2022-2023學年寧夏回族自治區(qū)銀川市統(tǒng)招專升本數(shù)學自考真題(含答案)

2022-2023學年寧夏回族自治區(qū)銀川市統(tǒng)招

專升本數(shù)學自考真題（含答案）

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題(30題)

1.

設。=(1,9,1),則a與。r軸的夾角為)

A-fB-fC-1

2.

lim.rsin——=)

LOJC

A.一1B.1C.OD.不存在

3.

設4,B,。均為〃階方陣，下列敘述正確的是（）

A.AB=BAB.（AB）T=ATBT

C.如果行列式|力|=0,48=4。,則B=CD.如果45=0,則/=?；?=。

4.

設曲線y=-f(、r)在[a,瓦)上連續(xù)，則由曲線y=—/(/),直線x==b及1軸

圍成的圖形的面積A=()

A.if(.x)dxB.—f/(jr)dxC.[|/(x)|diD.Iff(.x)dxI

JavavaIJa

5.

當if。時,下列變量中比/高階的無窮小量是()

A.1—cosxB.sin%

C.+、丁-1D.tan2.z

6.

下列函數(shù)中，當1―8時，無窮小量是)

A,『一1B.-4^C,e-口D.e--1

1十secj:

7.

經過點4(1,2,1),且與直線Z:1x+y+2z_5=(’垂直的平面方程為()

x+2y+z+3=(D

A.3x-y-z=0B.3x+y-z=0

C.3x-y-z+4=0D.3x-y-2+6=0

8.

i-x2+lx-sin#

hm?..()

—rLQx2十smx

A.JB.2C.OD.不存在

乙

9.

極限=()

X)

A.e4B.e-2(：.1D.e2

10.

2

曲面:=/+］在(1.-2,3)處的切平面方程為()

A.21+2y+2：-3=0B.+2y—之+3=0

C.2)—2?+之+3=0D.2.1—2y-之一3=0

11.

設函數(shù)/（J）在區(qū)間（-1.1）內連續(xù).若16（-1.0）時，/'（了）＜0；］6（0.1）時.

>0,則在區(qū)間(—1,1)內()

A./(0)是函數(shù)/(1)的極小值B./(0)是函數(shù)八3的極大值

C./(0)不是函數(shù)/("的極值D.f(0)不一定是函數(shù)f(.r)的極值

12.

下列極限結論錯誤的是

A.lim嗎口=o

r—8JT

13.

函數(shù)/(X)=理當L的定義域是

()

八一才2

A.(-1.0)U(0.DB.(-1.1)

C.(-1,0)D.(0,1)

14.

、/+2。—sinw

)

2xz+sin.r

A.-yB.2

C.OD.不存在

15.

已知函數(shù)丁=fix)在閉區(qū)間[明切上連續(xù).且,則由曲線y=/(.r)與直線

k=a.E=力?丁=0所圍成的平面圖形的面積是()

A.J/(])&、B.j/(j?)d.r

C.|/(^)—/(a)|(6—a)D.不確定

16.

若級數(shù)—2)"在工=0處條件收斂,則級數(shù)X(7—2)"在才=5處(

“一。D

A.絕對收斂B.條件收斂

C.發(fā)散D.不能判定斂散性

設函數(shù)f⑴=:二,則x=0是f(x)的()。

e；+1

A.可去間斷點B.跳躍間斷點C.無窮間斷點D.振蕩間斷點

卜.列極限存在的是

D.lim

J"DO

下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是().

A.f(R=x9g(X)=tan(arctanx)

B.f(x)=lg(x+l)2與g(x)=21g(x+l)

k2—1

c.??=乂+1與9(?=-----

“小唇與貝加VX—2

Jx+2

20.

在0,1.2,3,4五個數(shù)中任意取3個數(shù)，則這三個數(shù)中不含0的概率為

F列級數(shù)發(fā)散的是

D.V---------------

(5〃+4)(5〃-1)

曲線廣勺早的垂直漸近線有

A.0條B.1條C.2條D.3條

23.

已知人工）的二階導數(shù)存在，且/（2）=1,則工=2是函數(shù)F1）=Cr-2）2/U）的

A.極大值點B.最小值點C.極小值點D.最大值點

24.

過。軸及點（3,-2,4）的平面方程是

A.3k+2丁=0

B2了+之=°

c2xz=0

D2①+33=0

B.e-1C.e+1D.e''+l

26.

已知當if。時,2—2cos.r~cwl.則a的值是

27.

下列結論正確的是（）

A.無窮小量是很小的正數(shù)B.無窮大量是很大的數(shù)

C.無窮大量的倒數(shù)是無窮小量D.一個很小的正數(shù)的倒數(shù)是無窮大黃

28.

下列級數(shù)收斂的是()

3

B.、號

4后一］仁〃一1

C.VJsin三D.s(-i)-4-

n

U*二1”2

29.

微分方程jlnjdv+(y—Inj)dj=。滿足yIr=*.=1的特解為()

A4(lnr+nb)B4(-r+nb)

c4(ln,+l)D?芥T)

30.

.下列級數(shù)收斂的是()

A.52sin—By為"

仁〃■J(1+")'

3

cyD.七In1]

?2+i

二、填空題（20題）

311函數(shù)丁=Ini在口.e］上滿足拉格朗日中值定理的3=

11

八])=1號的第二類間斷點為

32.-T-1I

34,微分方程胃-2曠+5y=0的通解是

幕級數(shù)士宗的收斂半徑是

35.i-

微分方程%=Xco5.r的通解是

36.d,

極限如於TinkT=

若極限lima,=a,則級數(shù)￡3用一a”）=

38.…”n

39.

已知函數(shù)/（J）=In.z為可導函數(shù).則/（攵）在點x=1.01處的近似值為

sin2T、八

-----■H>0?

已知函數(shù)/(I>=v'在1=0點連續(xù),則a=

21+a■zW0

40.

41.

設d是〃階矩陣,E是"階單位矩陣，且42—月-3石=0,貝！1（.4-2E）」=

曲線/(%)=X3+3JC2+3JC+10的拐點為

42.

43,與向量｛一3,4.1｝平行的單位向量是

..曲線丁=JOJ的拐點是

44.____

45設/=”以311%,則4y=.

,?rJ

設函數(shù)/（.r）=lim（1+亍）（/#0）?則/（In2）=

46.1'

47.

若曲線y=/（x）在點（％J（x。））處的切線垂直于直線y=l-],則此切線的方程為

若/(.r2)=—(.r＞。)，則/(①)=

48.-r

*arctanx,

|------?dx=

49.「

50設》=e"cos/zr?則d_y=

三、計算題(15題)

產1—2^2+6.r3+514=0?

求線性方程組＜2.門+3及+4,r3+5.r.1=0,的通解.

51+5/2-2之3=°

flfl,3

計算二次積分dj?jceydv.

52.J。九'

zsinzdz

求極限lim^一.——

L。%”/-1)

53.

54.

計算二重積分|手dxdy,其中D為由曲線z=，，-1與兩直線與+y=3,y=1圍

成的平面閉區(qū)域.

OO

求基級數(shù)￡(2"+1戶的收斂域.

55.〃=i〃

求定積分jrlrurdi.

1

56.

57.

求函數(shù)z=.力在點P(1,O)處沿從點P(l,O)到點Q(2,1)的方向的方向導數(shù).

求不定積分].lan—d].

J6(1+%)

58.

59.

計算二重積分JR/717dxeW,其中。是圓環(huán)區(qū)域：a2<x2+y2<b2.

D

60.

求函數(shù)”1，門之)=§由(、心2+之)在點?(1?1?一1)處沿方向|=(1,1,1)的方向導數(shù).

re工，jr200

求

設f(x)=JJ/(x4-1)dx.

11—jr?jrV0.

61.

62.

設函數(shù)％=/（-2一），其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求贏.

計算「"->Jex-Idx.

63.J°

設函數(shù)/(x)=lim,r(1+3f?求/z(,r).

64.

?亨.zarccosj-,

求定積分—d-7~

65.°—7

四、證明題（10題）

66.

設a>〃>0.利用拉格朗日中值定理證明：紇心（In：&

abb

證明不等式：當時>2工

67.

68.

設平面圖形D由曲線工=2^[y,y=，一工與直線y=1圍成，試求:

（1）平面圖形D的面積；

（2）平面圖形D繞z軸旋轉一周所形成的旋轉體的體積.

69.

設a>〃>0.利用拉格朗日中值定理證明：紇心（In：&

abb

證明當.r>0時,ln(l+G>牛詈絲.

70.

71.

已知/(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內可導，且/(。)=/(1)=0,試證，在(0,1)內至

少存在一點另使得/'M)cos4=/G)siii4成立.

證明：當0V彳V1時.(1-2)ln(l—彳)>2x.

72.

73.

設函數(shù)/(z)在閉區(qū)間［0,11上可導,且八o)?f(D<o,證明在開區(qū)間(0,1)內至少存在

一點久使得2RS)+&■'(￡)=0.

74.

證明不等式:+<ln(l+i),其中7>0.

1十7

75.

設/(彳)在［O.a］上連續(xù)，且f(a)+f(az)>0,試證明：

1___/O)___1_a_

Jo/(JT)-F/(a—jr)"2"

五、應用題(10題)

76.

曲線y=H3(H>0),直線工土y=2以及y軸圍成一平面圖形。,試求平面圖形D繞

》軸旋轉一周所得旋轉體的體積.

求介于y=2"，_y=5?與）1=2①之間的圖形面積.

77.

78.

將周長為2力的矩形繞它的一邊旋轉而構成一個圓柱體.矩形的邊長各為多少時.才可

使圓柱體的體積最大？

79.

過點M（3,0）作曲線），=ln（.r—3）的切線，該切線與此曲線及/軸圍成一平面圖形D.

試求平面圖形D繞才軸旋轉一周所得旋轉體的體積.

80.

計算由曲線w=0..y=eLy=e所圍成的平面圖形的面積.

81.

求曲線段y=工2（0《工&1）上一點處的切線.使該切線與直線y=0,工=1和曲線

‘二工’所圍成圖形的面積最小.

82.

求由曲面之=/+式,與平面/+y=1,及三個坐標面所圍成立體的體積.

83.

某立體聲收音機廠商測定，為了銷售一新款立體聲收音機1臺，每臺的價格（單位:元）

必須是P⑺=800—丁,廠商還測定，生產工臺的總成本為CQ）=2000+107.為使利潤最大

化，廠商必須生產多少臺?最大利潤是多少？

84.

設一物體其下端為直圓柱形，其上端為半球形，如圖所示.如果此物體的體積為V,問

這物體的尺寸各是多少時，才能使其表面積最小?

第25題圖

85.

已知D是拋物線L：y=2a?和直線/=春所圍成的平面區(qū)域.試求:

（1）區(qū)域D的面積；

（2）區(qū)域。繞。工軸旋轉所形成空間旋轉體的體積.

六、綜合題（2題）

86.

試求出由該曲線段與曲線在此點處的切線，以及i=0,工=a所圍成圖形的面

積A⑴；

87.

設連續(xù)函數(shù)/(x)在,61上單調增加.又G(x)=--—[/(Z)dr.jr6(a")?

JC—UJa

(1)試證:G'(r)在(a,〃)內非負；

(2)求limrGD.

參考答案

1.B

【精析】設a與5的夾角為仇則8sg=?{0,0,L>=1,得￡=等，故應選R

Ia|，3

2.C

【精析】當）一0時,了為無窮小量，sin5<1.sin}為有界函數(shù).由于無窮小量與

有界函數(shù)的乘積仍為無窮小量.故limssin-=0.

x**o、r

c

3c【評注】本題考查的是矩陣的性質.

,廠【精析】由定積分的幾何意義知C正確.

4.C

5.C

L答案」c

【精析】當了。時.1—eos.r?77--?-2-sin2.r?x2.x/\~~I.r3—1~4V.tan2.r?.r2.

故比/高階的無窮小量是/rn，一i.

6.D

【精析】因為lim（e：—1）=0,所以當1―8時,最—1是無窮小量.故應選D.

L8

7.A

A解析：考查平面方程.將點片（1,2,1）代入3x-y-z=0成立，代入B、C、D不成立.

8.A

［答案］A

1?2sin.r

]1—2~~

XX=

［精析］刷《白2『收=Vlim-----------：-------J，本題選A.

lx十sin.rsin.r

2+

9.A

A

x+2Vx4

(2V4

【評注】本題考查求函數(shù)重要極限；lim=lim1+—

XT8X)

10.D

［答案1D

2

【精析】令F(.r,y,七)=T+號一之，則F,|=2,FVI=-2,F,\=—1,

ZI(1-2.3)|Cl-2.3>I<b-2.3)

即所求切平面的法向量為｛2.-2,-1｝，故所求切平面方程為2(T-1)-2<^+2)-

(z—3)=。，即2a'-2y—z?—3=0.

11.A

由極值第一判定定理，可知/(0)應為函數(shù)/(.r)的極小值，故應選A.

12.C

［答案］C

。1?

,Vsinm“v1?2八「2(1—cosJT)2.

【精析】lim---—=lim—?sinner=0；lim——--r=lVim-------=1,

TJT*J-*0(e1)*JT-*OX*

lim=1.lim/-......=lim/l+----1.故選C.

Xfg1+fcr-I一1/m\一1/

13.A

【精析】要使得八]）有意義，則必有『由此可得一1VzVO或OVzVl，

[1一./>0,

故選A.

14.A

1.2sinx

2I/>-1"'l一2-1

【精析】lim<六之一四=lim—二-=4?，故應選A-

lx+s】nwL82_|_sinwL

x2

15A由定積分的幾何意義可知A正確.

16.C

【精析】由已知條件知.收斂半徑為R=2.所以級數(shù)在（0,4）內絕對收斂，在（一8,0）

和（4,+8）內發(fā)散，由此可知在工=5處發(fā)散，故應選C.

17.A

工+3

A項?lim"［1=lim—~~產―=0.極限存在;

J-OO■-J-OO1

18.A

B項，1而^^~7=8,極限不存在;

-T*0Z-1

C項,物§=8,極限不存在;

D項三二=limJJC+上=8.極限不存在.

￥V1Tx?<?v1T

19.A

!_答案」A

「3A

【精析】P=*=1=84.故應選人.

20.A(511'

21.C

[答案1c

【精析】，也小=】于。?所以二仁發(fā)散?

22.B

(1+1)(①+2)

【精析】因為3=

尸1+1)(工一1)

lim/Cr)=-J,lim/Cr)=8,所以只有7=1這一條垂直漸近線，故應選B.

L-lZL1

23.C

【精析】F(工)=2(1一2)/(I)+(工-2)2/(3,F'Cr)=2[/(工)+(工一2)/(1)]+

2(工一2)/(幻+(工-2)2/'行),故F'(2)=0,F'(2)=2/(2)=2>0,故工=2是函數(shù)

FM的極小值點.

24.D

［答案1D

Q

【精析】設過6軸的平面方程為ax+by=0,所以3a—2。=0,即6=歹口，取a=2,

則平面方程為2N+3y=0,故應選D.

D

.1

「,-|i-?sm-

【評注】原式lim(l+亦+lim-x=e-'+l.

XT。1'JXT8v1

25.DX

26.A

［答案］A

1士

【精析】lim2_2-=2(］—c。*)=1皿/=-L=1,故“=1.

，ax^4-Har-a*…,r-a

27.C

28.D

［答案］D

【精析】D項滿足萊布尼茨定理條件.所以該級數(shù)收斂；A項多收斂,但1］

是發(fā)散的，根據(jù)級數(shù)的性質可知玄［《,尸+:［是發(fā)散的，13項中!呼/3=1/0,所

gc?

以B項級數(shù)也發(fā)散.當8時，sin三?工，而Z工=兀，,是發(fā)散的，所以

〃曾M力匕〃

fA：

2>in三也發(fā)散.

gn

29.A

［答案1A

【精析】將方程變形得V++=工.此為一階非齊次線性微分方程,利用其通解公

.rln.r.r

式可得y==J卡"(I—eld.r+C)=-r~-(I+C)=+C)=

jrIni'JrIn.12Inr

+,

又yI-=1?所以C=4.則方程滿足條件的特解為y=］(4+ln"

L4InJ,

30.C

3

【精析】因為lim?2=3,而￡』收斂,所以￡TJ；■是收斂的,故應選C.

L8“=1〃?=1〃十I

〃2

31.

e—1

【精析】y=Inr在[l.e」I：連續(xù).在(l.e)內叫導.所以存在笄使/(&-1⑴

,'e一-i

=—r./(1)=L?所以4=~~W=u-1.

e-1才qe-1

32.

x=-1

【精析】由題意可知才=-1.M=0.1=I是函數(shù)的間斷點，

1_1

limf(jc)=lim——/=lim—\=3,所以i=-1是函數(shù)的第二類間斷點；

一一Ir-*-]11z-*-lJ*十1

7^T-7

1____1

lim>(x)=limJ~上士?=Hmr—}=—1?所以x=0是函數(shù)的可去間斷點;

.mr-*O11r-*<l1十1

、r-1x

1____1

lim/(T)=lim二;~三土^=lim，7;=0?所以x=1是函數(shù)的可去間斷點.

]4-?111I-*I~J1

X-1X

33.0

[答案]o

■臺人//、-/"'tarkr、(一.r)仙“tan(一1)—.r2，，i"tan.r、

【精析】令"八zv一『)=-r+p—=]——r(f?

可知/(J-)為奇函數(shù),故「里粵也?=0.

J-J1+JC

34.

e*(Gcos2x+C2sin2x)

e'(Gcos2x+Gsin2x)

【評注】特征方程為：r2-2r+5=0,得「=在曳=l±2i,所以方程的通解為

2

x

y=e(C,cos2x+C2sin2x).

35.

p—lim巴山?=lim?2"=1,所以R=——2.

*oo*OO

2ftdnftLLp

36.

y(sin.r十(')=-1

［答案15'(sin.r+(')=-1

【精析】駟=Jcosi.則乙心=cosrdr.兩邊積分.得一，=sim+C.即v(sin.r十

d.ry>

C)=-1.

37.

0

i+4

【精析】由于lim骷\=lim*—4=0,故骷、為8時的無窮小量，又

?-oo3〃十1n-*oo3+13〃十1

n2

sinMV+1為有界變量，故lim'\-sin/?TT=0.

LOO3〃+1

38.

a—<2］

39.

0.01

【精析】由八2。+&「〉心/Qo)+/(*)&z?，故/(l+0.0D~/U)+r(D?0.01=

lnl+(：|J?0.01=0.01.

［答案］2

【精析】rh函數(shù)在1=0處連續(xù).可知)=lim/(.r)=/(0),

J-*U/*<l

即lim(2.r-a)=lim‘山?’=2lim一廠’=a.即a=2.

40,2……、'…

41.

U+r)

解：A2-A-3E=0^>(A-2E)(A+E)^E^>(A-2E)-1=(A+E)

42.

(一1,9)

【精析】/'(x)=3.r2+6.r+3,/"(z)=6z+6,令/'(z)=0得.r=-1,z<—1時,

f⑺<0；z>-1時,/'(3>0,/(-l)=9.所以/(i)的拐點為(一1,9).

43.

向量的模為，(一3)2+/+i?=，國.

故與之平行的單位向量為

士{7^.7^7^}

44.

(2,2「2)

［答案］(2,2eT)

【精析】因為y'=(1—工)「，y"=(1—2)。一"，令》"=0得工=2.

當①V2時V0,當I>2時>0,故拐點坐標為(2,2/).

45.

46.

4

9?12T、h'Zx

【精析】由于/(/)=lim(1+亍)=lim(1+亍)=e2x,

r"H_81tJItI

所以/(ln2)=e2ln2=4.

47.

y-fM=2(x-x0)

x

【評注】由切線與直線y=l-］垂直可知，切線的斜率k=—、=2,故曲線y=/(x)

~2

在點Qo，/(x。))處的切線方程為丁一/(xo)=2(x—x。).

48.

【精析】由/'(./)=—=—得，(a)=

26+(，所以/(7)=[*d"=2G+”

49.

M

T

50.

(acoslu—bsinbadi

dy=[e^?a?cosbx+e"(—sin/xr)?b]dx=[ae"cos歷'—/7e^sin&rJd.r

=(acos&r—6sinAir)dr.

51.

【精析】依題意得

2625

?口=—廠.門——.<■；?

可得同解方程組為.

8,5

〒〒

■r273T/4?

令4=A?口=局.可得原方程組的通解為

為任意常數(shù)）.

52.

由「d.y可知積芬成域為

J0JJT"

Q={Cr,y),|0<141<乂W'l》、

積分區(qū)域也可表示為D={G，⑺|0<.1,0<x<y},

從而交換積分次序.得

53.

Ksirudr

原式=lim

工6

54.

【精析】如圖所示，由積分區(qū)域圖形可知將其看做y-型〉

區(qū)域計算較為簡便，則積分區(qū)域可表示為1w、W2?

vy—14n＜3—、y,故

J,d@=J：同:

寸y

=Ji已[(3-y)2-(y-l)”y

第17題圖

=[+()2—7)+io)dy=J(y-7

%—7y+lOlny)J1=101n2一當.

55.

【精析】令2i+l=f.級數(shù)化為￡I

1Z22

p=lim吐=limI,1-=tlim—^-r=t，若級數(shù)收斂?貝1」p<1.即產<1,

rM-oou?n-oo|〃十1tL8n+1

從而一1V/V1.

oo2p001

所以級數(shù)＞F的收斂區(qū)間為（一1,1）.當/=±1時，級數(shù)化為W十是發(fā)散的.

-l＜2a+lV1,即一1＜才＜0,所以所求級數(shù)的收斂域為（一1,0）.

56.

-ee1-e

【精析】原式Injtdjt2=ln.rX二'd(lruz)

乙7i乙1五1

'e

2_J_9

=—eIne-----XIXIniJ一?—dx

Lz2,I

*ce2e

jcLr=x2

22.i241

==-+1

——1e2+.—1

2444

57.

【精析】這里方向I即為西=（1?一1）?故］軸到方向，的轉角中=號.因為

2>

"=已訂|=1,-=2xe=29

dxa.。）I<i,o）dy<ito）c.c）

故所求方向導數(shù)為分=COS（---j+2sin（一￡"）=—考.

58.

【精析】原式=2]里坦喳dG

J14-(G

—2卜rctanZrcKarctan>/z)

=(arctanvT):+C.

59.

解：JJJ/+/*dy=r-rdr=2;t--=—(Z>3-a3)-

DA33

60.

2

【精析】因為函數(shù)/（1，丫,之）可微分，且"=coS（^+^）?y=i,

oJC（］.［.—］）（1.1.—1>

=cos(+之)?=2,

V(l.l.-I)

=cosliy2+之)?]=1.

OZI(1.1.-I)(l.l.-l)

61.

【精析】令1+1=E.dl=出.則

原式=j/(￡)山=j(1…￡)ck+[ed=(一彳)?！璭*|二5e

62.

【精析】g=-2x-f\,

=2D”?1)+7*12?2y]-(1)+7%?2y]

=-2力〃”-(4孫+1)/12-2yA式/Z=/21).

63.

解：令“=則x=ln(l+〃2),改=37m,于是

1+u

64.

【精析】f(..r)—lim.r(1I3/)7xlim(11.r(lim(1\3f)于).7e

/-?O-0/-0

f\.r)=e3-1+3je3r.

65.

【精析】4嚕絲dr

arccosj?

Jo八一70一K:

arccos.rd(v1—x2)

=一arccosj'?\J\—7"+

o

K_y/3_5K_翼

1222122,

66.

【證明】當。=人時，不等式明顯成立.

當a>/>時，不等式等價于工《地一獸工4，

aa-bb

構造函數(shù)"(.r)=ln_r=工，當a>人>0時..rC3,a),/"(??)>0,/(x)為

.r

增函數(shù)，

又/Q)=In］在上連續(xù)，且在(6,a)內可導，則根據(jù)拉格朗日中值定理，在(〃,a)

上存在一點￡使得/‘(?=皿一產=巫二乎=1.

a-ba-b￡

所以相當于要證明(，又OWSVa,所以

aWb

有工V!=Ina即不等式成立

aWa-bb

綜上a>6>0時，紇心W足f<三型.

abb

67.

【證明】構造函數(shù)，(.r)=e2i—2八在1J.i")上連續(xù)./(Q=2e?i—2.

當z>J時?/(￡)>0人］)在(5?T-)上單調增力□.

即/(工)>，(品=0,即當x>-y時?/7>2工.

68.

【精析】平面圖形D區(qū)域如圖所示.

(DS=[(24y—y)d>—(2?春/+-^-j3)I=

Jo3oloo

(2)匕=nJ[1—(JC)2Jdx十冗j[1—(寧)

2

可/一前\兒I=彳7T1+8虧式=2方17t

69.

【證明】當。=人時，不等式明顯成立.

a

當a>/>時，不等式等價于工&@—理《4，

aa-bb

構造函數(shù)，/(?)=Inl./'(￡)=§,當a>6>0時..re(6,a)>0,/(x)為

增函數(shù)，

又/Q)=In才在［〃,a］上連續(xù)，且在(〃,a)內可導.則根據(jù)拉格朗日中值定理，在(〃,a)

上存在一點￡使得/'(A=?四二修=皿二乎=

所以相當于要證明［又0<辦VSVa,所以

有工V［=皿二普V；.即不等式成立.

aWa-bb

綜上a>6>0時.”心W卜￡W二

abb

70.

.【精析】令F(?r)=(1+ar)ln(1+x)—arctanjwj'20,顯然F(①)在[0?+8)內連

續(xù)，且/>0時

F\x)=ln(1++1-T—7~~7

1+彳

=ln(1+.r)+—J-T>0,

I+1

所以F(J)在(0,+8)內單調增加，F(xiàn)(.r)>F(0)=O,(l+/)ln(l+i)>arciaii.r,