2022-2023學(xué)年江蘇省泰州市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省泰州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，若，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，且，則，解得.故選：C2.復(fù)數(shù)（為復(fù)數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，則復(fù)數(shù)（為復(fù)數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是，故選：A3.采用簡單隨機抽樣的方法，從含有5個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本，某個個體被抽到的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗簡單隨機抽樣每個個體被抽到的概率，含有5個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本，某個個體被抽到的概率為，故選：D.4.望海樓是江蘇泰州的著名景點，位于泰州鳳城河風(fēng)景區(qū)內(nèi).它初建于南宋紹定二年，被譽為“江淮第一樓”.為測量望海樓的高度，可選取與樓底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與.現(xiàn)測得，，米，在點測得樓頂A的仰角為30°，則樓高約為（）米.A.30 B.32 C.34 D.36〖答案〗B〖解析〗在中，由題意可得，由正弦定理可得，可得（米），又因為，所以（米）.故選：B.5.若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：.故選：A.6.在正四棱臺中，已知，，則側(cè)棱與底面所成角正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得正四棱臺的截面圖，如圖所示，且為等腰梯形，過點做，過點做，由線面角的定義可知，側(cè)棱與底面所成角即為，由條件可得，，,，則，,則，所以為等腰直角三角形，所以，即.故選：B.7.已知的外接圓的圓心為，且，，則的最大值為（）A. B. C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由正弦定理得，故，因為，所以，則，因為，所以，則，故.故選：C8.在中，點在線段上，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在中，點在線段上，，，如圖所示，則，，由正弦定理，中，，中，，由，則，即，得，.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.對于數(shù)據(jù)2，6，8，2，3，4，6，8，則這組數(shù)據(jù)的（）A.極差為6 B.平均數(shù)為5.25C.30百分位數(shù)為3 D.眾數(shù)為6〖答案〗AC〖解析〗數(shù)據(jù)2，6，8，2，3，4，6，8，從小到大排為2，2，3，4，6，6，8，8，極差為，A選項正確；平均數(shù)為，B選項錯誤；，30百分位數(shù)是第3個數(shù)據(jù)，所以30百分位數(shù)為3，C選項正確；眾數(shù)為6和8，D選項錯誤.故選：AC10.已知三個非零向量，，共面，則（）A.若，，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則存在實數(shù)，使〖答案〗ABD〖解析〗對于選項A，，，根據(jù)向量的傳遞性得，故選項A正確；對于選項B，若，，因為它們?yōu)楣裁嫦蛄?，則，故選項B正確；對于選項C，由得，因為，，是三個非零向量，所以得，無法推出，故選項C錯誤；對于選項D，因為，為非零向量，由平面向量共線定理可知，若，則存在唯一的實數(shù)，使，故選項D正確.故選：ABD.11.已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，則（）A.若A，B互斥，則A，B至多有一個發(fā)生的概率為B.若A，B互斥，則A，B至少有一個發(fā)生概率為C.若A，B相互獨立，則A，B至多有一個發(fā)生的概率為D.若A，B相互獨立，則A，B至少有一個發(fā)生的概率為〖答案〗BD〖解析〗依題意，，對于A，，則A，B至多有一個發(fā)生的概率為，A錯誤；對于B，，則A，B至少有一個發(fā)生的概率，B正確；對于C，，A，B至多有一個發(fā)生的概率為，C錯誤；對于D，，則A，B至少有一個發(fā)生的概率，D正確.故選：BD12.已知正方體的棱長為1，點為線段上的動點，則（）A.與始終保持垂直B.的最小值為C.經(jīng)過的平面截正方體所得截面面積的最小值為D.以為球心，為半徑的球面與平面的交線長為〖答案〗AC〖解析〗對于A，連接，由正方形的性質(zhì)可得，由正方體的性質(zhì)可得；又，所以平面，因為平面，所以；同理可得，因為，所以平面；因為平面，所以，A正確.對于B，把沿展開到與共面，如圖，則三點共線時，最小，且最小值為，在中，，由余弦定理可得，B不正確.對于C，分別取的中點，連接，由正方體的性質(zhì)可知四邊形是菱形，且是過面積最小的截面.理由如下：過點作于，設(shè)，則；由直角三角形性質(zhì)可得：；，；由可得，顯然時，取到最小值，此時截面面積最小.最小面積為，C正確.對于D，過點作于點，由平面，可得；又因為，所以平面，以A為球心，為半徑的球面被平面所截的圓面的圓心為，半徑為，則，所以，即；以為球心，為半徑的球面與平面的交線是以為圓心的圓周，其長度為，D不正確.故選：AC.三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：14.已知圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐側(cè)面積為_____．〖答案〗〖解析〗由已知可得r=1，h=，則圓錐的母線長l=,∴圓錐的側(cè)面積S=πrl=2π．故〖答案〗為2π．15.已知，，則滿足的一個的值為______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，，又，，即，化簡可得，，或，又，，故，，故滿足題意，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.16.已知的垂心為點，面積為15，且，則______；若，則______.〖答案〗①.30②.25〖解析〗如圖，是的邊上的高，則；設(shè)，因為，面積為15，所以，即；.由第一空可知，所以；所以，由可得，即；因為，所以；故〖答案〗為：3025.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)為實數(shù)，復(fù)數(shù)，.（1）若為純虛數(shù)，求的值；（2）若，求的取值范圍.解：（1）因為，若為純虛數(shù)，則，解得.（2）若，則，可得，解得，所以的取值范圍.18.如圖,在直三棱柱中,,為的中點,為的中點,.求證:（1）∥平面;（2）.證明：（1）連接,如圖,因為四邊形為平行四邊形,所以為的中點,又為的中點,所以在中,,因為平面,平面,所以∥平面.（2）因為,即,又,且,平面,平面,所以平面,因為,所以平面,因為平面,所以,又平面,平面,所以平面,因為平面,所以,則四邊形為菱形,所以.19.一個袋子中裝有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅球（標(biāo)號為1和2），2個白球（標(biāo)號為3和4），甲、乙兩人先后從袋中不放回地各摸出1個球.設(shè)“甲摸到紅球”為事件，“乙摸到紅球”為事件.（1）小明同學(xué)認(rèn)為：由于甲先摸球，所以事件發(fā)生的可能性大于發(fā)生的可能性.小明的判斷是否正確，請說明理由；（2）判斷事件與是否相互獨立，并證明.解：（1）兩人摸出球的所有情況：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1）（4,2），（4,3），共12種；事件包含的情況有：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），共6種；事件包含的情況有：（1,2），（2,1），（3,1），（3,2），（4,1）（4,2），共6種；所以，故小明的判斷不正確.（2）事件包含的情況有：（1,2），（2,1），故；因，；所以事件與不相互獨立.20.已知.（1）若，試判斷的形狀，并證明；（2）設(shè)的中點為.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①；②；③的面積為.注:若選擇不同的組合分別作答，則按第一個解答計分.解：（1）因為，所以，從而，于是，故為直角三角形.（2），記角的對邊分別為，由①得，由余弦定理得，化簡得；由②得，由得，；由③得，，即.①②③由①得；由②得，解得，所以的面積為.①③②由③得，因為，所以，由①得，所以，因為的中點為，所以，于是②③①由余弦定理得，由②得，所以，由③得，所以，因為，所以.21.如圖1，在等腰梯形中，，，，為的中點.將沿翻折，得到四棱錐（如圖2）.（1）若的中點為，點在棱上，且平面，求的長度；（2）若四棱錐的體積等于2，求二面角的大小.解：（1）取的中點,連接,因為分別為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；因為平面，，平面，所以平面平面；因為平面平面,平面平面,所以，即為的中點，所以.（2）由圖1可知，等腰梯形的高為，所以四邊形的面積為；因為四棱錐的體積等于2，所以四棱錐的高等于，因為三角形的高為，所以平面平面；取的中點,連接,由圖1可知，均為等邊三角形，所以,，且;因為,所以平面，因為平面，所以；由圖1可知，所以是二面角的平面角，因為平面平面，平面平面，，所以平面，所以為直角三角形；在中，，所以，即二面角為.22.在中，角的對邊分別為，，，已知.（1）當(dāng)時，求的值；（2）當(dāng)時，求周長的最大值.解：（1）因為，則，可得，又因為，則，所以，解得.（2）設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，圓與邊切于點，連接，設(shè)周長為，，可得，由（1）可知：，即，整理得，可得，根據(jù)等面積法可得，即，整理得，其中，當(dāng)，即時，取到最大值，所以周長的最大值為.江蘇省泰州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，若，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，且，則，解得.故選：C2.復(fù)數(shù)（為復(fù)數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，則復(fù)數(shù)（為復(fù)數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是，故選：A3.采用簡單隨機抽樣的方法，從含有5個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本，某個個體被抽到的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗簡單隨機抽樣每個個體被抽到的概率，含有5個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本，某個個體被抽到的概率為，故選：D.4.望海樓是江蘇泰州的著名景點，位于泰州鳳城河風(fēng)景區(qū)內(nèi).它初建于南宋紹定二年，被譽為“江淮第一樓”.為測量望海樓的高度，可選取與樓底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與.現(xiàn)測得，，米，在點測得樓頂A的仰角為30°，則樓高約為（）米.A.30 B.32 C.34 D.36〖答案〗B〖解析〗在中，由題意可得，由正弦定理可得，可得（米），又因為，所以（米）.故選：B.5.若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：.故選：A.6.在正四棱臺中，已知，，則側(cè)棱與底面所成角正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得正四棱臺的截面圖，如圖所示，且為等腰梯形，過點做，過點做，由線面角的定義可知，側(cè)棱與底面所成角即為，由條件可得，，,，則，,則，所以為等腰直角三角形，所以，即.故選：B.7.已知的外接圓的圓心為，且，，則的最大值為（）A. B. C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由正弦定理得，故，因為，所以，則，因為，所以，則，故.故選：C8.在中，點在線段上，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗在中，點在線段上，，，如圖所示，則，，由正弦定理，中，，中，，由，則，即，得，.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.對于數(shù)據(jù)2，6，8，2，3，4，6，8，則這組數(shù)據(jù)的（）A.極差為6 B.平均數(shù)為5.25C.30百分位數(shù)為3 D.眾數(shù)為6〖答案〗AC〖解析〗數(shù)據(jù)2，6，8，2，3，4，6，8，從小到大排為2，2，3，4，6，6，8，8，極差為，A選項正確；平均數(shù)為，B選項錯誤；，30百分位數(shù)是第3個數(shù)據(jù)，所以30百分位數(shù)為3，C選項正確；眾數(shù)為6和8，D選項錯誤.故選：AC10.已知三個非零向量，，共面，則（）A.若，，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則存在實數(shù)，使〖答案〗ABD〖解析〗對于選項A，，，根據(jù)向量的傳遞性得，故選項A正確；對于選項B，若，，因為它們?yōu)楣裁嫦蛄?，則，故選項B正確；對于選項C，由得，因為，，是三個非零向量，所以得，無法推出，故選項C錯誤；對于選項D，因為，為非零向量，由平面向量共線定理可知，若，則存在唯一的實數(shù)，使，故選項D正確.故選：ABD.11.已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，則（）A.若A，B互斥，則A，B至多有一個發(fā)生的概率為B.若A，B互斥，則A，B至少有一個發(fā)生概率為C.若A，B相互獨立，則A，B至多有一個發(fā)生的概率為D.若A，B相互獨立，則A，B至少有一個發(fā)生的概率為〖答案〗BD〖解析〗依題意，，對于A，，則A，B至多有一個發(fā)生的概率為，A錯誤；對于B，，則A，B至少有一個發(fā)生的概率，B正確；對于C，，A，B至多有一個發(fā)生的概率為，C錯誤；對于D，，則A，B至少有一個發(fā)生的概率，D正確.故選：BD12.已知正方體的棱長為1，點為線段上的動點，則（）A.與始終保持垂直B.的最小值為C.經(jīng)過的平面截正方體所得截面面積的最小值為D.以為球心，為半徑的球面與平面的交線長為〖答案〗AC〖解析〗對于A，連接，由正方形的性質(zhì)可得，由正方體的性質(zhì)可得；又，所以平面，因為平面，所以；同理可得，因為，所以平面；因為平面，所以，A正確.對于B，把沿展開到與共面，如圖，則三點共線時，最小，且最小值為，在中，，由余弦定理可得，B不正確.對于C，分別取的中點，連接，由正方體的性質(zhì)可知四邊形是菱形，且是過面積最小的截面.理由如下：過點作于，設(shè)，則；由直角三角形性質(zhì)可得：；，；由可得，顯然時，取到最小值，此時截面面積最小.最小面積為，C正確.對于D，過點作于點，由平面，可得；又因為，所以平面，以A為球心，為半徑的球面被平面所截的圓面的圓心為，半徑為，則，所以，即；以為球心，為半徑的球面與平面的交線是以為圓心的圓周，其長度為，D不正確.故選：AC.三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.______.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：14.已知圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐側(cè)面積為_____．〖答案〗〖解析〗由已知可得r=1，h=，則圓錐的母線長l=,∴圓錐的側(cè)面積S=πrl=2π．故〖答案〗為2π．15.已知，，則滿足的一個的值為______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，，又，，即，化簡可得，，或，又，，故，，故滿足題意，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.16.已知的垂心為點，面積為15，且，則______；若，則______.〖答案〗①.30②.25〖解析〗如圖，是的邊上的高，則；設(shè)，因為，面積為15，所以，即；.由第一空可知，所以；所以，由可得，即；因為，所以；故〖答案〗為：3025.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)為實數(shù)，復(fù)數(shù)，.（1）若為純虛數(shù)，求的值；（2）若，求的取值范圍.解：（1）因為，若為純虛數(shù)，則，解得.（2）若，則，可得，解得，所以的取值范圍.18.如圖,在直三棱柱中,,為的中點,為的中點,.求證:（1）∥平面;（2）.證明：（1）連接,如圖,因為四邊形為平行四邊形,所以為的中點,又為的中點,所以在中,,因為平面,平面,所以∥平面.（2）因為,即,又,且,平面,平面,所以平面,因為,所以平面,因為平面,所以,又平面,平面,所以平面,因為平面,所以,則四邊形為菱形,所以.19.一個袋子中裝有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅球（標(biāo)號為1和2），2個白球（標(biāo)號為3和4），甲、乙兩人先后從袋中不放回地各摸出1個球.設(shè)“甲摸到紅球”為事件，“乙摸到紅球”為事件.（1）小明同學(xué)認(rèn)為：由于甲先摸球，所以事件發(fā)生的可能性大于發(fā)生的可能性.小明的判斷是否正確，請說明理由；（2）判斷事件與是否相互獨立，并證明.解：（1）兩人摸出球的所有情況：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1）（4,2），（4,3），共12種；事件包含的情況有：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），共6種；事件包含的情況有：（1,2），（2,1），（3,1），（3,2），（4,1）（4,2），共6種；所以，故小明的判斷不正確.（2）事件包