2024屆陜西省安康市高三年級(jí)下冊(cè)3月月考聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）模擬試題（含解析）

2024屆陜西省安康市高三下學(xué)期3月月考聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）

模擬試題

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前、考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.

3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)

題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)

作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.

4.本卷命題范圍：高考范圍

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足則卜卜（）

受]旦

A.2B.2C.4D.6

2,已知集合/={x|log2（x+2）<l},5={x|（x+l）（2-x）>0}；則4n2=（）

A.STB.HQC.SID.（-2,T]

3.已知向量0B滿足忖-。，"勺,若。與B夾角為T(mén),則（）

A.2B.&C.亞D.1

22

C:『0=l（a>O,b>O）r-

4.已知雙曲線。b2的離心率e=J5,則。的漸近線方程為（）

A4x±y=0B2x±y=0Qx±2y=0口x±4y=0

5.14的展開(kāi)式中x-2項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-70B.36c.56D.70

6.在“Be中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若"cos/=6cosC+ccosB,則

COS2T4=）

232_23

A.25B.25C.25D.25

7.已知。>°,b>0,貝『，。+6>2”是“。6>1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.骰子是六個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)圓點(diǎn)且質(zhì)地均勻的小正方體，常被用來(lái)做等可

能性試驗(yàn).擲一顆骰子一次，用/,B,C,。分別表示事件“結(jié)果是偶數(shù)”“結(jié)果不小于3”“結(jié)果不

大于2”與“結(jié)果為奇數(shù)”，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.事件/與8相互獨(dú)立B.事件8與C互為對(duì)立事件

CP（5|D）=2P（CM）口.尸（°十"）=1

9.已知?jiǎng)又本€/與圓。：/+r=4交于4,8兩點(diǎn),且403=120。.若/與圓

C:（x+2）2+/=36相交所得的弦長(zhǎng)為‘，貝ij'的最大值與最小值之差為（）

A.12-66B.4c.10-3A/3D.3

兀

10.已知函數(shù)/（X）=|sin2x|+1,將/（x）的圖象向左平移W個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，

ro

若關(guān)于x的方程g（x）="“eR）在上有5個(gè)實(shí)數(shù)根，不，X3,X,，/

9717兀

A.T

B.67tC,3D.5兀

11.已知定為域?yàn)镽的函數(shù)/（X）滿足：/（x—1）為偶函數(shù),/(x)+/(2-x)=0,且"一2)=1,

貝/（2。24）+/（2025）=（）

A.0B.1C.2D.3

12.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體力SC。-44GA的內(nèi)切球?yàn)榍?,E,尸分別是棱4D,臺(tái)片的中

點(diǎn)，G在棱上移動(dòng)，貝|］（）

B.直線E尸被球。截得的弦長(zhǎng)為G

71

C.過(guò)直線E尸的平面截球。所得的所有截面圓中，半徑最小的圓的面積為5

D.當(dāng)G為的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)E,F,G的平面截該正方體所得截面的面積為2G

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某學(xué)校組建了演講，舞蹈，航模，合唱，機(jī)器人五個(gè)社團(tuán)，全校所有學(xué)生每人都參加且只參

加其中一個(gè)社團(tuán)，校團(tuán)委將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖，則合唱社團(tuán)的人數(shù)占全體

學(xué)生人數(shù)的百分比為.

14.在水平地面豎直定向爆破時(shí)，在爆破點(diǎn)炸開(kāi)的每塊碎片的運(yùn)動(dòng)軌跡均可近似看作是拋物線的

一部分.這些碎片能達(dá)到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線也是拋物線的一部分（如圖中虛線

所示），稱該條拋物線為安全拋物線.若某次定向爆破中安全拋物線達(dá)到的最大高度為30米，碎

片距離爆炸中的最遠(yuǎn)水平距離為60米，則這次爆破中，安全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為一

15.已知平行四邊形N2CD的四個(gè)頂點(diǎn)均在平面a的同一側(cè)，若B,C三點(diǎn)到平面a的距離

分別為2、3,7,則點(diǎn)。到平面。的距離為.

16.若ReR,對(duì)x3-m<x+a<x3+m,則實(shí)數(shù)加的取值范圍是

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題，考生

都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.交通擁堵指數(shù)是表征交通擁堵程度的客觀指標(biāo)，用TPI表示，TPI越大代表?yè)矶鲁潭仍?/p>

TDT實(shí)際行程時(shí)間

1P1=------------------

高.某平臺(tái)計(jì)算TPI的公式為：暢通行程時(shí)間，并按TPI的大小將城市道路擁堵程度劃分

為如下表所示的4個(gè)等級(jí):

TPI[1,1.5)[1.5,2)[2,4)不低于4

擁堵等級(jí)暢通緩行擁堵嚴(yán)重?fù)矶?/p>

某市2024年元旦及其前后共7天與2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下圖:

2023年

2024^

(1)從2024年元旦及其前后共7天中任取2天，求這2天中至少有1天交通高峰期城市道路TPI

為“擁堵”的概率;

⑵從2024年元旦及其前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TPI比2023年

同日TPI高的天數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

18.如圖，在四棱錐尸-中，底面N8CD是矩形，4B=2AD=2,P/工平面/BCD,￡為

棱尸。的中點(diǎn).

（1）若尸。與平面/8C。所成的角為45。，求證：力￡，平面尸CD；

276

（2）若平面BCE與平面CED夾角的余弦值為丁，求尸/.

22

。:=+4=1(“>6>0)

19.設(shè)橢圓ab-R,月分別是C的左、右焦點(diǎn)，C上的點(diǎn)到耳的最小距離

為1,P是C上一點(diǎn)，且8的周長(zhǎng)為6.

（1）求C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)外且斜率為左的直線/與C交于M,N兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且與/平行的直線與C交于1,8兩

M

點(diǎn)，求證：為定值.

20.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為"，且滿足的=2,。：+1=2邑+〃+1.

⑴求的通項(xiàng)公式；

b=-----------,i------->2n-bn-7

⑵若n,數(shù)列但J的前”項(xiàng)和為（，對(duì)任意〃eN*,恒成立，求

實(shí)數(shù)幾的取值范圍.

/.）=皿

21.已知函數(shù)x.

⑴求曲線，=""）在點(diǎn)Q私"2"））處的切線方程；

.13

sin—>——

（3）證明：22兀.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22,23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分.

（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

|X=-1+COS6Z

22.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為=Sina(a為參數(shù)),以。為極點(diǎn)，x

2/Jsin|0--\+m-0

軸的正軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為<6>

⑴若/過(guò)C的圓心，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

⑵當(dāng)加=5時(shí)，求。上的點(diǎn)到/距離的最小值.

選修4-5：不等式選講

23.已知函數(shù)"x)=|x+3|+H,加為/(x)的最小值.

⑴求加的植，

(2)已知實(shí)數(shù)“，0,q滿足〃二°,q*。,且4〃2+9小+12/=加，證明：

111c

---------------1-----------------1--->3

n2+2p-p2+3q2q2

1.A

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求得答案.

Z=^=_K1±O_=_1+1._11

【詳解】由題意得IT（1T）O+1）22,貝丁22>

故選：A

2.B

【分析】

求解集合43,依據(jù)交集的定義計(jì)算即可.

【詳解】解：/={x|log2(x+2)<l}={x|-2<x<0}

8二次|(%+1)(2-x)>Oj={x|-l<x<2}

則/口8=2-1。<0}

故選：B

3.A

【分析】

由數(shù)量積的四則運(yùn)算代入H和夾角的余弦值，即可求出W.

??|X|1:.a-(a-b\=a-a-6=l-lx|S|xcos—=2國(guó)一

【詳解】平=，113,解得：肉一2.

故選：A

4.C

【分析】

b

由離心率得到。，即可求出漸近線方程.

C-----=1(。〉0,6〉0)y—+—x

【詳解】雙曲線〃的漸近線方程為b

則。

y=±—x.

所以雙曲線的漸近線方程為2,即x±2oy=0A.

故選：c

5.D

【分析】根據(jù)題意，由二項(xiàng)式定理可得展開(kāi)式的通項(xiàng)，確定x?所在的通項(xiàng)，即可得到

答案.

18-3〃

的……一”。(五產(chǎn)(一Y=(-”尸

【詳解】根據(jù)題意，展開(kāi)式的通項(xiàng)為X

令“4時(shí)，有4=(-1)4CX=70X\

則其展開(kāi)式中含婷項(xiàng)的系數(shù)為70,

故選：D

6.D

【分析】

由正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式，可求出cos),即可利用二倍角余弦

公式求得答案.

［詳解］由于在“8C中，5acosA-bcosC+ccosBt

故5sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB,即5sinAcosA=sin（B+C）=sinA

5cos/=cosA=—

而（兀）,

Z￡0,sin/w0故5

cos2/=2cos2A-l=2x-----1=------

所以2525,

故選：D

7.B

【分析】

通過(guò)舉例的方法，以及基本不等式，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】若"156=0-6,滿足。+6>2,但仍<1,

若a>0,6>0,ab>l,貝qa+62>2,即a+b>2

所以“a+6>2，，是，，成>1"的必要不充分條件.

故選：B

8.D

【分析】

確定事件/，B,C,。的概率，根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式判斷A；根據(jù)對(duì)立事件的概念判斷B；

根據(jù)條件概率的計(jì)算公式判斷C；判斷C,。不互斥，即可求得P（C+°）,判斷D.

31422131

P(A)=-=-,P(B)=-=-,P(C)=-=-,P(D>)=-=-

【詳解】由題意得62-63—63—62,

21121

P(AB)=-=-P(A)P(B)=-x—=—

對(duì)于A,63,233,

故尸（"8）=?（/）P（B）,則事件Z與3相互獨(dú)立，A正確;

對(duì)于B,事件“結(jié)果不小于3”“結(jié)果不大于2”不可能同時(shí)發(fā)生，故二者互斥,

且二者必有一個(gè)發(fā)生，故事件5與?；閷?duì)立事件，B正確;

21

、)P(D)J_3v7P(A)￡3

對(duì)于C,2,2

故尸（切。）=2尸（CM）,C正確,

對(duì)于D,事件“結(jié)果不大于2”與“結(jié)果為奇數(shù)”不互斥，二者有相同事件“結(jié)果為1

ill?

尸（C+。）=P（C）+P（D）—P（CD）=-+-------=—

故l,3263,D錯(cuò)誤，

故選：D

9.A

【分析】

結(jié)合題意作圖分析，數(shù)形結(jié)合，確定弦長(zhǎng)最大和最小時(shí)的位置，結(jié)合弦長(zhǎng)的求解，即可求得答案.

【詳解】由題意知°：6+2）2+/=36的圓心為（2,0）,在圓。:/+/=4上，

當(dāng)點(diǎn)/或8有一個(gè)與C點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)/過(guò),：（x+2）+/=36的圓心，

則此時(shí)t的最大值為圓C的直徑6x2=12；

設(shè)的中點(diǎn)為￡,則。由于44。3=120。，OA=2

故|OE|=1,當(dāng)￡點(diǎn)位于（T，。）處時(shí)，/Lx軸，

此時(shí)/被圓C：（X+2）2+/=36截得的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)ICE1=3,

t的最小值即為WJ-3?=66，

故t的最大值與最小值之差為12-6&,

故選：A

10.D

【分析】

首先根據(jù)函數(shù)的平移規(guī)則得到g（x）的解析式，畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合g（x）的對(duì)稱性計(jì)算可得.

71

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（”）引5由2司+1,將/CO的圖象向左平移W個(gè)單位長(zhǎng)度得到

g（x）=sin2卜+；1+1=|cos2x|+1

X=—kwZf—+—,O\A；eZ

函數(shù)y=cos2x的對(duì)稱軸為2'，對(duì)稱中心為【42），且V=cos2x為偶函數(shù)，

又函數(shù)）=lC0S2x1的圖象是由〉=cos2x的圖象將無(wú)軸下方的部分關(guān)于x軸對(duì)稱上去，x軸及x軸

上方部分保持不變而得到，

所以y=|cos2x|的對(duì)稱軸為4',

又g（x）=|cos2x|+1的圖象是將y=|cos2x\的圖象向上平移一個(gè)單位得到,

所以g（x）的圖象如下所示：

即廣。與N=g（x）在"[O'8]上有5個(gè)交點(diǎn),又可8戶。s2,g（）,所以

V2

—+l<a<2

2,

令>=.與y=g（x）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為4馬,￡，匕，%,

7T兀3兀

JQ-----JQ---------------

則工“三關(guān)于‘一4對(duì)稱，/，%關(guān)于?一2對(duì)稱，X3，%關(guān)于.4對(duì)稱，%，%關(guān)于》=無(wú)對(duì)稱，

71371c

戶以玉+%2=萬(wàn)，％2+%3=兀，％3+%4=+%5=2兀

兀371

=（再+X]）+（無(wú)2+/）+（%+匕）+（匕+*5）=萬(wàn)+兀^———H2兀=5兀

故選：D

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題或方程解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，將代

數(shù)問(wèn)題幾何化，借助圖象分析，大大簡(jiǎn)化了思維難度，首先要熟悉常見(jiàn)的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函

數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，哥函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對(duì)稱和

翻折等，涉及零點(diǎn)之和問(wèn)題，通?？紤]圖象的對(duì)稱性進(jìn)行解決.

11.B

【分析】

由題意根據(jù)函數(shù)滿足的條件等式，推出函數(shù)的一個(gè)周期，再利用賦值法求出了（I）以及/（°）,結(jié)

合函數(shù)周期，即可求得答案.

【詳解】由題意知定為域?yàn)镽的函數(shù)/(X)滿足：/(X」)為偶函數(shù)，

即即結(jié)合/(x)+/(2-x)=0,

得了(一2-x)+/(2-x)=0,即/(-2+x)+/(2+x)=0,

故/(x)+/(x+4)=0,即/(x+4)=-/(x),

則/(x+8)=-/(x+4)=〃x),故8為函數(shù)/(x)的一個(gè)周期，

由于"x+4)=-/(x),"-2)=1,故令"-2,則“2)=-〃-2)=-1,

結(jié)合”x)+“2-x)=0,令A(yù)2,得/(2)+/(0)=0，，〃0)=1,

對(duì)于"x)+/(2-x)=0,令乂=1,則"A。，

故/(2024)+/(2025)=/(253x8)+/(253x8+l)=/(0)+/(1)=1,

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了抽象函數(shù)的求值問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)滿足的條件，推出

函數(shù)周期，進(jìn)而結(jié)合賦值法求值，即可求解答案.

12.B

【分析】令G與A重合，利用特殊位置舉反例證明A錯(cuò)誤；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向

量求得EF、兩直線所成角，從而求得點(diǎn)。到直線跳■的距離。加，即可求得直線反被球

°截得的弦長(zhǎng)，判斷B選項(xiàng)；確定過(guò)直線石尸的平面截球。所得的所有截面圓中，半徑最小的圓

為以直線E尸被球。截得的弦長(zhǎng)為/為直徑的圓，從而求得圓的面積，判斷C選項(xiàng)；確定當(dāng)G為

V2

的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)后，廠，G的平面截該正方體所得截面為邊長(zhǎng)為三的正六邊形，利用正弦定

理面積公式求六邊形面積即可判斷D選項(xiàng).

z

對(duì)于A,根據(jù)已知條件圓。為以。為圓心，半徑R=1的圓；G在棱上移動(dòng),

當(dāng)G與點(diǎn)A重合時(shí)，平面EFG即為平面瓦弘，因?yàn)?。在直線/￡上，

所以O(shè)u平面EFG,所以°。與平面EFG相交，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為x、V、z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

則。（1,1,1）、￡（1,0,0）、尸（2,2,1）、D（0,0,0）

則同=次+（-1）2+（-1）2=3,無(wú)=（O,TT）,方=0,2,1）,

有耨5,解得叫當(dāng)

則在RtAOEM中,

=也

設(shè)直線E尸被球。截得的弦長(zhǎng)為/,則B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,過(guò)直線E尸的平面截球。所得的所有截面圓半徑最小時(shí)，有。河垂直于過(guò)E尸的平面,

「J_叵s=

此時(shí)圓的半徑為22,圓的面積為V2；,C正確；

對(duì)于D,根據(jù)題意當(dāng)G為23的中點(diǎn)時(shí)，

過(guò)￡,尸，G的平面截該正方體所得截面為正六邊形EGEWVP,/E/G=90。,

在RtZ\E4G中，AG=AE=1,所以邊長(zhǎng)EG="”=啦,

S.=6'y/2'亞'sin60°=373

所以截面面積為2,D錯(cuò)誤.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查幾何體與球的組合問(wèn)題，垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，平面截球的問(wèn)題，平

面截正方體問(wèn)題，關(guān)鍵是：⑴利用球的弦長(zhǎng)公式計(jì)算弦長(zhǎng)；⑵確定平面截正方體所得截面的形狀.

13.40%

【分析】

根據(jù)題意，由演講社團(tuán)人數(shù)以及占比即可得到總?cè)藬?shù)，從而可得結(jié)果.

【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖可知，演講社團(tuán)共有50人，占比1°%,

包-=500

則總?cè)藬?shù)為10%人，

——x100</=40Q/

又合唱社團(tuán)共有200人，占比為500°°,

故答案為：4。%

14.60

【分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，確定拋物線方程形式，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程求解，即得答案.

【詳解】如圖，以安全拋物線達(dá)到的最大高度點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于底面的直線為x軸,

和地面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則拋物線方程為X。=-2加,(0>0),由題意可知460,-30),

代入*=-2處,(p>0)可得6()2=-2/?(-30),;.p=60

即安全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為60米，

故答案為：60

15.6

【分析】

根據(jù)空間位置關(guān)系求得點(diǎn)D到平面的距離.

【詳解】如圖，分別過(guò)4民。，。作平面。的垂線，垂足分別為ERG,",

連接EF，F(xiàn)G,GH，EH,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，則EH//FG,EH=FG

分別過(guò)2作",DH,BJLCG,垂足分別為I",

所以四邊形NE印，四邊形瓦7GJ為平行四邊形，

則EHHAI,FG/!BJ,EH=AI,FG=BJ,

所以=,又ADIIBC,由等角定理4M/=NC&/,

所以皿/三ACRJ,所以￡>/=07,

設(shè)點(diǎn)/,B,C,。四點(diǎn)到平面a的距離分別為

依題意有均=2也=3,%=7,

所以d。一"/="c一魂，^dD=dA+dc-dB=2+l-3=6

。到平面。的距離為6.

【分析】

m+(7>(%3-x)

\Znax

<

3

a-m<(x-X)3

依據(jù)題意，先將原題轉(zhuǎn)化為II，求出K-X的最大最小值，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為加與

。的有解問(wèn)題，求解不等式可得結(jié)果.

［詳解］由題意可知：7"+°2/_工對(duì)寸工€［0,1］恒成立，且°_加4工3_》對(duì)^》?［0,1］恒成立，即

m+di>(X3-x)

\-Anax

a-m<(x3-x)

VZnin

,一+3

令"x)=d-x,則r(x)=3x--l,令/'3=3*2-1=0,解得：X-3,因?yàn)閤e[o,l],所

6,

/、

以當(dāng)XGL0,--3--「時(shí)，/")<。,當(dāng)［3」時(shí)，:(%)>0,

2A/3

,1

(..\°'VT/v~9~

則f在LJ」上單調(diào)遞減，在LJ」上單調(diào)遞增，<>

m+a>0

—述

/00皿=/(°)=/0)=。，則9

——mWaWm-----------TH.tn--------m>—

則原題等價(jià)于弘eR,使得一一9成立，則一9,解得:9

m>—

故答案為:9

5

17.(I)7

9

7

(2)分布列見(jiàn)解析;

【分析】

(1)求出選取的這2天中至少有1天交通高峰期城市道路TPI為“擁堵”的選法，根據(jù)古典概型

的概率公式，即可求得答案；

(2)確定X的可能取值，求出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列，由期望公式，即可求得數(shù)學(xué)

期望.

【詳解】(1)由題意知從2024年元旦及其前后共7天中任取2天，有C；=21種取法，

交通高峰期城市道路TPI為“擁堵”的天數(shù)有3天，

選取的這2天中至少有1天交通高峰期城市道路TPI為“擁堵”的選法有C；C；+C；=15種，

15_5

故這2天中至少有1天交通高峰期城市道路TPI為“擁堵”的概率為21一??；

(2)由題意知2024年元旦及其前后共7天中交通高峰期城市道路TPI比2023年同日TPI高的

天數(shù)有3天，

故X的可能取值為°，123,

p(x=o)=等q,p(x=i)=等=1|

C2r112C3C°

P(X=2)=^^=-,P(X=3)=^-1

C；35C；35

故X的分布列為:

X0123

418121

P

35353535

4181219

E(X)=0x——+lx——+2x——+3x——=—

故353535357

18.(1)證明見(jiàn)解析

⑵血

【分析】

（1）證明CD'/E和根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P4=Mh>0）,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面3CE與平面CEZ）的

法向量，根據(jù)空間向量的向量求法結(jié)合平面3CE與平面CEZ）夾角的余弦值，即可求得答案.

【詳解】（1）由于產(chǎn)工,平面NBC。，CDu平面N8CD,故P/LCD,

四邊形/3CO為矩形，故CD1/Z）,而P/c/Z>=4尸4/Ou平面P/。，

故CZ）1平面P/O,NEu平面P/O,則CD1/E,

又P/工平面4SCD,則NPZ）/即為尸。與平面/BCD所成的角，且4Du平面4BCD,

則尸/,ND,尸0與平面/5C7）所成的角為45。，故NPD4=45。，

故為等腰直角三角形，E為棱9的中點(diǎn)，故N￡_LP。，

而PDCCZ）=z）,尸2au平面PCD,

故平面尸C。；

（2）以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，以43,4。,/尸所在直線為x/,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

p

N(0,0,0),B(2,0,0),C(2,l,0),23(0,1,0),P(0,0,/?),￡(0,：,g

設(shè)PA=h(h>0)則122

—*1,1h",

5C=(0,1,0),￡C=(2,-,--),Z)C=(2,0,0)

m-BC=0

，——1h八

、m,EC=02x+—-z=0

設(shè)平面8CE的一個(gè)法向量為加二(x,y,z),則iI22

令z=4,則加=（瓦0,4）；

c1zh八

n-EC=02a+—b—c=0

22

a--、HDC=0

設(shè)平面CED的一個(gè)法向量為〃=（。也c）,貝卜2a=0

令c=l,則”=(。,〃,1)；

2A/6

由于平面BCE與平面CED夾角的余弦值為9

|cos(m,n)|=[4276

~9~

故I加肥?IJ//+16J/+1解得〃=憶

故尸/=也.

尤--1

19.(1)43

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】

（1）由題意列出關(guān)于0，c，6的方程嗎，求出它們的值，即可得答案；

M

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求出的目的表達(dá)式，即可證明W困為

定值.

【詳解】(1)

22

C:0+4=l(a>6>O)F

由題意知橢圓?6,C上的點(diǎn)到片的最小距離為1,

尸是C上一點(diǎn)，且鳥(niǎo)的周長(zhǎng)為6,

a-c=l

<2。+2。=6

設(shè)橢圓的焦距為2c,則解得a=2,c=l萬(wàn)=3,

故C的方程為43.

(2)

證明：由題意知鳥(niǎo)故直線/的方程為V=Mx-l)#wO,

(3+4k?\x2—8k2x+4k2-12=0工十士心,一加心同廣i、/A、八

得ZR1廠，由于直線/過(guò)橢圓焦點(diǎn)，必有人>。,

8r4左2-12

X.+x2=-----二-----------v

故]23+4左2,123+4左2,

2

(SkY4左2_1212(1+/)

MN=J(1+k2)[(X[+x)2-4X1XJ=(1+*)d

2213+41J-?3+4/

故v3+4/

|22

—%+—y=1

43

,得6+4儲(chǔ)產(chǎn)

由題意知直線的方程為'=辰，聯(lián)立y=kx

2V3_2也

設(shè),?3，%),8(無(wú)4了4),則不妨取3J3+4左24‘3+4公

\AB\=，1+12卜3-x4|

故)

1248(1+-

MM_3+412

\MN\12^+r)Ml

故3+4F,即KI為定值.

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓位置關(guān)系中的定值問(wèn)題，解答時(shí)容易出

錯(cuò)的地方在于計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜，特別是求解弦長(zhǎng)時(shí)，基本都是字母參數(shù)的運(yùn)算，需要特別小心.

20.⑴%="

3

——,+00

⑵32

【分析】

(1)根據(jù)題意，由為與S"的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可得到結(jié)果；

2>2"7B=2n一口

(2)根據(jù)題意，由裂項(xiàng)相消法可得北，然后轉(zhuǎn)化為2"，令"一2",則'N(3")max即

可.

【詳解】⑴因?yàn)槎?1=25“+〃+1,所以a；=2S“T+(〃-l)+l,?>2,

兩式相減可得03一4=2。"+1,?>2,即囁n>2,

又?jǐn)?shù)列｛"」的各項(xiàng)為正數(shù)，所以％包=見(jiàn)+1,"?2,

且％=2,若=2%+2,解得%=1,所以”=1上式也成立，

即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

所以%=1+("T)xl=〃

b7----〃-+--2-------n-+--2--------1--------1---

(2)由(1)可知，則aS〃(〃+1).2〃〃.2〃1(〃+1)2〃，

所以1=4+仇+”+…+4

41-J-KP-q+p___q...U__M

l2x2j(2x23x22J(3x224x23J++32-("+1>2",

=1--~—

(n+l)-2"

1-7；=1-1+-_L—>0

所以(〃+l>2",

由二-7可得人Q〃F-7)(5”)，

J("7)(I).高產(chǎn)一三，

B_2"-7

令"2",則2?(2晨即可，

當(dāng)時(shí)，5〃<0,

B§_2〃-52/1-7_-2n+9

當(dāng)時(shí)，由用―w~~r^T~~2n+i,

當(dāng)〃=4時(shí)，,所以及>叢,

當(dāng)〃之5時(shí)，紇+1-4<°,即8〃+1<凡，所以區(qū)>線>57>...,

BJ0-7_3A>J_

所以及為｛4｝中的最大值，且5-^^-32,所以-32,

「3)

——,+8

即幾的取值范圍為132J.

n+2

3

"6+1>2"進(jìn)行裂項(xiàng)，從而得解.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第2小問(wèn)解決的關(guān)鍵是，對(duì)

2|⑴x-2町-2兀=0

（2）1個(gè)

（3）證明見(jiàn)解析

「（x_xcosx-sinx\_1

【分析】（1）根據(jù)題意，求得,一？，得到,‘叼一2兀和/Q兀）=0,進(jìn)而求Q）

尸（x_xcosx-sinx

由（1）知'"）一？,令g（x）=xcosx-sinx,利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）的單調(diào)性，結(jié)合

g（0）=0,g（7i）=-7r,g（27r）=27r）得到存在唯一的％e（兀,2兀），使得8（尤。）=0,結(jié)合函數(shù)極值點(diǎn)

的定義，即可求解.

0」—

（2）由（1）求得/G）在（°，兀）單調(diào)遞減，結(jié)合＜5＜k＜:得到>

,即可得證.

r/yVSlnxxcosx-sinx

【詳解】（1）解：由函數(shù)x,可得‘可？

f,\_271cos2兀-sin2兀1

則（2兀A2兀，且/（2兀）=0,

所以曲線＞="、）在點(diǎn)（2兀，。）處的切線方程為＞_0=（（