2022-2023學(xué)年江蘇省宿遷市沭陽(yáng)塘溝高級(jí)中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省宿遷市沭陽(yáng)塘溝高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一?單選題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1、已知向量，，若與互相垂直，則的值為（

）A．－1 B．2 C． D．12、已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，射線與拋物線相交于點(diǎn)，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則A． B． C． D．3、已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.4、已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A.40 B.60 C.120 D.1805、若m是1和4的等比中項(xiàng)，則曲線的離心率為（）A.或 B.或 C. D.6、已知平面向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．7、已知數(shù)列滿足，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8、在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面∥平面B．點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最小值為C．過(guò)點(diǎn)的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9、設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的部分圖象如圖所示，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極小值 D.函數(shù)在處取得極大值10、如圖，在正三棱柱中，AB＝1，AA1＝2，D，E分別是的中點(diǎn)，則（）A.B.BE∥平面C.與CD所成角的余弦值為D.與平面所成角的余弦值為11、給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為12、如圖，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且互相垂直的兩條直線和與圓相交于四點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．線段長(zhǎng)度的最大值為B．弦長(zhǎng)度的最小值為C．點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓D．四邊形面積的取值范圍為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13、已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)使得為純虛數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的一個(gè).14、正方體的棱長(zhǎng)為2，若動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是．15、無(wú)窮數(shù)列滿足：只要，必有則稱為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，若為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，前4項(xiàng)成等比數(shù)列，且．16、已知橢圓，A、B是長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MB⊥AB，連接AM，交橢圓于點(diǎn)P．且為常數(shù)，則橢圓離心率為．四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17、（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）若為等差數(shù)列，，，求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求．18、（12分）如圖，四棱錐中，平面，，，點(diǎn)在棱上，，，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.

19、（12分）已知f（x）＝x3+3ax2+bx+a2（a＞1）在x＝﹣1時(shí)有極值0．（1）求常數(shù)a，b的值；（2）求函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[﹣4，0]上的值域．20、（12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD中點(diǎn)．（1）求證：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

21、（12分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)分別為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，且.(1)求雙曲線C的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，且時(shí)，求直線l的方程.22、（12分）已知函數(shù)f（x）＝exln（1+x）．（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（2）設(shè)g（x）＝f′（x），討論函數(shù)g（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性；（3）證明：對(duì)任意的s，t∈（0，+∞），有f（s+t）＞f（s）+f（t）．

——★參考答案★——一?單選題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1、B2、C3、C4、B5、A6、A7、B8、B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9、AB10、BCD11、CD12、BCD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13、14、15、757616、四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17、解:（1）是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，，，，，，，．…………4分（2），①，②①②，得，，當(dāng)時(shí)，，…………8分綜上：．…………10分18、（1）證明：因?yàn)?，，，所以，，又因?yàn)?，即，所以，四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)?，則，因?yàn)槠矫妫矫?，則，，平面.（2）解：因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.19、解：（1）由f（x）＝x3+3ax2+bx+a2（a＞1），得f'（x）＝3x2+6ax+b，∵f（x）在x＝﹣1時(shí)有極值0，∴，∴，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝2，b＝9時(shí)，符合題意，∴a＝2，b＝9．（2）由（1）知，f'（x）＝3x2+12x+9，令f'（x）＝0，則x＝﹣3或x＝﹣1，∵x∈[﹣4，0]，∴當(dāng)﹣4＜x＜﹣3或﹣1＜x＜0時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)﹣3＜x＜﹣1時(shí)，f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（﹣4，﹣3）和（﹣1，0）遞增，（﹣3，﹣1）遞減．又f（﹣4）＝0，f（﹣3）＝4，f（﹣1）＝0，f（0）＝4，∴f（x）max＝4，f（x）min＝0，∴f（x）的值域?yàn)閇0，4]．20、（1）證明：以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝a，則，，，故B1E⊥AD1．（2）解：假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE，則，設(shè)平面B1AE的法向量為，則，取x＝1，可得，要使DP∥平面B1AE，只要，即，∴，又DP?平面B1AE，∴存在點(diǎn)P使DP∥平面B1AE，此時(shí)．21、解：（1）由題意得，設(shè)點(diǎn).則.因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線上的點(diǎn)，則，∴，∴，則雙曲線C的方程為（2）設(shè)，點(diǎn)P在第一象限，則，又，故，同理可得，即，則直線l的斜率大于0，由（1）可知，設(shè)直線，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，則，故,，代入韋達(dá)定理得，所以，解得或（舍去），所以直線l的方程為.22、（1）解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得：，將x＝0代入原函數(shù)可得f（0）＝0，將x＝0代入導(dǎo)函數(shù)可得：f′（0）＝1，故在x＝0處切線斜率為1，故y﹣0＝1（x﹣0），化簡(jiǎn)得：y＝x；（2）解：解法一：由（1）有：g（x）＝，，令，令x+1＝k（k≥1），設(shè)，恒成立，故h（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，又因?yàn)閔（0）＝1，故h（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故g′（x）＞0，故g（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增；解法二：由（Ⅰ）有：g（x）＝，，設(shè)m（x）＝ex，n（x）＝ln（x+1）+，則g（x）＝m（x）?n（x），由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得m（x）＝ex上（0，+∞）上是增函數(shù)，且m（x）＝ex＞0，n′（x）＝＝，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，n′（x）＞0，n（x）單調(diào)遞增，且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，n（x）＝ln（x+1）+＞0，∴g（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增．（3）證明：由（2）有g(shù)（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，又g（0）＝1，故g（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，設(shè)w（x）＝f（x+t）﹣f（x），w′（x）＝f′（x+t）﹣f′（x），由（2）有g(shù)（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，又因?yàn)閤+t＞x，所以f′（x+t）＞f′（x），故w（x）單調(diào)遞增，又因?yàn)閟＞0，故w（s）＞w（0），即：f（s+t）﹣f（s）＞f（t）﹣f（0），又因?yàn)楹瘮?shù)f（0）＝0，故f（s+t）＞f（s）+f（t），得證．江蘇省宿遷市沭陽(yáng)塘溝高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一?單選題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1、已知向量，，若與互相垂直，則的值為（

）A．－1 B．2 C． D．12、已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，射線與拋物線相交于點(diǎn)，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則A． B． C． D．3、已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.4、已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A.40 B.60 C.120 D.1805、若m是1和4的等比中項(xiàng)，則曲線的離心率為（）A.或 B.或 C. D.6、已知平面向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．7、已知數(shù)列滿足，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8、在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面∥平面B．點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最小值為C．過(guò)點(diǎn)的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9、設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的部分圖象如圖所示，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極小值 D.函數(shù)在處取得極大值10、如圖，在正三棱柱中，AB＝1，AA1＝2，D，E分別是的中點(diǎn)，則（）A.B.BE∥平面C.與CD所成角的余弦值為D.與平面所成角的余弦值為11、給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為12、如圖，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且互相垂直的兩條直線和與圓相交于四點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．線段長(zhǎng)度的最大值為B．弦長(zhǎng)度的最小值為C．點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓D．四邊形面積的取值范圍為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13、已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)使得為純虛數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的一個(gè).14、正方體的棱長(zhǎng)為2，若動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是．15、無(wú)窮數(shù)列滿足：只要，必有則稱為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，若為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”，前4項(xiàng)成等比數(shù)列，且．16、已知橢圓，A、B是長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MB⊥AB，連接AM，交橢圓于點(diǎn)P．且為常數(shù)，則橢圓離心率為．四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17、（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）若為等差數(shù)列，，，求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求．18、（12分）如圖，四棱錐中，平面，，，點(diǎn)在棱上，，，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.

19、（12分）已知f（x）＝x3+3ax2+bx+a2（a＞1）在x＝﹣1時(shí)有極值0．（1）求常數(shù)a，b的值；（2）求函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[﹣4，0]上的值域．20、（12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD中點(diǎn)．（1）求證：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

21、（12分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)分別為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，且.(1)求雙曲線C的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，且時(shí)，求直線l的方程.22、（12分）已知函數(shù)f（x）＝exln（1+x）．（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（2）設(shè)g（x）＝f′（x），討論函數(shù)g（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性；（3）證明：對(duì)任意的s，t∈（0，+∞），有f（s+t）＞f（s）+f（t）．

——★參考答案★——一?單選題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1、B2、C3、C4、B5、A6、A7、B8、B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9、AB10、BCD11、CD12、BCD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13、14、15、757616、四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17、解:（1）是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，，，，，，，．…………4分（2），①，②①②，得，，當(dāng)時(shí)，，…………8分綜上：．…………10分18、（1）證明：因?yàn)?，，，所以，，又因?yàn)?，即，所以，四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)?，則，因?yàn)槠矫妫矫?，則，，平面.（2）解：因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.19、解：（1）由f（x）＝x3+3ax2+bx+a2（a＞1），得f'（x）＝3x2+6ax+b，∵f（x）在x＝﹣1時(shí)有極值0，∴，∴，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝2，b＝9時(shí)，符合題意，∴a＝2，b＝9．（2）由（1）知，f'（x）＝3x2+12x+9，令f'（x）＝0，則x＝﹣3或x＝﹣1，∵x∈[﹣4，0]，∴當(dāng)﹣4＜x＜﹣3或﹣1＜x＜0時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)﹣3＜x＜﹣1時(shí)，f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（﹣4，﹣3）和（﹣1，0）遞增，（﹣3，﹣1）遞減．又f（﹣4）＝0，f（﹣3）＝4，f（﹣1）＝0，f（0）＝4，∴f（x）max＝4，f（x）min＝0，∴f（x）的值域?yàn)閇0，4]．20、（1）證明：以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝a，則，，，故B1E⊥AD1．（2）解：假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)P（0，0，t），使得DP∥平面B1AE，則，設(shè)平面B1AE的法向量為，則，取x＝1，可得，要使DP∥平面B1AE，只要，即，∴，又DP?平面B1AE，∴存在點(diǎn)P使DP∥平面B1AE，此時(shí)．21、解：（1）由題意得，設(shè)點(diǎn).則.因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線上的點(diǎn)，則，∴，∴，則雙曲線C的方程為（2）設(shè)