數(shù)學（人教版選修22）課件23數(shù)學歸納法

第二章推理與證明2.3數(shù)學歸納法1．了解數(shù)學歸納法的原理．(難點、易混點)2．能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題．(重點、難點)1．數(shù)學歸納法的定義一般地，證明一個與__________有關的命題，可按下列步驟進行正整數(shù)n第一個值n0(n0∈N*)n＝k＋12．數(shù)學歸納法的框圖表示n＝n0從n0開始所有n＝k(k≥n0)n＝k＋1的正整數(shù)n解析：當n＝1時，左邊＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正確．答案：C3．用數(shù)學歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”時，第一步驗證為______________．解析：由n∈N*可知初始值為1.答案：當n＝1時，左邊＝4≥右邊＝4，不等式成立解析：由n＝k到n＝k＋1時，左邊增加(k＋1)2＋k2.答案：(k＋1)2＋k2(1)用數(shù)學歸納法證明等式問題是常見題型，其關鍵點在于弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，以及初始值n0的值．(2)由n＝k到n＝k＋1時，除考慮等式兩邊變化的項外還要充分利用n＝k時的式子，即充分利用假設，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．用數(shù)學歸納法證明等式應注意的問題

【想一想】數(shù)學歸納法兩個步驟有什么關系？提示：數(shù)學歸納法證明中的兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的依據(jù)，兩個步驟缺一不可，否則就會導致錯誤．(1)第一步中，驗算n＝n0中的n0不一定為1，根據(jù)題目要求，有時可為2或3等．(2)第二步中，證明n＝k＋1時命題成立的過程中，一定要用到歸納假設，掌握“一湊假設，二湊結論”的技巧．用數(shù)學歸納法證明等式問題

數(shù)學歸納法證題的三個關鍵點(1)驗證是基礎：找準起點，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗證的初始值不一定是1.(2)遞推是關鍵：數(shù)學歸納法的實質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k＋1”的過程中，要正確分析式子項數(shù)的變化．關鍵是弄清等式兩邊的構成規(guī)律，弄清由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項、增加怎樣的項．(3)利用假設是核心：在第二步證明n＝k＋1成立時，一定要利用歸納假設，即必須把歸納假設“n＝k時命題成立”作為條件來導出“n＝k＋1”時命題也成立，在書寫f(k＋1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項，這是數(shù)學歸納法的核心，不用歸納假設的證明就不是數(shù)學歸納法．用數(shù)學歸納法證明不等式用數(shù)學歸納法證明不等式往往比證明恒等式難度更大些，方法更靈活些，用數(shù)學歸納法證明的第二步，即已知f(k)>g(k)，求證f(k＋1)>g(k＋1)時應注意靈活運用證明不等式的一般方法(比較法、分析法、綜合法)．具體證明過程中要注意以下兩點：(1)先湊假設，作等價變換；(2)瞄準當n＝k＋1時的遞推目標，有目的地對不等式放縮、分析直到湊出結論．2．已知數(shù)列{an}，當n≥2時，an＜－1，又a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求證：當n∈N*時，an＋1＜an.證明：(1)當n＝1時，∵a2是a＋a2－1＝0的負根，∴a1>a2.(2)假設當n＝k(k∈N*)時，ak＋1＜ak，∵a－a＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)，ak＋1＜ak≤0，∴a－a>0，又∵ak＋2＋ak＋1＋1＜－1＋(－1)＋1＝－1，∴ak＋2－ak＋1＜0，∴ak＋2＜ak＋1，即當n＝k＋1時，命題成立．由(1)(2)可知，當n∈N*時，an＋1＜an.歸納—猜想—證明[思路探究]

(1)令n＝2,3可分別求a2，a3.(2)根據(jù)a1，a2，a3的值，找出規(guī)律，猜想an，再用數(shù)學歸納法證明．1．本題中由n＝k時命題成立證明n＝k＋1時命題也成立時，利用ak＋1＝Sk＋1－Sk來尋找ak＋1與ak的關系是證明的關鍵．2．在證明與數(shù)列有關的問題時，一般要用到ak＋1與ak，或Sk＋1與Sk的關系，在尋找它們之間的關系時，往往要用到已知條件和ak＋1＝Sk＋1－Sk來建立等量關系．運用數(shù)學歸納法時易犯的錯誤：(1)對項數(shù)估算的錯誤，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關系時，項數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯．(2)沒有利用歸納假設．在證明過程中歸納假設是必須要用的．假設是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不