2024屆上海市六校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測卷含解析

2024屆上海市六校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏文明重要組成部分.古人認(rèn)為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五

類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類元素中任選2類元素，則2

11

A.B.-C.1D.-

2345

2.函數(shù)/（X）=◎-2與g（x）="的圖象上存在關(guān)于直線V=x對稱的點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

e

A.—00—B.C.D.

4—個(gè)

3.=i是Qsine+Z?cos9<l恒成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

?2020上生，貝”的虛部是（

4.若2=)

1+1

A.iB.萬C.-1D.1

na_________

1、

5.若3%+〃eN*）的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，且九的最小值為。，貝！］Jda2-X。dx=(.)

xy/x)-a

8br

A.36萬B.——C.濘D.25乃

22

6.“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢

達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)完全數(shù)”分別為496,8128,

33550336,現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28不在同一組的概率為（）

1234

A.—B.-C.一D.-

5555

7.已知i是虛數(shù)單位,若z=l+ai,zz=2,則實(shí)數(shù)。二（)

A.-0或五B.-1或1C.1D.V2

8.甲在微信群中發(fā)了一個(gè)6元“拼手氣”紅包，被乙、丙、丁三人搶完，若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得

“最佳手氣”（即乙領(lǐng)到的錢數(shù)多于其他任何人）的概率是（）

1323

A.-B.—C.—D.一

31054

9.集合A={-2,-1,1}乃={4,6,8},M^{x\x^a+b,b^B,x^B}，則集合M的真子集的個(gè)數(shù)是

A.1個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.7個(gè)

10.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

①已知函數(shù)/Xx）是一次函數(shù)，若數(shù)列{為}通項(xiàng)公式為?！?/（〃），則該數(shù)列是等差數(shù)列；

②若直線/上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面々的距離相等，貝！J///1；

③在AABC中，"cosA>cosB”是“3>A”的必要不充分條件；

④若a>0,b>0,2a+Z?=4,則aZ?的最大值為2.

A.1B.2C.3D.0

x

11.設(shè)尸=仃b=一d+1,xGR},Q={y\y=2fX^R）,貝（）

A.P鼠0B.QCP

C.CRPJ@D.Q=CRP

7TIT

12.已知函數(shù)/（%）=sin（2x—-）的圖象向左平移9（。>0）個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）=sin（2x+—）的圖象，則（P的最

44

小值為（）

兀3^7i5萬

A.—B.—C.—D.—

4828

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.一個(gè)袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，從中任意摸取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性相等，

則取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率是_.

7T

14.曲線V=xcosx在x=§處的切線的斜率為.

15.已知過點(diǎn)。的直線與函數(shù)y=3、的圖象交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)4在線段08上，過A作V軸的平行線交函數(shù)y=9,

的圖象于C點(diǎn)，當(dāng)8C〃X軸，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是

16.已知非零向量“8的夾角為?，S.\b\=l,\2a-b\=j3,則卜卜.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

8

x----

17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系x0y中，直線/的參數(shù)方程為2：'。為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正

〔y二—2+t

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為夕=2sin6.

(1)求直線/的普通方程與曲線。的直角坐標(biāo)方程；

7T

(2)若射線9=i(2>0)與/和C分別交于點(diǎn)A3,求|AB|.

18.(12分)如圖，在四棱錐尸—ABCD中，底面ABC。為直角梯形，AD//BC,ZADC=90，平面上40底面

ABCD,。為AO的中點(diǎn)，"是棱PC上的點(diǎn)且PM=3MC,PA=PD=2,BC=-AD=1,CD=2.

2

(1)求證：平面平面以PAD；

(2)求二面角M-BQ-C的大小.

19.(12分)已知函數(shù)/'(x)=(x—a)加x(awR),它的導(dǎo)函數(shù)為/''(x).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求尸(無)的零點(diǎn)；

(2)當(dāng)a=0時(shí)，證明：f(x)<ex+cosx-1.

20.(12分)如圖，在直棱柱ABCD—A4G。中，底面ABC。為菱形，AB=BD=2,BB1=2,瓦)與AC相

交于點(diǎn)E,4。與相交于點(diǎn)。.

DrG

(1)求證：AC，平面33］。。；

(2)求直線08與平面所成的角的正弦值.

21.(12分)已知橢圓C:9/+/=根2(相＞o),直線/不過原點(diǎn)。且不平行于坐標(biāo)軸，/與C有兩個(gè)交點(diǎn)a,B,線

段AB的中點(diǎn)為

(I)證明：直線的斜率與/的斜率的乘積為定值；

(II)若/過點(diǎn)(1,加)，延長線段。河與。交于點(diǎn)尸，四邊形Q4PB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)/的斜率，若

不能，說明理由.

22.(10分)已知三棱錐P—A3C中，ABC為等腰直角三角形，AB=AC=1,PB=PC=5設(shè)點(diǎn)E為K4中點(diǎn),

點(diǎn)。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)尸為P3上一點(diǎn)，且PF=2FB.

(1)證明：BD//平面CEF；

(2)若求直線CE與平面P3C所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

列舉出金、木、水、火、土任取兩個(gè)的所有結(jié)果共10種，其中2類元素相生的結(jié)果有5種，再根據(jù)古典概型概率公式

可得結(jié)果.

【詳解】

金、木、水、火、土任取兩類，共有：

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果，

其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果，

所以2類元素相生的概率為』=,，故選A.

102

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的

關(guān)鍵，基本事件的探求方法有（1）枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；⑵樹狀圖法：適合于較

為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫出：先（4,用），（4，昆）.…（4，凡），

再（4,4）,（4,&）.….（&,幻依次（區(qū),瓦）區(qū),不）....（4,紇）…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.

2、C

【解析】

2-1-1n

由題可知，曲線/（X）=◎—2與y=lnx有公共點(diǎn)，即方程ox—2=lnx有解，可得一—JC有解，令

可力=出竺，則仆1一”對*分類討論，得出x=!時(shí)，以龍）取得極大值也即為最大值,

xxe

進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】

解：由題可知，曲線/（%）=雙—2與y=lnx有公共點(diǎn)，即方程依—2=lnx有解,

即。=-------有解，令/z（x）=-------,貝！|/z（x）=----；——，

則當(dāng)0<x<!時(shí)，"（x）>0；當(dāng)X」時(shí)，〃（尤）<0,

故x=（時(shí)，從光）取得極大值/（￡|=e,也即為最大值，

當(dāng)X趨近于。時(shí)，趨近于-8,所以aKe滿足條件.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查抽象概括、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力,

屬于難題.

3、A

【解析】

a=cosa

設(shè)｛nasinO+bcos。=sin0cosa+cos0sina=sin(6+cr)<1成立；反之，a=Z?=0滿足

b=sina

2

asin0+bcos0<lf+b^1,故選A.

4、D

【解析】

通過復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡求解復(fù)數(shù)為：〃+次?的形式，即可得到復(fù)數(shù)的虛部.

【詳解】

嚴(yán)。2+311+3/(1+3/)(1-/)1+21—3『.

由題可知2===\,=2+1,

1+i1+i(l+z)(l-01-r

所以z的虛部是1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

3x+」p展開式的通項(xiàng)為

x7x

&=。；(3工廠［；［=3n-rCy^,r=0,l,.,n,因?yàn)檎归_式中含有常數(shù)項(xiàng)52

，所以〃——r=0,即r=一〃為整

25

數(shù)，故n的最小值為1.

所以f必公=J&2—必公=交工.故選C

a52

點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略

⑴求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出廠值即可.

⑵已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第廠+1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出廠值，最后求出

其參數(shù).

6、C

【解析】

先求出五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)的基本事件總數(shù)為2=10,再求出6和28恰好在同一組

包含的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.

【詳解】

解：根據(jù)題意，將五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，

則基本事件總數(shù)為C；=10,

則6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)=4,

10-43

.?.6和28不在同一組的概率P=-------=

105

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的概率的求法，涉及實(shí)際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.

7、B

【解析】

由題意得，=+—切)=1+/，然后求解即可

【詳解】

?z=1+cii9??zz=(l+ai)(1—ai)—14-ci~.又?zz=2，??1+a~=2,??ci-il?

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題

8、B

【解析】

將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據(jù)古典概型的方法求解即可.

【詳解】

設(shè)乙，丙，丁分別領(lǐng)到x元,y元,z元，記為(羽又z)，則基本事件有

(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10個(gè)淇中符合乙獲得“最佳手

3

氣”的有3個(gè)，故所求概率為歷，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法，屬于基礎(chǔ)題型.

9、B

【解析】

由題意，結(jié)合集合求得集合"，得到集合"中元素的個(gè)數(shù)，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，集合A={-2,—1,1}乃={4,6,8},xeA,

則A/={x|x=a+b,xeA?G5,xe3}={4,6},

所以集合M的真子集的個(gè)數(shù)為2?-1=3個(gè)，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解，其中作出集合的運(yùn)算，得到集合〃，再由真子集個(gè)數(shù)

的公式2"-1作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

10、B

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義，線面關(guān)系，余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可；

【詳解】

解：①已知函數(shù)是一次函數(shù)，若數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式為4=/5),

可得%+1-4=左伏為一次項(xiàng)系數(shù))，則該數(shù)列是等差數(shù)列，故①正確；

②若直線/上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到平面￡的距離相等，貝！1/與a可以相交或平行，故②錯(cuò)誤；

,,tt,5

③在A/WC中，B,Ae(O,7r),而余弦函數(shù)在區(qū)間(0,乃)上單調(diào)遞減，故?cosA>cosJBWJB>A,由“3>4”

可得“cosA>cos3",故"cosA>cos8"是"3>A”的充要條件，故③錯(cuò)誤；

④若a>08>0,2a+匕=4,則4=2。+。2200,所以當(dāng)且僅當(dāng)2a=匕=2時(shí)取等號，故④正確；

綜上可得正確的有①④共2個(gè)；

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的真假判斷，主要是正弦定理的運(yùn)用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì)，考查運(yùn)

算能力和推理能力，屬于中檔題.

11、C

【解析】

解：因?yàn)镻={y|y=-x2+l,xeR}={y|y<1},Q={y|y=2x,xWR}={y|y>0},因此選C

12>A

【解析】

首先求得平移后的函數(shù)g(x)=sin+2。一,再根據(jù)sin+2。一?]=sin[2x+?]求°的最小值.

【詳解】

根據(jù)題意，/Xx)的圖象向左平移。個(gè)單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)

g(x)=sin2(%+0)—?=sin(2x+2o—?)=sin(2%+?),

所以2夕——JT=2k7r+7-T,keZ,所以夕=Qr+T々T，左eZ.又°>0,所以。的最小值為士TT,.

4444

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的圖象變換，誘導(dǎo)公式，意在考查平移變換，屬于基礎(chǔ)題型.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.A

10

【解析】

由題，得滿足題目要求的情況有，①有一個(gè)數(shù)字4,另外兩個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選和②有兩個(gè)數(shù)字4,另外一個(gè)數(shù)字

從1,2,3里面選，由此即可得到本題答案.

【詳解】

滿足題目要求的情況可以分成2大類：①有一個(gè)數(shù)字4,另外兩個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選，一共有種情況；②有

兩個(gè)數(shù)字4,另外一個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選，一共有種情況，又從中任意摸取3個(gè)小球，有G%種情況，所以

C；C；+C；以3

取出的個(gè)小球中數(shù)字最大的為的概率P=

34io

故答案為：A3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型與組合的綜合問題，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

1.16兀

14、-----——

26

【解析】

7T

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義令%=］，即可求出切線斜率.

【詳解】

y=f（＜x）=xcosx9

/./'(x)=cosx-xsinx,

即曲線丁=工85%在％=工處的切線的斜率上=L—巴

326

故答案為：

26

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

15、log32

【解析】

通過設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，通過軸，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，于是再利用左可得答案?

【詳解】

根據(jù)題意，可設(shè)點(diǎn)A（a,3°）,則C（a,9"）,由于8C〃x軸，故兒=%=9",代入＞=3工，

可得修=2。，即3（2a,9"），由于A在線段08上，故4.A=《B，即芝=,，解得

a=log32.

16、1

【解析】

由已知條件得出—41。|?g|?cos＜凡〃〉+戶=3,可得21al?—|。|—1=0,解之可得答案.

【詳解】

向量a,匕的夾角為且|2a-切=百，|6|=1,可得:4。2_4|小叫?cos<a,b>+b2=3,

可得2|a『—|a|—1=0,解得|a|=l,

故答案為:1.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求向量的模，關(guān)鍵在于將所求的向量的模平方，利用向量的數(shù)量積化簡求解即可，屬

于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)Z：x+y-4=0(xw0)；C:/+,2—2y=0.⑵\AB\=y/2

【解析】

Q

(1)由％=白可得"0,

2+t

.8

x=------

由2：’,消去參數(shù)乙可得直線/的普通方程為無+y-4=0(xm0).

At

y=------

I2+t

由夕=2sin?？傻孟?=2夕sin。，將y=/?sine,夕之=/十,2代入上式，可得f十丁一？〉二。，

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為V+y2_2y=0.

(2)由(1)得，/的普通方程為x+y-4=0(尤*0),

7T

將其化為極坐標(biāo)方程可得"cos6+/?sin8-4=0(。*萬)，

當(dāng)6夕>0)時(shí)，幺=2日為=應(yīng)，

所以|AB|=|〃-41=12叵-母\=無.

18、⑴證明見解析；(2)30。.

【解析】

(1)推導(dǎo)出CD/ABQ,QBLAD,從而平面PAD,由此證明平面平面以PAD；

(2)以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求出二面角M-BQ-C的大小.

【詳解】

解：(DAD/ABC,BC=^AD,Q為AD的中點(diǎn)，

..四邊形3CDQ為平行四邊形，,CQ/ABQ.

ZADC=90°,^AQB=90°,即QBLAD.

又平面八4。，平面ABC。，且平面B4￡＞平面ABCD=AD,

??.BQ，平面PAD.

BQu平面PQ3,

平面PQB_L平面PAD.

（2）-.PA=PD,Q為AD的中點(diǎn)，

PQ1AD.

平面A4D_L平面ABCD,且平面尸AD1平面ABCD=AD,

P。，平面ABC。.

如圖，以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則平面BQC的一個(gè)法向量為n=（0,0,1）,

2（0,0,0）,P（0,0,A/3）,B（0,2,0）,C（-l,2,0）,

設(shè)Af（x,y,z）,則PM=k，y,z—G）,MC=（-l-x,2-y,-z）,

PM=3MC，

x=3（—1—%）

；.<j=3（2-y）,

z-6=-3z

-3

x=——

4

3

…=5'

A/3

z二---

I4

"_33叵

在平面中，=（0,2,0）,QM=KF

設(shè)平面MBQ的法向量為m={x,y,z）,

2y=0

m-QB=0

則J，即<336c，

m-QM=0——x+—yH-----z=0

I42-4

平面MQB的一個(gè)法向量為m=（l,o,73）,

-cos(m,n

22

由圖知二面角為銳角，所以所求二面角大小為30。.

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，考查了空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題.

19、（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/'（x）,判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算/'。）=加1+1—1=0即為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn);

（2）當(dāng)。=0時(shí)，分類討論x的范圍，可令新函數(shù)/2（%）=6'+。。眈—*玩—1,計(jì)算新函數(shù)的最值可證明

【詳解】

（1）〃尤）的定義域?yàn)椋?，+8）

當(dāng)a-1時(shí),—1)Inxtf'=Ifix+1—,

易知/(x)=/nx+l-l為(0,+s)上的增函數(shù)，

又/'⑴=加1+1—1=0,

所以x=l是/（尤）的唯一零點(diǎn);

(2)證明：當(dāng)a=0時(shí)，f{x}=xlnx,

①若OVx<1,貝!Ie*+cosx-l>0,xlnx<0

所以/（X）V，+cosx-1成立,

②若尤>1,設(shè)/i(x)=e*,貝!|〃(x)=e*,

令則加(%)=e*------cosx,

因?yàn)橛?gt;1,所以加(x)>e—1—IX),

從而加(九)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以加(％)>m(l)=e—5Z?l-l>0,

即加(力=h1x)>0,M龍)在(1,+8)上單調(diào)遞增；

所以/z(x)>Ml)=e+cosl—IX),即xlnx<ex+cosx-1)

故/(x)<e*+cosx-\.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性，零點(diǎn)的求法.注意分類討論和構(gòu)造新函數(shù)求函數(shù)的最值的應(yīng)用.

20、(1)證明見解析(2)叵

7

【解析】

(1)要證明AC,平面5與2。，只需證明ACL3。，ACLD2即可：

(2)取耳。中點(diǎn)歹，連所，以E為原點(diǎn)，EA,EB,跖分別為蒼Xz軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出。臺與

H.OB

平面OBR的法向量〃,再利用cos<n,OB>=------計(jì)算即可.

|n\x\OB\

【詳解】

(1)???底面ABC。為菱形，

:.AC±BD

,/直棱柱ABCD-二DD[±平面ABCD.

；ACu平面ABCD.

AC1DDl

ACLBD,AC上DD[,BDcDDi=D.

」.AC，平面6用2。；

(2)如圖，取用A中點(diǎn)口，連EF,以E為原點(diǎn)，EA,EB,跖分別為％%z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:

AE=6,BE=\,

點(diǎn)3(0/,0),Bi(0,1,2),2(0,-1,2),A(后0,0)。S2,J

設(shè)平面。耳。的法向量為n=(x,y,z),

*1=(020)3=("I

J

D[B],n=2y=0

有《J33，令x=2,y=0,z=g

OB{-n=--—x+—y+z=0

得72=(2,0,6)

(八3、

又OB=-^-,-,-1,n-OB=-2y/3,\n\=j7.\OB\=2,

I22J

設(shè)直線OB與平面OBR所成的角為。,

所以sine=1cos<n,OB>|=|二2|=5

2x^/77

故直線OB與平面。與2所成的角的正弦值為包

7

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的證明以及向量法求線面角的正弦值，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，本題解題關(guān)鍵是正確寫出點(diǎn)的坐

標(biāo).

21、(I)詳見解析；(II)能，4-?或4+6.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)直線/:y=Ax+b（左wO/wO）,直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求根與系數(shù)的關(guān)系，并

表示直線的斜率，再表示三,六；

9

（2）第一步由（1）得。河的方程為丁=-7%,設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為8,直線與橢圓方程聯(lián)立求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，第

k

二步再整理點(diǎn)，的坐標(biāo)，如果能構(gòu)成平行四邊形，只需；=二丁'，如果有.值，并且滿足左>0,左。3的條件就說

明存在，否則不存在.

試題解析：解：⑴設(shè)直線/：y=丘+匕（左wO,bwO）,B（x2,y2）,

y=kx+bcccc

2222

???由<(^+9)x+2kbx+b-m=0

9x9+y9=m99

x+x?kb9b

均二丁=一心=kxb

，yMM+=-j^-

直線OM的斜率eM=%=一2,即后”?左=一9.

XMR

即直線OM的斜率與I的斜率的乘積為定值-9.

（2）四邊形Q4PB能為平行四邊形.

?.?直線/過點(diǎn)（§,加），.../不過原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是左>0,k手3

9

由（1）得。0的方程為丫=—-x.設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為琴.

k

9，一，

.??由｛>=一尸得小上J即q=靠=

9x2+y2=m2,^*+813權(quán)+9

將點(diǎn)（三,機(jī)）的坐標(biāo)代入直線/的方程得人=7也，因此4mk(k-3)

3(r+9)

四邊形Q4PB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段A5與線段。尸互相平分，即馬=2%M

±kmmk（k-3）廠

:解得…5r,—

?:%>0,k#3,i=l,2,

.??當(dāng)/的斜率為4-5或4+S'時(shí)，四邊形Q4PB為平行四邊形.

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用

【一題多解】第一問涉及中點(diǎn)弦，當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)，點(diǎn)」是弦的中點(diǎn)，（1）知道中點(diǎn)坐標(biāo)，求直線的斜率,

或知道直線斜率求中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，或知道求直線斜率與直線OM斜率的關(guān)系時(shí)，也可以選擇點(diǎn)差法，設(shè)

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