數(shù)學(xué)（人教版選修22）課件23數(shù)學(xué)歸納法

第二章推理與證明2.3數(shù)學(xué)歸納法1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的定義一般地，證明一個與__________有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行正整數(shù)n第一個值n0(n0∈N*)n＝k＋12．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的框圖表示n＝n0從n0開始所有n＝k(k≥n0)n＝k＋1的正整數(shù)n解析：當(dāng)n＝1時，左邊＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正確．答案：C3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”時，第一步驗(yàn)證為______________．解析：由n∈N*可知初始值為1.答案：當(dāng)n＝1時，左邊＝4≥右邊＝4，不等式成立解析：由n＝k到n＝k＋1時，左邊增加(k＋1)2＋k2.答案：(k＋1)2＋k2(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，以及初始值n0的值．(2)由n＝k到n＝k＋1時，除考慮等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n＝k時的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式應(yīng)注意的問題

【想一想】數(shù)學(xué)歸納法兩個步驟有什么關(guān)系？提示：數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩個步驟缺一不可，否則就會導(dǎo)致錯誤．(1)第一步中，驗(yàn)算n＝n0中的n0不一定為1，根據(jù)題目要求，有時可為2或3等．(2)第二步中，證明n＝k＋1時命題成立的過程中，一定要用到歸納假設(shè)，掌握“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”的技巧．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題

數(shù)學(xué)歸納法證題的三個關(guān)鍵點(diǎn)(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗(yàn)證的初始值不一定是1.(2)遞推是關(guān)鍵：數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k＋1”的過程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化．關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由n＝k到n＝k＋1時，等式的兩邊會增加多少項(xiàng)、增加怎樣的項(xiàng)．(3)利用假設(shè)是核心：在第二步證明n＝k＋1成立時，一定要利用歸納假設(shè)，即必須把歸納假設(shè)“n＝k時命題成立”作為條件來導(dǎo)出“n＝k＋1”時命題也成立，在書寫f(k＋1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng)，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式往往比證明恒等式難度更大些，方法更靈活些，用數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步，即已知f(k)>g(k)，求證f(k＋1)>g(k＋1)時應(yīng)注意靈活運(yùn)用證明不等式的一般方法(比較法、分析法、綜合法)．具體證明過程中要注意以下兩點(diǎn)：(1)先湊假設(shè)，作等價變換；(2)瞄準(zhǔn)當(dāng)n＝k＋1時的遞推目標(biāo)，有目的地對不等式放縮、分析直到湊出結(jié)論．2．已知數(shù)列{an}，當(dāng)n≥2時，an＜－1，又a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求證：當(dāng)n∈N*時，an＋1＜an.證明：(1)當(dāng)n＝1時，∵a2是a＋a2－1＝0的負(fù)根，∴a1>a2.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，ak＋1＜ak，∵a－a＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)，ak＋1＜ak≤0，∴a－a>0，又∵ak＋2＋ak＋1＋1＜－1＋(－1)＋1＝－1，∴ak＋2－ak＋1＜0，∴ak＋2＜ak＋1，即當(dāng)n＝k＋1時，命題成立．由(1)(2)可知，當(dāng)n∈N*時，an＋1＜an.歸納—猜想—證明[思路探究]

(1)令n＝2,3可分別求a2，a3.(2)根據(jù)a1，a2，a3的值，找出規(guī)律，猜想an，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．1．本題中由n＝k時命題成立證明n＝k＋1時命題也成立時，利用ak＋1＝Sk＋1－Sk來尋找ak＋1與ak的關(guān)系是證明的關(guān)鍵．2．在證明與數(shù)列有關(guān)的問題時，一般要用到ak＋1與ak，或Sk＋1與Sk的關(guān)系，在尋找它們之間的關(guān)系時，往往要用到已知條件和ak＋1＝Sk＋1－Sk來建立等量關(guān)系．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時易犯的錯誤：(1)對項(xiàng)數(shù)估算的錯誤，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關(guān)系時，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯．(2)沒有利用歸納假設(shè)．在證明過程中歸納假設(shè)是必須要用的．假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不