《排列》示范公開課教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)人教A版】

第1課時(shí)《排列》教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)內(nèi)容

排列的概念.

（二）教學(xué)目標(biāo)

通過解決實(shí)際的計(jì)數(shù)問題，得到排列的定義，并能利用定義判斷排列問題.

（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：排列的定義.

難點(diǎn)：將實(shí)際問題中的具體對(duì)象抽象為元素，得到排列的定義.

（四）教學(xué)過程設(shè)計(jì)

【引入概念】

問題1:在使用分步乘法原理解決問題的時(shí)候，你有何想法或感受？

答案：在用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)，因?yàn)樽隽艘恍┲貜?fù)性工作而顯得繁瑣.

能否針對(duì)這類計(jì)數(shù)問題給出一種簡捷的方法呢？

問題2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，

另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有幾種不同的選法？

追問1：問題2中要完成的“一件事情”是什么？

答案：從3名同學(xué)中選擇2名同學(xué)，1名參加上午的活動(dòng)，1名參加下午的活動(dòng).

追問2：能否利用計(jì)數(shù)原理計(jì)算不同的選法種數(shù)？試著列出各種不同的選法.

答案：能，先選出1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，有甲、乙、丙三種選擇，再在剩下的兩名同

學(xué)中選擇一名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，在上面的三種情況下，每種情況均有兩種選擇.

相應(yīng)的選法

*甲乙

A甲丙

甲*乙甲

乙

丙?乙丙

甲＞丙甲

丙

乙＞丙乙

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的選法種數(shù)為：3X2=6.

追問3：如果將問題2的背景去掉，把被選出的同學(xué)叫做元素，那么還可以怎樣敘述問題2?

答案：從3個(gè)不同元素〃、從c中任意取出2個(gè)，并按一定的順序排成一列，共有多少種不

同的排列方法？

追問4：用元素列出追問3中各種不同的排法，并求出不同的排列方法種數(shù).

答案：ab,ac,ba,be,ca,cb,不同的排列方法種數(shù)為：3X2=6.

設(shè)計(jì)意圖：通過分步乘法計(jì)數(shù)的具體問題，既檢測與本節(jié)課內(nèi)容有關(guān)的計(jì)數(shù)原理的掌握情況,

又引出排列問題，為抽象得到排列的概念做準(zhǔn)備.

問題3：從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的

三位數(shù)？

追問1:問題3中要完成的“一件事情”是什么？

答案:從4個(gè)數(shù)

十位234134124123

AAAAAAAAAAAA成一個(gè)三位數(shù)?

個(gè)位342423341413241412231312

追問2：能否利

用計(jì)數(shù)原理計(jì)算不同的選法種數(shù)？利用樹狀圖列出所有不同的三位數(shù)，并說明這些三位數(shù)有

什么不同？

答案：第1步，確定百位上的數(shù)字，從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，有4種方法；

第2步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的3

個(gè)數(shù)字中去取，有3種方法；

第3步，確定個(gè)位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個(gè)位的數(shù)字只能從余下

的2個(gè)數(shù)字中去取，有2種方法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1，2,3,4這4個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出3個(gè)數(shù)字，按

“百位、十位、個(gè)位”的順序排成一列，不同的排法種數(shù)為4X3X2=24.

這些不同的三位數(shù),至少有一位上的數(shù)字是不相同的.

追問3：如果將問題3的背景去掉，把被取出的數(shù)字叫做元素，那么還可怎樣歸結(jié)問題3?

答案：從4個(gè)不同元素a、b、c、〃中任意取出3個(gè)，并按一定的順序排成一列，共有多少

種不同的排列方法？

追問4：用元素列出追問3中各種不同的排法，并求出不同的排列方法種數(shù).

答案：abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bed,bda,bdc,cab,cad,cba,

cbd,eda,edb,dab,dac,dba,dbc,dca,deb.

不同的排列方法種數(shù)為：4X3X2=24.

設(shè)計(jì)意圖：通過分步乘法計(jì)數(shù)的具體問題，讓學(xué)生再次經(jīng)歷解決排列問題的全過程，為抽象

得到排列的概念作準(zhǔn)備.

【概念形成】

問題4:問題2、3的共同特點(diǎn)是什么？你能將它們推廣到一般情形嗎？

答案：把問題2中選出的“同學(xué)”和問題3中取出的“數(shù)字”都抽象為“元素”，并把“按上

午、下午安排選出的2名同學(xué)”和“按百位、十位、個(gè)位把取出的3個(gè)數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù)”

都?xì)w結(jié)為“把取出的元素按照一定的順序排成一列”，從而歸納出排列的定義.

一般地，從”個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做

從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

追問1：如何判斷兩個(gè)排列是否相同？

答案：兩個(gè)排列相同的充要條件是兩個(gè)排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.

設(shè)計(jì)意圖：通過分析、比較兩個(gè)實(shí)例，概括它們的共同特點(diǎn)，從特殊到一般得出排列的^念，

并辨析概念.

【概念鞏固】

思考:下列問題中哪些是排列問題？為什么？

(1)10名學(xué)生中抽2名學(xué)生開會(huì)

(2)10名學(xué)生中選2名做正、副組長

(3)從2,3,5,7,11中任取兩個(gè)數(shù)相乘

(4)從2,3,5,7,11中任取兩個(gè)數(shù)相除

(5)從0-9中任取兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)集合

(6)從0-9中任取兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)

(7)從圓上的10個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)為端點(diǎn)作弦

(8)從圓上的10個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)為起終點(diǎn)作向量

如何判斷一個(gè)問題是否是排列問題？

對(duì)于每一種既定結(jié)果，改變其元素順序，看是否會(huì)形成不同結(jié)果,若是，則是排列；若否，

則不是排列.

答案：(1)無序，不是排列

(2)有序,是排列

(3)無序，不是排列

(4)有序,是排列

(5)無序，不是排列

(6)有序,是排列

(7)無序，不是排列

(8)有序,是排列

【典例精講】

例1某省中學(xué)生足球賽預(yù)選賽每組有6支隊(duì)，每支隊(duì)都要與同組的其他各隊(duì)在主、客場分

別比賽1場，那么每組共進(jìn)行多少場比賽？

問題5:這個(gè)問題是否是排列問題？

追問1:要完成的“一件事情”是什么？

答案:在6支球隊(duì)中任意選取2支,按照"主隊(duì)、客隊(duì)”的順序組成一個(gè)排列.

追問2:完成的“一件事情”是否與“順序”有關(guān)?

答案:因?yàn)橐帧敝麝?duì)、客隊(duì)”，所以與“順序”有關(guān).

解：可以先從這6支隊(duì)中選1支為主隊(duì)，然后從剩下的5支隊(duì)中選1支為客隊(duì).按分步乘法計(jì)數(shù)

原理，每組進(jìn)行的比賽場數(shù)為6X5=30.

設(shè)計(jì)意圖：通過分析和解決具體的排列問題，幫助學(xué)生理解排列的概念.

例2（1）一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜，共有多少種

不同的取法？

（2）學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種，共有多少

種不同的選法？

追問1:（1）和（2）要完成的“一件事情”各是什么？

答案：（1）要完成的事情是甲乙丙三人在桌上5盤不同的菜中各選取一盤菜；（2）要完成的事情

是甲乙丙三人在食堂窗口賣的5種菜中各選取一種菜.

追問2:（1）和（2）完成的“一件事情”是否與“順序”有關(guān)？

答案：對(duì)于（1）3名同學(xué)每人從5盤不同的菜中取1盤菜，可看作是從這5盤菜中任取3盤，放

在3個(gè)位置（給3名同學(xué)）的一個(gè)排列；而對(duì)于（2）,而3名同學(xué)每人從食堂窗口的5種菜中選1

利，，每人都有5種選法，不能看成一個(gè)排列.

解：（1）可以先從這5盤菜中取1盤給同學(xué)甲，然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學(xué)乙，最后

從剩下的3盤菜中取1盤給同學(xué)丙，按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為5X4X3=60.

（2）可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種，有5種選法；再讓同學(xué)乙從5種菜中選1種，也有

5種選法：最后讓同學(xué)丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法，按分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選

法種數(shù)為5X5X5=125.

【課堂小結(jié)】回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，回答下列問題：

（1）如何判斷一個(gè)計(jì)數(shù)問題是否是一個(gè)排列問題？

（2）如何求一個(gè)排列問