2022-2023學(xué)年河北省石家莊市五校聯(lián)合體高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省石家莊市五校聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如圖，若向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則z表示的復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖可知，，所以z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，則.故選：C.2.設(shè)如圖，在平行四邊形中，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)相等向量的概念可得，即A錯(cuò)誤；由向量的三角形法則可得，即B錯(cuò)誤；易知，所以可得，即C錯(cuò)誤；由向量的減法法則可得，所以D正確；故選：D3.如圖正方形的邊長為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由三視圖知原圖形是平行四邊形，如圖，，，，，所以平行四邊形的周長是8．故選：A．4.若某圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則它的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閳A錐的軸截面是邊長為2的正三角形，所以圓錐的底面半徑為1，且圓錐的高，故體積為.故選：A5.若復(fù)數(shù)，，其中i是虛數(shù)單位，則的最大值為（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗復(fù)數(shù)，，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最大值為.故選：D6.在中，，，，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗在中，，，，由余弦定理得，即，整理得，所以.故選：B7.設(shè)點(diǎn)不共線，則“”是“與的夾角為鈍角”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗設(shè)與的夾角為，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，可得，整理得，即，則，且點(diǎn)不共線，所以與的夾角為鈍角；當(dāng)與的夾角為鈍角時(shí)，則，所以，可得，即；所以“”是“與的夾角為鈍角”的充分必要條件．故選：C．8.粽子，古時(shí)北方也稱“角黍”，是由粽葉包裹糯米?泰米等餡料蒸煮制成的食品，是中國漢族傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一，端午食粽的風(fēng)俗，千百年來在中國盛行不衰，粽子形狀多樣，餡料種類繁多，南北方風(fēng)味各有不同，某四角蛋黃粽可近似看成一個(gè)正四面體，蛋黃近似看成一個(gè)球體，且每個(gè)粽子里僅包裹一個(gè)蛋黃，若粽子的棱長為，則其內(nèi)可包裹的蛋黃的最大體積約為（）(參考數(shù)據(jù)：)A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，正四面體ABCD，其內(nèi)切球O與底面ABC切于O1，設(shè)正四面體棱長為a，內(nèi)切球半徑為r，連接BO1交AC于F，易知O1為的中心，點(diǎn)F為邊AC的中點(diǎn).易得：，則，，∴，∴，∵，∴，∴球O的體積.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中不正確的是（）A.正四棱柱一定是正方體B.圓柱的母線和它的軸不一定平行C.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形D.以直角三角形一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐〖答案〗ABD〖解析〗對A：正方體一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方體，故A錯(cuò)誤，對B：根據(jù)圓柱母線的定義可知，圓柱的母線和它的軸平行，故B錯(cuò)誤；對C：由正棱錐的定義可知，正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，故C正確；對D：當(dāng)以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，會得到兩個(gè)同底圓錐組合體，故D錯(cuò)誤．故選：ABD．10.已知復(fù)數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.的共軛復(fù)數(shù)不是 B.C.復(fù)數(shù) D.復(fù)數(shù)為純虛數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗復(fù)數(shù)，，對于A，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，不是，A正確；對于B，，B錯(cuò)誤；對于C，，C正確；對于D，是純虛數(shù)，D正確，故選：ACD11.下列說法正確是（）A.若與是共線向量，則B.若，，則與可以作為平面內(nèi)所有向量的基底C.已知是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于、的點(diǎn)，且，則向量在向量上的投影向量為D.若，是單位向量，且，則〖答案〗BCD〖解析〗對A，由題意得，則，解得，故A錯(cuò)誤；對B，因?yàn)?，則與不共線，則與可以作為平面內(nèi)所有向量的基底，故B正確；對C，過點(diǎn)作，垂足為，則則向量在向量上的投影向量為，因?yàn)闉橹睆?，則,因?yàn)?，則，顯然為銳角，則，則，則向量在向量上的投影向量為，故C正確；對D，由題意得，故D正確，故選：BCD.12.已知正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.直線與直線垂直 B.直線與平面平行C.點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等 D.平面截正方體所得的截面面積為〖答案〗BD〖解析〗對于A，在正方體中，，則為直線與直線所成的角或其補(bǔ)角，連接AC，由平面ABCD，得，即在中，，則不可能是直角，直線與直線不垂直，A錯(cuò)誤；對于B，連接，由，分別為，的中點(diǎn)，得，又，則四邊形是平行四邊形，于是，而四邊形是正方體的對角面，點(diǎn)為中點(diǎn)，有，即平面，平面，平面，所以平面，B正確；對于C，連接交于，顯然不是的中點(diǎn)，則平面不過的中點(diǎn)，即點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面的距離不相等，C錯(cuò)誤；對于D，由選項(xiàng)B知，，，即等腰梯形為平面截正方體所得的截面，，等腰梯形的高，所以等腰梯形面積為，D正確.故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.______.〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗為：.14.已知以為起點(diǎn)的向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示、網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則______.〖答案〗2〖解析〗以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)一小格為1單位，則，，，則，故〖答案〗為：2.15.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面.下列正確命題的序號是______.①若，，，則②若，，，則③若，，，則④若，，，則〖答案〗②〖解析〗對于①，在長方體中，平面，平面分別為，直線分別為直線，顯然有，，，而，①錯(cuò)誤；對于②，因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)n不在平面內(nèi)時(shí)，則存在過直線的平面與都相交，令交線分別為，則有，而，，于是，因此，②正確；對于③，在長方體中，平面，平面分別為，直線分別為直線，滿足，，，而，③錯(cuò)誤；對于④，在長方體中，平面，平面分別為，直線分別為直線，滿足，，，而，④錯(cuò)誤，所以正確命題的序號是②.故〖答案〗為：②16.如圖，在離地面高400的熱氣球上，觀測到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知，求山的高度___________..〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，故〖答案〗為?四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)，，其中是實(shí)數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若是純虛數(shù)，求.解：（1）復(fù)數(shù)，則，又a是實(shí)數(shù)，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a的值是1.（2）復(fù)數(shù)，，則，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，于是，解得，因此，又，則，即有，所以.18.如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，D，E是CC1，BC的中點(diǎn)，AE=DE.求:（1）正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長；（2）正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積.解：（1）由題意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，根據(jù)正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC?面ABC，所以CC1⊥BC，在Rt△ECD中，CD=，又D是CC1中點(diǎn)，故側(cè)棱長為2.（2）底面積為S1=2S△ABC=2×2×=2，側(cè)面積為S2=3=3×2×2=12.所以棱柱表面積為S=S1+S2=12+2.19.已知在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)與相交于點(diǎn)．記，．（1）請用，表示向量；（2）若，設(shè)，的夾角為，若，求證：．（1）解：，由題意得，所以．（2）證明：由題意，．∵，，∴．∴，∴．20.如圖，在長方形中，，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：在長方體中，,,，平面，平面，平面，，又，可得,，平面，平面.平面，.（2）解：記交于點(diǎn)，連接，由（1）得平面，所以為斜線在平面上的射影，為與平面所成的角.在長方體中，,，在中，，，.直線與平面所成角的正弦值為.21.在銳角中，角，，所對的邊為，，，已知.（1）求角；（2）若，求的取值范圍.解：（1）在中，由，得，由余弦定理得，又，解得，所以.（2）在銳角中，由（1）知，，則，解得，由正弦定理得，，即，，因此，而，有，于是，所以的取值范圍是．22.如圖1，四邊形是矩形，將沿對角線折起成，連接，如圖2，構(gòu)成三棱錐.過動點(diǎn)作平面的垂線，垂足是.（1）當(dāng)落在何處時(shí)，平面平面，并說明理由；（2）在三棱錐中，若為的中點(diǎn)，判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；（3）設(shè)是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，，當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積的取值范圍.解：（1）當(dāng)落上時(shí)，平面平面.因?yàn)?，所以平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）直線與平面平行.取的中點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)槠矫?，所以，在Rt和Rt中，，所以，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又在矩形中，，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，在中，分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，又在平面中，，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?（3）在矩形中，作交于，已知，由題意知在中，作，交于，沿將折起成后，又，所以平面.因?yàn)槠矫妫?，又，在平面中，，所以平面，因此，?dāng)時(shí)，滿足題意的的集合組成的圖形為線段，因?yàn)樵赗t中，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，因?yàn)樗拿骟w的體積為，①當(dāng)取得最大值時(shí)，即與重合時(shí)，四面體的體積取得最大值；②當(dāng)取得最小值時(shí)，即與重合時(shí)，四面體的體積取得最小值.綜上，當(dāng)時(shí)，四面體的體積的取值范圍是.河北省石家莊市五校聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如圖，若向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則z表示的復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖可知，，所以z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，則.故選：C.2.設(shè)如圖，在平行四邊形中，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)相等向量的概念可得，即A錯(cuò)誤；由向量的三角形法則可得，即B錯(cuò)誤；易知，所以可得，即C錯(cuò)誤；由向量的減法法則可得，所以D正確；故選：D3.如圖正方形的邊長為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由三視圖知原圖形是平行四邊形，如圖，，，，，所以平行四邊形的周長是8．故選：A．4.若某圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則它的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閳A錐的軸截面是邊長為2的正三角形，所以圓錐的底面半徑為1，且圓錐的高，故體積為.故選：A5.若復(fù)數(shù)，，其中i是虛數(shù)單位，則的最大值為（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗復(fù)數(shù)，，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最大值為.故選：D6.在中，，，，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗在中，，，，由余弦定理得，即，整理得，所以.故選：B7.設(shè)點(diǎn)不共線，則“”是“與的夾角為鈍角”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗設(shè)與的夾角為，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，可得，整理得，即，則，且點(diǎn)不共線，所以與的夾角為鈍角；當(dāng)與的夾角為鈍角時(shí)，則，所以，可得，即；所以“”是“與的夾角為鈍角”的充分必要條件．故選：C．8.粽子，古時(shí)北方也稱“角黍”，是由粽葉包裹糯米?泰米等餡料蒸煮制成的食品，是中國漢族傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一，端午食粽的風(fēng)俗，千百年來在中國盛行不衰，粽子形狀多樣，餡料種類繁多，南北方風(fēng)味各有不同，某四角蛋黃粽可近似看成一個(gè)正四面體，蛋黃近似看成一個(gè)球體，且每個(gè)粽子里僅包裹一個(gè)蛋黃，若粽子的棱長為，則其內(nèi)可包裹的蛋黃的最大體積約為（）(參考數(shù)據(jù)：)A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，正四面體ABCD，其內(nèi)切球O與底面ABC切于O1，設(shè)正四面體棱長為a，內(nèi)切球半徑為r，連接BO1交AC于F，易知O1為的中心，點(diǎn)F為邊AC的中點(diǎn).易得：，則，，∴，∴，∵，∴，∴球O的體積.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中不正確的是（）A.正四棱柱一定是正方體B.圓柱的母線和它的軸不一定平行C.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形D.以直角三角形一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐〖答案〗ABD〖解析〗對A：正方體一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方體，故A錯(cuò)誤，對B：根據(jù)圓柱母線的定義可知，圓柱的母線和它的軸平行，故B錯(cuò)誤；對C：由正棱錐的定義可知，正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，故C正確；對D：當(dāng)以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，會得到兩個(gè)同底圓錐組合體，故D錯(cuò)誤．故選：ABD．10.已知復(fù)數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.的共軛復(fù)數(shù)不是 B.C.復(fù)數(shù) D.復(fù)數(shù)為純虛數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗復(fù)數(shù)，，對于A，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，不是，A正確；對于B，，B錯(cuò)誤；對于C，，C正確；對于D，是純虛數(shù)，D正確，故選：ACD11.下列說法正確是（）A.若與是共線向量，則B.若，，則與可以作為平面內(nèi)所有向量的基底C.已知是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于、的點(diǎn)，且，則向量在向量上的投影向量為D.若，是單位向量，且，則〖答案〗BCD〖解析〗對A，由題意得，則，解得，故A錯(cuò)誤；對B，因?yàn)?，則與不共線，則與可以作為平面內(nèi)所有向量的基底，故B正確；對C，過點(diǎn)作，垂足為，則則向量在向量上的投影向量為，因?yàn)闉橹睆?，則,因?yàn)椋瑒t，顯然為銳角，則，則，則向量在向量上的投影向量為，故C正確；對D，由題意得，故D正確，故選：BCD.12.已知正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.直線與直線垂直 B.直線與平面平行C.點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等 D.平面截正方體所得的截面面積為〖答案〗BD〖解析〗對于A，在正方體中，，則為直線與直線所成的角或其補(bǔ)角，連接AC，由平面ABCD，得，即在中，，則不可能是直角，直線與直線不垂直，A錯(cuò)誤；對于B，連接，由，分別為，的中點(diǎn)，得，又，則四邊形是平行四邊形，于是，而四邊形是正方體的對角面，點(diǎn)為中點(diǎn)，有，即平面，平面，平面，所以平面，B正確；對于C，連接交于，顯然不是的中點(diǎn)，則平面不過的中點(diǎn)，即點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面的距離不相等，C錯(cuò)誤；對于D，由選項(xiàng)B知，，，即等腰梯形為平面截正方體所得的截面，，等腰梯形的高，所以等腰梯形面積為，D正確.故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.______.〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗為：.14.已知以為起點(diǎn)的向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示、網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則______.〖答案〗2〖解析〗以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)一小格為1單位，則，，，則，故〖答案〗為：2.15.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面.下列正確命題的序號是______.①若，，，則②若，，，則③若，，，則④若，，，則〖答案〗②〖解析〗對于①，在長方體中，平面，平面分別為，直線分別為直線，顯然有，，，而，①錯(cuò)誤；對于②，因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)n不在平面內(nèi)時(shí)，則存在過直線的平面與都相交，令交線分別為，則有，而，，于是，因此，②正確；對于③，在長方體中，平面，平面分別為，直線分別為直線，滿足，，，而，③錯(cuò)誤；對于④，在長方體中，平面，平面分別為，直線分別為直線，滿足，，，而，④錯(cuò)誤，所以正確命題的序號是②.故〖答案〗為：②16.如圖，在離地面高400的熱氣球上，觀測到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知，求山的高度___________..〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故〖答案〗為?四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)，，其中是實(shí)數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若是純虛數(shù)，求.解：（1）復(fù)數(shù)，則，又a是實(shí)數(shù)，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a的值是1.（2）復(fù)數(shù)，，則，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，于是，解得，因此，又，則，即有，所以.18.如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，D，E是CC1，BC的中點(diǎn)，AE=DE.求:（1）正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長；（2）正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積.解：（1）由題意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，根據(jù)正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC?面ABC，所以CC1⊥BC，在Rt△ECD中，CD=，又D是CC1中點(diǎn)，故側(cè)棱長為2.（2）底面積為S1=2S△ABC=2×2×=2，側(cè)面積為S2=3=3×2×2=12.所以棱柱表面積為S=S1+S2=12+2.19.已知在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)與相交于點(diǎn)．