利用正切的定義求解.

解：在△A5C中，ZC=90°,

所以BC=ACtanA=20tana.

故答案為20tana.

13.如圖，PA,是。0的切線，切點分別是點A和笈，AC是。0的直徑.若NP=60°,

PA=6,則8C的長為2y.

【分析】連接A8,根據(jù)切線長定理得到根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到

=6,ZPAB=60°,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NPAC=90°,根據(jù)正切的定義計算即可.

解：連接A8,

,：PA,尸3是O。的切線，

：.PA=PB,

VZP=60°,

：.APAB為等邊三角形，

：.AB=PA=6,ZPAB=60°,

；尸4是。。的切線，

/.ZPAC=90°,

二NC45=30°,

；AC是。。的直徑,

ZABC=90°,

醇2?，

在RtZkABC中，BC=AB*tanZCAB=6X

o

故答案為：2?.

14.平面直角坐標(biāo)系中，點A,3的坐標(biāo)分別是A（2,4）,B（3,0）,在第一象限內(nèi)以

原點0為位似中心，把△043縮小為原來的看,則點A的對應(yīng)點4'的坐標(biāo)為（1,2）.

解：以原點。為位似中心，把△Q45縮小為原來的、■,A（2,4）,

.?.A的對應(yīng)點⑷的坐標(biāo)為（2Xp4*/）,即（1,2）,

故答案為：（1,2）.

15.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧點。是這段弧所在圓的圓心，AB=40m,A

C是定的中點，且Q9=10，〃，則這段彎路所在圓的半徑為

【分析】根據(jù)題意，可以推出40=30=20,若設(shè)半徑為r,貝”QD=r-10,0B=r,結(jié)

合勾股定理可推出半徑r的值.

解：VOC.LAB,

^.AD=DB=20m,

在RtA4O￡>中，OA^=ODL+AD1,

設(shè)半徑為r得：r=(r-10)2+202,

解得：r=25m,

二這段彎路的半徑為25m.

故答案為：25.

16.如圖，拋物線y=#+2x+2和拋物線y=d-2x-2的頂點分別為點M和點N,線段拉N

經(jīng)過平移得到線段PQ,若點Q的橫坐標(biāo)是3,則點尸的坐標(biāo)是(1,5),MN平移

【分析】由拋物線解析式求得點M、N的坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的性質(zhì)來求點尸的坐標(biāo);

陰影部分的面積=平行四邊形PMNQ的面積.

解：如圖，連接PM,QN,MQ.PN.

由y=f+2x+2=(x+1)2+1,y=x2-lx-2=(x-1)2-3,知M(-1,1),N(1,

-3).

?.?點。的橫坐標(biāo)是3,點。在拋物線y=f-2x-2上，

.*.J=32-2X3-2=1.

：.Q(3,1).

...線段MN先向上平移4個單位，然后向右平移2個單位得到線段PQ.

二點尸的坐標(biāo)是(1,5),

：.PNJ.MQ,且PN與MQ相互平分，

二平行四邊形PMNQ是菱形.

三、解答題（共6道小題，每小題5分，共30分）

17.計算：sin30°+2cos60°Xtan60°-sin245".

【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解.

解：sin300+2cos60"Xtan600-sin245°

=/+2X、X?-烏產(chǎn)

=\巧.

18.如圖，在RtZkABC中，ZC=90°,tanA=4-,BC=2,求A5的長.

3

【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，求出AC,再根據(jù)勾股定理求出48.

解：?..在RtZkABC中，ZC=90°,

'：BC=2,

,：AB2=AC2+BC2=40,

AAB=2V

19.已知二次函數(shù)y=-x-2x+3.

(1)將二次函數(shù)化成(x-h)之+左的形式；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出y=-d-2x+3的圖象；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y>0時x的取值范圍.

yA

4-

3-

2-

1-

x

-4-3-2-101234

-1-

-2-

-3-

-4-

【分析】(1)利用配方法可把拋物線解析式化頂點式；

(2)先解方程---2/3=0得拋物線與“軸的交點坐標(biāo)為(-3,0),(1,0),再

確定拋物線的頂點坐標(biāo)和與y軸的交點坐標(biāo)，然后利用描點法畫二次函數(shù)圖象；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，寫出拋物線在“軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可.

解：(1)y=-x2-2x+3

——(X2+2X+1—1)

=-(x+1)2+4;

(2)拋物線的頂點坐標(biāo)為(-1,4),

當(dāng)x=0時，y=-x2-2x+3=3,則拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,3);

當(dāng))=0時，-f-2x+3=0,解得力=1,x2=-3,則拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為(-3,

0),(1,0);

如圖，

20.下面是小東設(shè)計的“過圓外一點作這個圓的兩條切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：及外一點p.

求作：直線PA和直線尸5,使尸4切O。于點A,PB切于點、B.

作法：如圖，

①連接OP,分別以點。和點尸為圓心，大于自加的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交

于點M,N;

②連接MN,交OP于點Q,再以點。為圓心，00的長為半徑作弧，交。0于點A和

點、B;

③作直線PA和直線尸5.

所以直線PA和PB就是所求作的直線.

根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：是O。的直徑，

AZOAP=ZOBP=90°（直徑所對的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）.

；.PA±OA,PB±OB.

,：OA,03為。。的半徑,

：.PA,尸3是。。的切線.

【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可.

（2）利用圓周角定理證明NOAP=NOBP=90°即可.

解：（1）補全圖形如圖.

（2）完成下面的證明.

證明：TOP是O。的直徑，

：.ZOAP=ZOBP=9Qo（直徑所對的圓周角是直角），

：.PA±OA,PBJ-OB.

,：OA,為。。的半徑，

：.PA,P3是。。的切線.

故答案為90,直徑所對的圓周角是直角.

4

21.如圖，A,B,C是。。上的點，sinA=—,半徑為5,求3c的長.

5

【分析】構(gòu)造直徑三角形，利用垂徑定理，圓周角定理解決問題即可.

【解答】證明：方法I:連接。3,OC,過點。作如圖1

AA

圖1圖2

VOB=OCf且OD上BC,

：.ZBOD=ZCOD=^ZBOC,

,?ZA=—ZBOC,

2

4

二ZBOD=NA,sinA=smZBOD=—,

5

???在RtZkbOD中，

.?.s.mZ/BoOcnD=-B-D-=一4,

OB5

?:06=5,

50=4,

55

,:BD=CD,

：.BC=S.

方法II:作射線50,交OO于點O,連接OC,如圖2.

,.?30為。。的直徑，

/.ZBCD=90°,

■:NBDC=NA,

4

sinA=sinNBDC=—,

5

,在RtZkBOC中，

：OB=5,30=10,

?BC4

,.BC=8.

22.課堂上同學(xué)們借助兩個直角三角形紙板進行探究，直角三角形紙板如圖1所示，分別

為RtAABCRtADEF,其中NA=NZ>=90°,AC=DE=2cm.當(dāng)邊AC與。E重合,

且邊48和OF在同一條直線上時:

（1）如圖2在下邊的圖形中，畫出所有符合題意的圖形;

（2）求5尸的長.

【分析】（1）按題意畫出圖形即可；

（2）分兩種情況，由勾股定理求出5C,AB,則可得出答案.

解：（1）補全圖形如圖：

(2)情況I,如圖1:

?.?在Rt2\ACF中，NF=NACF=45°,

...A尸=AC=2cw.

?..在Rt2L4CB中，ZB=30",

：.BC=4,AB=2A/3.

/.BF=(cm.

情況II,如圖2:

?..在RtZkAC歹中，ZF=ZACF=45",

^.AF=AC=2cm.

???在RtZkACb中，ZB=30°,

：.BC=4,AB=2A/3.

：.BF=(273-2)cm.

四、解答題（共4道小題，每小題6分，共24分）

23.材料1:如圖1,昌平南環(huán)大橋是經(jīng)典的懸索橋，當(dāng)今大跨度橋梁大多采用此種結(jié)構(gòu).此

種橋梁各結(jié)構(gòu)的名稱如圖2所示，其建造原理是在兩邊高大的橋塔之間，懸掛著主索，

再以相應(yīng)的間隔，從主索上設(shè)置豎直的吊索，與橋面垂直，并連接橋面承接橋面的重量,

主索幾何形態(tài)近似符合拋物線.

圖1

材料2:如圖3,某一同類型懸索橋，兩橋塔AO=BC=10%,間距48為32m，橋面A3

水平，主索最低點為點P,點尸距離橋面為2機；

為了進行研究，甲、乙、丙三位同學(xué)分別以不同方式建立了平面直角坐標(biāo)系，如圖4:

圖4

甲同學(xué)：以。C中點為原點，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系；

乙同學(xué)：如圖5,以A5中點為原點，A3所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系；

圖5

丙同學(xué)：以點尸為原點，平行于45的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

圖6

(1)請你選用其中一位同學(xué)建立的平面直角坐標(biāo)系，寫出此種情況下點C的坐標(biāo)，并

求出主索拋物線的表達式；

(2)距離點P水平距離為4機和8機處的吊索共四條需要更換，則四根吊索總長度為多

少米？

【分析】(1)根據(jù)選擇的坐標(biāo)系，可以直接寫出點C的坐標(biāo)，然后設(shè)出主索拋物線的

表達式，再根據(jù)點C和點P都在拋物線上，即可求得主索拋物線的表達式；

(2)根據(jù)求出的拋物線解析式，將x=4和8代入解析式中，即可求得四根吊索的長度,

從而可以求得四根吊索總長度為多少米.

解：當(dāng)選擇甲同學(xué)的坐標(biāo)系時，

(1)由圖可知，點C的坐標(biāo)為(16,0),

設(shè)拋物線的表達式為y=af+c(a#:0),

由題意可知，C點坐標(biāo)為(16,0),尸點坐標(biāo)為(0,-8),

2

16Xa+c=0

c=-8

:1

解得?a主，

,c=-8

.?.主索拋物線的表達式為y=j-f_8；

32

（2）x=4時，j=-^-X42-8=此時吊索的長度為10-尊=自（機），

由拋物線的對稱性可得，x=-4時，此時吊索的長度也為￡加，

同理，x=8時，J=-^-X82-8=-6,此時吊索的長度為10-6=4（機）,

x=-8時，此時吊索的長度也為4m,

V5+5+4+4=13（米），

22

二四根吊索的總長度為13米.

當(dāng)選擇乙同學(xué)的坐標(biāo)系時，

（1）由圖可知，點C的坐標(biāo)為（16,10）,

設(shè)拋物線的表達式為（〃手0）,

由題意可知，。點坐標(biāo)為（16,10）,0點坐標(biāo)為（0,2）

2

16Xa+c=10

c=2

_1

解得?a^32.

,c=2

...主索拋物線的表達式為J=^-X2+2;

（2）x=4時，J=T^X42+2=^,此時吊索的長度為也

由拋物線的對稱性可得，x=-4時，此時吊索的長度也為ft,

1

同理，x=8時，y=-X2+2=4,此時吊索的長度為4嗎

32

x=-8時，此時吊索的長度也為4m,

；H+4=13（米），

22

...四根吊索的總長度為13米.

當(dāng)選擇丙同學(xué)的坐標(biāo)系時，

(1)由圖可知，點C的坐標(biāo)為(16,8),

設(shè)拋物線的表達式為(fl=#O)

162Xa=8,

解得f

???主索拋物線的表達式為y=-^-x2；

32

(2)x=4時，J=T^-X42=^,此時吊索的長度為~^+24(機)，

由拋物線的對稱性可得，%=-4時，此時吊索的長度也為中I,

同理，x=8時，J=^X82=2,此時吊索的長度為2+2=4(帆),

32

x=-8時，此時吊索的長度也為4機，

V5+5+4+4=13(米)，

22

二四根吊索的總長度為13米.

24.如圖，A5是。。的直徑，點C是圓上一點，點。是半圓的中點，連接CZ＞交05于點

E,點尸是A5延長線上一點，CF=EF.

(1)求證：fC是。。的切線；

【分析】(1)如圖，連接0。.根據(jù)已知條件得到NAO0=N3OZ)=9O°,根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)得到NO￡)C=NOC￡).推出尸C_L0C,于是得到結(jié)論；

(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義得到%=、?，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

AC-N

【解答】(1)證明：如圖，連接0D

?.?點。是半圓的中點，

:.NA0D=NB0D=9Q°,

；?NODC+NOED=90°,

?：OD=OC,

：.ZODC=ZOCD.

又?：CF=EF,

：.ZFCE=ZFEC.

,:ZFEC=ZOEDf

：.ZFCE=ZOED.

；?NFCE+NOCD=NOED+NODC=90°,

即FC-LOC,

???WC是。。的切線；

（2）解：-：tanA=^,

.,.在RtZkA5c中，嗎二，

AC2

VZACB=ZOCF=90°,

:.ZACO=NBCF=NA,

?:△ACFs/^CBF,

.BF=CF=BC=1

??CF-AF-AC-T

AAF=10,

：.CF2=BF-AF.

：.BF=—.

2

25.如圖1,窟是直徑AB所對的半圓弧，點尸是窟與直徑A3所圍成圖形的外部的一個

定點，A3=8cni,點C是第上一動點，連接PC交于點。.小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)

驗，對線段A。，CD,PD,進行了研究，設(shè)A,。兩點間的距離為xc/w,C,。兩點間

的距離為yic/n,P,。兩點之間的距離為yzc/n.

究.下面是小明的探究過程，請補充完整：

（1）按照下表中自變量X的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了“，及與X的幾組對

應(yīng)值：

xlcm0.001.002.003.003.204.005.006.006.507.008.00

yjcm0.001.042.093.113.304.004.413.462.501.530.00

yjcm6.245.294.353.463.302.642.00m1.802.002.65

補充表格；（說明：補全表格時，相關(guān)數(shù)值保留兩位小數(shù)）

（2）如圖2,在同一平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，描出補全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點,

并畫出函數(shù)”的圖象：

圖2

（3）結(jié)合函數(shù)圖象解決問題：當(dāng)AO=2PD時，4。的長度約為4.54.

【分析】（1）通過取點、畫圖、測量可求解；

（2）根據(jù)題意作圖即可；

（3）由題意可得產(chǎn)畫出》=方，交曲線AO的值為所求，即可求解.

解：（1）通過取點、畫圖、測量，可得機=1.73,

（2）如圖

圖2

（3）,:當(dāng)AD=2PD,

：.PD=—AD,

2

在（2）中圖象中作出y=[x的圖象，并測量兩個函數(shù)圖象交點得：40=4.54,

故答案為：4.54.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=af+Z>x+c與y軸交于點A,將點4向右平移2

個單位長度，得到點3,點3在拋物線上.

（1）①直接寫出拋物線的對稱軸是直線x=l;

②用含。的代數(shù)式表示加

（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫整點.點A恰好為整點，若拋物線在點A,5之間的部

分與線段A5所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有1個整點，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出a

的取值范圍.

【分析】（1）①A與5關(guān)于對稱軸尤=1對稱；

②A（0,c）向右平移2個單位長度，得到點3（2,c）,代入解析式即可求得；

（2）分兩種情況a>0和aVO討論，結(jié)合圖象確定有1個整數(shù)點時。的最大和最小值，

進而確定a的范圍.

解：(1)①與8關(guān)于對稱軸x=l對稱，

.?.拋物線對稱軸為直線x=l,

故答案為直線x=l;

②?.,拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點A,

：.A(0,c)

點A向右平移2個單位長度，得到點5(2,c),

?.?點5在拋物線上，

:.4a+2b+c=c,

:?b=-la.

(2)方法一?：如圖1,若〃>0,

VA(0,c),B(2,c),

???區(qū)域內(nèi)(不含邊界)恰有1個整點。的坐標(biāo)為(1,c-1)則理另一個整點E(1,

-2)不在區(qū)域內(nèi)，

?.,把x=l代入拋物線y=ax,+bx+c得了=。+5+。=-a+c,

"...,解得1V“W2,

c-2《c-a

如圖2,若aVO,

c+l<Cc-a

一，解得-2WaV-1

{c+2?c-a

綜上，符合題意的”的取值范圍為-2W“V-1或1V“W2.

方法二：?.?A3=2,點A是整點，

...點C到AB的距離大于1并且小于等于2.

?.?點C到AB的距離表示為c-a,減去c的差的絕對值,

1V|c-a-c|W2,即lV|aW2,

二-2Wa<-1或1V“W2.

五、解答題（共2道小題，每小題7分，共14分）

27.已知等邊△A3C,點。為5c上一點，連接AD

（1）若點后是AC上一點，且CE=BD,連接BE,BE與AD灼交點、為點、P,在圖（1）

中根據(jù)題意補全圖形，直接寫出NAPE的大??；

（2）將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得到AF,連接5尸交AC于點Q,在圖（2）中

根據(jù)題意補全圖形，用等式表示線段40和3的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

【分析】（D根據(jù)全等三角形性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2