專題07 分式方程及其應(yīng)用【八大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題07分式方程及其應(yīng)用【八大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由分式方程的解求參數(shù)】 2【題型2解分式方程】 2【題型3由分式方程無(wú)解或存在增根求參數(shù)】 3【題型4由分式方程的取值范圍求參數(shù)】 3【題型5由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程】 4【題型6分式方程的應(yīng)用與函數(shù)的綜合運(yùn)用】 4【題型7中考最熱考法之以真實(shí)問(wèn)題情境為背景考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用】 6【題型8中考最熱考法之以數(shù)學(xué)文化為背景考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用】 8【知識(shí)點(diǎn)分式方程及其應(yīng)用】1.定義分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2.分式方程的解法①將分式方程化成整式方程（去分母，即等號(hào)兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母）；②解整式方程（去括號(hào)；移項(xiàng)；合并同類項(xiàng)；系數(shù)化為1或其它解法）；③檢驗(yàn)：將所得的根代入最簡(jiǎn)公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。3.分式方程與實(shí)際問(wèn)題解有關(guān)分式方程的實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個(gè)量之間的關(guān)系。第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個(gè)量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。第3步：列方程。根據(jù)題中各個(gè)量的關(guān)系列出方程。第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應(yīng)的解法。第5步：檢驗(yàn)。檢驗(yàn)所求得的根是否滿足題意。第6步：答?！绢}型1由分式方程的解求參數(shù)】【例1】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的方程2kx+3x-1-7x2-x=4kx的方程恰好有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求k的值及方程的解．【變式1-1】（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）已知x=1是方程m2-x-1x-2=3A．-2 B．2 C．-4 D．4【變式1-2】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）下列分式方程中，解為x=A．4x-1=1x B．x+1x2【變式1-3】（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)校考一模）若關(guān)于x的不等式組3x+54≤x+32x+12>x+aA．10 B．12 C．16 D．14【題型2解分式方程】【例2】（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)，寫(xiě)出a的值為．b的值為．x結(jié)果代數(shù)式2n3x+17b2x+1a1【變式2-1】（2023·四川·中考真題）關(guān)于x的分式方程2x-1-1【變式2-2】（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）解分式方程：xx+1【變式2-3】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小丁和小迪分別解方程xx-2小?。航猓喝シ帜?，得x-(x-3)=x-2去括號(hào)，得x-x+3=x-2合并同類項(xiàng)，得3=x-2解得x=5∴原方程的解是x=5小迪：解：去分母，得x+(x-3)=1去括號(hào)得x+x-3=1合并同類項(xiàng)得2x-3=1解得x=2經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是方程的增根，原方程無(wú)解你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫(xiě)出你的解答過(guò)程．【題型3由分式方程無(wú)解或存在增根求參數(shù)】【例3】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）若分式方程xx-1-mA．1 B．-1 C．2 D．-2【變式3-1】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考一模）小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問(wèn)題，有一個(gè)數(shù)“？”看不清楚：?x-2（1）她把這個(gè)數(shù)“？”猜成5，請(qǐng)你幫小華解這個(gè)分式方程；（2）小華的媽媽說(shuō)：“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：方程的增根是x=2，原分式方程無(wú)解”，請(qǐng)你求出原分式方程中“？”代表的數(shù)是多少？【變式3-2】（2023·黑龍江雞西·?？级＃┤絷P(guān)于x的分式方程1x-2+ax-22-x=1A．a(chǎn)≠32 B．a(chǎn)≠-1 C．a(chǎn)=-1 D．a(chǎn)≠【變式3-3】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模）若關(guān)于y的分式方程2y+ay-4+2a4-y=5有解，且關(guān)于x的一元一次不等式組x+33≤【題型4由分式方程的取值范圍求參數(shù)】【例4】（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）若分式方程ax+2=1-3x+2的解為負(fù)數(shù)，則A．a(chǎn)<-1且a≠-2 B．a(chǎn)<0且C．a(chǎn)<-2且a≠-3 D．a(chǎn)<-1且a≠-3【變式4-1】（2023·黑龍江雞西·?？寄M預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的分式方程x+mx-2+2m2-x=3A．m<6且m≠1 B．m<3且m≠2 C．m<6 D．m<6且m≠2【變式4-2】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的分式方程mx+6=1，對(duì)于方程的解，甲、乙兩人有以下說(shuō)法：甲：當(dāng)m<4時(shí)，方程的解是負(fù)數(shù)；乙：當(dāng)m>6時(shí)，方程的解是正數(shù)．下列判斷正確的是（A．只有甲對(duì) B．只有乙對(duì) C．甲、乙都對(duì) D．甲、乙都錯(cuò)【變式4-3】（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式組x+23>x2+14x+a<x-1的解集為x<-2，且關(guān)于y的分式方程【題型5由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程】【例5】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）用計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯(cuò)，某研究室安排兩名程序操作員各輸入一遍，比較兩人的輸入是否一致，本次操作需輸入2640個(gè)數(shù)據(jù)，已知甲的輸入速度是乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時(shí)輸完．這兩名操作員每分鐘各能輸入多少個(gè)數(shù)據(jù)？設(shè)乙每分鐘能輸入x個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)題意得方程正確的是（）A．26402x=2640C．26402x=2640【變式5-1】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）隨著城際交通的快速發(fā)展，某次動(dòng)車平均提速60kmh，動(dòng)車提速后行駛480km與提速前行駛360km所用的時(shí)間相同．設(shè)動(dòng)車提速后的平均速度為xkmh，則下列方程正確的是（A．360x=480x+60 B．360x-60=【變式5-2】（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）為了落實(shí)“雙減”政策，進(jìn)一步豐富文體活動(dòng)，學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批籃球和足球，已知每個(gè)籃球的價(jià)格比每個(gè)足球的價(jià)格多20元，用1500元購(gòu)進(jìn)籃球的數(shù)量比用800元購(gòu)進(jìn)足球的數(shù)量多5個(gè)，如果設(shè)每個(gè)足球的價(jià)格為x元，那么可列方程為（

）A．1500x+20-800x=5 B．1500x-20【變式5-3】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）某運(yùn)輸公司，運(yùn)送一批貨物，甲車每天運(yùn)送貨物總量的14．在甲車運(yùn)送1天貨物后，公司增派乙車運(yùn)送貨物，兩車又共同運(yùn)送貨物12天，運(yùn)完全部貨物．求乙車單獨(dú)運(yùn)送這批貨物需多少天？設(shè)乙車單獨(dú)運(yùn)送這批貨物需x天，由題意列方程，正確的是（A．14+1C．141+1【題型6分式方程的應(yīng)用與函數(shù)的綜合運(yùn)用】【例6】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》記載：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問(wèn)幾何步及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程s（單位：步）關(guān)于善行者的行走時(shí)間t的函數(shù)圖象，則兩圖象交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是．

【變式6-1】（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）按要求解答(1)某市計(jì)劃修建一條隧道，已知隧道全長(zhǎng)2400米，一工程隊(duì)在修了1400米后，加快了工作進(jìn)度，每天比原計(jì)劃多修5米，結(jié)果提前10天完成，求原計(jì)劃每天修多長(zhǎng)？(2)隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線．已知兩個(gè)車道寬度OC=OD=4米，人行道地基AC，BD寬均為2米，拱高OM=10.8米．建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．①此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_______．（函數(shù)表達(dá)式用一般式表示）②按規(guī)定，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少0.5米，則此隧道限高_(dá)_______米．③已知人行道臺(tái)階CE，DF高均為0.3米，按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，人行道寬度不得低于+【變式6-2】（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場(chǎng)上豆沙粽禮盒的進(jìn)價(jià)比肉粽禮盒的進(jìn)價(jià)每盒便宜10元，某商家用2500元購(gòu)進(jìn)的肉粽和用2000元購(gòu)進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同．

(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的進(jìn)價(jià)；(2)商家計(jì)劃只購(gòu)買豆沙粽禮盒銷售，經(jīng)調(diào)查了解到有A，B兩個(gè)廠家可供選擇，兩個(gè)廠家針對(duì)價(jià)格相同的豆沙粽禮盒給出了不同的優(yōu)惠方案：A廠家：一律打8折出售．B廠家：若一次性購(gòu)買禮盒數(shù)量超過(guò)25盒，超過(guò)的部分打7折．該商家計(jì)劃購(gòu)買豆沙粽禮盒x盒，設(shè)去A廠家購(gòu)買應(yīng)付y1元，去B廠家購(gòu)買應(yīng)付y①分別求出y1，y2與②若該商家只在一個(gè)廠家購(gòu)買，怎樣買劃算？【變式6-3】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）某班家委會(huì)討論決定購(gòu)買A，B兩種型號(hào)的口罩供班級(jí)學(xué)生使用，已知A型口罩每包價(jià)格a元，B型口罩每包價(jià)格比A型少4元，180元錢購(gòu)買的A型口罩比B型口罩少12包．

(1)求a的值．(2)經(jīng)與商家協(xié)商，購(gòu)買A型口罩價(jià)格可以優(yōu)惠，其中每包價(jià)格y（元）和購(gòu)買數(shù)量x（包）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，B型口罩一律按原價(jià)銷售．①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；②若家委會(huì)計(jì)劃購(gòu)買A型、B型共計(jì)100包，其中A型不少于30包，且不超過(guò)60包．問(wèn)購(gòu)買A型口罩多少包時(shí)，購(gòu)買口罩的總金額最少，最少為多少元？【題型7中考最熱考法之以真實(shí)問(wèn)題情境為背景考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用】【例7】（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考一模）2023春節(jié)檔電影《滿江紅》熱映，進(jìn)一步激發(fā)觀眾愛(ài)國(guó)之情．帝都南陽(yáng)與名將岳飛有著一段傳頌至今的歷史——公元1138年，岳飛統(tǒng)軍過(guò)南陽(yáng)到武侯祠敬拜諸葛亮，雨夜含淚手書(shū)前后《出師表》，為南陽(yáng)留下了千古絕唱“三絕碑”．某超市采購(gòu)了兩批同樣的《出師表》紀(jì)念品掛件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購(gòu)進(jìn)25個(gè)．(1)求第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)；(2)兩批掛件售完后，該超市以第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)又采購(gòu)一批同樣的掛件，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)為每個(gè)60元時(shí)，每周能賣出40個(gè)，若每降價(jià)1元，每周多賣10個(gè)，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個(gè)，求每個(gè)掛件售價(jià)定為多少元時(shí)，每周可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【變式7-1】（2023·山西呂梁·統(tǒng)考一模）隨著新能源汽車的普及，我國(guó)新能源汽車的保有量已經(jīng)處于世界第一，解決汽車快速充電技術(shù)已經(jīng)成為新能源汽車發(fā)展的主要研究方向，從2023年開(kāi)始，4C甚至6C的快速充電方案已經(jīng)開(kāi)始逐步落地．據(jù)測(cè)試數(shù)據(jù)顯示，使用6C充電技術(shù)，每分鐘充電量的續(xù)航里程（汽車所能行駛的路程）比采用4C技術(shù)提高了50%，若采用6C充電技術(shù)，續(xù)航里程480公里的充電時(shí)間，比采用4C充電技術(shù)續(xù)航里程400公里的充電時(shí)間節(jié)省2分鐘，求采用6C充電技術(shù)，每分鐘充電量的續(xù)航里程為多少公里？【變式7-2】（2023·云南昭通·統(tǒng)考一模）瑞兔迎春，福滿萬(wàn)家吉祥物“兔圓圓”拉開(kāi)2023央視總臺(tái)兔年春晚的帷幕．豎直的耳朵、微昂的腦袋、挺起的胸脯等設(shè)計(jì)巧思，彰顯出奮進(jìn)向上的精氣神，某商店用1500元購(gòu)進(jìn)了一批“兔圓圓”玩具，過(guò)了一段時(shí)間，又用3500元購(gòu)進(jìn)一批“兔圓圓”玩具，所購(gòu)數(shù)量是第一次購(gòu)進(jìn)數(shù)量的2倍，但每個(gè)“兔圓圓”玩具的價(jià)格比第一次購(gòu)進(jìn)的價(jià)格貴了5元．(1)商店第一次購(gòu)進(jìn)“兔圓圓”玩具多少個(gè)？(2)若該商店兩次購(gòu)進(jìn)的“兔圓圓”玩具按相同的標(biāo)價(jià)銷售，全部售完后利潤(rùn)不低于1150元，則每個(gè)“兔圓圓”玩具的標(biāo)價(jià)至少是多少元？【變式7-3】（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考一模）京東發(fā)布的《2023春節(jié)假期消費(fèi)趨勢(shì)》顯示：消費(fèi)者春節(jié)期間購(gòu)物品類更加多元，也在節(jié)日之外更“日?；?，其中預(yù)制菜成交額同比增長(zhǎng)超6倍．春節(jié)期間，某超