北京市豐臺區(qū)市級名校2023-2024學年數(shù)學高一下期末達標檢測試題含解析

北京市豐臺區(qū)市級名校2023-2024學年數(shù)學高一下期末達標檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．圓與直線的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．直線過圓心2．已知全集，則集合A． B． C． D．3．在銳角中，角的對邊分別為.若，則角的大小為()A． B．或 C． D．或4．已知圓心在軸上的圓經(jīng)過，兩點，則的方程為（）A． B．C． D．5．在中，內角所對的邊分別為.若,則角的值為（）A． B． C． D．6．某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內應填（）A． B． C． D．7．已知等比數(shù)列的前項和為，，，則（）A．31 B．15 C．8 D．78．已知向量，向量，且，那么等于()A． B． C． D．9．從裝有2個白球和2個黑球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是A．至少有一個黑球與都是黑球 B．至少有一個黑球與至少有一個白球C．恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球 D．至少有一個黑球與都是白球10．在區(qū)間上任取兩個實數(shù)，則滿足的概率為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖為函數(shù)（，，，）的部分圖像，則函數(shù)解析式為________12．過點直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標原點，當最小時，直線的一般方程為______.13．已知都是銳角，，則=_____14．直線的傾斜角為_____________15．已知直線與圓相交于，兩點，則=______.16．設向量，且，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，且（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.18．已知為等差數(shù)列，且（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，若成等比數(shù)列，求正整數(shù)的值．19．已知向量的夾角為60°，且.（1）求與的值；（2）求與的夾角.20．已知數(shù)列中，．.（1）寫出、、；（2）猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法證明．21．在一次人才招聘會上，有A、B兩家公司分別開出了它們的工資標準：A公司允諾第一年月工資數(shù)為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；B公司允諾第一年月工資數(shù)為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資增加基礎上遞增5%，設某人年初被A、B兩家公司同時錄取，試問：（1）若該人分別在A公司或B公司連續(xù)工作年，則他在第年的月工資收入分別是多少?（2）該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應聘的標準（不計其它因素），該人應該選擇哪家公司，為什么?（3）在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多多少元（精確到1元），并說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

求出圓心到直線的距離與半徑比較．【詳解】圓的圓心是，半徑為1，圓心到直線即的距離為，直線與圓相切．故選：B．【點睛】本題考查直線與圓人位置關系，判斷方法是：利用圓心到直線的距離與半徑的關系判斷．2、C【解析】

直接利用集合補集的定義求解即可.【詳解】因為全集，所以0，2屬于全集且不屬于集合A,所以集合，故選：C.【點睛】本題主要考查集合補集的定義，屬于基礎題.3、A【解析】

利用正弦定理，邊化角化簡即可得出答案．【詳解】由及正弦定理得，又，所以，所以，又，所以．故選A【點睛】本題考查正弦定理解三角形，屬于基礎題．4、A【解析】

由圓心在軸上設出圓心坐標,設出圓的方程,將,兩點坐標代入,即可求得圓心坐標和半徑,進而得圓的方程.【詳解】因為圓心在軸上,設圓心坐標為,半徑為設圓的方程為因為圓經(jīng)過,兩點代入可得解方程求得所以圓C的方程為故選:A【點睛】本題考查了圓的方程求法,關鍵是求出圓心和半徑,屬于基礎題.5、C【解析】

根據(jù)正弦定理將邊化角，可得，由可求得，根據(jù)的范圍求得結果.【詳解】由正弦定理得：本題正確選項：【點睛】本題考查正弦定理邊角互化的應用，涉及到兩角和差正弦公式、三角形內角和、誘導公式的應用，屬于基礎題.6、A【解析】

根據(jù)程序框圖的結構及輸出結果,逆向推斷即可得判斷框中的內容.【詳解】由程序框圖可知,,則所以此時輸出的值,因而時退出循環(huán).因而判斷框的內容為故選:A【點睛】本題考查了根據(jù)程序框圖的輸出值,確定判斷框的內容,屬于基礎題.7、B【解析】

利用基本元的思想，將已知條件轉化為的形式，由此求得，進而求得.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故，由于，故解得，所以.故選：B.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項公式的基本量的計算，考查等比數(shù)列前項和公式，屬于基礎題.8、D【解析】

由兩向量平行，其向量坐標交叉相乘相等，得到.【詳解】因為，所以，解得：.【點睛】本題考查向量平行的坐標運算，考查基本運算，注意符號的正負.9、C【解析】

列舉每個事件所包含的基本事件，結合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可【詳解】對于A：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發(fā)生，如：兩個都是黑球，∴這兩個事件不是互斥事件，∴A不正確對于B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個白球”可以同時發(fā)生，如：一個白球一個黑球，∴B不正確對于C：事件：“恰好有一個黑球”與事件：“恰有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是白球，∴兩個事件是互斥事件但不是對立事件，∴C正確對于D：事件：“至少有一個黑球”與“都是白球”不能同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，∴這兩個事件是對立事件，∴D不正確故選C．【點睛】本題考查互斥事件與對立事件．首先要求理解互斥事件和對立事件的定義，理解互斥事件與對立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時要能夠準確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡單題10、B【解析】試題分析：因為，在區(qū)間上任取兩個實數(shù)，所以區(qū)域的面積為4，其中滿足的平面區(qū)域面積為，故滿足的概率為，選B．考點：本題主要考查幾何概型概率計算．點評：簡單題，幾何概型概率的計算，關鍵是認清兩個“幾何度量”．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由函數(shù)的部分圖像，先求得，得到，再由，得到，結合，求得，即可得到函數(shù)的解析式.【詳解】由題意，根據(jù)函數(shù)的部分圖像，可得，所以，又由，即，又由，即，解得，即，又因為，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質，準確計算是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合思想，以及推理與計算能力，屬于基礎題.12、【解析】

設直線的截距式方程為，利用該直線過可得，再利用基本不等式可求何時即取最小值，從而得到相應的直線方程．【詳解】設直線的截距式方程為，其中且．因為直線過，故．所以，由基本不等式可知，當且僅當時等號成立，故當取最小值時，直線方程為：．填．【點睛】直線方程有五種形式，常用的形式有點斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于的軸的直線沒有點斜式、斜截式和截距式，垂直于軸的直線沒有截距式，注意根據(jù)題設所給的條件選擇合適的方程的形式，特別地，如果考慮的問題是與直線、坐標軸圍成的直角三角形有關的問題，可考慮利用截距式.13、【解析】

由已知求出，再由兩角差的正弦公式計算．【詳解】∵都是銳角，∴，又，∴，，∴．故答案為．【點睛】本題考查兩角和與差的正弦公式．考查同角間的三角函數(shù)關系．解題關鍵是角的變換，即．這在三角函數(shù)恒等變換中很重要，即解題時要觀察“已知角”和“未知角”的關系，根據(jù)這個關系選用相應的公式計算．14、【解析】

先求得直線的斜率，由此求得對應的傾斜角.【詳解】依題意可知，直線的斜率為，故傾斜角為.故答案為：【點睛】本小題主要考查直線斜率和傾斜角的計算，屬于基礎題.15、.【解析】

將圓的方程化為標準方程,由點到直線距離公式求得弦心距,再結合垂徑定理即可求得.【詳解】圓,變形可得所以圓心坐標為,半徑直線,變形可得由點到直線距離公式可得弦心距為由垂徑定理可知故答案為:【點睛】本題考查了直線與圓相交時的弦長求法,點到直線距離公式的應用及垂徑定理的用法,屬于基礎題.16、【解析】因為，所以，故答案為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、可得所求通項公式；（2）求得，由數(shù)列的錯位相減法求和，結合等比數(shù)列的求和公式可得所求和．【詳解】解：（1）∵，即，，∴為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，即；∵，即有，∴為首項為1，公比為的等比數(shù)列，即；（2），∴，∴，兩式相減可得，化簡可得【點睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的錯位相減法求和，化簡運算能力，屬于中檔題．18、：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）設等差數(shù)列{an}的公差等于d，則由題意可得，解得a1=1，d=1，從而得到{an}的通項公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n項和為Sn==n（n+1），再由=a1Sk+1，求得正整數(shù)k的值．解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{an}的公差等于d，則由題意可得，解得a1=1，d=1．∴{an}的通項公式an=1+（n﹣1）1=1n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n項和為Sn==n（n+1）．∵若a1，ak，Sk+1成等比數(shù)列，∴=a1Sk+1，∴4k1=1（k+1）（k+3），k="2"或k=﹣1（舍去），故k=2．考點：等比數(shù)列的性質；等差數(shù)列的通項公式．19、（1），；（2）.【解析】

（1）根據(jù)，即可得解；（2）根據(jù)公式計算求解.【詳解】（1）由題向量的夾角為60°，所以，，；（2），所以【點睛】此題考查平面向量數(shù)量積，根據(jù)定義計算兩個向量的數(shù)量積，求向量的模長和根據(jù)數(shù)量積與模長關系求向量夾角.20、（1），，；（2）猜想，證明見解析.【解析】

（1）利用遞推公式可計算出、、的值；（2）根據(jù)數(shù)列的前四項可猜想出，然后利用數(shù)學歸納法即可證明出猜想成立.【詳解】（1），，則，，；（2）猜想，下面利用數(shù)學歸納法證明.假設當時成立，即，那么當時，，這說明當時，猜想也成立.由歸納原理可知，.【點睛】本題考查利用數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列中的項，同時也考查了利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列通項公式，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.21、（1）在A公司第年收入為；在B公司連續(xù)工作年收入為；（2）應選擇A公司，理由見詳解；（3）827；理由見詳解.【解析】

（1）先分別記該人在A公司第年收入為，在B公司連續(xù)工作年收入為，根據(jù)題中條件，即可直接得出結果；（2）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，分別計算前的和，即可得出結果；（3）先令，將原問題轉化為求的最大值，進而可求出結果.【