黑龍江省虎林市東方紅林業(yè)局中學(xué)2024年高一下數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

黑龍江省虎林市東方紅林業(yè)局中學(xué)2024年高一下數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知直三棱柱的所有棱長都相等，為的中點，則與所成角的余弦值為()A． B． C． D．2．法國“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”皮埃爾·德·費馬在1936年發(fā)現(xiàn)的定理：若x是一個不能被質(zhì)數(shù)p整除的整數(shù)，則必能被p整除，后來人們稱為費馬小定理.按照該定理若在集合中任取兩個數(shù)，其中一個作為x，另一個作為p，則所取的兩個數(shù)符合費馬小定理的概率為（）A． B． C． D．3．對于函數(shù)f(x)=2sinxcosx，下列選項中正確的是()A．f(x)在（，）上是遞增的 B．f(x)的圖象關(guān)于原點對稱C．f(x)的最小正周期為 D．f(x)的最大值為24．設(shè)為直線，是兩個不同的平面，下列說法中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則5．函數(shù)的定義域是（）．A． B． C． D．6．已知函數(shù)和在區(qū)間I上都是減函數(shù)，那么區(qū)間I可以是（）A． B． C． D．7．已知直線與相交于點，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值是（）A． B． C． D．8．的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，下列命題：（1）三邊、、既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則是等邊三角形；（2）若，則是等腰三角形；（3）若，則；（4）若，則；（5），，若唯一確定，則.其中，正確命題是（）A．（1）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（5） D．（3）（4）（5）9．下列關(guān)于函數(shù)（）的敘述，正確的是（）A．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減B．值域為C．圖像關(guān)于點中心對稱D．不等式的解集為10．下列結(jié)論中錯誤的是（）A．若，則 B．函數(shù)的最小值為2C．函數(shù)的最小值為2 D．若，則函數(shù)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，，，則________.12．某學(xué)校高一年級舉行選課培訓(xùn)活動，共有1024名學(xué)生、家長、老師參加，其中家長256人．學(xué)校按學(xué)生、家長、老師分層抽樣，從中抽取64人，進行某問卷調(diào)查，則抽到的家長有___人13．已知三棱錐（如圖所示），平面，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為______．14．已知點，，若向量，則向量______.15．已知兩條直線,將圓及其內(nèi)部劃分成三個部分,則的取值范圍是_______；若劃分成的三個部分中有兩部分的面積相等,則的取值有_______種可能.16．已知一個鐵球的體積為，則該鐵球的表面積為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，某地三角工廠分別位于邊長為2的正方形的兩個頂點及中點處.為處理這三角工廠的污水，在該正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）與等距的點處建一個污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道，記輔設(shè)管道總長為千米.（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：（i）設(shè)，將表示成的函數(shù)；（ii）設(shè)，將表示成的函數(shù)；（2）請你選用一個函數(shù)關(guān)系，確定污水廠位置，使鋪設(shè)管道總長最短.18．已知數(shù)列中，，點在直線上，其中.（1）令，求證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項；（3）設(shè)、分別為數(shù)列、的前項和是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出，若不存在，則說明理由.19．已知.（Ⅰ）化簡；（Ⅱ）已知，求的值．20．已知點是重心，.（1）用和表示；（2）用和表示.21．已知的三個內(nèi)角的對邊分別為，且，（1）求證：；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

取的中點，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，在中，利用余弦定理，即可求解．【詳解】由題意，取的中點，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，設(shè)正三棱柱的各棱長為,則，設(shè)直線與所成角為，在中，由余弦定理可得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選D．【點睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，其中解答中把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解析】

用列舉法結(jié)合古典概型概率公式計算即可得出答案.【詳解】用表示抽取的兩個數(shù)，其中第一個為，第二個為總的基本事件分別為：，，，共12種其中所取的兩個數(shù)符合費馬小定理的基本事件分別為：，，共8種則所取的兩個數(shù)符合費馬小定理的概率故選：A【點睛】本題主要考查了利用古典概型概率公式計算概率，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

解:,是周期為的奇函數(shù),

對于A,在上是遞減的,錯誤;

對于B,是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,正確;

對于C,是周期為,錯誤;

對于D,的最大值為1,錯誤;

所以B選項是正確的.4、C【解析】

畫出長方體，按照選項的內(nèi)容在長方體中找到相應(yīng)的情況，即可得到答案【詳解】對于選項A，在長方體中，任何一條棱都和它相對的兩個平面平行，但這兩個平面相交，所以A不正確；對于選項B，若，分別是長方體的上、下底面，在下底面所在平面中任選一條直線，都有，但，所以B不正確；對于選項D，在長方體中，令下底面為，左邊側(cè)面為，此時，在右邊側(cè)面中取一條對角線，則，但與不垂直，所以D不正確；對于選項C，設(shè)平面，且，因為，所以，又，所以，又，所以，所以C正確.【點睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，屬于簡單題5、C【解析】函數(shù)的定義域即讓原函數(shù)有意義即可；原式中有對數(shù)，則故得到定義域為.故選C.6、B【解析】

分別根據(jù)和的單調(diào)減區(qū)間即可得出答案．【詳解】因為和的單調(diào)減區(qū)間分別是和，所以選擇B【點睛】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對三角函數(shù)圖像與性質(zhì)掌握情況.7、D【解析】

由已知的所給的直線，可以判斷出直線過定點（3，1），直線過定點（1，3），兩直線互相垂直，從而可以得到的軌跡方程，設(shè)圓心為M，半徑為，作直線,可以求出的值，設(shè)圓的半徑為，求得的最小值，進而可求出的最小值.【詳解】圓的半徑為,直線與直線互相垂直，直線過定點（3，1），直線過定點（1，3），所以P點的軌跡為：設(shè)圓心為M，半徑為作直線,根據(jù)垂徑定理和勾股定理可得：，如下圖所示：的最小值就是在同一條直線上時，即則的最小值為，故本題選D.【點睛】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查了平面向量模的最小值求法，運用平面向量的加法的幾何意義是解題的關(guān)鍵.8、A【解析】

由等差數(shù)列和等比數(shù)列中項性質(zhì)可判斷（1）；由正弦定理和二倍角公式、誘導(dǎo)公式，可判斷（2）；由三角形的邊角關(guān)系和余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷（3）；由余弦定理和基本不等式可判斷（4）；由正弦定理和三角形的邊角關(guān)系可判斷（5）．【詳解】解：若、、既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則，，則，得，得，得，則是等邊三角形，故（1）正確；若，則，則，則或，即或，則△ABC是等腰或直角三角形，故（2）錯誤；若，則，則，故（3）正確；若，則，則，由得，則，則，故（4）正確；若，，則，即，又，若唯一確定，則或，則或，故（5）錯誤；故選：A．【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的運用，以及三角形的形狀的判斷，考查化簡運算能力，屬于中檔題．9、D【解析】

運用正弦函數(shù)的一個周期的圖象，結(jié)合單調(diào)性、值域和對稱中心，以及不等式的解集，可得所求結(jié)論.【詳解】函數(shù)（），在，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；值域為；圖象關(guān)于點對稱；由可得，解得：.故選：D.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于?？碱}.10、B【解析】

根據(jù)均值不等式成立的條件逐項分析即可.【詳解】對于A，由知，，所以，故選項A本身正確；對于B，，但由于在時不可能成立，所以不等式中的“”實際上取不到，故選項B本身錯誤；對于C，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故選項C本身正確；對于D，由知，，所以lnx+=-2，故選項D本身正確.故選B.【點睛】本題主要考查了均值不等式及不等式取等號的條件，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)已知角的范圍分別求出，，利用整體代換即可求解.【詳解】，，，所以，，，，所以，=故答案為：【點睛】此題考查三角函數(shù)給值求值的問題，關(guān)鍵在于弄清角的范圍，準(zhǔn)確得出三角函數(shù)值，對所求的角進行合理變形，用已知角表示未知角.12、16【解析】

利用分層抽樣的性質(zhì)，直接計算，即可求得，得到答案．【詳解】由題意，可知共有1024名學(xué)生、家長、老師參加，其中家長256人，通過分層抽樣從中抽取64人，進行某問卷調(diào)查，則抽到的家長人數(shù)為人．故答案為16【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用，其中解答中熟記分層抽樣的概念和性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

由于圖形特殊，可將圖形補成長方體，從而求長方體的外接球表面積即為所求.【詳解】，，，，平面，將三棱錐補形為如圖的長方體，則長方體的對角線，則【點睛】本題主要考查外接球的相關(guān)計算，將圖形補成長方體是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的劃歸能力及空間想象能力.14、【解析】

通過向量的加減運算即可得到答案.【詳解】，.【點睛】本題主要考查向量的基本運算，難度很小.15、3【解析】

易知直線過定點，再結(jié)合圖形求解.【詳解】依題意得直線過定點，如圖：若兩直線將圓分成三個部分，則直線必須與圓相交于圖中陰影部分.又，所以的取值范圍是；當(dāng)直線位于時，劃分成的三個部分中有兩部分的面積相等.【點睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線的斜率，結(jié)合圖形是此題的關(guān)鍵.16、.【解析】

通過球的體積求出球的半徑，然后求出球的表面積.【詳解】球的體積為球的半徑球的表面積為：故答案為：【點睛】本題考查球的表面積與體積的求法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（i）（，其中）.（ii).（2）污水廠設(shè)在與直線距離處【解析】

（1）（i）設(shè)的中點為，則，，，，由此可得關(guān)于的函數(shù)；（ii）由題意，則，，由此可得關(guān)于的函數(shù)；（2）設(shè)，，則，然后利用基本不等式求最值．【詳解】解：（1）（i）設(shè)中點，則，，，，∴（，其中）；（ii），，；（2）設(shè)，，則，，當(dāng)，即時，取最小值，∴污水廠設(shè)在與直線距離處時，鋪設(shè)管道總長最短，最短長度為千米．【點睛】本題主要考查根據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型，訓(xùn)練了利用換元法及基本不等式求最值，屬于中檔題．18、（1）證明過程見詳解；（2）；（3）存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列.【解析】

（1）先由題意得到，再由，得到，即可證明結(jié)論成立；（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出數(shù)列的通項；（3）把數(shù)列an}、{bn}通項公式代入an+2bn，進而得到Sn+2T的表達(dá)式代入Tn，進而推斷當(dāng)且僅當(dāng)λ＝2時，數(shù)列是等差數(shù)列．【詳解】（1）因為點在直線上，所以，因此由得所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列；（2）因為，由得，故，由（1）得，所以，即，所以，，…，，以上各式相加得：所以；（3）存在λ＝2，使數(shù)列是等差數(shù)列．由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，an+2bn＝n﹣2∴又=∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)λ＝2時，數(shù)列是等差數(shù)列．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟記等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的通項公式，以及等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可，屬于?？碱}型.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）-2?！窘馕觥吭囶}分析：（Ⅰ）5分（Ⅱ）10分考點：三角函數(shù)化簡求值點評：三角函數(shù)化簡主要考察的是誘導(dǎo)公式，如等，本題難度不大，需要學(xué)生熟記公式20、（1）（2）.【解析】

（1）設(shè)的中點為，可得出，利用重心性質(zhì)得出，由此可得出關(guān)于、的表達(dá)式；（2）由，得出，再由，可得出關(guān)于、的表達(dá)式.【詳解】（1）設(shè)的中點為，則，，為的重心，因此，；（2），，因此，.【點睛】本題考查利基底表示向量，應(yīng)充分利用平面幾何中一些