2022-2023學(xué)年陜西省漢中市鎮(zhèn)巴縣高二下學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省漢中市鎮(zhèn)巴縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將〖答案〗答在答題卡上.選擇題每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的〖答案〗無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本試卷主要命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，解得，所以，故.故選：A.2.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，故，則.故選:B.3.已知，則是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，則或，故由推不出，可推出，故是的必要不充分條件.故選：A.4.已知銳角滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為為銳角，所以，又，所以，所以.故選：D.5.如圖，在正方體中，為體對角線上一點，且，則異面直線和所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、、，，，所以，，因此，異面直線和所成角的余弦值為.故選：A.6.如圖所示為函數(shù)的圖象，則的〖解析〗式可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由圖知在處有定義，排除；對C，由圖象知為奇函數(shù)，而排除；對于，當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于正無窮，與圖象所體現(xiàn)的幾何直觀不符，排除B；對于D，易知為奇函數(shù)，且當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于0，符合圖象所體現(xiàn)的幾何直觀.故選：D.7.著名數(shù)學(xué)家歐幾里得著的《幾何原本》中記載：任何一個大于1的整數(shù)要么是一個素數(shù)，要么可以寫成一系列素數(shù)的積，例如.對于，其中均是素數(shù)，則從中任選3個數(shù)，可以組成不同三位數(shù)的個數(shù)為（）A.32 B.36 C.42 D.60〖答案〗C〖解析〗，從中任選3個數(shù)組成三位數(shù)，可以分為兩類：第一類，三個數(shù)互不相同，共有個；第二類，含有2個2或2個3，共有個，所以一共有42個.故選：.8.已知橢圓的左、右焦點分別為，過作垂直于軸的直線，在第二象限分別交及圓于點，若為的中點，為的上頂點，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，由題意知，則直線的方程為，因為A、B兩點位于第二象限，所以，則，，則，又因為A為的中點，所以，所以，又因為，所以，所以在△中，，，，所以，所以.故選：C.9.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為函數(shù)，當(dāng)時，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，其中，所以，，其中，解得，所以，，解得，又因為且，則，所以，，因為，，即，所以，，解得，因此，.故選：D.10.設(shè)，是雙曲線的左、右焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，點到漸近線的距離為，即，在中，，在中，由余弦定理得，即，所以，所以，所以.故選：B.11.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，又因為，所以.故選：B.12.在長方體中，，，，分別是，的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.與平面相交C.與平面所成角的余弦值為 D.〖答案〗C〖解析〗取中點P，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，則四邊形為平行四邊形，則，選項A：由平面，平面，可得，四邊形是正方形，則，則，又，則平面，又平面，則.判斷正確；選項B：由，則四邊形為平行四邊形，則，又，則，由平面，平面，可得與平面相交，則與平面相交.判斷正確；選項C：連接，由平面可得，為與平面所成角，又，則.則與平面所成角的余弦值為.判斷錯誤；選項D：由平面，平面，可得，由四邊形是正方形，可得，又，則平面，又平面，則.判斷正確.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知是兩個互相垂直的單位向量，若，則__________.〖答案〗〖解析〗由題意知，，，所以，，所以.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)滿足：；當(dāng)時，.則滿足這兩個條件的一個函數(shù)為__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由，知且滿足該條件；又當(dāng)時，，可得，故可以為.故〖答案〗為：.15.在正四棱錐中，底面正方形的邊長為2，側(cè)棱長為，則正四棱錐的外接球的體積為__________.〖答案〗〖解析〗如圖，連接交于點，連接，因為是正四棱錐，則平面，所以正四棱錐的外接球球心在上.連接，設(shè)球的半徑為，則.在Rt中，(注意O在SM上)，即，解得，所以正四棱錐的外接球的體積為.故〖答案〗為：.16.在中，內(nèi)角、、的對邊分別是、、，且，則______；若的角平分線與邊交于點，且，則______.〖答案〗〖解析〗因為，則，，由正弦定理可得，因為，則，整理可得，所以，，因為，則，因為，即，所以，，因此，.故〖答案〗為：；.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列的前項和為（為常數(shù)）.（1）若，求的通項公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.（）（1）解：當(dāng)時，，得，又，所以是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，所以，即.（2）證明：當(dāng)時，，則，所以是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，所以，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，.18.如圖，在三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，平面平面為的中點.（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.（1）證明：連接交于點，連接，則為的中點，因為為的中點，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：取的中點，連接，因為，所以，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以.因為為的中點，所以，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)平面的一個法向量，則即令，解得，故，而是平面的一個法向量，所以，設(shè)二面角的大小為，則.19.我國綜合性太陽探測專用衛(wèi)星“夸父一號”最新一批科學(xué)圖像于2022年12月13日在京發(fā)布，其中多幅圖像質(zhì)量達到國際領(lǐng)先水平，驗證了“夸父一號”三臺有效載荷的觀測能力和先進性，“夸父一號”是中國科學(xué)院空間科學(xué)二期先導(dǎo)專項研制的一顆空間科學(xué)衛(wèi)星，于2022年10月9日成功發(fā)射，衛(wèi)星以“一磁兩暴”為科學(xué)目標(biāo)，即同時觀測太陽磁場和太陽上兩類最劇烈的爆發(fā)現(xiàn)象——耀斑和日冕物質(zhì)拋射，研究它們的形成、演化、相互作用和彼此關(guān)聯(lián)，同時為空間天氣預(yù)報提供支持、某學(xué)校為了解該校某興趣小組對“夸父一號”探測衛(wèi)星相關(guān)知識是否感興趣，對該興趣小組的100位學(xué)生進行了問卷調(diào)查，已知被調(diào)查學(xué)生中男生占調(diào)查人數(shù)的55%，其中感興趣的有40人，余下的不感興趣，在被調(diào)查的女生中，感興趣的有20人，其余人不感興趣.（1）請補充完整列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為對“夸父一號”探測衛(wèi)星相關(guān)知識感興趣與學(xué)生的性別有關(guān)聯(lián)？感興趣不感興趣合計男生女生合計（2）從興趣小組100人中任選1人，表示事件“選到的人是男生”，表示事件“選到的人對“夸父一號”探測衛(wèi)星相關(guān)知識不感興趣”，求；（3）按性別進行分層，采用分層隨機抽樣的方法從感興趣的學(xué)生中抽取容量為6的樣本，再從抽取的6人中隨機抽取2人，隨機變量表示2人中女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：參考公式：，其中.臨界值表：0.150.100.050.010.0052.0722.7063.8416.6357.879解：（1）調(diào)查的男生人數(shù)為（人），調(diào)查的女生人數(shù)為（人），所以列聯(lián)表如下所示：感興趣不感興趣合計男生401555女生202545合計6040100零假設(shè)為：對“夸父一號”衛(wèi)星相關(guān)知識感興趣與學(xué)生的性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得，所以根據(jù)小概率值的獨立檢驗，推斷不成立，即認為對“夸父一號”探測衛(wèi)星相關(guān)知識是否感興趣與學(xué)生的性別有關(guān)聯(lián)，此時推斷犯錯誤的概率不大于.（2）依題意，，所求概率為，或者.（3）按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取的男生數(shù)為人，女生人數(shù)為人，所以的可能取值為，，，所以，所以的分布列為012所以.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，證明：.（1）解：當(dāng)時，，則，所以，故所求的切線方程為，即.（2）證明：要證，即證.先證.設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，也是的最小值點，且，所以，即成立.再證.設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，也是的最小值點，且，所以.綜上，成立21.在平面直角坐標(biāo)系中，頂點在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸的拋物線經(jīng)過點.（1）求的方程；（2）若關(guān)于軸對稱，焦點為，過點且與軸不垂直的直線交于兩點，直線交于另一點，直線交于另一點，求證：直線過定點.（1）解：若的焦點在軸上，設(shè)拋物線的方程為，將點代入，得，解得，故的方程為；若的焦點在軸上，設(shè)拋物線的方程為，將點代入，得，解得，故的方程為，綜上，的方程為或.（2）證明：由（1）知拋物線的方程為.若直線不過點，如圖，設(shè)，由題意可知直線的斜率存在且不為0，則直線的斜率，所以直線的方程為，即，同理直線的方程分別為，由直線過定點，可得，由直線過焦點，可得，直線的方程為，由，得，所以，即，又因為，所以.令解得故直線恒過定點.若直線過點，直線即為直線，其方程為，即，顯然直線過點.綜上，直線過定點.（二）選考題，共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所寫的第一題計分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.（1）求的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)、是上的兩點，且，，求的面積.解：（1）對于曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），，解得，則，，所以，，即，所以，曲線表示圓的上半圓，化為極坐標(biāo)方程即為，即，其中.（2）設(shè)點、的極坐標(biāo)分別為、，則，解得，則，，所以，所以，，因為，則，所以，，可得，所以，，，則，因此，.選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，則，解得，即，當(dāng)時，則恒成立，即，當(dāng)時，則，解得，即，綜上所述，原不等式的解集為．（2）因為，所以，即或，解得或，故a的取值范圍為．陜西省漢中市鎮(zhèn)巴縣2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將〖答案〗答在答題卡上.選擇題每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的〖答案〗無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本試卷主要命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，解得，所以，故.故選：A.2.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，故，則.故選:B.3.已知，則是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，則或，故由推不出，可推出，故是的必要不充分條件.故選：A.4.已知銳角滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為為銳角，所以，又，所以，所以.故選：D.5.如圖，在正方體中，為體對角線上一點，且，則異面直線和所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、、，，，所以，，因此，異面直線和所成角的余弦值為.故選：A.6.如圖所示為函數(shù)的圖象，則的〖解析〗式可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由圖知在處有定義，排除；對C，由圖象知為奇函數(shù)，而排除；對于，當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于正無窮，與圖象所體現(xiàn)的幾何直觀不符，排除B；對于D，易知為奇函數(shù)，且當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于0，符合圖象所體現(xiàn)的幾何直觀.故選：D.7.著名數(shù)學(xué)家歐幾里得著的《幾何原本》中記載：任何一個大于1的整數(shù)要么是一個素數(shù)，要么可以寫成一系列素數(shù)的積，例如.對于，其中均是素數(shù)，則從中任選3個數(shù)，可以組成不同三位數(shù)的個數(shù)為（）A.32 B.36 C.42 D.60〖答案〗C〖解析〗，從中任選3個數(shù)組成三位數(shù)，可以分為兩類：第一類，三個數(shù)互不相同，共有個；第二類，含有2個2或2個3，共有個，所以一共有42個.故選：.8.已知橢圓的左、右焦點分別為，過作垂直于軸的直線，在第二象限分別交及圓于點，若為的中點，為的上頂點，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，由題意知，則直線的方程為，因為A、B兩點位于第二象限，所以，則，，則，又因為A為的中點，所以，所以，又因為，所以，所以在△中，，，，所以，所以.故選：C.9.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為函數(shù)，當(dāng)時，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，其中，所以，，其中，解得，所以，，解得，又因為且，則，所以，，因為，，即，所以，，解得，因此，.故選：D.10.設(shè)，是雙曲線的左、右焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗，點到漸近線的距離為，即，在中，，在中，由余弦定理得，即，所以，所以，所以.故選：B.11.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，又因為，所以.故選：B.12.在長方體中，，，，分別是，的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.與平面相交C.與平面所成角的余弦值為 D.〖答案〗C〖解析〗取中點P，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，則四邊形為平行四邊形，則，選項A：由平面，平面，可得，四邊形是正方形，則，則，又，則平面，又平面，則.判斷正確；選項B：由，則四邊形為平行四邊形，則，又，則，由平面，平面，可得與平面相交，則與平面相交.判斷正確；選項C：連接，由平面可得，為與平面所成角，又，則.則與平面所成角的余弦值為.判斷錯誤；選項D：由平面，平面，可得，由四邊形是正方形，可得，又，則平面，又平面，則.判斷正確.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知是兩個互相垂直的單位向量，若，則__________.〖答案〗〖解析〗由題意知，，，所以，，所以.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)滿足：；當(dāng)時，.則滿足這兩個條件的一個函數(shù)為__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由，知且滿足該條件；又當(dāng)時，，可得，故可以為.故〖答案〗為：.15.在正四棱錐中，底面正方形的邊長為2，側(cè)棱長為，則正四棱錐的外接球的體積為__________.〖答案〗〖解析〗如圖，連接交于點，連接，因為是正四棱錐，則平面，所以正四棱錐的外接球球心在上.連接，設(shè)球的半徑為，則.在Rt中，(注意O在SM上)，即，解得，所以正四棱錐的外接球的體積為.故〖答案〗為：.16.在中，內(nèi)角、、的對邊分別是、、，且，則______；若的角平分線與邊交于點，且，則______.〖答案〗〖解析〗因為，則，，由正弦定理可得，因為，則，整理可得，所以，，因為，則，因為，即，所以，，因此，.故〖答案〗為：；.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列的前項和為（為常數(shù)）.（1）若，求的通項公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.（）（1）解：當(dāng)時，，得，又，所以是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，所以，即.（2）證明：當(dāng)時，，則，所以是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，所以，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，.18.如圖，在三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，平面平面為的中點.（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.（1）證明：連接交于點，連接，則為的中點，因為為的中點，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：取的中點，連接，因為，所以，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以.因為為的中點，所以，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)平面的一個法向量，則即令，解得，故，而是平面的一個法向量，所以，設(shè)二面角的大小為，則.19.我國綜合性太陽探測專用衛(wèi)星“夸父一號”最新一批科學(xué)圖像于2022年12月13日在京發(fā)布，其中多幅圖像質(zhì)量達到國際領(lǐng)先水平，驗證了“夸父一號”三臺有效載荷的觀測能力和先進性，“夸父一號”是中國科學(xué)院空間科學(xué)二期先導(dǎo)專項研制的一顆空間科學(xué)衛(wèi)星，于2022年10月9日成功發(fā)射，衛(wèi)星以“一磁兩暴”為科學(xué)目標(biāo)，即同時觀測太陽磁場和太陽上兩類最劇烈的爆發(fā)現(xiàn)象——耀斑和日冕物質(zhì)拋射，研究它們的形成、演化、相互作用和彼此關(guān)聯(lián)，同時為空間天氣預(yù)報提供支持、某學(xué)校為了解該校某興趣小組對“夸父一號”探測衛(wèi)星相關(guān)知識是否感興趣，對該興趣小組的100位學(xué)生進行了問卷調(diào)查，已知被調(diào)查學(xué)生中男生占調(diào)查人數(shù)的55%，其中感興趣的有40人，余下的不感興趣，在被調(diào)查的女生中，感興趣的有20人，其余人不感興趣.（1）請補充完整列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為對“夸父一號”探測衛(wèi)星相關(guān)知識感興趣與學(xué)生的性別有關(guān)聯(lián)？感興趣不感興趣合計男生女生合計（2）從興趣小組100人中任選1人，表示事件“選到的人是男生”，表示事件“選到的人對“夸父一號”探測衛(wèi)星相關(guān)知識不感興趣”，求；（3）按性別進行分層，采用分層隨機抽樣的方法從感興趣的學(xué)生中抽取容量為6的樣本，再從抽取的6人中隨機抽取2人，隨機變量表示2人中女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：參考公式：，其中.臨界值表：0.150.100.050.010.0052.0722.7063.8416.6357.879解：（1）調(diào)查的男生人數(shù)為（人），調(diào)查的女生人數(shù)為（人），所以列聯(lián)表如下所示：感興趣不感興趣合計男生401555女生202545合計6040100零假設(shè)為：對“夸父一號”衛(wèi)星相關(guān)知識感興趣與學(xué)生的性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得，所以根據(jù)小概率值的獨立檢驗，推斷不成立，即認為對“夸父一號”探測衛(wèi)星相關(guān)知識是否感興趣與學(xué)生的性別有關(guān)聯(lián)，此時推斷犯錯誤的概率不大于.（2）依題意，，所求概率為，或者.（3）按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取的男生數(shù)為人，女生人數(shù)為人，所以的可能取值為，，，所以