余弦定理習題課

余弦定理習題課[一點通]

1．已知兩邊及夾角解三角形，方法有兩種：方法一：①利用余弦定理求出第三邊；②利用正弦定理求出一個角；③利用三角形內角和定理求出第三個角．方法二：①利用余弦定理求出第三邊；②利用余弦定理求出一個角；③利用三角形內角和定理求出第三個角．2．已知兩邊及一邊的對角解三角形，方法有兩種：法一是利用余弦定理，列出關于a的一元二次方程，從而解出a，然后用正弦定理和三角形內角和定理解出角A、C.法二是直接利用正弦定理求出角C，進而求角A及邊a.答案：B[思路點撥]

解答本題可由余弦定理求出角的余弦值，進而求得各角的值．[一點通]已知三角形三邊求角可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解．用正弦定理求解時，要根據三邊的大小確定角的大小，防止產生增解或漏解．答案：D[例3]

(12分)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，試確定△ABC的形狀．

[思路點撥]

充分運用正弦定理和余弦定理，可利用邊的關系判斷，也可轉化為角的關系來判斷．所以a＝b. (6分)又因為(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab.所以4b2－c2＝3b2.所以b＝c.所以a＝b＝c.因此△ABC為等邊三角形．

(12分)法二：利用角的關系來判定．因為A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)(2分)又因為2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0. (6分)因為A、B均為三角形的內角，所以A＝B.[一點通]

1．判斷三角形的形狀，可以從考察三邊的關系入手，即把條件中的“邊角關系”利用正弦定理或余弦定理轉化為“邊邊關系”，進行判斷；也可以從三個角的關系入手，即把條件轉化為角與角的關系，結合內角和定理作出判斷．

2．判斷三角形形狀時要注意“等腰直角三角形”與“等腰或直角三角形”的區(qū)別．7．若在△ABC中，acos(B＋C)＝bcos(A＋C)，則△ABC一

定是(

)A．等邊三角形

B．等腰三角形

C．等腰或直角三角形

D．直角三角形答案：C答案：A1．余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律，也是解三角形的重要工具．

(1)在余弦定理中，每一個等式均含有四個量，利用方程的觀點，可以知三求一．

(2)余弦定理也為求三角形的有關量(如面積、外接圓、內切圓等)提供了工具，它可以用來判定三角形的形狀，證明三角形中的有關等式，在一定程度上，它比正弦定理的應用更加廣泛．2．根據余弦定理，可得以下結論：①在△ABC中，設A為最大角，若a2＜b2＋c2，則0°＜A＜90°，且三角形為銳角三角形；反之，若0°＜A＜90°，則a2＜b2＋c2.

②在△ABC中，若a2＝b2＋c2，則三角形為直角三角形，則A＝90°；反之，若A＝90°，則a2＝b2＋c2.③在△ABC中，若a2＞b2＋c2，則90°＜A＜180°，則三角形為鈍角三角形；反之，若90°＜A＜180°，則a2＞b2＋c2.3．判斷三角形的形狀，應圍繞三角形的邊角關系進行思考，依據已知條件中的邊角關系判斷時，主要有如下兩條途徑：

(1)利用正、余弦定理把已知條件轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀；