北師大版數(shù)學八年級下冊 等腰三角形 教案

第一章三角形的證明

1.1等腰三角形

教學目標

1.經(jīng)歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過程，逐步掌握綜合法證明的方法，發(fā)

展推理能力.

2.進一步了解作為證明基礎的幾條基本事實的內(nèi)容.

3.能證明等腰三角形的性質(zhì)定理，

4.經(jīng)歷探索等腰三角形判定定理的過程，證明并掌握等腰三角形的判定定理.

5.探索并證明等邊三角形的性質(zhì)定理及判定定理.

6.探索并證明定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的

直角邊等于斜邊的一半.

7.通過實例體會反證法的含義.

本節(jié)的主要研究對象是等腰三角形和等邊三角形.教科書設計的流程大致是:

明確作為本章證明基礎的基本事實一證明等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)定理及

判定定理一應用定理解決問題.

等腰三角形是一種常見的幾何圖形.學生在七年級曾經(jīng)通過折紙等方法探索

并發(fā)現(xiàn)了等腰三角形的性質(zhì)，本節(jié)將對這些性質(zhì)進行證明，同時還將探索并證明

等腰三角形的判定定理.本節(jié)共4課時，前2課時主要研究等腰三角形的性質(zhì)，后2

課時主要研究等腰三角形的判定，第1課時引導學生從基本事實出發(fā)，用綜合法

證明等腰三角形的性質(zhì)定理，進一步發(fā)展推理能力.

本節(jié)從回憶八年級上冊“平行線的證明”一章給出的基本事實入手，一方面幫

助學生回憶舊知識，另一方面引出本章證明的主要依據(jù).

這8條基本事實如下：

1.兩點確定一條直線2兩點之間線段最短.

3.同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，

4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行（簡

述為：同位角相等，兩直線平行）.

5.過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.

6.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

7.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.

8.三邊分別相等的兩個三角形全等.

想一想

學生在七年級下冊已經(jīng)探索并認識了判定三角形全等的“角角邊”定理，這里

意在讓學生根據(jù)基本事實證明這一定理.這一定理的證明并不復雜，教學時應鼓

勵學生獨立完成.教師要提醒學生首先依據(jù)命題畫出幾何圖形，再結合幾何圖形

用數(shù)學符號語言寫出“已知"''求證"，最后寫出證明過程.

己知：如圖，在AABC和中，NA=N。，NB=/E,BC=EF.

求證：LABC^LADEF.

證明：在△ABC和△DEF中，

VZ>l+ZB+ZC=180o,ZD+ZE+ZF=180°,

/.ZC=180°-(ZA+ZB),

ZF=180°-(ZD+ZE).,c

AD

?.?/A=NO,NB=/E,/\/\

L"B,/\cCE

乂BC=EF,/B=/E,'

:AABgADEF(ASA).

七年級下冊給出的“全等三角形”的定義是“能夠完全重合的兩個三角形叫做

全等三角形”，“全等三角形的對應邊相等、對應角相等”則是由全等三角形的定

義推出來的，本章很多證明都會用到它.因此，這里特別提出這一結論，以便后續(xù)

證明使用.

議一議

學生在七年級下冊已通過折疊等活動獲得了等腰三角形的性質(zhì)，這里先讓學

生盡可能回憶出來，然后再思考哪些命題現(xiàn)在能夠證明.

教學時教師要注意引導學生根據(jù)條件正確、規(guī)范地寫出“已知”“求證”，有意

識地培養(yǎng)學生對文字語言、符號語言和圖形語言的轉換能力，關注證明過程及其

表達的合理性.

這里讓學生回憶以前的折紙過程，目的是引導學生發(fā)現(xiàn)證明的思路.學生一

般可以由折紙確定輔助線的位置，但對于作輔助線的規(guī)范敘述仍需教師幫助.

本章教科書中的證明過程沒有詳注理由，只注明了與本章研究內(nèi)容相關的基

本事實和本章出現(xiàn)的定理、推論.對此，教學時可根據(jù)學生的具體情況靈活處理.

教學中，應鼓勵學生尋求其他證明方法.實際上，除作底邊中線外，還可以通

過作頂角平分線的方法證明結論,此時證明的依據(jù)是基本事實SAS.這兩種證明方

法都是受折紙的啟發(fā)(軸對稱)，通過作輔助線將圖形分成兩部分，再證明這兩

部分全等.教師可以引導學生分析這兩種證明方法的共性，加深對等腰三角形性

質(zhì)的認識.

教學時，可能會有學生通過作底邊上的高線并利用勾股定理來證明這一定理.

對此，教師一方面要保護學生的學習積極性；另一方面也要引導學生認識到：我

們雖然在以前探索并認識了勾股定理，但尚未用基本事實證明過，所以從邏輯上

來說，勾股定理不能作為這里證明的依據(jù).

此外，不添加輔助線也能證明“等邊對等角”.如教科書圖1-1,在AABC和

△AC3中，

"：AB=AC,NA=NA,AC=AB,

：.^ABC^hACB(SAS).

：.ZB=ZC.

這一方法的技巧性較強，關鍵是把一個等腰三角形看成兩個三角形。任何一

個三角形都能與它本身重合，即一定有AC=AC,但只有等腰三角形將圖

形沿對稱軸翻轉，所得到的圖形與原圖形重合，即AB=AC,.對于這一種

方法教師可根據(jù)實際情況決定是否向?qū)W生介紹.

另外，應鼓勵學生將自己的證明方法及自己對這種方法的理解與其他同學進

行交流，從而使學生獲得思維能力的提升.

想一想

讓學生回顧前面的證明過程，思考線段AO具有的性質(zhì)和特征，從而得到結

論.

由輔助線的作法可知A。是底邊BC上的中線；由4ABD四"CD可知ZBAD=

4CAD,ZADB=ZADC,所以AO同時又是頂角的平分線和底邊上的高線.

這一結論通常簡述為“三線合一”，即如果某線段是一個等腰三角形的“三線”

(頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線)之一，那么它必定也是這個等

腰三角形的另“兩線”.

隨堂練習

1.(1)ZC=70°；(2)NA=36°.

2.(1)提示：依據(jù)基本事實SAS,證明△ABC@△AOC；

(2)90°.

習題1.1

1.已知，已知，公共邊，SSS,全等三角形的對應角相等.

2.提示：證明3C=ER得AABC咨ADEF.

3.NBAD=54。.提示：因為AB=AC,由“三線合一”可得平分NBAC.

4.ZABC=ZACB,ZABE=ZACE,NEBD=NECD,ZBAD=ZCAD,ZBED=

NCED,ZAEB=ZAEC,NADB=NADC.

理由略.

5.這兩個三角形全等本題應先畫出圖形，寫出“已知”“求證”，再證明.下面寫

法供參考.

已知：在AABC和△ABC中，AB=AC,A'B'=A'C',且NA=NA，，BC=B'C.

求證：AABC且△AB'C

證明思路：由A8=AC可以得到(180°-ZA),

2

同理可得N8'=L(180°-ZA'),因為NA=N4,所以NB=NB，,從而

2

△ABC絲△A8C

6.BD=CE.

提示：過點A作8c的垂線，垂足為F依據(jù)“三線合一”，可證BQCE同理可

\iEDF=EF.因itBF-DF=CF-EF.

第2課時接著研究等腰三角形中的相等線段，深化對等腰三角形軸對稱性的

認識，然后研究特殊的等腰三角形——等邊三角形的性質(zhì).

這里意在讓學生借助等腰三角形的軸對稱性探索并證明其中的相等線段，進

一步培養(yǎng)學生的幾何直觀與推理能力，提高有條理地思考與表達的水平.

教學時，可能有的學生會借助等腰三角形的軸對稱性得出比較一般的結論,

如對稱軸兩邊的所有“對應”線段都相等；或在△ABC中，AB=AC,。為AC上任意

一點，連接8。，在△A3C中總存在一條過點C的線段與8。相等.也可能有學生以

角平分線、中線、高線等特殊線段為對象進行思考，如將這些線段分為幾種情況

進行研究：①兩底角的平分線；②頂角的平分線與底角的平分線；③兩腰上的中

線；④一腰上的中線與底邊上的中線；⑤兩腰上的高線；⑥一腰上的高線與底邊

上的高線.教師首先應當鼓勵學生獨立思考、大膽猜想，然后組織學生進行交流，

在充分交流的基礎上，梳理出若干需要證明的命題，并讓學生分組進行證明.

例1

本例及其后所提的問題呈現(xiàn)了一些等腰三角形中的相等線段，要求學生進行

證明.

教學時可根據(jù)學生在課堂上實際提出的命題進行教學.在這一過程中，應讓

學生進一步體會：要說明一個結論成立，僅僅依靠觀察或度量是不夠的，證明是

必要的.

議一議

這里的兩個問題都是要求由特殊情況出發(fā)歸納出一般結論.教學時應有意識

地向?qū)W生滲透這種思想方法.當然，教學時也可根據(jù)學生在課堂上實際生成的問

題進行教學.

(1)如教科書圖1-5,在AABC中，如果AB=AC,ZABD=-ZABC,

n

ZACE=-ZACB,那么nBD=CE；或如教科書圖1-5,在△ABC中，如果AB=AC,

n

ZABD=ZACE,那么

(2)如教科書圖1-5,在AABC中，如果A8=AC,AD=-AC,AE=-AB,那

nn

么BD=CE；或〃如教科書圖1-5,在AABC中，如果AD=AE,那么

鼓勵學生盡可能用規(guī)范的數(shù)學語言表述得到的結論，并要求學生書寫證明過

程.

在完成上述教學活動后，可以引導學生進行一定的回顧與思考：為什么等腰

三角形有這樣的特殊性質(zhì)？一般的三角形有類似的性質(zhì)嗎？使學生進一步體會

軸對稱圖形的美妙.

想一想

等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性質(zhì)，此外它還

具有一些特殊性質(zhì).教學時，教師可以先讓學生說說等邊三角形作為一種等腰三

角形所具有的性質(zhì)，由此探索等邊三角形所具有的特殊性質(zhì)，并進行證明.

隨堂練習

1.60。.提示：應用“三線合一”定理.

2.120°.

習題1.2

1.36°.

提示：設NDBC=x。，則/ABC=NC=2x。；又因為BD=BC,所以

C=2JC。.在△8OC中，依據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出x.

2.提示：由AB=AC,可得NB=NC；因為AE=AF,所以BE=CF.又因為。為3C

中點，可以證明“DE四△CDF(SAS).還可以連接AO,由“三線合一”可得NEAO=

ZFAD；由AE=ARAD=AD,可以證明△AEO四△AF。(SAS).

3.提示：因為AABC是等邊三角形，所以AC=C3,ZBAC=ZACB,可以證明

△ADC^ACEB(SAS).

4.(1)提示：連接AC.由△ABC1四△AOC,得NB=ND,然后再證明△EBC之

△FDC.

(2)相等.只要AE='AB,AF=-AD,就可證明EC=FC,證明方法與(1)

nn

類似.

(3)如NBEC=NDFC,或NBCE=/DC陵

第3課時探索并證明等腰三角形的判定定理，借助實例了解反證法.

這里應引導學生養(yǎng)成"反過來''思考問題的意識，即思考一個命題的逆命題的

真假，因為這也是獲得數(shù)學結論的一條重要途徑.同時，這樣設置問題也為學生下

一節(jié)學習互逆命題做個鋪墊.

學生可能會由前面定理的證明獲得啟發(fā)，如作的中線，或作NA的平分線，

或作上的高線，教師應讓學生思考判斷哪些方法可行，這三種方法中只有后

兩種方法可以判定所構造的兩個三角形全等.這是培養(yǎng)學生推理能力的好機會，

也是學生體會從基本事實和已知定理出發(fā)進行推理的公理化思想的機會，教師應

注意引導.教學中應鼓勵學生按要求將證明過程書寫出來.

己知：如圖1,在△ABC中，NB=NC.

求證：AB=AC.

證法1：作NBAC的平分線，交BC于點D.

?.'A。平分N8AC,

:./BAD=/CAD.

"：ZB=ZC,AD=AD,

:.△ABDgXACD(AAS).

..\AB=AC(全等三角形的對應邊相等).

證法2：如圖2,過點A作BC的垂線，垂足為D

'：AD±BC,

：.ZADB=ZADC=90°.

'：ZB=ZC,AD=AD,

：.AABD2AACD(AAS).

：.AB=AC(全等三角形的對應邊相等).

例2

本例綜合應用了全等三角形的判定定理和等腰三角形的判定定理.在解答過

程中，教師應關注學生的思考過程，引導學生分析解決問題的方法.

想一想

從直觀上看，學生不難得出結論.但這里要求學生不僅能借助直觀得出結論,

而且還要能夠證明它，也就是要讓學生體會證明的必要性.對這一點的認識，是本

章對學生的要求，而這個問題的證明方法——反證法，是這里要介紹的一種證明

方法.雖然反證法是一種重要的證明方法，但根據(jù)《標準》的要求，只需通過實例

了解它的含義即可.

命題“在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相

等”是真命題.實際上，在一個三角形中，除了“等角對等邊，等邊對等角”之外，

還有“大角對大邊，大邊對大角小角對小邊，小邊對小角”.需要注意的是，設置

這個“想一想”的主要意圖是引人反證法，因此教學時不必在這些具體結論上大做

文章，以免沖淡主題.

反證法屬于間接證明方法，是從反面思考問題的證明方法.具體來說，反證法

就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定也作為推理的已知條件，進

行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知基本事實、定理、法則或者已經(jīng)

證明為正確的命題等相矛盾的結果，出現(xiàn)矛盾的原因是因為否定了命題的結論,

從而使命題獲得了證明.反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中

律''.在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假

的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，這就是

邏輯思維中的“排中律”.

用反證法證明的一般步驟是：

（1）假設命題的結論不成立；

（2）從這個假設出發(fā)，應用正確的推理方法，得出與定義、基本事實、已

有定理或已知條件相矛盾的結果；

（3）由矛盾的結果判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確.

例3

以例題形式展示用反證法證明命題的過程.本例中，結論“NA,NB,NC中

不能有兩個角是直角”的反面是"NA，NB,NC中有兩個角是直角”

隨堂練習

1.等腰三角形。提示：證明再應用“等角對等邊”定理.

2.假設這五個正數(shù)沒有一個大于或等于1,即都小于：，則五個數(shù)的和小于

1.這與已知五個數(shù)的和等于1矛盾，所以這五個正數(shù)中至少有一個大于或等于工

5

設置本題是為了讓學生更多地了解反證法的作用.利用反證法證明的關鍵是要確

定結論的反面是什么，然后尋求矛盾的結果.對于本題，需要正確理解“至少有一

個”“大于或等于"的反面的含義.

習題1.3

1.提示：由/〃BET證N1=NB,N2=NC,得到NB=NC.根據(jù)“等角對等

邊”可得AB=AC.

2.提示：作AABC底邊3C上的高線AO,得

ZE=ZCAD,ZEFA=ZBAD；根據(jù)“三線合一”可知所以N

E=ZEFA.

3.(1)提示：這樣的等腰三角形有兩個，一個以Na為頂角，另一個以Na為

底角；

(2)提示：這樣的等腰三角形只有一個，即以Na為頂角的等腰三角

形.

4.BC=180nmile.

第4課時探索并證明等邊三角形的判定定理，以及直角三角形中30。角所對的

直角邊與斜邊的關系定理.

這兩個問題是以不同的三角形為出發(fā)點，引導學生思考等邊三角形的判定方

法，分別得到兩個定理.教學時，應先讓學生自主思考，不宜用直接給出結論的方

式代替學生的思考.

60。的角可能是等腰三角形的頂角，也可能是等腰三角形的底角.教師要關注

學生得出證明思路的過程，引導學生全面地思考問題，并有意識地向?qū)W生滲透分

類的思想.

做一做

對學生而言，直接研究直角三角形中30。角所對的直角邊與斜邊的數(shù)量關系

難度較大，不易找到解決問題的方法，故這里安排了一個拼圖活動.通過拼圖活

動，學生在操作中會發(fā)現(xiàn)這兩個三角尺恰好可以拼成一個等邊三角形，從而將直

角三角形中的問題轉化為“半個”等邊三角形中的問題，從而運用等邊三角形的知

識分析線段間的關系.學生在活動中不僅收獲數(shù)學知識，同時還可以感悟轉化的

思想，豐富學生探索幾何圖形