第12講圓錐曲線中的軌跡方程（教師版）

圓錐曲線中的軌跡方程（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年新I卷，第22題,12分求平面軌跡方程由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)基本(均值)不等式的應(yīng)用求直線與拋物線相交所得弦的弦長2021年新I卷，第21題,12分求雙曲線的軌跡方程雙曲線中的定值問題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的定義2.會用方法求解軌跡方程的相關(guān)計算【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要會結(jié)合公式運算，需強化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識講解求軌跡方程的5種常用方法

1直接法:直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直接法。

2定義法:如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

3相關(guān)點法:用動點M的坐標x，y表示相關(guān)點P的坐標x0、y0，然后代入點P的坐標x0、y0所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點法。（用未知表示已知，帶入已知求未知)

4參數(shù)法:當動點坐標考點一、直接法求軌跡方程1．（遼寧·高考真題）已知點、，動點滿足，則點的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】向量坐標化代入等式即可.【詳解】∵動點滿足，∴，∴，解得，∴點的軌跡是拋物線.故選:D【點睛】直譯法求軌跡方程:把等式中相關(guān)量坐標化（代數(shù)化），然后整理化簡.2．（湖北·高考真題）設(shè)過點的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關(guān)于y軸對稱，O為坐標原點，若且，則點P的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)求出，再利用，求出軌跡方程，注意.【詳解】由題意得：，設(shè)，因為，所以，解得：，因為，所以所以，因為，所以，即.故選：D3．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是（

）A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線【答案】C【分析】首先利用等比數(shù)列得到等式，然后對所得的等式進行恒等變形即可確定其軌跡方程.【詳解】由題意得，即，對其進行整理變形：，，，，所以或，其中為雙曲線，為直線.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查軌跡方程，關(guān)鍵之處在于由題意對所得的等式進行恒等變形，提現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，屬于中等題.4．（江蘇·高考真題）如圖所示，圓與圓的半徑都是1，，過動點分別作圓、圓的切線（為切點），使得，試建立適當?shù)淖鴺讼?，并求動點的軌跡方程．【答案】（或）.【分析】建立直角坐標系，設(shè)P點坐標，根據(jù)幾何關(guān)系列方程，化簡即可得到結(jié)果.【詳解】以的中點為原點，所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設(shè)點.由已知，得.因為兩圓的半徑均為1，所以，則，即，所以點的軌跡方程為（或）.【點睛】本題主要考查了與圓相關(guān)的動點軌跡方程，考查學(xué)生計算能力和轉(zhuǎn)化能力，熟練運用數(shù)形結(jié)合的思想是本題的關(guān)鍵.5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出方程，化簡即可；（2）法一：設(shè)矩形的三個頂點，且，分別令，，且，利用放縮法得，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，則得的最小值，再排除邊界值即可.法二：設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長公式和放縮法得，利用換元法和求導(dǎo)即可求出周長最值，再排除邊界值即可.法三：利用平移坐標系法，再設(shè)點，利用三角換元再對角度分類討論，結(jié)合基本不等式即可證明.【詳解】（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡得，故.（2）法一：設(shè)矩形的三個頂點在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，則,令，同理令，且，則，設(shè)矩形周長為,由對稱性不妨設(shè)，，則.，易知則令,令，解得，當時，，此時單調(diào)遞減，當，，此時單調(diào)遞增，則，故,即.當時,,且，即時等號成立，矛盾，故,得證.法二：不妨設(shè)在上，且，依題意可設(shè)，易知直線，的斜率均存在且不為0，則設(shè),的斜率分別為和，由對稱性，不妨設(shè)，直線的方程為，則聯(lián)立得，，則則，同理，令，則，設(shè)，則，令，解得，當時，，此時單調(diào)遞減，當，，此時單調(diào)遞增，則，，但，此處取等條件為，與最終取等時不一致，故.法三：為了計算方便,我們將拋物線向下移動個單位得拋物線,矩形變換為矩形,則問題等價于矩形的周長大于.設(shè),根據(jù)對稱性不妨設(shè).則,由于,則.由于,且介于之間,則.令,,則,從而故①當時,②當時,由于,從而,從而又,故,由此，當且僅當時等號成立，故，故矩形周長大于.

.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的第二個的關(guān)鍵是通過放縮得，同時為了簡便運算，對右邊的式子平方后再設(shè)新函數(shù)求導(dǎo)，最后再排除邊界值即可.1．（全國·統(tǒng)考高考真題）在平面內(nèi)，A，B是兩個定點，C是動點，若，則點C的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線【答案】A【分析】首先建立平面直角坐標系，然后結(jié)合數(shù)量積的定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，以AB中點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點C的軌跡是以AB中點為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標運算，軌跡方程的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2．（江蘇·高考真題）已知兩點M(－2，0)，N(2，0)，點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足,則動點P(x，y)的軌跡方程為()A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)MN的坐標求出|MN|然后設(shè)點P的坐標表示出關(guān)系0即可得到答案．【詳解】設(shè)P（x，y），x＞0，y＞0，M（﹣2，0），N（2，0），則由，則，化簡整理得y2＝﹣8x．故選A．【點睛】直接法求軌跡方程的一般步驟：（1）建立適當?shù)淖鴺讼?；?）設(shè)出所求曲線上點的坐標，把幾何條件或等量關(guān)系用坐標表示為代數(shù)方程；（3）化簡整理這個方程，檢驗并說明所求方程就是曲線的方程.直接法求軌跡方程時最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價性.通常將步驟簡記為“建系，設(shè)點，列式，化簡”.3．（上?！じ呖颊骖}）直角坐標平面中，若定點與動點滿足，則點的軌跡方程是【答案】【分析】設(shè)點，則，由，所以，代入，即可求解。【詳解】設(shè)點，則，可得，因為，所以，即，所以點的軌跡方程為。故答案為：?！军c睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運算，以及軌跡方程的求解，其中解答中熟練應(yīng)用向量的數(shù)量積的運算公式，準確計算即可求解，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題。4．（四川·高考真題）如圖，動點到兩定點、構(gòu)成，且，設(shè)動點的軌跡為．（1）求軌跡的方程；（2）設(shè)直線與軸交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍．【答案】（1）3x2y23=0（x>1）；（2）【詳解】（1）設(shè)的坐標為，顯然有，且，當時，點的坐標為，當時，，由，有，即，化簡可得，，而點也在曲線，綜上可知，軌跡的方程為；（2）由，消去并整理，得，由題意，方程有兩根且均在內(nèi)．設(shè)f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，∴，解得，且，設(shè)，的坐標分別為，，由及方程有，，∴，由，且，得且，故的取值范圍是．考點：1．圓錐曲線軌跡；2．直線與雙曲線相交綜合題．考點二、定義法求軌跡方程1．（重慶·高考真題）如圖，M（2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：（Ⅰ）求點P的軌跡方程;（Ⅱ）設(shè)d為點P到直線l：的距離，若,求的值.【答案】（I）；（II）．【分析】（I）由雙曲線的定義知點軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線，由此易得其標準方程；（II）先求出（注意其取值范圍），根據(jù)雙曲線的第二定義，建立與的關(guān)系，從而，再由可得結(jié)論．【詳解】（I）由雙曲線的定義知點軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線，因此半焦距，實半軸長，從而虛半軸長，雙曲線方程為．（II）由（I）及圖，易知，因，①知|PM|>|PN|，故P為雙曲線右支上的點，所以|PM|=|PN|+2.

②將②代入①，得2||PN|2|PN|2=0，解得|PN|=,所以|PN|=.因為雙曲線的離心率e==2，直線l:x=是雙曲線的右準線，故=e=2,所以d=|PN|，因此．【點睛】本小題主要考查雙曲線的第一定義、第二定義及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，同時考查了學(xué)生的運算能力．2．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考三模）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，(1)求圓心的軌跡方程(2)若過點且斜率的直線與交與兩點，線段的垂直平分線交軸與點，證明的值是定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)圓C與圓A、圓B外切，得到<4，再利用雙曲線的定義求解；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立，利用弦長公式求得，再根據(jù)線段MN的垂直平分線，得到點P的坐標求解.【詳解】（1）解：因為圓C與圓A、圓B外切，設(shè)C點坐標，圓C半徑為，則，，所以<4，所以點C的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立，消去y得：，所以，設(shè)MN中點坐標為G，則，所以，，直線GP的方程為:，，所以，所以=1.3．（2022·四川綿陽·綿陽中學(xué)實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知在平面直角坐標系中有兩定點，，平面上一動點到兩定點的距離之和為．(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線，分別與交于，，，四點，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓定義確定軌跡，由此求得軌跡方程；（2）當其中一條直線斜率不存在（或為0）時直接求出四邊形面積，當斜率存在且不為0時，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程由弦長公式求得弦長，同理得弦長，計算四邊形面積并求得取值范圍，從而可得最小值．（1）因為（），所以點軌跡是以為焦點，為長軸長的橢圓，所以，，，所以軌跡方程為；（2）當一條直線斜率不存在時，代入橢圓方程得，，因此弦長，另一直線斜率為0，，；當兩條直線斜率都存在且不為0時，設(shè)直線方程為，，，由，得，所以，，，由于，所以直線斜率為，同理，，令，則，，因為，所以，，綜上，，的最小值為．4．（2022·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)校考三模）在平面直角坐標系中，動點到點的距離比到直線的距離小2．(1)求的軌跡的方程；(2)設(shè)動點的軌跡為曲線，過點作斜率為，的兩條直線分別交于M，N兩點和P，Q兩點，其中．設(shè)線段和的中點分別為A，B，過點作，垂足為．試問：是否存在定點，使得線段的長度為定值．若存在，求出點的坐標及定值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在定點，使得線段的長度為定值2；理由見解析【分析】（1）根據(jù)動點G到點的距離比它到直線的距離小2和拋物線的定義可知點G的軌跡是以為焦點，以直線為準線的拋物線，進而得出結(jié)果；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，求得A，B的坐標，從而表示出AB的方程，說明其過定點，由可說明點D點在一個圓上，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意可得動點到點的距離比到直線的距離小2，則動點到點的距離與到直線的距離相等，故G的軌跡是以為焦點，以直線為準線的拋物線，設(shè)拋物線方程為，則焦準距，故的軌跡的方程為：；（2）由題意，直線MN的方程為，由題意可知，由，消去y得：，，設(shè)，則，故，同理可求得，所以直線AB的斜率，故直線AB的方程為：，故直線AB過定點，設(shè)該點為,又因為，所以點D在以EF為直徑的圓上，由于,,故以EF為直徑的圓的方程為，故存在定點，使得線段的長度為定值2.【點睛】本題考查了拋物線方程的求解以及直線和拋物線的位置關(guān)系中的定點問題，綜合性較強，解答時要注意設(shè)直線方程并和拋物線方程聯(lián)立,利用很與系數(shù)的關(guān)系進行化簡，關(guān)鍵是解題思路要通暢，計算要準確，很容易出錯.5．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，一動圓經(jīng)過點且與直線相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線K，P是曲線K上一點．(1)求曲線K的方程；(2)過點A且斜率為k的直線l與曲線K交于B、C兩點，若且直線OP與直線交于Q點．求的值；(3)若點D、E在y軸上，的內(nèi)切圓的方程為，求面積的最小值．【答案】(1)(2)(3)8【分析】（1）由題意動圓的軌跡滿足拋物線的定義，所以得出拋物線的軌跡方程即可，（2）聯(lián)立直線l與拋物線，求出的值，又，設(shè)出OP的方程，再聯(lián)立拋物線求出的值，再求出，得出的值；（3）由于D、E在y軸上，設(shè)出D、E坐標，并求出，P點的橫坐標即為的高，再求面積的最小值即可．【詳解】（1）由題意可知圓心到的距離等于到直線的距離，由拋物線的定義可知，曲線K的軌跡方程為，（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，消y得，∴，∴，設(shè)，∴,又，∴∵，∴設(shè)直線OP的方程為，聯(lián)立，消y得，∴，∴，∴，令，則，∴，∴，∴，故的值為，（3）設(shè)，直線PD的方程為，又圓心到PD的距離為1，即，整理得，同理可得，所以，可知b，c是方程的兩根，所以，，依題意，即，則，因為，所以，所以，當且僅當，即時上式取等號，所以面積的最小值為8．【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．1．（江西·高考真題）設(shè)動點P到兩定點和的距離分別為和，，且存在常數(shù)，使得．(1)證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；(2)如圖，過點的直線與雙曲線C的右支交于兩點．問：是否存在，使是以點B為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；.(2)存在；.【分析】（1）在中，利用余弦定理得出是一個常數(shù)，從而動點P的軌跡C是以為焦點的雙曲線，最后求出雙曲線的方程即可；（2）在中，設(shè),對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)為等腰直角三角形，再利用方程組，求出的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在.【詳解】（1）證明：在中，，因為存在常數(shù)，使得，故，∴（小于2的常數(shù)），故動點P的軌跡C是以為焦點，實軸長的雙曲線，，雙曲線方程為.（2）在中，設(shè),假設(shè)為等腰直角三角形，則

,由②與③得，則,由⑤得，即，又，，故，故存在滿足題設(shè)條件．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了軌跡方程的求解，考查了雙曲線定義的應(yīng)用以及雙曲線中的探索性問題，解答的關(guān)鍵是利用雙曲線的性質(zhì)結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)得到相應(yīng)等量關(guān)系，進而化簡求值,解答時等量關(guān)系式較多，要注意化簡順序和技巧，可使得計算簡化，本題綜合性較強，計算量較大.2．（重慶·高考真題）如圖，和是平面上的兩點，動點P滿足：．(1)求點P的軌跡方程；(2)若，求點P的坐標．【答案】(1)(2)，，，【分析】由已知，可根據(jù)橢圓的定義，判斷點P的軌跡為橢圓，設(shè)出橢圓方程，利用待定系數(shù)法，分別求解出即可；由已知，由可得：，將這個式子代入到中，利用余弦定理得到中，可得：，從而判斷點P的軌跡滿足雙曲線，求解出雙曲線的方程，令橢圓和雙曲線方程聯(lián)立，即可求解坐標.【詳解】（1）由已知，和是平面上的兩點，動點P滿足：，所以由橢圓的定義可知，點P的軌跡是以和為焦點，長軸為的橢圓，設(shè)橢圓方程為：，由已知可得：半焦距，長半軸，所以，所以點P的軌跡方程為：.（2）由，得，①又因為，所以點P不為橢圓長軸的頂點，故點P、點M、點N三點組成三角形，在中，，，由余弦定理可知：，②將①代入②得：，所以，即，故點P的軌跡是以和為焦點，實軸為的雙曲線，設(shè)雙曲線方程為：，由已知可得：，，所以點P的軌跡方程為：.又因為點P又滿足橢圓方程：，所以由方程組：解得：，所以點P的坐標為：，，，.3．（2022·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，已知點，，點到的距離比到的距離大2，點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與交于兩點，與點關(guān)于原點對稱，求直線與斜率的比值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用雙曲線的定義和性質(zhì)求解即可；（2）當斜率存在時，設(shè)，，的方程為，將直線方程與曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理求解即可，注意討論斜率不存在時的情況.【詳解】（1）由已知可得，所以曲線是以點，為焦點的雙曲線的左支，設(shè)的方程為（，，），根據(jù)題意得，得，所以方程為.（2）由題意可得，設(shè)直線，的斜率分別為，，①當?shù)男甭什淮嬖跁r，易知的坐標分別為，或，，當，時，，，所以.當，時，，，所以.所以當l的斜率不存在時，；②當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)，，的方程為，將直線代入的方程得，所以，，所以，所以，因為，所以，即，綜上，直線與斜率的比值為.【點睛】思路點睛：求解圓錐曲線中定值問題的思路一般有兩種：一是從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)，本題先研究直線的斜率不存在時的值，再求直線的斜率存在時的值；二是直接推理?計算，并在推理計算的過程中消去變量，從而得到定值.4．（2023·遼寧·遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，該動圓的圓心的軌跡為曲線.(1)求的標準方程；(2)直線與交于，兩點，點在線段上，點在線段的延長線上，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：注：如果選擇不同的組合分別解答，按第一個解答計分.①；②；③是直線與直線的交點.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】(1)設(shè)圓心為由外切及內(nèi)切分別得出圓心距等于半徑之和及半徑之差，再由雙曲線的定義即可得到圓心的軌跡方程.(2)由三選二作為條件另一個作為結(jié)論，逐一選擇，與第一問求得的結(jié)果聯(lián)立，得出相應(yīng)結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)動圓的圓心為，半徑為，則，，所以，由雙曲線定義可知，的軌跡是以，為焦點，實軸長為的雙曲線的右支，所以，，即，，所以，所以的標準方程為，.（2）證明：若①②③：由題可設(shè)直線，，，，，由直線與交于，兩點，所以，聯(lián)立得，所以，，由，得，即，由題知，所以，即異于的中點，所以，即，得，又，所以，故，化簡得，所以點在直線上，又是上的點，所以③成立.若①③②：設(shè)，，，，則.由，，，四點共線，設(shè)，，其中且，，則，，，，又點在上，所以，所以，整理得，又，所以，同理，所以，又，，所以，故，，所以，故，即成立，所以②成立.若②③①：由題設(shè)，，，，由，得，又點為線段上一點，點為線段延長線上一點，所以設(shè)，，其中且，則，，，，又點在上，所以，所以，整理得，同理，所以，故，將代入得，所以故即①成立.5．（2022·河南安陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，已知點，，點M滿足．記M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)設(shè)點P為x軸上的動點，經(jīng)過且不垂直于坐標軸的直線l與C交于A，B兩點，且，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明過程見解析【分析】（1）利用橢圓定義求軌跡方程；（2）設(shè)出直線l為：，，聯(lián)立橢圓方程，求出兩根之和，兩根之積，從而表達出弦長，再求出AB中點，進而表達出AB的垂直平分線，求出P點坐標，得到的長，得到為定值.【詳解】（1）由橢圓的定義可知：M的軌跡為以，為焦點的橢圓，且，，所以，所以C的方程為（2）設(shè)直線l為：，則聯(lián)立得：，設(shè)，則，，，則，AB中點坐標為，所以AB的垂直平分線為，令得：，所以，，【點睛】直線與橢圓結(jié)合問題，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，表達出弦長或面積，進而求解定值或取值范圍等.考點三、相關(guān)點法求軌跡方程1．（上?！じ呖颊骖}）點與圓上任一點連線的中點的軌跡方程是A．B．C．D．【答案】A【詳解】試題分析：設(shè)圓上任一點為，中點為，根據(jù)中點坐標公式得，，因為在圓上，所以，即，化為，故選A.考點：1、圓的標準方程；2、“逆代法”求軌跡方程.【方法點晴】本題主要考查圓的標準方程、“逆代法”求軌跡方程，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設(shè)出動點的坐標，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.本題就是利用方法④求的軌跡方程的.2．（陜西·高考真題）如圖，設(shè)P是圓上的動點，點D是P在x軸上投影，M為上一點，且.(1)當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；(2)求過點且斜率為的直線被C所截線段的長度.【答案】(1)(2)【分析】（1）用相關(guān)點法求解軌跡方程，設(shè)出，得到，代入中，得到軌跡方程；（2）求出過點且斜率為的直線方程，聯(lián)立第一問所求的曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，由弦長公式求出答案.【詳解】（1）設(shè)，則，，因為，所以，即，故，所以，因為P是圓上的點，所以，即；（2）過點且斜率為的直線方程為，與聯(lián)立得：，易得，設(shè)直線與的兩交點坐標分別為，則，，故被C所截線段的長度為.3．（2022·福建福州·福建省福州格致中學(xué)?？寄M預(yù)測）圓：與軸的兩個交點分別為，，點為圓上一動點，過作軸的垂線，垂足為，點滿足(1)求點的軌跡方程；(2)設(shè)點的軌跡為曲線，直線交于，兩點，直線與交于點，試問：是否存在一個定點，當變化時，為等腰三角形【答案】(1)(2)存在，證明見解析【分析】（1）設(shè)點在圓上，故有，設(shè)，根據(jù)題意得，，再代入圓即可求解；（2）先判斷斜率不存在的情況；再在斜率存在時，設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得：，，，再根據(jù)題意求解判斷即可.【詳解】（1）設(shè)點在圓上，故有，設(shè)，又，可得，，即，代入可得，化簡得：，故點的軌跡方程為：.（2）根據(jù)題意，可設(shè)直線的方程為，取，可得，，可得直線的方程為，直線的方程為聯(lián)立方程組，可得交點為；若，，由對稱性可知交點，若點在同一直線上，則直線只能為：上，以下證明：對任意的，直線與直線的交點均在直線：上.由，整理得設(shè)，，則，設(shè)與交于點，由，可得設(shè)與交于點，由，可得，因為，因為，即與重合，所以當變化時，點均在直線：上，因為，，所以要使恒為等腰三角形，只需要為線段的垂直平分線即可，根據(jù)對稱性知，點.故存在定點滿足條件.【點睛】求定點問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定點，再證明這個點與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定點．1．（全國·高考真題）設(shè)P為雙曲線上一動點，O為坐標原點，M為線段的中點，則點M的軌跡方程為．【答案】【分析】設(shè)，，用的坐標表示的坐標，再代入雙曲線方程即可得答案.【詳解】設(shè)，，則，即，又，則，整理得，即點M的軌跡方程為.故答案為：2．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知圓O：x2+y2＝4與x軸交于點，過圓上一動點M作x軸的垂線，垂足為H，N是MH的中點，記N的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過作與x軸不重合的直線l交曲線C于P，Q兩點，設(shè)直線AP，AS的斜率分別為k1，k2.證明：k1＝4k2．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）運用相關(guān)點法即可求曲線C的方程；(2)首先對直線的斜率是否存在進行討論,再根據(jù)幾何關(guān)系分別求出P、Q、S三點的坐標，進而表示出直線AP，AS的斜率，再根據(jù)斜率的表達式進行化簡運算,得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)N（x0，y0），則H（x0，0），∵N是MH的中點，∴M（x0，2y0），又∵M在圓O上，，即；∴曲線C的方程為：；（2）①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為：，若點P在軸上方，則點Q在x軸下方，則，直線OQ與曲線C的另一交點為S，則S與Q關(guān)于原點對稱，∴，；若點P在x軸下方，則點Q在x軸上方，同理得：，，∴k1＝4k2；②當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為：，由與聯(lián)立可得，其中，設(shè)，則，則，∴則，∴k1＝4k2.考點四、參數(shù)法求軌跡方程1．（全國·高考真題）在平面直角坐標系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長為2,在y軸上截得線段長為2.(1)求圓心P的軌跡方程;(2)若P點到直線y=x的距離為,求圓P的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【詳解】試題分析：（1）設(shè)，圓的半徑為，則，可得圓心的軌跡方程；（2）設(shè)，則，又根據(jù)點到直線距離公式得，解出，進而可得圓的半徑，求得圓的方程．試題解析：（1）設(shè)，圓的半徑為，由題設(shè)，從而，故的軌跡方程為．（2）設(shè)，由已知得，又點在雙曲線上，從而得．由，得，此時，圓的半徑，由，得，此時，圓的半徑，故圓的方程為或．考點：1.勾股定理及點到直線的距離公式；2.軌跡方程及待定系數(shù)法求圓的方程．【方法點晴】本題主要考查直接法求軌跡方程、點到直線的距離公式及三角形面積公式，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有：①直接法，設(shè)出動點的坐標，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入．本題（1）就是利用方法①求的軌跡方程的．2．（2022·四川成都·石室中學(xué)?？既＃┮阎c，，，，動點S，T滿足，，直線MS與NT交于一點P．設(shè)動點P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)直線與曲線C交于A，B兩點，G為線段AB上任意一點（不與端點重合），傾斜角為的直線經(jīng)過點G，與曲線C交于E，F(xiàn)的值與點G的位置無關(guān)，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)，由M，P，S三點共線，得，由N，P，T三點共線，得，消去即得解；（2）不妨設(shè)點A在第一象限，設(shè)點，其中，若直線的斜率不存在，則直線的方程為，故不為定值.若直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，則直線的方程為.將直線的方程代入曲線C的方程化簡、整理得到韋達定理計算即得證.(1)解：由題意，知，從而，則.設(shè)，則，.由M，P，S三點共線，得.由，得，從而.由N，P，T三點共線，得，消去得，整理得，即曲線C的方程為.(2)證明：由題意并結(jié)合（1）易知（不妨設(shè)點A在第一象限），，.設(shè)點，其中，則，，所以.若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時，，故不為定值.若直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，則直線的方程為.將直線的方程代入曲線C的方程化簡、整理，得.設(shè)，，則，，所以，故.因為的值與m的值無關(guān)，所以，解得，所以，所以G是EF的中點，即.1．（·遼寧·高考真題）設(shè)橢圓方程為，過點的直線l交橢圓于點A，B，O是坐標原點，點P滿足，點N的坐標為，當l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求：（1）動點P的軌跡方程；（2）的最小值與最大值.【答案】（1）；（2）當時，最小值為；當時，最大值為.【分析】（1）設(shè)出直線的方程和點A、B的坐標，聯(lián)立直線與橢圓的方程，即可求出，然后根據(jù)求出點P的坐標，消去參數(shù)，即可得到動點P的軌跡方程，再檢驗當k不存在時，是否也滿足方程即可；（2）根據(jù)點P的軌跡方程求得的取值范圍，再根據(jù)兩點間的距離公式求出，消元，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出的最小值與最大值．【詳解】（1）直線l過點，設(shè)其斜率為k，則l的方程為．設(shè)，，由題設(shè)可得點A、B的坐標是方程組的解．將①代入②并化簡得，所以于是，，設(shè)點P的坐標為，則消去參數(shù)k得，③當k不存在時，A、B中點為坐標原點，也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為．（2）點P的軌跡方變形為，知，即．所以，故當時，取得最小值，最小值為．當時，取得最大值，最大值為．【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，平面向量的坐標運算，兩點間的距離公式的應(yīng)用，利用參數(shù)法求軌跡，以及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，綜合性較強，屬于中檔題．考點五、交軌法求軌跡方程1．（全國·高考真題）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點，若點C滿足，其中，，且，則點C的軌跡方程為A． B．C． D．【答案】D【分析】向量坐標化得結(jié)合即可得點C的軌跡方程．【詳解】設(shè).由已知可知，又，又，可得點C的軌跡方程為.故選D.【點睛】本題考查向量坐標運算，消元法求軌跡方程，是基礎(chǔ)題2．（湖南·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的動直線與雙曲線相交于兩點．（1）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程；（2）在軸上是否存在定點，使·為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)，則，，，，討論直線的斜率存在和不存在的兩種情況，當不與軸垂直時，利用的中點坐標和的坐標表示直線的斜率，從而得到的方程，結(jié)合點差法消去的坐標可求得結(jié)果，當與軸垂直時，也滿足；（2）假設(shè)在軸上存在定點，使為常數(shù)．當不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達定理化簡整理得到的表達式，從而得到，當與軸垂直時，也滿足.【詳解】（1）由條件知，，設(shè)，．設(shè)，則，，，，由得即，于是的中點坐標為．當不與軸垂直時，，即．又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得，即．將代入上式，化簡得．當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．所以點的軌跡方程是．（2）假設(shè)在軸上存在定點，使為常數(shù)．當不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是．代入有．則是上述方程的兩個實根，所以，，于是．因為是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時.當與軸垂直時，點的坐標可分別設(shè)為，，此時．故在軸上存在定點，使為常數(shù)．【點睛】本題考查求軌跡方程的方法和直線與雙曲線的位置關(guān)系，根據(jù)條件設(shè)而不求，最后再消去交點坐標是解題的方向，屬難題.3．（福建·高考真題）如圖，P是拋物線上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.（1）若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；（2）若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍.【答案】（1）(x≠0)；（2）(2,+∞).【分析】（1）設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M（x0,y0），欲求點M的軌跡方程，即尋找其坐標的關(guān)系，可通過另外兩點P，Q與中點M的關(guān)系結(jié)合中點坐標公式求解；（2）欲求的取值范圍，可轉(zhuǎn)化為將其表示成某變量的表達式，設(shè)直線l:y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，分別過P、Q作PP′⊥x軸，QQ′⊥x軸，垂足分別為P′、Q′，則，然后再利用韋達定理及均值不等式求此表達式的最值問題．【詳解】(1)設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x0,y0)，依題意x1≠0，y1>0，y2>0.由，得y′=x.∴過點P的切線的斜率k=x1，∴直線l的斜率，∴直線l的方程為，②聯(lián)立①②消去y，得.∵M是PQ的中點，∴，消去x1，得，∴PQ中點M的軌跡方程為(x≠0).(2)設(shè)直線l:y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T(0,b).分別過P、Q作PP′⊥x軸，QQ′⊥x軸，垂足分別為P′、Q′，則.由，y=kx+b消去x，得y2?2(k2+b)y+b2=0.③則y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2.∴.∵y1、y2可取一切不相等的正數(shù)，∴的取值范圍是(2,+∞).【點睛】本題考查軌跡方程，中點坐標公式，直線與圓錐曲線的綜合問題，解題的關(guān)鍵是將問題的轉(zhuǎn)化再結(jié)合韋達定理即可，屬于難題.1．（江西·高考真題）設(shè)點在直線上，過點P作雙曲線的兩條切線，切點為A、B，定點．(1)過點A作直線的垂線，垂足為N，試求的重心G所在的曲線方程；(2)求證A、M、B三點共線．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）聯(lián)立垂線與直線的方程求出，根據(jù)重心公式求出點坐標，代入雙曲線得解（2）將切線方程與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)判別式為0求出、的方程，根據(jù)在上，得點都在直線上又也在直線上，得證.【詳解】（1）設(shè)，垂線的方程為：，由得垂足，設(shè)重心所以解得，由可得即為重心所在曲線方程．（2）設(shè)，由已知得到，且，，設(shè)切線的方程為：由得從而,解得因此的方程為：同理的方程為：又在上，所以，即點都在直線上又也在直線上，所以三點共線2．（全國·高考真題）已知點到兩個定點、距離的比為，點到直線的距離為．求直線的方程．【答案】或．【詳解】試題分析：先根據(jù)直接法求軌跡的方法求點軌跡方程，再根據(jù)三角形PMN確定，進而根據(jù)圖像確定直線的斜率，利用點斜式寫直線的方程，與圓聯(lián)立解得點P坐標，最后根據(jù)兩點式寫直線的方程．試題解析：解：設(shè)點的坐標為，由題設(shè)有，即，整理得①，因為點到的距離為，，所以，直線的斜率為，直線的方程為②將②式代入①式整理得，解得，，代入②式得點的坐標為或；或，直線的方程為或．點睛：求動點軌跡方程，一般方法有直接法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法.本題關(guān)于動點P的條件為兩線段的比值，所以利用直接法求動點軌跡.【能力提升】一、單選題1．（2023·廣西梧州·蒼梧中學(xué)校考模擬預(yù)測）若圓與圓關(guān)于直線對稱，過點的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出兩個圓的圓心坐標，兩個半徑，利用兩個圓關(guān)于直線的對稱知識，求出a的值，然后設(shè)出圓心P的坐標為，圓心到點C的距離等于圓心到y(tǒng)軸的距離，列出方程求出圓心P的軌跡方程．【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，因為圓與圓關(guān)于直線對稱，所以的中點滿足直線方程，解得，過點的圓P與y軸相切，設(shè)圓心P的坐標為，所以解得：，故選：C．2．（2023·江蘇揚州·揚州中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知圓，圓，已知為兩圓外的動點，過點分別作兩圓的割線和，總有，則點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由可得，然后由割線定理可得，從而得到點的軌跡方程.【詳解】因為圓，圓心，半徑，圓，圓心，半徑，由，可得，所以，即，由割線定理可知，過的切線是到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項，過分別做圓的切線，切點為，則，，所以，連接，則，，所以，即，所以，即，設(shè)，則，化簡可得，所以點的軌跡方程是，故選:A二、填空題3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點到準線的距離為2，直線與拋物線交于兩點，過點作拋物線的切線，若交于點，則點的軌跡方程為.【答案】或【分析】由題可得拋物線方程，利用切線幾何意義可得切線斜率，即可表示出切線方程求出交點坐標，再將拋物線與直線聯(lián)立，結(jié)合韋達定理可得軌跡方程.【詳解】由焦點到準線的距離為2，可得拋物線.由可得，故，故在處的切線方程為，即，同理在點處的切線方程為，聯(lián)立，即.聯(lián)立直線與拋物線方程：，消去得，由題或.由韋達定理，，得，其中或，故點的軌跡方程為：或.故答案為：或三、解答題4．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標系中中，動點到定點的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)已知點，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點，且，求與面積之和的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意直接求動點的軌跡方程即可；（2）當直線的斜率為0時，不適合題意，所以設(shè)出直線的方程與拋物線聯(lián)立利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）設(shè)動點的坐標為，由已知得，，化簡得：，故曲線的方程為.（2）如圖：因為點，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點，所以當直線的斜率為0時，不適合題意；當直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，由得，，，所以，由，得，因為，所以，所以，所以，解得：或（舍去），當時，直線的方程為，直線過定點，且滿足，且，所以，當且僅當，即，時取等號，故最小值為.5．（2023·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知曲線E上任意一點Q到定點的距離與Q到定直線的距離之比為．(1)求曲線E的軌跡方程；(2)斜率為的直線l交曲線E于B，C兩點，線段BC的中點為M，點M在x軸下方，直線OM交曲線E于點N，交直線于點D，且滿足（O為原點）．求證：直線l過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)直接法求軌跡方程的方法，設(shè)出點的坐標，列出關(guān)于的方程，化簡即可；（2）設(shè)，，直線l的方程為，通過聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理求出，，，由得出，從而可求直線所過定點．【詳解】（1）設(shè)曲線E上任意一點，由題意知，化簡整理得，所以曲線E的軌跡方程為；（2）設(shè)，，直線l的方程為，聯(lián)立，得，因為有兩個交點，所以，即，所以，，即，因為點M在x軸下方，所以，又，所以，所以直線OM的斜率，則直線OM的直線方程為，將其代入雙曲線E的方程，整理得，所以，將代入直線，解得，又因為，所以有，．由，解得，因為，，所以，因此直線l的方程為，故直線l過定點．6．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？家荒＃┮阎本€和直線，過動點作平行的直線交于點，過動點作平行的直線交于點，且四邊形（為原點）的面積為1．(1)求動點的軌跡方程(2)當動點的軌跡的焦點在軸上時，記動點的軌跡為曲線，若過的直線與曲線交于兩點，在曲線上是否存在點，使的重心為原點．若存在，求出直線的方程：若不存在，請說明理由．【答案】(1)或；(2)不存在，理由見解析．【分析】（1）由矩形面積公式結(jié)合兩點間距離公式可得軌跡方程；（2）假設(shè)存在點滿足題意，設(shè)直線方程為，設(shè)，直線方程代入雙曲線方程后，應(yīng)用韋達定理得，然后利用原點是三角形的重心，把用表示，再把代入代入雙曲線方程后求解，如果求得值說明存在，如求不出值，說明不存在．【詳解】（1）由題意，所以，，所以動點的軌跡方程是或；（2）假設(shè)存在滿足題意，動點的軌跡的焦點在軸上時，軌跡方程為，易知直線不能與軸重合，設(shè)其方程為，設(shè)，由得，且，所以，所以，，滿足的重心為原點，則，，，，又在雙曲線上，所以，，無實數(shù)解，所以不存在點滿足題意．【點睛】方法點睛：解析幾何中存在性命題的解題方法：假設(shè)存在滿足題意的點（直線或其它量），設(shè)出直線方程與交點坐標，直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達定理得，把此結(jié)論代入題中條件求解，如能求得參數(shù)值則說明存在，如果求不出參數(shù)值，則說明假設(shè)錯誤，滿足題意的點（直線或其它量）不存在．7．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知動圓M過點且與直線相切，記動圓圓心M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線與軸相交于點P，點B為曲線C上異于頂點的動點，直線PB交曲線C于另一點D，直線BO和DO分別交直線于點S和T．若四點共圓，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)點，根據(jù)題意列出方程，整理即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用韋達定理求出直線與直線的交點坐標，然后利用相交弦定理即可證明.【詳解】（1）設(shè)，則，解得.（2）設(shè)直線的方程為代入得，設(shè)，，則，又直線的方程為，即，則，同理：

，

則，

，四點共圓，，即，又，則.8．（2023·山東·山東省實驗中學(xué)?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼祒Oy中，點P到點的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，記點P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點F且斜率不為零的直線l交橢圓E：于A，B兩點，交曲線C于M，N兩點，若為定值，求實數(shù)λ的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出點P的坐標，再列出方程化簡作答.（2）設(shè)出直線l的方程，分別與橢圓E、曲線C的方程聯(lián)立，利用弦長公式求出弦長，再代入計算判斷作答.【詳解】（1）設(shè)，依題意，，兩邊平方并整理，得，所以曲線C的方程為．（2）設(shè)，，，，依題意，設(shè)直線l的方程為，由消去y并整理，得，而點為橢圓E的右焦點，因此，，則，由（1）知，，若直線l交曲線C于M、N兩點，且，則直線l與相交，由消去y并整理，得，而點為拋物線的焦點，則，于是，從而，要使為定值，則，即，所以實數(shù)λ的值為3．9．（2023·遼寧·遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓心在x軸上移動的圓經(jīng)過點，且與x軸，y軸分別交于M，N兩個動點，線段MN中點Q的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)已知直線l分別與曲線和拋物線：交于四個不同的點，，，，且．（i）求證：；（ii）設(shè)l與x軸交于點G，若，求的值．【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）設(shè)，則，設(shè)動圓圓心為，得，由化簡可得曲線的方程；（2）（i）設(shè)直線的方程為，分別與，的方程聯(lián)立，利用韋達定理即可求得，從而證得結(jié)論；（ii）由，，可得，得，再由得到結(jié)果．【詳解】（1）設(shè)，則，設(shè)動圓圓心為，由，得，因為，所以，化簡整理得，所以曲線的方程為．（2）（i）證明：直線與軸不垂直，設(shè)直線的方程為，由，,則，由，,則，故.（ii）∵，∴，又，∴，得，因此．10．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點，點，點是軸上的動點，點在軸上，直線與直線垂直，關(guān)于的對稱點為．(1)求的軌跡的方程；(2)過的直線交于兩點，在第一象限，在處的切線為交軸于點，過作的平行線交于點是否存在最大值？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）利用向量垂直以及中點坐標公式即可求解，或者利用菱形的性質(zhì)以及拋物線的定義可判斷點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線．（2）將問題轉(zhuǎn)化為直線與的傾斜角之差最大．聯(lián)立直線與拋物線方程，得到韋達定理，求導(dǎo)得切線斜率，即可利用傾斜角與斜率的關(guān)系，結(jié)合正切的和差角公式以及基本不等式即可求解.【詳解】（1）法1：設(shè)因為，所以，即．又，所以，所以．法2：如圖，設(shè)關(guān)于的對稱點為，由已知得，互相垂直平分，所以四邊形為菱形，所以．因為為中點，所以，即點在定直線上，因為，所以與直線垂直，即點到定點的距離等于點到定直線的距離，所以點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線．所以點的軌跡的方程為．（2）存在最大值．延長交于，所以最大即直線與的傾斜角之差最大．由題意可知直線有斜率，設(shè)，（）由得，，所以．因為，所以的斜率，的斜率．設(shè)直線與的傾斜角為，則．．當且僅當即,時等號成立．因為，所以，所以當最大時，最大，即最大，此時，所以，所以的方程為．【點睛】圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.11．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）已知y軸右側(cè)一動圓Q與圓P：相外切，與y軸相切.(1)求動圓圓心Q的軌跡M的方程；(2)過分別作兩條直線，，與軌跡M相交于A，B兩點，與軌跡M相交于C，D兩點，，的傾斜角互補，定點，且與面積之和為，求直線的斜率.【答案】(1).(2).【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出方程，化簡即得軌跡M的方程；（2）用設(shè)而不求的思想，由與面積之和為即可求直線的斜率.【詳解】（1）圓P：，所以圓P的圓心坐標為，半徑為1，設(shè)，依題意有，化簡整理得：，故所求動圓圓心Q的軌跡M的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，則直線的斜率，因為，的傾斜角互補，故直線的方程為，設(shè)，，，，由得：，所以，，所以，同理可得，因為與面積之和為，所以有，解得，所以直線的斜率.【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線相交問題，通常用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立直線方程和曲線方程，用韋達定理表示出要求的問題或?qū)崿F(xiàn)參數(shù)之間的轉(zhuǎn)化.12．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，過右側(cè)的點作，垂足為，且．(1)求點的軌跡的方程；(2)過點的動直線交軌跡于，設(shè)，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)提意思，設(shè)，得到，結(jié)合，利用距離公式化簡，即可求解曲線的方程；（2）當直線的斜率存在，可設(shè)，聯(lián)立方程組，設(shè)，求得，化簡，代入求得；當直線的斜率不存在，此時，求得，得到，即可求解.【詳解】（1）由題意，直線與軸交于點，過右側(cè)的點作，可得，設(shè)，則，因為，可得，即，整理得.（2）當直線的斜率存在，可設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，因為直線與曲線交于兩點，則，且，因為，可得，所以；當直線的斜率不存在，此時直線，聯(lián)立方程組，解得，不妨設(shè)，此時，可得，綜上可得，為定值.13．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，對于平面內(nèi)一動點，軸于點M，且.(1)求點Р的軌跡C的方程；(2)當時，直線與曲線C交于不同兩點Q，R，與直線交于點S，與直線交于點T，若，為坐標原點，求的面積.【答案】(1)當，；當，(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到，分類討論即可；（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線方程得，，再聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到韋達定理式，再利用弦長公式得到關(guān)系式，最后將其代入面積表達式化簡即可.【詳解】（1）設(shè)，則，從而由，有，若，化簡整理得；若，化簡整理得.（2）當，則設(shè)直線，直線與直線相交，聯(lián)立得，則解得；直線與直線相交，聯(lián)立得，得；由，得，由得：，即，且，，因為，所以，即，所以，整理得，則，又，，所以.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，從而得到，，再聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到韋達定理式，利用弦長公式和弦長關(guān)系得到，再寫出面積表達式代入上式化簡即可.14．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）圓，圓心為，點，作圓上任意一點與點連線的中垂線，交于.(1)求的軌跡的方程；(2)設(shè)為曲線上任意一點，直線分別交曲線于兩點，，求的值.【答案】(1)(2)14【分析】（1）作出輔助線，根據(jù)橢圓的定義得到的軌跡為以兩點為焦點，長軸長為4的橢圓，求出橢圓方程；（2）設(shè)出，得到直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到，進而得到，由得到，同理得到，從而得到.【詳解】（1）連接，則，其中，則，所以，故的軌跡為以兩點為焦點，長軸長為4的橢圓，其中，故，，所以的方程為；（2）設(shè)，則，設(shè)，因為，，直線的方程為，所以，與橢圓方程聯(lián)立得，即，故，所以，同理可得，因為，所以，故，同理可得，所以.【點睛】求軌跡方程常用的方法：直接法，相關(guān)點法，交軌法，定義法，特別重視圓錐曲線的定義在求軌跡方程中的應(yīng)用，只要動點滿足已知曲線的定義，就可直接得到所求軌跡方程，求解過程中要注意一些軌跡問題中包含隱含條件，也就是曲線上的點的坐標的取值范圍，有時還要補充特殊點的坐標.15．（2023·四川南充·模擬預(yù)測）如圖所示，以原點為圓心，分別以2和1為半徑作兩個同心圓，設(shè)為大圓上任意一點，連接交小圓于點，設(shè)，過點分別作軸，軸的垂線，兩垂線交于點．(1)求動點的軌跡的方程；(2)點分別是軌跡上兩點，且，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)得到點坐標，設(shè)出點坐標，根據(jù)參數(shù)方程即可得到曲線的方程；（2）根據(jù)得到，根據(jù)與的位置關(guān)系進行分類，再聯(lián)立化簡韋達定理得到與的長，根據(jù)三角形的面積公式得到結(jié)果即可.【詳解】（1）因為，所以，設(shè)，則（是參數(shù)），消去得，即曲線的方程為；（2），，當直線或的斜率不存在時，易得當直線和的斜率都存在時，設(shè)，則由得，，同理可得，令故.【點睛】壓軸題點睛：該題關(guān)鍵在于分類與的位置關(guān)系，通過聯(lián)立化解以及三角形的面積公式得到結(jié)果，注意化簡中的技巧運用.16．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知在平面直角坐標系xOy中，，點M到直線的距離為d，，記點M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)經(jīng)過F的直線l與曲線C交于點D，E，設(shè)，直線DA，EA分別與直線交于點P，Q，證明：以PQ為直徑的圓經(jīng)過點F.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，利用可得，化簡即可；（2）設(shè)直線的方程為，，與曲線C進行聯(lián)立可得，，利用題意可得到直線的方程，求出的坐標，同理可求，然后通過計算即可求證【詳解】（1）設(shè)，由題意可得，因為，所以，兩邊同時平方得，整理得，所以曲線的方程為.（2）顯然直線不與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為，，（當時，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個交點，不符合題意），聯(lián)立直線與的方程并消去，得則，恒成立，設(shè)，，所以，直線的方程為，令，得，同理，因為，所以，又，所以，所以，故以為直徑的圓經(jīng)過定點.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.17．（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，點P到點的距離比到y(tǒng)軸的距離大l，記點P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點F且斜率為的直線l交橢圓于A，B兩點，交曲線C于M、N兩點，若為定值，則實數(shù)應(yīng)滿足什么關(guān)系？【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列式運算即可；（2）分別聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理求，代入整理可得，結(jié)合定值分析運算.【詳解】（1）設(shè)，由題意可得兩邊平方并整理，得，故曲線C的方程為.（2）設(shè)，，，，由題意可得直線l的方程為，與橢圓E的方程聯(lián)立，得，則，，可得，∵，若直線l交曲線C于M、N兩點，且，則直線l與相交，直線l的方程與曲線C的方程聯(lián)立，得，則，，可得：，∴，要使為定值，則，即故當為定值時，實數(shù)應(yīng)滿足【點睛】方法定睛：求解定值問題的三個步驟(1)由特例得出一個值，此值一般就是定值；(2)證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；(3)得出結(jié)論．18．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，動點關(guān)于軸的對稱點為，直線與的斜率之積為.(1)求點的軌跡的方程；(2)設(shè)點是直線上的動點，直線，分別與曲線交于不同于，的點，，過點作的垂線，垂足為，求最大時點的縱坐標.【答案】(1)(2)【分析】（1）由兩直線斜率之積為，得點Q所滿足的方程式即可；（2）設(shè)直線的方程，代入曲線的方程，由幾何關(guān)系得直線恒過點，點的軌跡是以為直徑的圓，當與重合時，最大，求出此時，點的縱坐標.【詳解】（1）由題意得，且，，，所以，整理得曲線.（2）設(shè)，，，若直線平行于軸，根據(jù)雙曲線的對稱性，可知點在軸上，不符合題意，故設(shè)直線：，代入曲線中，得，則，，則，由，A，三點共線得，即，同理，由，B，三點共線得，消去，得，即，得，得，即對任意，，都有成立，故或，若，由，可得：所以即，矛盾，故，所以.所以直線：恒過點，則點的軌跡是以為直徑的圓，其方程為，當與重合時，最大，此時軸，：，.所以當最大時，點的縱坐標為.19．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知點，P為平面內(nèi)一動點，以為直徑的圓與y軸相切，點P的軌跡記為C．(1)求C的方程；(2)過點F的直線l與C交于A，B兩點，過點A且垂直于l的直線交x軸于點M，過點B且垂直于l的直線交x軸于點N.當四邊形的面積最小時，求l的方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)，則以為直徑的圓的圓心為，根據(jù)圓與y軸相切，可得，化簡得，所以C的方程為（2）由題意可知：直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線：，，聯(lián)立，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則所以，所以，由題意可知四邊形為梯形，所以，設(shè)，則，所以，當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，所以當時，即時，面積最小，此時，故直線的方程為：，即或【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用．必要時也可以利用導(dǎo)數(shù)求解最值.另外在解析幾何中還要注意向量的應(yīng)用.20．（2023·廣東珠海·珠海市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知動圓M經(jīng)過點，且動圓M被y軸截得的弦長為4，記圓心M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的標準方程；(2)設(shè)點M的橫坐標為，A，B為圓M與曲線C的公共點，若直線AB的斜率，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，則點M到y(tǒng)軸的距離為，再根據(jù)圓M被y軸截得的弦長，即可得出答案；（2）設(shè)，，直線AB的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，，設(shè)線段AB的中點為T，點M的縱坐標為，則，由此可求出，再根據(jù)圓M經(jīng)過點，即可得解.【詳解】（1）設(shè)，則點M到y(tǒng)軸的距離為，因為圓M被y軸截得的弦長為4，所以，又，所以，化簡可得，所以曲線C的標準方程為；（2）設(shè)，，因為直線AB的斜率，所以可設(shè)直線AB的方程為，由及，消去x可得，則，所以，所以，，所以，設(shè)線段AB的中點為T，點M的縱坐標為，則，，所以直線MT的斜率為，所以，所以，所以，易得圓心M到直線AB的距離，由圓M經(jīng)過點，可得，所以，整理可得，解得或，所以或，又，所以．【點睛】方法點睛：求動點的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點法：用動點的坐標、表示相關(guān)點的坐標、，然后代入點的坐標所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當動點坐標、之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.21．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知點A在y軸右側(cè)，點B，點C的坐標分別為，，直線AB，AC的斜率之積是3.(1)求點A的軌跡D的方程；(2)若拋物線與點A的軌跡D交于E，F(xiàn)兩點，過B作于H，是否存在定點G使為常數(shù)？若存在，求出G的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）設(shè)點，，利用斜率公式結(jié)合已知條件化簡可得出點的軌跡的方程；（2）設(shè)、，將拋物線的方程與曲線聯(lián)立，列出韋達定理，求出直線的方程并化簡，即可求得直線所過定點的坐標.【詳解】（1）設(shè)點，，因為AB，AC的斜率之積是3，所以.所以點A的軌跡D的方程為.（2）由得，，，設(shè)，，則，，又因為，，所以，因為，所以直線EF的方程為，即，所以直線EF過定點，當G為BP的中點時，因為于H，所以，所以存在定點，使為常數(shù).【點睛】求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.22．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知直線l：與點，過直線l上的一動點Q作直線，且點P滿足．(1)求點P的軌跡C的方程；(2)過點F作直線與C交于A，B兩點，設(shè)，直線AM與直線l相交于點N．試問：直線BN是否經(jīng)過x軸上一定點？若過定點，求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由．【答案】(1)(2)過定點；定點【分析】（1）根據(jù)題意，得到，設(shè)，代入即可求得曲線C的方程；（2）當直線AB的斜率不存在時，直線BN：，直線BN經(jīng)過點，當直線AB的斜率存在時，不妨設(shè)直線AB：，得到直線AM：，求得，聯(lián)立方程組求得，，再證直線BN經(jīng)過點，再證得，即可得到直線BN經(jīng)過點．【詳解】（1）解：由，可得，所以，設(shè)，代入上式得，平方整理即得C的方程為．（2）解：當直線AB的斜率不存在時，不妨設(shè)點A在點B的上方，則，，，則直線BN：，直線BN經(jīng)過點；當直線AB的斜率存在時，不妨設(shè)直線AB：，，，則直線AM：，當時，，故，由，得，則，，所以，，下面證明直線BN經(jīng)過點，即證，即，即，由，，整理得，，即恒成立．即，即直線BN經(jīng)過點．綜上所述，直線BN過軸上的定點．【點睛】解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進動點的坐標或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點的坐標；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).23．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知點A為圓上任意一點，點的坐標為，線段的垂直平分線與直線交于點．(1)求點的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡E與軸分別交于兩點（在的左側(cè)），過的直線與軌跡交于兩點，直線與直線的交于，證明：在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意推出，結(jié)合雙曲線定義即可求得答案；（2）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線和的方程，推得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由得，其半徑為4，因為線段的垂直平分線與直線交于點，故，則,而，故點的軌跡為以為焦點的雙曲線，則，故點的軌跡的方程為.（2）證明：由題意知，若直線l斜率為0，則其與雙曲線的交點為雙曲線的兩頂點，不合題意；故直線l的斜率不能為0，故設(shè)其方程為，聯(lián)立，得，，故，設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為，故，則，即，解得，故直線與直線的交點在定直線上.【點睛】難點點睛：本題考查了利用雙曲線定義求解雙曲線方程以及直線和雙曲線的位置關(guān)系中的點在定直線上的問題，難點在于證明直線與直線的交點在定直線上，解答時要設(shè)直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系進行化簡，計算過程比較復(fù)雜，且大都是關(guān)于字母參數(shù)的運算，要十分細心.24．（2023·江西·校聯(lián)考二模）已知過曲線上一點作橢圓的切線，則切線的方程為.若為橢圓上的動點，過作的切線交圓于，過分別作的切線，直線交于點.(1)求動點的軌跡的方程；(2)已知為定直線上一動點，過的動直線與軌跡交于兩個不同點，在線段上取一點，滿足，試證明動點的軌跡過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)點，結(jié)合題意利用直線的方程推出，進而利用代入法求得動點的軌跡的方程；（2）設(shè)點，利用條件結(jié)合向量的坐標運算推出坐標滿足的關(guān)系，結(jié)合在曲線E上，推得，即可得動點的軌跡方程，確定定點坐標.【詳解】（1）設(shè)點，由題意知切線的方程為，同理，設(shè)點，則切線的方程分別為：，又點Q在直線上，所以，所以直線的方程為：，和比較可得，又在曲線上，即，所以，即點Q的軌跡E的方程為；（2）設(shè)點，則由知，設(shè)，則且，則：，即，，整理可得且，又在曲線E上，則，故，所以，所以，即，由于,故時，，所以動點T的軌跡過定點.【點睛】關(guān)鍵點睛：證明動點的軌跡過定點問題，首先要根據(jù)，利用向量的坐標運算推出坐標滿足的關(guān)系，關(guān)鍵在于結(jié)合在曲線E上，推得，從而可確定T點軌跡方程，確定定點.25．（2023·江西·江西省豐城中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓M過點，且與直線相切．(1)求圓心M的軌跡的方程；(2)過點的直線交拋物線于A，B兩點，過點和A的直線與拋物線交于另一點C，證明：直線CB過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)圓M與直線相切，可得，化簡即可得解；（2）設(shè)，分別求出直線的方程，再根據(jù)直線過點，直線過點，求出的關(guān)系，即可得證.【詳解】（1）設(shè)圓心，由題意得，化簡整理得，所以圓心M的軌跡的方程為；（2）設(shè)，則，所以直線的方程為，即，同理可得直線的方程為，直線的方程為，因為直線過點，所以，則，因為直線過點，所以，則，所以，化簡得，故直線的方程為，所以直線恒過定點.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.26．（2023·河北滄州·?？既＃┮阎獮閳A：上任一點，，，，且滿足.(1)求動點的軌跡的方程；(2)直線：與軌跡相交于，兩點，與軸交于點，過的中點且斜率為的直線與軸交于點，記，若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量的幾何性質(zhì)由得，進而可得，可得動點的軌跡為橢圓，進而可得軌跡方程；（2）根據(jù)弦長公式得，根據(jù)中垂線的方程可得，，由函數(shù)的單調(diào)性可得.【詳解】（1）

如圖，由，可得，因為，所以，所以動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，所以動點的軌跡的方程為.（2）直線的方程為，聯(lián)立消去并整理，得，，設(shè)，，則，，又，可得線段的中點坐標為，所以線段垂直平分線的方程為，令，可得，對于直線，令，可得，所以，又，所以，令，則，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，則.【點睛】方法點睛：弦長公式27．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┮阎狹是平面直角坐標系內(nèi)的一個動點，直線MA與直線垂直，A為垂足且位于第三象限；直線MB與直線垂直，BOAMB(O為原點)的面積為2，記動點M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)點，直線PE，QE與C分別交于P，Q兩點，直線PE，QE，PQ的斜率分別為，，.若，求△PQE周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合點到直線的距離公式分析運算；（2）直線，根據(jù)題意結(jié)合韋達定理分析可得，結(jié)合雙曲線的定義運算求解.【詳解】（1）因為直線、相互垂直，則四邊形OAMB為矩形，設(shè)，且，可得，則點到直線、的距離分別為、，可得，整理得，所以C的方程為.（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去y得，由題意可得：，①因為，則，整理得，即，整理得，解得或，若，則直線，過定點，此時①式為，無解，不符合題意；當時，則直線，過定點，此時①式為，解得，即或，則，因為，則，可得，所以，又因為為雙曲線的左、右焦點，則，即，可得△PQE周長為，所以△PQE周長的取值范圍.【點睛】方法點睛：過定點問題的兩大類型及解法（1）動直線l過定點問題．解法：設(shè)動直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動直線過定點(－m,0)；（2）動曲線C過定點問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點．28．（2023·重慶巴南·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，已知點、，的內(nèi)切圓與直線相切于點，記點M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)設(shè)點T在直線上，過T的兩條直線分別交C于A、B兩點和P，Q兩點，連接.若直線的斜率與直線的斜率之和為0，試比較與的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)得到，從而結(jié)合雙曲線的定義得到軌跡方程；（2）根據(jù)條件設(shè)，，，，，，根據(jù)直線與雙曲線方程的聯(lián)立，由韋達定理得到，，結(jié)合弦長公式得到，從而證明，進而可得相似于，由四點共圓的知識即可得到答案.【詳解】（1）因為點、，的內(nèi)切圓與直線相切于點，所以，因此根據(jù)雙曲線的定義可知，點的軌跡為以，為焦點的雙曲線的右支，設(shè)點的軌跡C的方程為，焦距為，所以，，所以，，，所以點的軌跡方程C為（2）由題意，直線的斜率互為相反數(shù)，記，則，，，，，設(shè)，則直線，.聯(lián)立直線和雙曲線方程，整理得.該方程有兩個不等實根，，則根據(jù)韋達定理可得，，同理可得，.又因為，.，.則，同理可得即進而可得相似于，即，，也即A，B，Q，P四點共圓，可得從而得.因此【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與雙曲線的綜合問題.關(guān)鍵在于直線與雙曲線方程的聯(lián)立，進而通過韋達定理的轉(zhuǎn)化得到，進而得到相似于，由A，B，Q，P四點共圓，可得從而進而得到答案.本題考查學(xué)生的數(shù)據(jù)運算與分析能力、數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于難題.29．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓：的長軸長是短軸長的2倍，直線被橢圓截得的弦長為4．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)M，N，P，Q為橢圓上的動點，且四邊形MNPQ為菱形，原點О在直線MN上的垂足為點H，求H的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，聯(lián)立方程，求出交點坐標，再根據(jù)弦長即可得解；（2）設(shè)，菱形的中心為，利用點差法可得菱形的中心為原點，再分直線的斜率都存在，和直線中有一條直線的斜率不存在，兩種情況討論，根據(jù)求出即可得出答案.【詳解】（1）由題意可得，則橢圓：，聯(lián)立，解得或，所以弦長，解得，所以，所以橢圓的方程為，即；（2）因為四邊形MNPQ為菱形，所以垂直且平分，設(shè)，則，兩式相減得，即，設(shè)菱形的中心為，若直線的斜率都存在，設(shè)直線的斜率分別為，由，得，所以，即，同理，所以，由得，所以，即菱形的中心為原點，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以，同理，因為，所以，所以點在圓上；若直線中有一條直線的斜率不存在，由對稱性可知棱形的中心為原點，四點分別為橢圓的頂點，不妨設(shè)為右頂點，為上頂點，則，同理可得，點任在圓上，綜上所述，H的軌跡方程為.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．30．（2023·廣東廣州·廣州六中?？既＃┮阎獎訄A過點，且與直線相切，設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過上一點作曲線的兩條切線，為切點，與軸分別交于，兩點．記，，的面積分別為、、．（ⅰ）證明：四邊形為平行四邊形；（ⅱ）求的值．【答案】(1)(2)（ⅰ）證明見解析（ⅱ）1【分析】（1）設(shè)出圓心，利用條件建立方程，再化簡即可得出結(jié)果；（2）（ⅰ）設(shè)出兩條切線方程，從而求出的坐標，再利用向量的加法法則即可得出證明；（ⅱ）利用（ⅰ）中條件，找出邊角間的關(guān)系，再利用面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)圓心，由題意得：，化簡整理得：，所以曲線的方程為：．（2）（?。┰O(shè)，，因為，所以，∴直線PA的方程