6 微專題：平面向量共線的坐標(biāo)表示 講義-2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版（2020）必修第二冊

【學(xué)生版】微專題：平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見題型及解題策略：1、利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個已知向量共線的向量時，可設(shè)所求向量為，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量；2、利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若，則”解題比較方便；主要命題角度1、利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)；2、利用向量共線求參數(shù)；【典例】例1、已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？【提示】；【解析】【說明】本題考查了向量平行的充要條件：若向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則x1y2－x2y1＝0?∥；例2、已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0，2)，B(4，6)，eq\o(OM,\s\up6(→))＝t1eq\o(OA,\s\up6(→))＋t2eq\o(AB,\s\up6(→)).（1）求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；（2）求證：當(dāng)t1＝1時，不論t2為何實數(shù)，A，B，M三點(diǎn)共線；【提示】；【解析】【說明】本題考查了向量的坐標(biāo)表示與判斷向量(或三點(diǎn))共線的方法與步驟；例3、（1）已知向量＝(1，2)，＝(2，3)，若向量λ＋與向量＝(－4，－7)共線，則λ＝________．（2）已知向量＝(1，－2)，＝(3，4)．若(3－)∥(＋k)，求實數(shù)k的值；（3）已知向量＝(1，－2)，＝(3，4)．判斷向量(3－)與(＋k)是反向還是同向？例4、已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m應(yīng)滿足的條件是________．【說明】本題考查了向量共線的綜合應(yīng)用；證明向量共線(或平行)的主要方法和已知兩向量共線求參數(shù)值的依據(jù)（1）對于向量，，若存在實數(shù)λ，使得＝λ，則向量，共線；（2）若向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則x1y2－x2y1＝0?∥；（3）對于向量，，則|·|＝||·||?與共線；若已知向量共線求參數(shù)的值，則可由已知條件與上述依據(jù)的對應(yīng)性，通過解方程求解；【歸納】平面向量共線的坐標(biāo)表示是高考的?？純?nèi)容，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，常見題型及求解策略如下：1、利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個已知向量共線的向量時，可設(shè)所求向量為()，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．2、利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若，，則的充要條件是”解題比較方便．3、三點(diǎn)共線問題．A，B，C三點(diǎn)共線等價于與共線．4、利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求解；【即時練習(xí)】1、已知向量＝(2，－1)，＝(x－1，2)，若∥，則實數(shù)x的值為()A．2B．－2C．3 D．－32、與＝(12，5)平行的單位向量為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，－\f(5,13)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，－\f(5,13)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，－\f(5,13)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(12,13)，±\f(5,13)))3、已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,2k)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1－k，－1)，且相異三點(diǎn)A，B，C共線，則實數(shù)k＝________.4、若＝(eq\r(3)，cosα)，＝(3，sinα)，且∥，則銳角α＝______.考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用；題點(diǎn)已知向量共線求參數(shù)5、已知A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，C(9,1)，求證：A，B，C三點(diǎn)共線．6、（1）已知＝(1，2)，＝(－3，2)，當(dāng)k為何值時，k＋與－3平行？（2）已知＝(1，2)，＝(－3，2)，判斷當(dāng)k＋與－3平行時，它們是同向還是反向？（3）已知＝(1，2)，＝(－3，2)，當(dāng)k為何值時，＋k與3－平行？”，又如何求k的值？【教師版】微專題：平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見題型及解題策略：1、利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個已知向量共線的向量時，可設(shè)所求向量為，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量；2、利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若，則”解題比較方便；主要命題角度1、利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)；2、利用向量共線求參數(shù)；【典例】例1、已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？【提示】注意：向量平行的坐標(biāo)表示；【解析】因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(2－1，7－5)＝(1，2)，又因為2×2－4×1＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→)).又因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2，6)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，4)，所以2×4－2×6≠0，所以A，B，C三點(diǎn)不共線，所以AB與CD不重合，所以直線AB∥直線CD．【說明】本題考查了向量平行的充要條件：若向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則x1y2－x2y1＝0?∥；例2、已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0，2)，B(4，6)，eq\o(OM,\s\up6(→))＝t1eq\o(OA,\s\up6(→))＋t2eq\o(AB,\s\up6(→)).（1）求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；（2）求證：當(dāng)t1＝1時，不論t2為何實數(shù)，A，B，M三點(diǎn)共線；【提示】注意：用好向量的坐標(biāo)表示與向量平行的坐標(biāo)表示；【解析】（1）由eq\o(OM,\s\up6(→))＝t1eq\o(OA,\s\up6(→))＋t2eq\o(AB,\s\up6(→))＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)；點(diǎn)M在第二或第三象限?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t2<0，,2t1＋4t2≠0.))解得t2<0且t1＋2t2≠0.故所求的充要條件為t2<0且t1＋2t2≠0；（2）[證明]當(dāng)t1＝1時，由(1)知，eq\o(OM,\s\up6(→))＝(4t2,4t2＋2)，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4,4)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以A，B，M三點(diǎn)共線；【說明】本題考查了向量的坐標(biāo)表示與判斷向量(或三點(diǎn))共線的方法與步驟；例3、（1）已知向量＝(1，2)，＝(2，3)，若向量λ＋與向量＝(－4，－7)共線，則λ＝________．（2）已知向量＝(1，－2)，＝(3，4)．若(3－)∥(＋k)，求實數(shù)k的值；（3）已知向量＝(1，－2)，＝(3，4)．判斷向量(3－)與(＋k)是反向還是同向？【提示】注意：利用向量平行的充要條件進(jìn)行等價；【解析】（1）因為＝(1，2)，＝(2，3)，所以λ＋＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)；因為向量λ＋與向量＝(－4，－7)共線，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2；故填2.（2）由3－＝(0，－10)，＋k＝(1＋3k，－2＋4k)，因為(3－)∥(＋k)，所以0－(－10－30k)＝0，所以k＝－eq\f(1,3).（3）由向量(3－)與(＋k)共線，得k＝－eq\f(1,3)，所以3－＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)，＋k＝－eq\f(1,3)＝(1，－2)－eq\f(1,3)(3，4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(10,3)))＝eq\f(1,3)(0，－10)，所以向量(3－)與(＋k)同向；【說明】本題考查了根據(jù)向量共線求參數(shù)值；基本步驟：根據(jù)題意求得相關(guān)向量的坐標(biāo)，再根據(jù)向量平行的充要條件列出等式，然后，解得參數(shù)；例4、已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m應(yīng)滿足的條件是________．【提示】注意：等價轉(zhuǎn)化；【答案】m≠1【解析】若點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，則只能共線；因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1，所以若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則m≠1；【說明】本題考查了向量共線的綜合應(yīng)用；證明向量共線(或平行)的主要方法和已知兩向量共線求參數(shù)值的依據(jù)（1）對于向量，，若存在實數(shù)λ，使得＝λ，則向量，共線；（2）若向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則x1y2－x2y1＝0?∥；（3）對于向量，，則|·|＝||·||?與共線；若已知向量共線求參數(shù)的值，則可由已知條件與上述依據(jù)的對應(yīng)性，通過解方程求解；【歸納】平面向量共線的坐標(biāo)表示是高考的?？純?nèi)容，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，常見題型及求解策略如下：1、利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個已知向量共線的向量時，可設(shè)所求向量為()，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．2、利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若，，則的充要條件是”解題比較方便．3、三點(diǎn)共線問題．A，B，C三點(diǎn)共線等價于與共線．4、利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求解；【即時練習(xí)】1、已知向量＝(2，－1)，＝(x－1，2)，若∥，則實數(shù)x的值為()A．2B．－2C．3 D．－3【答案】D；【解析】因為∥，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.2、與＝(12，5)平行的單位向量為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，－\f(5,13)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，－\f(5,13)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)，－\f(5,13)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(12,13)，±\f(5,13)))【答案】C；【解析】設(shè)與平行的單位向量為＝(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,12y－5x＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(12,13)，,y＝\f(5,13)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(12,13)，,y＝－\f(5,13).))3、已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,2k)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1－k，－1)，且相異三點(diǎn)A，B，C共線，則實數(shù)k＝________.【答案】－eq\f(1,4)；【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1－k,2k－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1－2k，－3)，由題意可知eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－eq\f(1,4)(k＝1不合題意舍去).4、若＝(eq\r(3)，cosα)，＝(3，sinα)，且∥，則銳角α＝______.考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用；題點(diǎn)已知向量共線求參數(shù)【答案】eq\f(π,3)；【解析】∵＝(eq\r(3)，cosα)，＝(3，sinα)，∥，∴eq\r(3)sinα－3cosα＝0，即tanα＝eq\r(3)，又α為銳角，故α＝eq\f(π,3).5、已知A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，C(9,1)，求證：A，B，C三點(diǎn)共線．【提示】平面向量共線的坐標(biāo)表示；題點(diǎn)三點(diǎn)共線的判定與證明【證明】eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－1，\f(1,2)＋3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(7,2)))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(9－1,1＋3)＝(8,4)，∵7×4－eq\f(7,2)×8＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，且AB，eq\o(AC,\s\up6(→))有公共點(diǎn)A，∴A，B，C三點(diǎn)共線．【方法歸納】(1)三點(diǎn)共線問題的實質(zhì)是向量共線問題，兩個向量共線只需滿足方向相同或相反，兩個向量共線與兩個向量平行是一致的，利用向量平行證明三點(diǎn)共線需分兩步完成：①證明向量平行；②證