黑龍江省綏化市綏棱縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

～2024學(xué)年度上學(xué)期高三期中考試數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚。4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交。5.本卷主要考查內(nèi)容：集合與常用邏輯用語、不等式，函數(shù)，一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，三角函數(shù)，解三角形，平面向量，復(fù)數(shù)，數(shù)列，立體幾何與空間向量，平面解析幾何。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2.已知集合，，則A． B． C． D．3.已知a，，為虛數(shù)單位，，則A．1 B．0 C． D．4.已知，，，則A． B． C． D．5.以點為圓心，兩平行線與之間的距離為半徑的圓的方程為A． B．C． D．6.設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，，則A． B．C． D．7.已知函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則A． B． C． D．8.設(shè)橢圓）（）的左焦點為F，上下頂點分別為A、B，直線AF的斜率為，并交橢圓于另一點C，則直線BC的斜率為A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是A．120°化成弧度是 B． C． D．化成角度是18°10.《莊子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其大意為：一根一尺長的木棰每天截取一半，永遠(yuǎn)都取不完，設(shè)第一天這根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，則下列說法正確的是A． B．C． D．11.要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度12.已知函數(shù)，則A．的極值點為 B．的極大值為C．的最大值為 D．只有1個零點三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的定義域為.14.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足關(guān)系式，則.15.如圖所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2m，水面寬4m.水位下降1m后，水面寬m.16.已知，，，，則的最小值為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，.（1）求的通項公式；（2）若是等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前n項和.18.（本小題滿分12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求的值；（2）若，求的值.19.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求的極值.20.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD為菱形，，，E為CD的中點.（1）求證：平面PAE；（2）求平面PAE與平面PBC所成二面角的正弦值.21.（本小題滿分12分）已知雙曲線C：（，）的漸近線方程為，且過點.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線C的右焦點為F，點，過點F的直線l交雙曲線C于A，B兩點，且，求直線l的方程.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）.（1）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若，使得，求實數(shù)a的取值范圍.2023～2024學(xué)年度上學(xué)期高三期中考試·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細(xì)則1.A，反之不成立，故選A．2.B∵A：，，∴，故選B．3.D因為，所以，，.4.A∵，，，∴b最小，，，又∵在上單調(diào)遞增，∴，即，綜上，，故選A．5.B∵平行線間的距離為，∴，∴圓的方程為，故選B．6.A.7.D因為，所以，故選D．8.C∵，則，，即橢圓方程為，設(shè)，，，且，即，，∴.9.AD因為，所以選項A正確；因為，所以選項B不正確；因為，所以選項C不正確；因為，所以選項D正確，故選AD．10.ACD根據(jù)題意可得（），，故A正確；，故B錯誤；，，則，故C正確；，故D正確.故選ACD．11.BC由，可知將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，又由函數(shù)的周期為，可知正確選項為BC，故選BC．12.BCD因為，且，所以當(dāng)時，為增函數(shù)，當(dāng)時，為減函數(shù)，所以為函數(shù)的極大值點，為的極大值，且為的最大值，所以A不正確，BC正確；因為，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以D正確.故選：BCD．13.由，解得，所以函數(shù)的定義域為.14.由，得，令，則.故.15.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為（），則，將其坐標(biāo)代入，得，∴.當(dāng)水面下降1m，得（），將其坐標(biāo)代入得，∴，∴水面寬.16.，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.17.解：（1）∵，，∴，即，解得首項，.∴數(shù)列的通項公式，（2）∵，，∴公比，.數(shù)列的前n項和.18.解：（1）由正弦定理有因為，，可得；（2）由（1）知，，故有.19.解：（1）的定義域為，，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，，所以的極大值為，極小值為0.20.（1）證明：連AC∵底面ABCD為菱形，，∴∵，，∴∵平面ABCD，平面ABCD，∴∵，，AE，平面PAE，，∴平面PAE；（2）解：由（1）知，又由，可得，可得AB、AE、AP兩兩垂直令，可得，，以A為坐標(biāo)原點，向量，，方向分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系可得點A的坐標(biāo)為，點P的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點E的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，，由（1）可知為平面PAE的法向量設(shè)平面BCP的法向量為，有，取，，可得由，，，有故平面PAE與平面PBC所成二面角的正弦值為21.解：（1）由題意知，解得，所以雙曲線C的方程是；（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，不符合題意；②當(dāng)直線l的斜率為0時，符合題意，此時直線l的方程為；③當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時，設(shè)直線l的方程為，，，記AB的中點為，又因為，所以．由，得，所以，所以，.所以，解得或，所以直線l