適用于新高考新教材廣西專版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第六章數(shù)列第四節(jié)數(shù)列求和課件

第四節(jié)數(shù)列求和第六章課標(biāo)解讀1.鞏固等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.2.掌握數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消求和法、錯(cuò)位相減求和法、拆項(xiàng)分組求和法、并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法、倒序相加求和法,能夠解決數(shù)列的求和問題.強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識梳理數(shù)列求和的常用方法1.公式法2.裂項(xiàng)相消求和法:裂項(xiàng)相消求和法就是把數(shù)列的各項(xiàng)變?yōu)閮身?xiàng)之差,使得相加求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消,前n項(xiàng)和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和,從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.3.錯(cuò)位相減求和法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可運(yùn)用錯(cuò)位相減求和法.4.拆項(xiàng)分組求和法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由幾個(gè)等差數(shù)列和等比數(shù)列的項(xiàng)相加減得到的,那么可以把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成多個(gè)項(xiàng)或把數(shù)列的項(xiàng)重新分組,使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列,然后利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求和.5.并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法:在求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí),如果一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的,尤其是當(dāng)各項(xiàng)的絕對值又構(gòu)成等差數(shù)列時(shí),可以先將相鄰的兩項(xiàng)或幾項(xiàng)合并,然后再利用其他相關(guān)的方法進(jìn)行求和.6.倒序相加求和法:如果一個(gè)數(shù)列{an}中,與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù),那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可運(yùn)用倒序相加求和法.常用結(jié)論1.常用裂項(xiàng)公式2.常用求和公式

對點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(3)數(shù)列1,-3,5,-7,9,-11,…的前100項(xiàng)的和等于-100.(

)××√√答案B

(

)A.2022 B.2023C.2024 D.20253.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=

(n∈N*),該數(shù)列的前8項(xiàng)和為

.

增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一裂項(xiàng)相消求和法典例突破名師點(diǎn)析裂項(xiàng)相消求和法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解,然后重新組合使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的.利用裂項(xiàng)相消求和法的關(guān)鍵是分析數(shù)列的通項(xiàng),考察其是否能分解成兩項(xiàng)的差,在裂項(xiàng)求和的過程中,還要注意以下幾點(diǎn):(1)注意通項(xiàng)裂開后,是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差,有時(shí)恰好等于兩項(xiàng)之差,有時(shí)則是倍數(shù)關(guān)系,需要在裂開的式子前面乘上一個(gè)系數(shù);(2)注意在正負(fù)項(xiàng)抵消后,是否只剩下了第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),有時(shí)可能前面剩下了兩項(xiàng),后面也剩下了兩項(xiàng).考點(diǎn)二錯(cuò)位相減求和法典例突破例2.(2023全國甲,理17)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a2=1,2Sn=nan.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;解(1)由題意可知,2Sn=nan,①當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1=(n-1)an-1,②①-②得2an=nan-(n-1)an-1,∴(n-1)an-1=(n-2)an.當(dāng)n=1時(shí),2a1=a1,a1=0,滿足上式,∴an=n-1(n∈N*).(方法2

累乘法)由2Sn=nan可知,當(dāng)n=1時(shí),2a1=a1,a1=0,a2=1,技巧點(diǎn)撥錯(cuò)位相減求和法的方法步驟設(shè){anbn}的前n項(xiàng)和為Sn,其中數(shù)列{an}為公差為d的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}為公比為q(q≠1)的等比數(shù)列.則錯(cuò)位相減求和法的步驟如下.∵Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,∴qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1.兩式相減得(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1對點(diǎn)訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=-n2+kn(k∈N*),且Sn的最大值為25.(1)求k的值及{an}的通項(xiàng)公式;k=10,Sn=-n2+10n.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=9.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(-n2+10n)-[-(n-1)2+10(n-1)]=-2n+11,當(dāng)n=1時(shí)也成立.綜上可得an=-2n+11.所以k=10,an=-2n+11.考點(diǎn)三拆項(xiàng)分組求和法典例突破例3.(2023新課標(biāo)Ⅱ,18)已知{an}為等差數(shù)列,bn=記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和,S4=32,T3=16.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)證明:當(dāng)n>5時(shí),Tn>Sn.方法總結(jié)適合拆項(xiàng)分組求和法的兩種數(shù)列(1)通項(xiàng)公式為an=

(其中數(shù)列{bn},{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列)的數(shù)列;(2)通項(xiàng)公式為{an+bn}({an},{bn}是等差數(shù)列或等比數(shù)列)的數(shù)列.對點(diǎn)訓(xùn)練3設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=2an-2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;解(1)由Sn=2an-2得,當(dāng)n=1時(shí),S1=2a1-2,解得a1=2.當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1-2,從而an=2an-2an-1,即an=2an-1,因此數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其首項(xiàng)和公比都等于2,所以an=2n.考點(diǎn)四并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法典例突破例4.(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1-4+7-10+13-16+…+(-1)n-1·(3n-2),則S11=(

)A.46 B.-46 C.16

D.-16(2)在數(shù)列{an}中,an+1=an+2(n+1),n∈N*,a1=2,則數(shù)列{(-1)n·an}的前50項(xiàng)和是

.

答案

(1)C

(2)1300

解析

(1)因?yàn)镾n=1-4+7-10+13-16+…+(-1)n-1·(3n-2),所以S11=1-4+7-10+13-16+19-22+25-28+31=(1-4)+(7-10)+(13-16)+(19-22)+(25-28)+31=5×(-3)+31=16.故選C.(2)因?yàn)閍n+1=an+2(n+1),且a1=2,所以當(dāng)n≥2時(shí),a2-a1=4,a3-a2=6,…,an-an-1=2n,技巧點(diǎn)撥并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法關(guān)注點(diǎn)(1)一般地,當(dāng)數(shù)列中的各項(xiàng)正負(fù)交替,且各項(xiàng)絕對值成等差數(shù)列時(shí),可采用并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法.(2)在利用并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和法時(shí),一般需要對項(xiàng)數(shù)n分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論,所以結(jié)果一般用分段函數(shù)來表示.對點(diǎn)訓(xùn)練4已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為-2,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+2,Sn,Sn+1成等差數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;解(1)因?yàn)镾n+2,Sn,Sn+1成等差數(shù)列,所以Sn-Sn+2=Sn+1-Sn,所以-an+2-an+1=an+1,即an+2=-2an+1,設(shè){an}的公比為q,則q=-2,所以an=-2×(-2)n-1=(-2)n.(2)依題意,b1=1,b2=1,b3=2,b4=2,b5=3,b6=3,b7=4,b8=4,b9=5,b10=5,則T10=-2+(-2)2+2×(-2)3+2×(-2)4+3×(-2)5+3×(-2)6+4×(-2)7+4×(-2)8+5×(-2)9+5×(-2)10=[-2+(-2)2]+2×[(-2)3+(-2)4]+3×[(-2)5+(-2)6]+4×[(-2)7+(-2)8]+5×[(-2)9+(-2)10]=2+24+3×25+4×27+5×29=2+16+96+512+2

560=3

186.考點(diǎn)五倒序相加求和法典例突破

A.1 B.2C.2021 D.2022答案

C

名師點(diǎn)析倒序相加求和法往往與函數(shù)的求值問題聯(lián)系在一起,通過函數(shù)圖象的對稱性,得到當(dāng)兩個(gè)自變量之和為某一常數(shù)時(shí),對應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值的和也為定值,使之符合倒序相加求和法的使用條件,從而進(jìn)行數(shù)列的求和.對點(diǎn)訓(xùn)練5(2023廣西玉林三模)已知函數(shù)f(x)=e-x-ex,若函數(shù)h(x)=f(x-4)+x,數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a1+a2+a3+…+a11=44,則h(a1)+h(a2)+…+h(a11)=

.

答案

44

解析

由題意,得h(x)=f(x-4)+x=e-(x-4)-e(x-4)+x,設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,+a1+a11=a1+a11=8,同