2024屆江蘇如皋高三年級上冊1月診斷測試數(shù)學試題 含答案【九省聯(lián)考模式】

如皋市2024屆高三1月診斷測試

數(shù)學試題

2024.1

注意事項（請考生作答前認真閱讀以下內(nèi)容）：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、座位號填寫在答題卡上，并用2B鉛筆填涂準考證號.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑：如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

5.試卷共4頁，共19小題；答題卡共2頁.滿分150分.考試用時120分鐘.命題：馬超

一'單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1,

1.拋物線y=—1的焦點坐標為（▲）.

2

A.加B?加C.陷D.陷

2.在等比數(shù)列｛4｝中，％+%=82,%%.2=81,且前x項和邑=121,'=（▲）.

A.4B.5C.6D.7

3.已知加，〃表示兩條不同直線，。表示平面，則（▲）.

A.若mlla,nila,則mllnB.若加_La,則加

C.若加J_a,mLn,則nilaD.若mHa,mLn,則幾_La

4.有5輛車停放6個并排車位，貨車甲車體較寬，?？繒r需要占兩個車位，并且乙車不與貨車甲相鄰停放,

則共有（▲）種停放方法.

A.72B.144C.108D.96

5.已知AABC的邊2。的中點為。，點￡在AABC所在平面內(nèi)，且麗=3CE-2CA，若

AC=xAB+yBE,貝!|x+>=（▲）

A.5B.7C.9D.11

22

6.函數(shù)的圖象為橢圓。春+方=l（Q>b>0）X軸上方的部分，若/（s—。，/（s）,/（S+。成

等比數(shù)列，則點（s,。的軌跡是（▲）.

A.線段（不包含端點）B.橢圓一部分

C.雙曲線一部分D.線段（不包含端點）和雙曲線一部分

高三1月診斷數(shù)學試題第1頁（共4頁）

7.己知xe0,—,sinx+cosx=?,則tan(x-乎］=(A).

L4j5<4)

A.3B.-3C.-V5D.2

8.雙曲線C：吞—與=1(?！?,b>0)的左、右焦點分別是片，￡,離心率為YG,點尸(而,必)是C的

ab2

右支上異于頂點的一點，過月作/片盟的平分線的垂線，垂足是M,|MO|=也，若C上一點7滿

足用?可=5,則7到C的兩條漸近線距離之和為(▲).

A.2A/2B.2百C.2舊D.276

二'多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復數(shù)句/2是關(guān)于X的方程工2+法+1=0(-2<6<2,6€?的兩根，則(▲).

A.a=z,B.—eR

Z2

C.歸|="|=1D.若b=l,則z；=z；l

10,若函數(shù)/(x)=2sin2x-log2sinx+2cos^x-log2cosx,貝！J(▲).

jr

A.〃x)的最小正周期為兀B.〃x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱

C.的最小值為-1D.〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為。成：+2配J,keZ

11.設。為常數(shù)，/(0)=g，/(-v+y)=-j)+f(y)f(a-x),則(▲).

A.了(。)=；B./(x)=；恒成立

C.f(x+y)^2f(x)f(y)D.滿足條件的〃x)不止一個

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.集合/={xeRIax?-3x+2=0,aeR},若/中元素至多有1個，則a的取值范圍是▲.

13.已知圓錐的母線長為2,則當圓錐的母線與底面所成角的余弦值為▲時,圓錐的體積最大，最

大值為▲.

38

14.函數(shù)/(%)=——；——+——-——(xeR)的最小值▲.

2smx+13cosx+2

高三1月診斷數(shù)學試題第2頁(共4頁)

四、解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明'證

明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

13

設f(x)=alnx+------x+1,曲線y=/(x)在點(1,7(1))處取得極值.

2%2

(1)求a；

(2)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.(本小題滿分15分)

袋中裝有5個乒乓球，其中2個舊球，現(xiàn)在無放回地每次取一球檢驗.

(1)若直到取到新球為止，求抽取次數(shù)X的概率分布及其均值；

(2)若將題設中的“無放回”改為“有放回”，求檢驗5次取到新球個數(shù)X的均值.

17.(本小題滿分15分)

JT

如圖，在三棱柱48。一44cl中，AC=BBX=2BC=2,ZCBB{=2ZCAB=~,且平面4BCJ.平面

B]C[CB.

(1)證明：平面ABC1平面4cBi；

(2)設點尸為直線8c的中點，求直線4P與平面/。4所成角的正弦值.

18.(本小題滿分17分)

己知拋物線E：y2=4x的焦點為F,若AABC的三個頂點都在拋物線￡上，且滿足FA+FB+FC^O<

則稱該三角形為“核心三角形”.

(1)設“核心三角形/8C”的一邊N5所在直線的斜率為2,求直線N3的方程；

(2)已知AXBC是“核心三角形"，證明：ZX/BC三個頂點的橫坐標都小于2.

高三1月診斷數(shù)學試題第3頁(共4頁)

19.(本小題滿分17分)

對于給定的正整數(shù)n,記集合R"=⑹1=(國,馬,馬，…,x")，/e=1,2,3,■■?,?),其中元素1稱為一

個〃維向量.特別地，0=(0,0,…,0)稱為零向量.

設左eR,a=(%,a2「、a“)GR",日=(可,瓦，…,b“)wR”,定義加法和數(shù)乘：ka=(kai,ka2,---,kan),

1+6=(4+Z?15?2+b2,---,an+bn).

對一組向量6Z],%，…，%(seN+，s》2),若存在一組不全為零的實數(shù)左，k2,...,ks,使得

發(fā)商+/需+…+/N=0,則稱這組向量線性相關(guān).否則，稱為線性無關(guān).

(1)對〃=3,判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.

①G=(1,1,1),￡=(2,2,2)；

②1=(1,1,1),￡=(2,2,2),夕=(5,1,4)；

③&=(1,1,0),￡=(1,0,1),"(0,1,1),5=(1,1,1).

(2)已知a，B,7線性無關(guān)，判斷汗+￡,P+Y，1+及是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.

(3)已知加(加22)個向量)，%,…，/線性相關(guān)，但其中任意a-1個都線性無關(guān)，證明：

①如果存在等式匕%+左2a2+---------kntam=Q(kteR,i=1,2,3,---,m),則這些系數(shù)左一k2,左“或者

全為零，或者全不為零；

②如果兩個等式勺%+k2a2-f+kmam=6,ltat+12a2+?-?+/,??,?=6(^.&R,l,eR,i=同

k,k、k

時成立，其中/產(chǎn)0,則會=十=?一=m

4“2

高三1月診斷數(shù)學試題第4頁(共4頁)

如皋市2024屆高三1月診斷測試

數(shù)學參考答案2024.01

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

題號12345678

答案DBBADAAA

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.全部選對得6分，部分選對得3分，有選錯得。分.

題號91011

答案ACDBCDABC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

題號1213①13②14

答案—9V6167349

4=0或〃)可---------71

V27

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

(1)/(x)=flIn%+---------x+1,貝！J/'(x)=3-------——

2%2x2x22

又=故可得。一2=0,解得a=2；

(2)由⑴可知，/(%)=21nx+---x+1,/，(x)=—T),T),

2x22x2

令/'(x)=0,解得x2=l,

又???函數(shù)定義域為(0,+oo),故可得/(x)在區(qū)間(0,1)和(1,+co)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,1)單調(diào)遞增.

故的極大值為/(1)=0,/(x)的極小值為/(1)=2-21n3.

16.(15分)

32x3

(1)X的可能取值為1,2,3,P(X=1)=_,P(X=2)=——

55x4

故抽取次數(shù)X的概率分布為：

X123

331

P

51010

3313

^m=lx-+2x—+3x—=-

510102

(2)每次檢驗取到新球的概率均為：，故X?所以E(X)=5x|=3.

高三1月診斷測試數(shù)學參考答案第1頁共4頁

17.(15分)

(1)證明：因為/C=23C=2,所以3C=1,

TTTT

因為2NC45=2,所以NC46=X.

2

在A/BC中，且5=且二，即

sin5，

sin/sin5sm—

6

所以sin5=l,EPAB1BC.

又因為平面48cl.平面片GCS,平面48Cc平面片GC5=5C,46u平面ABC,

所以48_L平面與GCA

又與Cu平面5]GC5,所以45JL5C，

TT

在AB^BC中,B,B=2,BC=1,ZCBB,=-,

3

22

所以B?=BtB+BC-2B、B-BC-cos1=3,即=G,

所以

而/3_L5C，ABu平面ABC,8Cu平面ABC,ABcBC=B,

所以4。，平面4BC.

又用Cu平面/eg,所以平面48CL平面ZC8］.

(2)在平面ABC中過點C作AC的垂線CE,

以C為坐標原點，分別以CA,CE,所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則。(0,0,0),0),/(2,0,0),5/0,0,73)，

所以口；,字,0)，

所以4P=(一［，/^廠G)，

平面ACB］的一個法向量為n=(0,1,0),

設直線4P與平面4cBi所成的角為。，

則直線4尸與平面4cBi所成角的正弦值為:

高三1月診斷測試數(shù)學參考答案第2頁共4頁

373

一__\\P-n\

sina=|cos<AP,n>|=--

14PH7

18.（17分）

（1）解：設直線AB的方程為y—2x+1,與=4x聯(lián)立得y2—2y+2t=0,A=4—8/>0,得IV],

設，（七,%）,812，%），。（》3，%），則以+%=2，%必=2人

所以玉+工2=5（必+%-2t）=\—t,

由題意知尸（1,0）,因為蘇+麗+定=0，或=（占-1,%），F(xiàn)B=（x2-l,y2），定=（￡-1,%），

所以（再+x2+%-3,必+y2+>3）=（0,0）,

所以｛%+工2+退=3,%+%+%=0,,

所以人=2+/,%=-2,,即點C的坐標為（2+/2）,代入拋物線E的方程得：4=4（2+/）,解得七一1,滿

足條件/<，,

2

所以直線AB的方程為2x-y-l=0.

（2）證明：設直線BC的方程為x=冽V+〃，與/=4'聯(lián)立得j?一4加y—4〃=0,

2

A=16（m+w）>0,所以〃〉一冽2,y2+y3=4mfy2y3=-4n,

所以々+/=加（%+%）+2〃=4m2+2n.

由⑴知｛再+X2+毛=3,必+y2+%=0,,所以卜=3-4加2-2n,y1=—4m.,

即點A的坐標為（3-4加2一2〃,-4"）.

3

又點A在拋物線y2=4x上，所以16〃/=4（3-4能2-2”），所以〃=5-4〃/,

又"〉-加,所以加2<7，所以點A的橫坐標3-而/_2〃=4〃z2<2,

同理可證，B,C兩點的橫坐標也小于2.

所以A/BC三個頂點的橫坐標均小于2.

19.（17分）

（1）解：對于①，設上/+內(nèi)則可得尢+2左2=0,所以花，。線性相關(guān)；

高三1月診斷測試數(shù)學參考答案第3頁共4頁

對于②,設左1&+左2。+左3斤=°，則可得｛左+2左2+5左3=0占+2左2+左3=0左1+2左2+4左3=0，所以左+2左2=0，

&=0,所以&,￡療