2022-2023學年江蘇省南京市六校高二下學期6月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市六校2022-2023學年高二下學期6月聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設復數(shù)z滿足，則=（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由復數(shù)z滿足，可得，則.故選：A.2.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則等于（）A.0.484 B.0.628 C.0.936 D.0.968〖答案〗C〖解析〗由正態(tài)分布的對稱性可知,所以，故選：C.3.已知函數(shù)則（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗,,故，故選：C.4.隨機變量的分布列如下：-101若，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題設可得，所以隨機變量的方差為，故選：D．5.把分別標有號、號、號、號的個不同的小球放入分別標有號、號、號的個盒子中，沒有空盒子且任意一個小球都不能放入標有相同標號的盒子中，則不同的放球方法種數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗個小球放入個盒子，沒有空盒子，則有兩個小球放入同一個盒子，因此分為兩類：第一類：號小球單獨放入一個盒子，分步：第步，從號、號、號個小球中，選出個小球，放入與未被選中小球標號相同的盒子中，有種方法；第步，將未被選中的小球和號小球，分別放入另外個盒子中，有種方法.∴號小球單獨放入一個盒子，有種方法.例如：第步，選出號、號小球放入號盒；第步，號小球放入號盒，號小球放入號盒.第二類：號小球與另一小球共同放入一個盒子，分步：第步，從號、號、號個小球中，選出個小球，有種方法；第步，將號小球與第步選出的小球放入與選出小球標號不同的盒子中，有種方法；第步，剩余的個小球，其中個，與剩余的兩個空盒其中的個標號相同，只有方法放置.∴號小球與另一小球共同放入一個盒子，有種方法.例如：第步，選出號球；第步，將號、號小球放入號盒；第步，號小球放入號盒，號小球放入號盒.∴沒有空盒子且任意一個小球都不能放入標有相同標號的盒子中，則不同的放球方法種數(shù)為種.故選：B.6.已知，為兩個隨機事件，，，，，則（）A.0.1 B. C.0.33 D.〖答案〗B〖解析〗，所以，，所以，所以，即，所以，即，解得，故選：B.7.已知圓O：與雙曲線C：的右支交于點A，B，若，則C的離心率為（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗聯(lián)立圓O與雙曲線C方程得，又由圓與雙曲線的對稱性可得，設圓的半徑為，則，因為圓心為，則，在中，由余弦定理得，因為雙曲線斜率大于1，所有化簡得，故選：D.8.設是定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，滿足，若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為滿足，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.所以.故選：A.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.經(jīng)研究，變量與變量具有線性相關關系，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表，并且根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求得關于的線性回歸方程為，下列正確的是（）2471015228.49.11014.518.426A.變量與呈正相關 B.樣本點的中心為C. D.當時，的估計值為13.2〖答案〗AB〖解析〗由于所以樣本中心為，將其代入得，故，當時，，故AB正確，CD錯誤，故選：AB.10.若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)圖象關于對稱D.函數(shù)的圖象關于點對稱〖答案〗BCD〖解析〗A.函數(shù)最小正周期為，故錯誤；B.由，得，因為在上遞增，故正確；C.因為，所以函數(shù)圖象關于對稱，故正確；D.因為，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故正確.故選：BCD.11.如圖，由正四棱錐和正方體組成的多面體的所有棱長均為2．則（）A.平面 B.平面平面C.與平面所成角的余弦值為 D.點到平面的距離為〖答案〗BD〖解析〗以為原點，以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，連接，與交點為，連接，則平面，因為正四棱錐和正方體的所有棱長均為2，所以，，點坐標為，所以，對于A：，，，設平面的一個法向量為，則，即，取得，因為，所以與平面不平行，故A錯誤；對于B：由A得平面的一個法向量為，，，設平面的一個法向量為，則，即，取得，因為，所以平面平面，故B正確；對于C：由A得平面的一個法向量為，，設與平面所成角為，則，所以，故C錯誤；對于D：由A得平面的一個法向量為，因為，所以點到平面的距離為，故D正確；故選：BD．12.對于三次函數(shù)，給出定義：是函數(shù)的導數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.某同學經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的極大值為B.有且僅有2個零點C.點是的對稱中心D.〖答案〗ACD〖解析〗由函數(shù)，可得，令，解得或；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當時，取得極大值，極大值為，所以A正確；又由極小值，且當時，，當時，，所以函數(shù)有3個零點，所以B錯誤；由，可得，令，可得，又由，所以點是函數(shù)的對稱中心，所以C正確；因為是函數(shù)對稱中心，所以，令，可得，所以，所以，即，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡的相應位置.13.已知直線：與圓交于兩點，則____.〖答案〗〖解析〗由圓，可得圓心坐標為，半徑為，又由圓心到直線的距離為，根據(jù)圓的弦長公式，可得.故〖答案〗為：.14.設曲線在處的切線與直線垂直，則____________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以，所以，即.故〖答案〗為：.15.設等比數(shù)列的前n項和為.已知，，則____________.〖答案〗〖解析〗當?shù)墓葹?時，由可知顯然不成立，故公比不為1，由得，所以時，，相減可得，故公比，又，故，故〖答案〗為：.16.已知拋物線C：的焦點為F，準線為，經(jīng)過點F的直線與拋物線C相交A，B兩點，與x軸相交于點M，若，，則___________.〖答案〗4〖解析〗由題意易知，可設，由，可得Q為AM中點，則，又由可得:，即，由題意可知直線AB、BM的斜率存在，故，聯(lián)立拋物線與直線AB可得所以有，由拋物線定義得，故〖答案〗為：4.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知的展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于16.（1）求的值；（2）求展開式中所有的有理項.解：（1）由的展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于，可得，即，解得或（舍），所以的值為.（2）由（1）知，二項式展開式的通項為，，當時，可得，此時展開式得到的為有理項，所以展開式中所有的有理項為，，.18.已知等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為.設，別是數(shù)列的，前項和，且，，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.解：（1）∵數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，，∴，即，解得，∴，.綜上，，.（2）由（1）得：，∴.19.如圖，在三棱柱中，四邊形為正方形，點為棱的中點，平面平面，.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值.（1）證明：取中點，連接，，因為四邊形為正方形，點為的中點，點為的中點，所以，又因為，，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為點為的中點，所以.（2）解：因為平面平面，平面平面，且，，所以平面，以為基底建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，可得，，設為平面的一個法向量，則，取，得，所以，由平面，可得平面的一個法向量為，則，由圖知二面角為鈍二面角，所以其余弦值為.20.為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗.研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示，實驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只，假設小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨立.抗體指標值合計小于60不小于60有抗體沒有抗體合計（1）填寫下面的2×2列聯(lián)表，判斷能否有95%的把握認為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關.（2）為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進行第二次注射疫苗，結(jié)果又有20只小自鼠產(chǎn)生抗體.（i）用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率；（ii）以（i）中確定的概率作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進行人體接種試驗，記2個人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機變量X，求X的概率分布.參考公式：（其中為樣本容量）0.500.400250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024解：（1）由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標值分布為：在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只），在內(nèi)有（只）.由題意，有抗體且指標值小于60的有50只；而指標值小于60的小白鼠共有只，所以指標值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，同理，指標值不小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，故列聯(lián)表如下：抗體指標值合計小于60不小于60有抗體50110160沒有抗體202040合計70130200假設為：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60無關聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得，根據(jù)獨立性檢驗，推斷不成立，即認為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關（2）（i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件B=“小白鼠第二次注射疫苗產(chǎn)生抗體’’，事件C=“小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體”，記事件A，B，C發(fā)生的概率分別為，則，，，所以一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，（ii）由題意，X的取值集合為，，，，，所以X的概率分布為X012P21.已知橢圓E：的長軸長為4，由E的三個頂點構(gòu)成的三角形的面積為2.（1）求E的方程；（2）記E的右頂點和上頂點分別為A，B，點P在線段AB上運動，垂直于x軸的直線PQ交E于點M（點M在第一象限），P為線段QM的中點，設直線AQ與E的另一個交點為N，證明：直線MN過定點.（1）解：由題意可知，E的三個頂點構(gòu)成的三角形要么是短軸的一個頂點和長軸的兩個頂點構(gòu)成的三角形，面積為；要么是短軸的兩個頂點和長軸的一個頂點構(gòu)成的三角形，面積為，所以，故E的方程為.（2）證明；由于軸，所以不可能垂直于軸，故直線的斜率存在，故設直線的方程為，,聯(lián)立，則，直線的方程為，當時，，所以，是的中點，所以，，即，所以，則，化簡得，代入得，故，所以或，故直線的方程為或，由于不與A重合，所以直線不經(jīng)過，故直線的方程為，此時，故，此時直線過定點.22.已知函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1）當時，，，設，又，∴在上單調(diào)遞增，又，∴當時，當時，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）法1：對函數(shù)求導得，，令，則，∴在上單調(diào)遞增，又，當時，故存在唯一正實數(shù)使得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，∴，由恒成立，得，由得，∴，∴，∴，∴，設，則恒成立，故上單調(diào)遞增，而，∴，又且函數(shù)在上是增函數(shù)，故的取值范圍為.法2：同法1得，由得，∴，當且僅當時等號成立，∴，故的取值范圍為.江蘇省南京市六校2022-2023學年高二下學期6月聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設復數(shù)z滿足，則=（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由復數(shù)z滿足，可得，則.故選：A.2.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則等于（）A.0.484 B.0.628 C.0.936 D.0.968〖答案〗C〖解析〗由正態(tài)分布的對稱性可知,所以，故選：C.3.已知函數(shù)則（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗,,故，故選：C.4.隨機變量的分布列如下：-101若，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題設可得，所以隨機變量的方差為，故選：D．5.把分別標有號、號、號、號的個不同的小球放入分別標有號、號、號的個盒子中，沒有空盒子且任意一個小球都不能放入標有相同標號的盒子中，則不同的放球方法種數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗個小球放入個盒子，沒有空盒子，則有兩個小球放入同一個盒子，因此分為兩類：第一類：號小球單獨放入一個盒子，分步：第步，從號、號、號個小球中，選出個小球，放入與未被選中小球標號相同的盒子中，有種方法；第步，將未被選中的小球和號小球，分別放入另外個盒子中，有種方法.∴號小球單獨放入一個盒子，有種方法.例如：第步，選出號、號小球放入號盒；第步，號小球放入號盒，號小球放入號盒.第二類：號小球與另一小球共同放入一個盒子，分步：第步，從號、號、號個小球中，選出個小球，有種方法；第步，將號小球與第步選出的小球放入與選出小球標號不同的盒子中，有種方法；第步，剩余的個小球，其中個，與剩余的兩個空盒其中的個標號相同，只有方法放置.∴號小球與另一小球共同放入一個盒子，有種方法.例如：第步，選出號球；第步，將號、號小球放入號盒；第步，號小球放入號盒，號小球放入號盒.∴沒有空盒子且任意一個小球都不能放入標有相同標號的盒子中，則不同的放球方法種數(shù)為種.故選：B.6.已知，為兩個隨機事件，，，，，則（）A.0.1 B. C.0.33 D.〖答案〗B〖解析〗，所以，，所以，所以，即，所以，即，解得，故選：B.7.已知圓O：與雙曲線C：的右支交于點A，B，若，則C的離心率為（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗聯(lián)立圓O與雙曲線C方程得，又由圓與雙曲線的對稱性可得，設圓的半徑為，則，因為圓心為，則，在中，由余弦定理得，因為雙曲線斜率大于1，所有化簡得，故選：D.8.設是定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，滿足，若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為滿足，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.所以.故選：A.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.經(jīng)研究，變量與變量具有線性相關關系，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表，并且根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求得關于的線性回歸方程為，下列正確的是（）2471015228.49.11014.518.426A.變量與呈正相關 B.樣本點的中心為C. D.當時，的估計值為13.2〖答案〗AB〖解析〗由于所以樣本中心為，將其代入得，故，當時，，故AB正確，CD錯誤，故選：AB.10.若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)最小正周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)圖象關于對稱D.函數(shù)的圖象關于點對稱〖答案〗BCD〖解析〗A.函數(shù)最小正周期為，故錯誤；B.由，得，因為在上遞增，故正確；C.因為，所以函數(shù)圖象關于對稱，故正確；D.因為，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故正確.故選：BCD.11.如圖，由正四棱錐和正方體組成的多面體的所有棱長均為2．則（）A.平面 B.平面平面C.與平面所成角的余弦值為 D.點到平面的距離為〖答案〗BD〖解析〗以為原點，以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，連接，與交點為，連接，則平面，因為正四棱錐和正方體的所有棱長均為2，所以，，點坐標為，所以，對于A：，，，設平面的一個法向量為，則，即，取得，因為，所以與平面不平行，故A錯誤；對于B：由A得平面的一個法向量為，，，設平面的一個法向量為，則，即，取得，因為，所以平面平面，故B正確；對于C：由A得平面的一個法向量為，，設與平面所成角為，則，所以，故C錯誤；對于D：由A得平面的一個法向量為，因為，所以點到平面的距離為，故D正確；故選：BD．12.對于三次函數(shù)，給出定義：是函數(shù)的導數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.某同學經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的極大值為B.有且僅有2個零點C.點是的對稱中心D.〖答案〗ACD〖解析〗由函數(shù)，可得，令，解得或；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當時，取得極大值，極大值為，所以A正確；又由極小值，且當時，，當時，，所以函數(shù)有3個零點，所以B錯誤；由，可得，令，可得，又由，所以點是函數(shù)的對稱中心，所以C正確；因為是函數(shù)對稱中心，所以，令，可得，所以，所以，即，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡的相應位置.13.已知直線：與圓交于兩點，則____.〖答案〗〖解析〗由圓，可得圓心坐標為，半徑為，又由圓心到直線的距離為，根據(jù)圓的弦長公式，可得.故〖答案〗為：.14.設曲線在處的切線與直線垂直，則____________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以，所以，即.故〖答案〗為：.15.設等比數(shù)列的前n項和為.已知，，則____________.〖答案〗〖解析〗當?shù)墓葹?時，由可知顯然不成立，故公比不為1，由得，所以時，，相減可得，故公比，又，故，故〖答案〗為：.16.已知拋物線C：的焦點為F，準線為，經(jīng)過點F的直線與拋物線C相交A，B兩點，與x軸相交于點M，若，，則___________.〖答案〗4〖解析〗由題意易知，可設，由，可得Q為AM中點，則，又由可得:，即，由題意可知直線AB、BM的斜率存在，故，聯(lián)立拋物線與直線AB可得所以有，由拋物線定義得，故〖答案〗為：4.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知的展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于16.（1）求的值；（2）求展開式中所有的有理項.解：（1）由的展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于，可得，即，解得或（舍），所以的值為.（2）由（1）知，二項式展開式的通項為，，當時，可得，此時展開式得到的為有理項，所以展開式中所有的有理項為，，.18.已知等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為.設，別是數(shù)列的，前項和，且，，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.解：（1）∵數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，，∴，即，解得，∴，.綜上，，.（2）由（1）得：，∴.19.如圖，在三棱柱中，四邊形為正方形，點為棱的中點，平面平面，.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值.（1）證明：取中點，連接，，因為四邊形為正方形，點為的中點，點為的中點，所以，又因為，，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為點為的中點，所以.（2）解：因為平面平面，平面平面，且，，所以平面，以為基底建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，可得，，設為平面的一個法向量，則，取，得，所以，由平面，可得平面的一個法向量為，則，由圖知二面角為鈍二面角，所以其余弦值為.20.為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗.研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示，實驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只，假設小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨立.抗體指標值合計小于60不小于60有抗體沒有抗體合計（1）填寫下面的2×2列聯(lián)表，判斷能否有95%的把握認為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標值不小于60有關.（2）為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進行第二次注射疫苗，結(jié)果又有20只小自鼠產(chǎn)生抗體.（i）用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率；（ii）以（i）中確定的概率作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進行人體接種試驗，記2個人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機變量X，求X的概率分布.參考公式：（其中為樣本容量）0.500.400250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024解：（1）由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標值分布為：在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只），